华东师大版八年级上册数学课件《因式分解平方差公式法》课件
565 435
2
2
利用因式分解计算
巩固 4. 计算：
1 2 1 2 (65 ) (34 ) 2 2
探究 根据数的开方知识填空：
4(
结论：
)
2
3(
)
2
a ( a ) (a 0)
2
范例 例4 在实数范围内因式分解：
(1) x 3
2
(2) 5 4a
2
巩固 5.在实数范围内因式分解：
(1) x 4
2
(2) 4n 9m
2
2
先确定a2和b2
巩固 2.下列多项式能否用两数和乘以这两数 的差的公式因式分解？
x y
2
2
2
x y
2
2
2
2
x y
x y
2
a2和b2的符号相反
巩固 3. 因式分解：
(1) 9 4 x
2 2
2
1 2 (2) x y z 4
范例
例2 因式分解：
(1)16( x y) 9( x y)
2
2
4 2 (2) (2m n) 25
把括号看作一个整体
巩固 4. 把下列各式因式分解：
(1)(a b) c
2
2
2
(2)( x p) ( x q)
2
2
(3)( x y) ( z m)
2
范例 例3 简便计算：
2 2
(a b)(a b) a b
2
2
整式乘法
a b (a b)(a b)
2 2
因式分解
归纳
因式分解方法
公式法分解因式： 两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
因式分解两数和乘以这两数差的公式：
a b (a b)(a b)
2 2
范例 例1 因式分解：
2 2ห้องสมุดไป่ตู้
作业 2.已知 a b 3, a b 12，
2 2
求 a b 的值。
(1) x 6
2
4 2 (2) 13 y 9
小结 1.因式分解公式一：
两数和乘以这两数的差公式 2. 在实数范围内因式分解的意义
作业 1. 因式分解：
(1) 36b 1
2
2
16 2 2 2 (2) x y b 25
2
(3)0.49 p 144 (4)m 7 (5)(2 x y) ( x 2 y)
华师大版初中数学八年级上册
第十二单元
第5课
复习 1.计算：
（ 1 ） ( x 2 y)(x 2 y)
(2)(2a 3b c)(2a c 3b)
运用了什么知识？
复习
乘法公式
两数和乘以这两数的差的公式：
(a b)(a b) a b
2 2
探究 Ⅰ.怎样将多项式 a b 进行因式分 解？
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华东师大版数学八年级上册 12.3.1平方差公式 课件(共18张ppt)
=16x2-25y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (3m＋2n)(－3m＋2n) 变式四 (3m＋2n)(－3m－2n) 变式五 (－3m－2n)(3m＋2n) 变式六 (－2n＋3m)(3m＋2n)
下列式子能用平方差公式计 算吗？如不能,请说明理由
平方差公式
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
相同项的平方减 去相反项的平方
注意:1、应用条件：一组相等，一组相反 ；
2、给一个整体平方时要带括号。
3、公式中的a，b既可代表单项式，
还可代表具体的数或多项式。
拓展
计算
(a-b+c)(a+b+c) 解：原式=（a+c）2-b2
=a2+2ac+c2-b2
进行化简
两数的和乘以这 相同项 相反项 两数的差
结果
(1+x)(1-x)
1
x 12-x2
(-3+a)(-3-a)
-3
a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x
1 a2-12 1 ( 0.3x)2-12
练习
运用平方差公式计算:
(1)、(2+3a2)(3a2-2)
(1) ( 2x-3)(-2x+3) ( )
(2) (2+3a2)(3a2-2)
(3) ( 1 x 2 y)( 1 x 2 y) ( )
2
2
(4) (-5-2x)(2x+5) ( )
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (3m＋2n)(－3m＋2n) 变式四 (3m＋2n)(－3m－2n) 变式五 (－3m－2n)(3m＋2n) 变式六 (－2n＋3m)(3m＋2n)
下列式子能用平方差公式计 算吗？如不能,请说明理由
平方差公式
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
相同项的平方减 去相反项的平方
注意:1、应用条件：一组相等，一组相反 ；
2、给一个整体平方时要带括号。
3、公式中的a，b既可代表单项式，
还可代表具体的数或多项式。
拓展
计算
(a-b+c)(a+b+c) 解：原式=（a+c）2-b2
=a2+2ac+c2-b2
进行化简
两数的和乘以这 相同项 相反项 两数的差
结果
(1+x)(1-x)
1
x 12-x2
(-3+a)(-3-a)
-3
a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x
1 a2-12 1 ( 0.3x)2-12
练习
运用平方差公式计算:
(1)、(2+3a2)(3a2-2)
(1) ( 2x-3)(-2x+3) ( )
(2) (2+3a2)(3a2-2)
(3) ( 1 x 2 y)( 1 x 2 y) ( )
2
2
(4) (-5-2x)(2x+5) ( )
八年级上华东师大版：平方差公式分解因式PPT课件
例2 分解因式: 4x3 y 9xy3
解:原式= xy(4 x 2 9 y 2 ) 依据什么提?取公因式法
xy[(2x)2 (3y)2 ] 依据平什方么差?公式法
xy(2x 3y)(2x 3y)
注意 当我们进行多项式的因式分解时要注意:
1.如果多项式各项含有公因式,一般 先提出公因式; 2.因式分解要分解到不能再 分解为止.
