用向量的方法证明平行与垂直关系
立体几何中的向量方法平行与垂直的证明
求平面法向量的方法：
p, q为 平 面内 不 共 线 的 两 个 向 量 ，设a ( x, y, z),
p a
0 ,
恰
当的给
定x,
y,
z中 一 个
的值，
即可得
一个
法 向 量a.
q a 0
求平面的法向量
1.已 知 平 面经 过 三 点A(1,2,3), B(2,0,1),C(3,2,0)， 求 平 面的 一 个 法 向 量.
2.已 知 点A(a,0,0), B(0, b,0),C(0,0, c)， 求 平 面ABC的 一 个 法 向 量.
3.设u, v分 别 是 平 面 , 的 法 向 量 ， 判 断 下 列 平面 ,
的位置关系： (1)u (1,1,2),v (3,2, 1 );(2)u (2,0,4),v (1,0,2);
9、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形, 且∠C1CB = ∠C1CD = ∠BCD,
（１）求证： CC1⊥BD
（２）CD/ CC1=?时A1C ⊥平面C1BD
B1
A1
A1C ⊥平面C1BD 与
C1
∠C1CB = ∠C1CD =
D1
∠BCD的值无关，可用恒
成立得比值为1的结果
n m n // m //
证明平行问题
4.正方体ABCD A1B1C1D1中 (1)M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN // 平面A1BD. (2)证明：平面A1BD // 平面CB1D1. 5.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E, F,G分别为A1D1, D1D, D1C1的中点，求证：平面EFG// 平面AB1C.
利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中有着重要的作用。
本文将重点讨论向量的平行与垂直关系的判定及其在解题中的运用。
一、向量的平行关系判定两个向量平行的判定方法有多种，我们可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向相同且长度成比例：若向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=k*b（k为非零实数），则向量a与向量b平行。
例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=2*(2i+3j)，因此向量a与向量b平行。
2. 内积为零：若向量a与向量b的内积等于零，即a·b=0，则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的内积为a·b=(3i-2j)·(2i+3j)=6-6=0，因此向量a与向量b垂直。
二、向量的垂直关系判定两个向量垂直的判定方法同样有多种，我们也可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向互为相反且长度成比例：若向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-k*b（k为非零实数），则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=-2i-3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-2*(2i+3j)，因此向量a与向量b垂直。
2. 外积为零：若向量a与向量b的外积等于零，即a×b=0，则向量a与向量b 平行或共线。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的外积为a×b=(3i-2j)×(2i+3j)=13k，由于外积不等于零，因此向量a与向量b不平行也不垂直。
三、运用示例向量的平行与垂直关系在解题中有着广泛的应用。
下面通过几个具体的题目来说明。
题目一：已知向量a=3i-4j，向量b=-2i-6j，判断向量a与向量b的关系。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
用空间向量证明平行与垂直
用向量方法证明平行与垂直
用向量方法证明平行与垂直要证明两个向量是平行的，我们需要证明它们的方向相同或相反。
而要证明两个向量是垂直的，我们需要证明它们的内积为零。
首先，我们考虑平行向量的证明。
设有两个向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)其中n代表向量的维度。
如果u和v是平行的，那么它们的方向相同或相反，可以用以下方式进行证明：1.方向相同：我们可以证明向量u和v的比例关系。
即对于任意的i，我们有：ui/vi = u1/v1 = u2/v2 = ... = un/vn如果我们找到一个非零常数k，使得：ui = k * vi，则u和v是平行的。
2.方向相反：我们可以找到一个常数k，使得：ui = -k * vi，则u和v的方向相反，它们也是平行的。
下面我们来看一个具体的例子。
例1：证明(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。
解：我们可以计算向量的比例：(1/2)=(2/4)=(3/6)=1/2这意味着我们可以找到一个非零常数k=1/2，使得：(1,2,3)=(1/2)*(2,4,6)因此，向量(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。
接下来，我们考虑垂直向量的证明。
设有向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)如果u和v垂直，那么它们的内积为零，可以用以下方式进行证明：u·v=0我们可以将内积展开为标量乘积的形式：u · v = u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn = 0这意味着对于任意的i，我们有：ui * vi = -u1 * v1 - u2 * v2 - ... - un * vn如果我们能找到满足上述等式的向量u和v，则u和v是垂直的。
