哈工程大物电磁感应讲解

C
v
I
D
a
A
解：
(v

B)

dl
ACDA
C
1 2 3
I
v
D
C
a
1
(v B) dl
A
D


A
2

(v B) dl
C
A


3
(v B) dl
D
1

vlB

v l0 I
2πa
方向：A指向C
d2
方向移动的距离与时间的关系式x=x(t)．
动生电动势： B0av
自感电动势： L dI
dt
dI B0av L dt 0
B0av L
dI dt
0
dv B0aI m dt
d 2v dt 2


B0a m
dI dt
d 2v dt 2

2v

0
2 B02a2 mL
v C1 sint C2 cost v0 cost
2πR 2
v 0 Il ( 1 vt )
2π R vt R2
(2) 当 =0时， 将改变方向
1 R vt

vt R2
0
t ( 5 1)R 2v
B2
B1
例3、如图在真空中两条无限长载流均为I的直导线中间．放置 一门框形支架(支架固定)，该支架由导线和电阻联接而成．载 流导线和门框形支架在同一竖直平面内．另一质量为m的长为l 的金属杆ab可以在支架上无摩擦地滑动．将ab从静止释放。 求∶

0Iv[ l
2π a

23 3
ln
a
3 2 a
l
]
其方向为顺时针
6、两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反 的电流 I，电流变化率 dI /dt = >0．一个边长为d 的正方形线 圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示．求线圈中的
感应电动势，并说明线圈中的感应电流的方向．
3.计算回路中的电动势
dΦ 0d (ln 4) d I 0d ln 4
d t 2 3 d t 2 3
方向：顺时针
7.一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。导 线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端O在该平 面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为，O点到导线 的垂直距离为r0 (r0>L)。试求金属棒转到与水平面成角时， 棒内感应电动势的大小和方向。

(v
B)
d
l

vB cos 60d l
d2

v
0I 2x
cos60
dx sin 60
2
al cos30 a

v
0I 2x
cos60
dx sin 60
2
30Iv ln a l 3 / 2
6
a
同理
3 2


1

2 2

I
a b
解： B21

0I
2b
12

0I2
2b
a 2
cost
I1


1 R
d12
dt

0 I2a2
2bR
sin t
M 12 0a2 cost
I2
2b

21 MI1

(0a)2 I2
8b2 R
sin
2t
I
a
b

21


d
dt


(0a)2
4b 2 R

vt cos
avt cos 2x
2
a vtcos
a+vtcos
o
A
v

x
l
B
A点电位高
4.均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，方 向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在 平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场 以dB/dt=1T/s的匀速率增加，已知=/3，Oa=Ob=6cm. 求: 等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
B2

1 3
0 I1
2R

0 I1
6a
二者大小相等，方向相反， 互相抵消
B0

0I 4r
(cos1
cos2 )

3 0 I 2a
3.如图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、 长度为l 的金属棒AB在包含导线的平面内，以恒定的速度
沿与棒成 角的方向移动．开始时，棒的A端到导线的距
0
1 BL2 sin 2
2
电动势的方向从a b
Bb
(v B) v
a
2、半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀磁场 中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属 直线放在金属环上，当直导线以v 在圆环上向右运动到离 环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强 度。（设金属单位长度的电阻为r0）

0 Ir0 2 cos2
ln
ro

L cos
r0
8.一个半径为a的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线作匀 速转动，角速度为。另有一个半径为b的大圆环 (b>>a) ， 固定不动，其中通有不变的电流I.小环与大环有共同的圆心。 t=0时二环共面。小圆环的电阻为R，自感可以不计。试求: 大圆环中的感生电动势。
边界条件： t 0 , v v0 t 0, I 0
C2 v0

dv dt
C1 cost C2 sin t
B0aI m
C1 0
a
b

0
x vdt


B0

v

0



x
例2、半径为R的无限长实心圆柱导体载有电流I，电流沿轴向 流动，并均匀分布在导体横截面上．一宽为R，长为l的矩形回 路(与导体轴线同平面)以速度向导体外运动(设导体内有一很 小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布)．设初始时刻矩形回
dv ( A cv )
mR
t
dt

v

dv A cv

1 c
v

d(A cv A cv
)
0
0
0
t 1 ln A cv cA
v

A (1 ect ) c

mgR sin B2l2 cos2
(1 ect )
例5 、一圆形极板电容器，极板的面积S，两极板的间距为d。
π c mR
mR
( 0I ln c l )2
πc
mgRπ2
vm axLeabharlann (0Ilnc
c
l
)2
例4 有一很长的长方的U形导轨，与水平面成角，裸
导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为 B竖直向上的均匀磁场中，如图所示．设导线ab的质量为 m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形成 电路，t =0时，v =0. 试求：导线ab下滑的速度v与时间t的 函数关系．
I
I
d d
解：1.规定回路的正方向 2.计算任意时刻的磁通量
B 0I 0I 2x 2 ( x d )
d B dS Bddx
I
I
d
o
d
d

3d
[
0
I

0I
]ddx
2d 2x 2 (x d )
dx x
0 Id ln 3 2 4
B
L

I
o
r0
解：


a

(v

B)

dl
B
o
r0 Lcos l 0 I dl
r0
2x
I
r0
其中: x r0 l cos
dx dl cos

dl

x
o


r0 L cos

0I ( x r0
)
dx
r0
2x cos cos

0 IL 2 cos
c
B
ab m

ab
bc

E dl E dl
B

cd
dS
ab
cd
S t
da
oo
R
ba n
d

Sabmn
dB dt
5.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流I的无限长直 导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈ACD．该线圈的
A内C以边匀与速长v直 远导离线长距直离导最线近运且动相，互且平与行长．直今导使线线相圈垂AC直D．在求纸当面 线圈AC边与长直导线相距a时，线圈ACD内的动生电动势．
B d
c
a l
b
解: i Blv cos
Ii

i
R

Blv R
cos
F

I i Bl

Blv cos
R
Bl
A g sin
c B 2l 2 cos2 /(mR)
mg sin Blv cos Bl cos m d v
R
dt
dt

g sin