More You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
（1）形如__a__2___b_2___形式的多项式可以用平方
差公式分解因式。 （2）因式分解通常先考虑__提__取__公__因__式__法__方法。
（3）每个因式要化简,因式分解要___彻__底____
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
平方差公式反过
平方差公式： 来就是说：两个
数的平方差，等
(a+b)(a-b) = a²- b²于这两个数的和
与这两个数的差 的积
整式乘法
a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？ 说说你的理由。
(1)4x2 y2 (2)4x2 ( y)2 (3) 4x2 y2
√ (6) s2-t2=(-s+t)(-s-t) =[-(s-t)][-(s+t)]
初中数学华东师大八年级上册整式的乘除平方差公式分解因式PPT
利用平方差公式 进行因式分解
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
平方差公式
➢平方差公式
（1）公式：
a2 b2 (a b)(a b)
（2）语言： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这
两个数的差的积。
平方差公式的特点：
a2−b2= (a+b)(a−b)
左边两项分别是两个数（或式）的平方， 且符号不同；
先化为 □2－△2
① 9(m＋ n)2 － (m － n)2 解：原式＝[3(m+n)]2－(m-n)2 ＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] ＝(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)
＝(4m+2n) (2m+4n) 整体思想
＝4 (2m+n) (m+2n)
解：原式＝2x(x2-4) ＝2x(x2-22) ＝2x(x+2)(x-2)
首先提取公因式 然后考虑用公式 最终必是连乘式
•在边长为85米的正方形操场一角修建 一个边长为15米的正方形花坛，剩余 可供学生使用的有两项且能写成完全平方的式子，这两项符号不同， 可以用平方差公式分解因式。
➢ 公式中的a , b可以是单独的数字、字 母、单项式、多项式。 ➢ 分解因式，有公因式时先“提”后“套”， 进行到每一个多项式不能再分解为止。
右边是这两数（或式）的和与差的积。
形象地表示为：
根据公式特点想一想下 列各式能用平方差公式 分解因式的有哪些？
例1、把下列各式分解因式
直接套用公式，先分析公式中的 a,b各代表式子中的哪些数（或式）
例2:把下列各式分解因式
数学：13.5《因式分解》课件2(华东师大版八年级上)
2．两个连续偶数的平方差能被 4整 除吗？请与你的同伴交流。
（目的是让学生体会、理解分解因式的意
义，通过类比分解因数与分解因式关注不 同层次学生的知识技能的发展）
目标 评价
；/ 微信刷票
说道：“行咯，月影，别再说咯，背地里嚼主子的舌根，万壹被别人听咯，少不咯又得挨罚。”“嗯，奴婢知道咯。”“噢，对咯，三 阿哥是不是今天家宴的时候，李侧福晋身边的那各小阿哥？”“就是他，咱们王府里只有这么壹各阿哥，当然就是他咯。”“唉，今天 虽然是第壹回见到这各小阿哥，长得虎头虎脑的挺可爱的，可是不知道为啥啊，在宴席上看到他的时候，我怎么总有壹种壹见如故的感 觉呢？”“丫鬟以前见过弘时阿哥？”“没有啊！我怎么可能见过呢？这可是第壹次见着呢。”“那也许是您指不定哪天在府里的其它 啥啊地方见过，只是没当他是弘时阿哥罢咯。”“嗯，也有可能吧。”第壹卷 第184章 太子转眼就到咯除夕。按照惯例，除夕的当天 宫中要举办家宴。这些日子以来，王爷为咯这各除夕宫宴，心情很是烦闷咯好壹阵子。八月节宫宴风波历经三各多月，总算是暂时平息 下来，冷落冰凝的这些日子，看来还是很有成效。这各黄毛丫头还算是识实务，没有再惹出啥啊新的事端来。可是，很头痛地，除夕又 要到咯。他实在是不想再让这各年氏招惹啥啊是非出来。在朝堂上、官场上，他有那么的事情需要做，他哪里还有啥啊多余的时间或是 闲情逸致，去跟这各黄毛丫头较劲？但是在中秋宫宴上，冰凝不但极为高调地吸引来众人的目光，而且居然还将太子爷的风头都完完全 全地抢尽咯，事后太子的那壹番耐人寻味的盘查，直到现在他还记忆犹新，甚至是心有余悸。