下面我们来看一个具体的例子。
例2：证明(1,2,3)和(-1,2,-1)是垂直的。
空间向量线面和面面平行与垂直(周清)
图形语言
符号语言
PO ⊥ , A , a
PO = , a ⊥
OOA
a
⊥
PA
PO ⊥ , A , a
PO, a =⊥OPA
a
⊥
OA
2
3
m = n m ∥ n 直线 m ⊥平面
（1） 直线 m 方向向量 m ； m • AB =0 m ⊥AB
（2） 平面内两相交直线
的方向向量 AB , CD
m • CD =0 m ⊥CD m ⊥
AB,CD 且AB CD=P
（1） 平面的法向量 m （2） 平 面 的法向量 n
m•n=0 m⊥n
直线 m ∥平面
（1） 平面的法向量 m （2） 平 面 的法向量 n
m = n m ∥ n 平面∥平面
线线 垂直
垂 直 线面 的 垂直 证 明
面面 垂直
（1） 直线 m 方向向量 m ； （2） 直线 n 方向向量 n
m•n=0m⊥nm⊥ n
（1） 直线 m 方向向量 m ；
（2） 平面的法向量 n
条直线垂直于这个平面。
平面互相垂直。
个平面内的任意一条直线。
判 图形 定 语言 定 符号 理 语言
文字语言
a a
c
⊥
ab,=,cbP⊥b
c
⊥
三垂线定理
a a
⊥
⊥
b a ⊥ a ⊥ b
三垂线逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的一条 在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的 一条斜线 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 垂直，那么它也和这条斜线在平面内的 射影垂直。
有 两 条 相 交 直 线 分 别 条相交直线分别平行于另外
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
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用向量的方法证明平行与垂直关系
平行与垂直是向量的重要性质，可以用向量的方法进行证明。
接下来，我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系，以及一些相关的性质和
定理。
1.平行性质的证明：
两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反，并且它们的长
度可以不相等。
下面是两个向量平行的证明方法：
方法一：向量比例法
如果向量a和b平行，那么可以找到一个非零实数k，使得a=k*b。
可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。
如果两个向量平行，它
们的对应坐标分量之间的比值应该相等。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6)，我们可以通过
将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行，如下所示：1/2=2/4=3/6=1/2
这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等，因此它们是平行的。
方法二：向量点乘法
如果两个向量a和b平行，那么它们的点乘等于它们的长度之积。
即a·b=，a，*，b，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2)，那么它们的点
乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面，它们的长度之积为，a，*，b， = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。
如
果将这两个等式相等，即a·b = ，a，*，b，那么可以得出向量a和b
平行。
2.垂直性质的证明：
两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零，即a·b=0。
下面是
两个向量垂直的证明方法：
方法一：向量内积法
两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0，
那么可以证明向量a和b垂直。
举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2)，我们可以计
算它们的点乘为：
a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0
因此，向量a和b垂直。
方法二：向量叉乘法
向量a和b的叉乘为一个新的向量c，记为c=axb。
如果向量c与向
量a和b都垂直，那么可以证明坐标系中三个向量a、b和c互相垂直。
举例来说，如果有向量a=(1,0,0)和向量b=(0,1,0)，它们的叉乘为：c=axb=(0*0-1*1,1*0-0*0,0*1-0*0)=(0,0,-1)
可以观察到向量c与向量a和b都垂直，因此可以证明向量a和b垂直。
平行和垂直性质的定理：
在向量空间中，有一些关于平行和垂直性质的重要定理：
定理一：平行向量的性质
若向量a=λb，则向量a和b平行。
定理二：垂直向量的性质
若向量a·b=0，则向量a和b垂直。
定理三：平面内垂直向量相互平行
在二维平面内，垂直向量与同一向量平行。
定理四：三维空间内的两个垂直向量的性质
在三维空间内，任意两个非零垂直向量确定的平面上的向量与它们平行。
通过向量的方法，我们可以轻松地证明向量的平行和垂直关系，以及应用相关的定理来推导其他结论。
这些性质和定理对于解决向量的几何和物理问题非常有用。