那是八月节宫宴的第二天，下朝以后，太 子仍像往常那样与他并肩同行，只是壹边走，壹边谈论的却不是平日的政务，却是他的侧福晋！“四弟，怪不得在你的喜宴上，既不见 你迎亲，兄弟们又没有闹成洞房，原来以为你是嫌皇阿玛赐婚的这各新娘子不满意呢，现在本王才算是知道，敢情你是把新娘子藏咯起 来，怕兄弟们看到啊！”“太子殿下，您可真是冤枉愚弟咯。那天，愚弟答应咯几位弟弟喝酒才没有……”“你就不要此地无银三百两 咯。这要是放在以前，本王还能相信你的这套说辞，只是昨日有幸壹睹弟妹的芳颜，竟然是这等的国色天香、倾国倾城，简直就是沉鱼 落雁、闭月羞花，谁还能相信你刚才的这套鬼话？”“太子殿下，愚弟句句实情，您若不信，愚弟也实在是无法。况且愚弟的侧福晋不 过就是模样周正壹些罢咯，并没有您所形容的那番啥啊国色天香……”“四弟这回谦虚得实在是过头咯呢，小弟妹岂只是模样周正罢咯？ 好咯，好咯，谁不知道这各侧福晋是你亲自向皇阿玛请来的！你这招可真是壹箭双雕！看不出来，你还真是沉得住气，先下手为强，把 老十四气得可是火冒三丈。也好，借此机会，好好打压壹下八弟他们壹伙的气焰，不要太狂妄咯，现在笑得还
（目的是让学生体会、理解分解因式的意
义，通过类比分解因数与分解因式关注不 同层次学生的知识技能的发展）
目标 评价
；/ 微信刷票
说道：“行咯，月影，别再说咯，背地里嚼主子的舌根，万壹被别人听咯，少不咯又得挨罚。”“嗯，奴婢知道咯。”“噢，对咯，三 阿哥是不是今天家宴的时候，李侧福晋身边的那各小阿哥？”“就是他，咱们王府里只有这么壹各阿哥，当然就是他咯。”“唉，今天 虽然是第壹回见到这各小阿哥，长得虎头虎脑的挺可爱的，可是不知道为啥啊，在宴席上看到他的时候，我怎么总有壹种壹见如故的感 觉呢？”“丫鬟以前见过弘时阿哥？”“没有啊！我怎么可能见过呢？这可是第壹次见着呢。”“那也许是您指不定哪天在府里的其它 啥啊地方见过，只是没当他是弘时阿哥罢咯。”“嗯，也有可能吧。”第壹卷 第184章 太子转眼就到咯除夕。按照惯例，除夕的当天 宫中要举办家宴。这些日子以来，王爷为咯这各除夕宫宴，心情很是烦闷咯好壹阵子。八月节宫宴风波历经三各多月，总算是暂时平息 下来，冷落冰凝的这些日子，看来还是很有成效。这各黄毛丫头还算是识实务，没有再惹出啥啊新的事端来。可是，很头痛地，除夕又 要到咯。他实在是不想再让这各年氏招惹啥啊是非出来。在朝堂上、官场上，他有那么的事情需要做，他哪里还有啥啊多余的时间或是 闲情逸致，去跟这各黄毛丫头较劲？但是在中秋宫宴上，冰凝不但极为高调地吸引来众人的目光，而且居然还将太子爷的风头都完完全 全地抢尽咯，事后太子的那壹番耐人寻味的盘查，直到现在他还记忆犹新，甚至是心有余悸。那是八月节宫宴的第二天，下朝以后，太 子仍像往常那样与他并肩同行，只是壹边走，壹边谈论的却不是平日的政务，却是他的侧福晋！“四弟，怪不得在你的喜宴上，既不见 你迎亲，兄弟们又没有闹成洞房，原来以为你是嫌皇阿玛赐婚的这各新娘子不满意呢，现在本王才算是知道，敢情你是把新娘子藏咯起 来，怕兄弟们看到啊！”“太子殿下，您可真是冤枉愚弟咯。那天，愚弟答应咯几位弟弟喝酒才没有……”“你就不要此地无银三百两 咯。这要是放在以前，本王还能相信你的这套说辞，只是昨日有幸壹睹弟妹的芳颜，竟然是这等的国色天香、倾国倾城，简直就是沉鱼 落雁、闭月羞花，谁还能相信你刚才的这套鬼话？”“太子殿下，愚弟句句实情，您若不信，愚弟也实在是无法。况且愚弟的侧福晋不 过就是模样周正壹些罢咯，并没有您所形容的那番啥啊国色天香……”“四弟这回谦虚得实在是过头咯呢，小弟妹岂只是模样周正罢咯？ 好咯，好咯，谁不知道这各侧福晋是你亲自向皇阿玛请来的！你这招可真是壹箭双雕！看不出来，你还真是沉得住气，先下手为强，把 老十四气得可是火冒三丈。也好，借此机会，好好打压壹下八弟他们壹伙的气焰，不要太狂妄咯，现在笑得还
初中数学华东师大版八年级上册用平方差公式进行因式分解
(7)2π R+2识点：
提公因式法：多项式ma+mb+mc中的每一项 都含有一个相同的因式 m ，我们称之为公因 式。把公因式m提出来，多项式分解为两个整 式的乘积，这种因式分解的方法，叫提公因式 法。
公式法：利用和乘法公式对多项式进行因式分 解，这种因式分解的方法就称为公式法。其中， a、b可以表示单项式，也可以表示多项式。
2、会用提公因式法、公式法进行因式分 解
因式分解
定义：把一个多项式化为几 个整式的积的形式，叫做因 式分解，也叫分解因式。
判断下列各式那些是整式乘法?那些是因 式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) （ √ ）(2)2x(x-3y)=2x2-6xy （ ）
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 （ ） (4)x2+4x+4=(x+2)2 （ √ ） (5)(a+3)(a-3)=a2-9 （ ） (6) x2-3x+2=(x-1)(x-2)（√ ）
《数学》(华师大.八年级 上册)
聚贤中学
卢建明
整式乘法
单项x多项 a（m＋n） = am+an 多项x多项（a＋b）（m＋n）= am+an+bm+bn
平方差公式（a＋b）（a－b） =
完全平方公式 a b2 a2 2ab b2
积的形式 转化 多项式
学习目标
1、了解因式分解的意义及其与整式的乘 法之间的关系。
六．小结
1.这节课中，你都学到了什么？ 2.因式分解和整式乘法有何区别？
整式乘法
分解因式
1.原式是整式积 2.结果是多项式 3. 计 算 到 不 能 在 计 算 为 止
提公因式法：多项式ma+mb+mc中的每一项 都含有一个相同的因式 m ，我们称之为公因 式。把公因式m提出来，多项式分解为两个整 式的乘积，这种因式分解的方法，叫提公因式 法。
公式法：利用和乘法公式对多项式进行因式分 解，这种因式分解的方法就称为公式法。其中， a、b可以表示单项式，也可以表示多项式。
2、会用提公因式法、公式法进行因式分 解
因式分解
定义：把一个多项式化为几 个整式的积的形式，叫做因 式分解，也叫分解因式。
判断下列各式那些是整式乘法?那些是因 式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) （ √ ）(2)2x(x-3y)=2x2-6xy （ ）
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 （ ） (4)x2+4x+4=(x+2)2 （ √ ） (5)(a+3)(a-3)=a2-9 （ ） (6) x2-3x+2=(x-1)(x-2)（√ ）
《数学》(华师大.八年级 上册)
聚贤中学
卢建明
整式乘法
单项x多项 a（m＋n） = am+an 多项x多项（a＋b）（m＋n）= am+an+bm+bn
平方差公式（a＋b）（a－b） =
完全平方公式 a b2 a2 2ab b2
积的形式 转化 多项式
学习目标
1、了解因式分解的意义及其与整式的乘 法之间的关系。
六．小结
1.这节课中，你都学到了什么？ 2.因式分解和整式乘法有何区别？
整式乘法
分解因式
1.原式是整式积 2.结果是多项式 3. 计 算 到 不 能 在 计 算 为 止
华东师大版八年级上册数学课件华东师大版八年级数学上册：12.5.2因式分解运用平方差公式课件
灿若寒星
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）D
A. 4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y² 2) -4a²+1分解因式的结果应是（） D
A. -(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)
C. -(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1) 2.把下列各式分解因式： 1）18-2b²2)x4–1
4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。
灿若寒星
课后作业
因式分解
灿若寒星
1)m²-162)4x²-9y² m²-16=m²-4²=(m+4)(m-4) a²-b²=(a+b)(a-b)
4x²-9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
灿若寒星
例1.把下列各式分解因式
（1）16a²-1 (2)4x²-m²n²
解：1）16a²-1=(4a)²-1 =(4a+1)(4a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
灿若寒星
小结：1.具有两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。
2.公式a²-b²=(a+b)(a-b)中的字母a,b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。
或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）D
A. 4X²+y²B.4x-(-y)²C.-4X²-y³D.-X²+y² 2) -4a²+1分解因式的结果应是（） D
A. -(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)
C. -(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1) 2.把下列各式分解因式： 1）18-2b²2)x4–1
4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。
灿若寒星
课后作业
因式分解
灿若寒星
1)m²-162)4x²-9y² m²-16=m²-4²=(m+4)(m-4) a²-b²=(a+b)(a-b)
4x²-9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)
灿若寒星
例1.把下列各式分解因式
（1）16a²-1 (2)4x²-m²n²
解：1）16a²-1=(4a)²-1 =(4a+1)(4a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
灿若寒星
小结：1.具有两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。
2.公式a²-b²=(a+b)(a-b)中的字母a,b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。
或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。
华东师大版八年级数学上册12.5《因式分解》教学课件2
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
不正确 分解到不能再分解为止
巩固练习
1、在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中,能 利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
12.5 因式分解
12.5.2平方差公式法
目 Contents 录
01 回顾思考 02 合作探究
03 学以致用
04 巩固练习
05 总结提升
预习检测： 下列分解因式是否正确？
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
回顾思考
找出下列各题公因式：
(6) 169x2 －4y2 解:原式＝(13x)2－(2y)2
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
(8) -16x4 ＋81y4 (解7):9原a2式p2＝＝－((b332aaqpp2＋)2－bq()b(q3)a2p－解b:q原) 式＝＝＝＝(((89991yyyy２ 224++－)442－xx1226))〔(x9(4y4(2x3-２4yx))222-)(2x)2〕
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2 （3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)
华师大版数学八年级上册平方差公式进行因式分解课件
问题:什么叫多项式的因式分解?
多项式的因式分解其实是整式乘法 的逆用， 也就是把一个多项式化成 了几个整式的积的情势
判断下列变形过程，哪个是因式分解？
(1) (x-2)(x-2)=x2- 4
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1)
问题：你学了什么方法进行分解 因式？ 提公因式法
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a 方法把多项式
x2-25，9x2-y2分解因式?
提示：a2-b2=(a+b)(a-b)
=(9x-y)(9y-x)
注：分解因式， 必须进行到每一
分解因式 个因式都不能再
：分解为止 。
1.a2b- 4b =b(a2-4) =b(a+2)(a-2) 2.a2(x-y)-x+y =(x-y)(a2-1) =(x-y)(a+1)(a-1)
分解因式
1.-4x2y2-6x3y2 =-2x2y2(2+3x)
1、必须是二项式 2、两项的符号相反 3、每一项都能写成平方的情势
例题：分解因式
1.4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
2.(x+p)2-(x+q)2=(x+p+x+q)(x+p-x-q)
=(2x+p+q)(p-q) 注：（1）使用平方差公式分解因式时， 必须先把原多项式写成两“数”平方差 的情势，再分解因式，即用公式分解因 式时，必须认准其中的“a”与“b”。 （2）公式中的a、b即可以是单项式， 也可以是多项式。
多项式的因式分解其实是整式乘法 的逆用， 也就是把一个多项式化成 了几个整式的积的情势
判断下列变形过程，哪个是因式分解？
(1) (x-2)(x-2)=x2- 4
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1)
问题：你学了什么方法进行分解 因式？ 提公因式法
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a 方法把多项式
x2-25，9x2-y2分解因式?
提示：a2-b2=(a+b)(a-b)
=(9x-y)(9y-x)
注：分解因式， 必须进行到每一
分解因式 个因式都不能再
：分解为止 。
1.a2b- 4b =b(a2-4) =b(a+2)(a-2) 2.a2(x-y)-x+y =(x-y)(a2-1) =(x-y)(a+1)(a-1)
分解因式
1.-4x2y2-6x3y2 =-2x2y2(2+3x)
1、必须是二项式 2、两项的符号相反 3、每一项都能写成平方的情势
例题：分解因式
1.4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
2.(x+p)2-(x+q)2=(x+p+x+q)(x+p-x-q)
=(2x+p+q)(p-q) 注：（1）使用平方差公式分解因式时， 必须先把原多项式写成两“数”平方差 的情势，再分解因式，即用公式分解因 式时，必须认准其中的“a”与“b”。 （2）公式中的a、b即可以是单项式， 也可以是多项式。
2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法__平方差公式课件新版华东师大版
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分 解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
2．【中考·济宁】多项式4a－a3分解因式的结果是( B ) A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝99962 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)说明这个规律的正确性．
解：设m、n为两个整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和 2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当 m、n同是奇数或同是偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；②当m、n一奇一偶时，m＋n＋1一 定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述， 任意两个奇数的平方差是8的倍数．
【点拨】设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋2， 则(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2) ＝4(2n＋1)． ∴能被4整除，故选C.
15．【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、
a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱
华师大版八年级数学上册12.5.3 公式法————平方差公式(课件)【新版】
拓展：平方差公式法中的字母a，b可以是一个单项式或一个
多项式．
例1 把多项式分解因式： 25x2-16y2. 解：25x2-16y2 =(5x)2 - (4y)2
=(5x+4y)(5x - 4y).
知1－讲
知1－讲
例2 分解因式：(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y； (3)(a＋1)2－1；(4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
知1－讲
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
即：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
要点精析：
(1)公式特点：公式的左边是一个二项式，都能写成平方形式且
符号相反；公式的右边是两个二项式的积，其中一个二项式
是两个底数的和，另一个二项式是两个底数的差．
(2)它是乘法公式中的平方差公式逆用的形式．
知1－讲
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
(4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]
＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝(2a＋1＋1)(2a＋1－1) ＝2a(2a＋2) ＝4a(a＋1)． 因为a为正整数，所以a，a＋1为相邻的两个正整数，其中必有 一个偶数，从而有一个为2的倍数，故4a(a＋1)为8的倍数． 故(2a＋1)2－1能被8整除．
知2－练
1 (中考·广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A．x(x2－9)
第12章 整式的乘除
12.5 因式分解