拉普拉斯定理
拉普拉斯定律
应用领域定理
Байду номын сангаас
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有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复 数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的 一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来 确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
Ⅱ型肺泡上皮细胞合成和释放肺泡表面活性物质（alveolar surfactant），然后分布于肺泡的内衬层的液 膜，能随着肺泡的张缩而改变其分布浓度，用来减少肺泡表面张力。表面张力增加，大肺泡容易破裂小肺泡容易 萎缩，不利于肺的稳定。
应用
拉普拉斯定律，是工程数学中常用的一种积分定律。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的 一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换 来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运 算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在 经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及 f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。
发展历史
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法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问 题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当 时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯 变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的应用 。
2.3 拉普拉斯展开定理
写也四阶行列式D
例题
1213 3114 D 0021
2124
的第1、3行，1，3列的二阶子式S及它的余子式M和代数 余子式A
11
14
S
2 M 0
02
14
A (1)(13)(13) M 0
1、计算
例题
21000 12100 D 0 1 2 1 0 00121 00012
例题
2、计算块下（块上）三角形矩阵
A Bmm O 或A Bmm *
* CHale Waihona Puke nO Cnn的行列式。
推广至块对角矩阵A diag(A1, A2,, At )有 det A (det A1)(det A2 ) (det At )
3、设分块矩阵
例题与作业
BO A
CD
其中O是零矩阵，B和D是可逆矩阵，求A-1。
作业：P69 习题2.3 1、（2）（3）3、4、（2）
定理
拉普拉斯定理：若在行列式D中任意取定k个行（1≤k≤n），则 由这k个行组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和 等于D。
即：D的某k行组成的所有k阶子式设为 S1, S2 ,, St (t Cnk )
它们相应的代数余子式分别为：A1, A2 ,, At
则
D S1A1 S2 A2 St At
大一线性代数课件2.3_拉普拉斯展开定理
k
A1k k At
返回
A1
可逆的充要条件是 At A1， ，At 可逆 ( Ai为方阵)
1
A1 At A1 A t
DD
1
C A X 1 B O X 3
X 2 CX 1 AX 3 X4 BX 1
CX 2 AX 4 I O . BX 2 O I
CX 1 AX 3 I X 3 A1 CX AX O 1 1 2 4 X 4 A CB O B 1 1 . D 1 A 1 1 X1 O BX 1 O A CB BX 2 I X 2 B 1 返回
A2 1
1 3 4 2 3 5
M2 M2 .
返回
例如，5阶行列式detA中，取子式 S
则其代数余子式为
a22 a52
a24 a54
a11 a41
a13 a43
a15 a35 a45
( 1) ( 25 )( 24 ) a31 a33
对于行列式D中的每一个子式S，它的余子式M 和代数余子式A都由S唯一确定.
大一线性代数课件23拉普拉斯展开定理线性代数拉普拉斯定理线性代数拉普拉斯拉普拉斯定理拉普拉斯展开定理拉普拉斯定理行列式拉普拉斯终值定理拉普拉斯变换终值定理棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理的证明
2.3
拉普拉斯展开定理
返回
2.3
k阶子式：
拉普拉斯展开定理
矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式. S的余子式: 在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式. S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称 (i1 i k ) (j1 jk ) A (1) M 为S的代数余子式.
§2.8拉普拉斯(Laplace)定理
从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理
第8节 拉普拉斯定理
它们的代数余子式为
A1 ( 1)1 31 2 0 1 0, 0 1 A3 ( 1)
1 3 2 3
A2 ( 1)1 3 2 4 1 1 2, 1 1 A4 ( 1)
1 31 2
1 2 5, 1 3
0 1 0, 0 1
A5 ( 1)411 3 0 2 0, 0 3
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1
0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn
c11 c n1 b11 bn1
c1n cn1 b1n bnn
注释1 ① 一个行列式的k 级子式和余子式有很多。 ② k=1时A的行列式的每个元素都是一个1级子式， k=n时A本身是一个n级子式（没有余子式）。
二、Laplace定理
定理8.3 在矩阵A中取定k行，则这k行确定的所有k
阶子式和它们的代数余子式的乘积和等于 A .
注释2
① 理解引理和Laplace定理以及会用定理即可 ② k=1时Laplace定理就是行列式按行(列)展开法则 ③ Laplace定理不适合计算一般行列式（见下例）
2 2 2 D a11 a12 a1n 2 2 2 a21 a22 a2n
n
作业：P130 Ex 1 (2), (4), 2 (1)(3)
2 2 2 an1 an 2 ann
2 nD aij 0. i 1 j 1
n
n
因此，由上面两方面知，结论成立。
到第k 行, j , k 1,2,, n.
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1 0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn c11 c n1 b11 bn1 c1n cn1 b1n bnn
拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则
§8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式3100120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M , M 的余子式为1020='M . 例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D =中454342252322151312a a a a a a a a a M = 和54513431a a a a M ='是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式1310310112104121-=D 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式nnn n n n a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C 212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。
拉普拉斯(Laplace)定理
行运用Laplace 定理结果． 定理结果． 为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组 ：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、 一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
拉普拉斯变换积分定理
拉普拉斯变换积分定理拉普拉斯变换积分定理是数学中一项重要的定理，它是拉普拉斯变换的基础之一。
该定理说明了函数的拉普拉斯变换和函数的积分之间的关系，以及如何使用积分来计算函数的拉普拉斯变换。
一、定理的表述设函数f(t)是一个定义在[0,∞)上的连续函数，且满足其在任意有限区间上是有界的，即存在M>0，使得|f(t)|≤M，0≤t<∞。
则函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)定义为：其中s为复变量，实部大于一个正数B。
F(s)在该区域内存在，并且是一个解析函数。
设F(s)的部分分式展开式为：其中C为以B为实部的一个大半圆，圆心是原点，R趋近于∞。
二、定理的证明考虑积分：其中R>B。
该积分表示了一个半径为R，以原点为圆心的大半圆的围成区域内的函数值的总和。
由于|f(t)|≤M，因此：R趋近于∞时，由于frac{M}{t}趋近于0，因此第二个积分为0。
对于第一个积分，t>e，因此：当t趋近于0时，由于R>B，因此：因此：在复平面上，我们可以画一个由B和2R组成的矩形，其上下两个边的长度为2R，左侧边在实轴上的值为B，右侧边在实轴上的值为B＋ε。
该矩形内部的点均满足输入函数f(t)的性质，即在有限区间内有界。
现在考虑该矩形上下两侧边上的曲线积分：其中C1为大上半圆弧，C2为大下半圆弧，L1为左边的边缘，L2为右边的边缘。
显然，L1的积分与L2的积分相等，并且为0，因为f(t)在有限区间内有界。
对于C1和C2，当R趋近于∞时，它们的长度趋近于0，因此它们的积分也趋近于0。
因为F(s)在矩形的内部是解析的，因此当矩形的面积越来越大时，其大小相对于所有的积分都是无关紧要的。
于是，最后得到：与f(t)的拉普拉斯变换的定义式相比，上述积分式的分母有一个符号相反。
由于这个积分路径是一个固定的积分路径，因此该符号不会影响定理的正确性。
三、定理的应用拉普拉斯变换积分定理是在计算复杂的函数的拉普拉斯变换时非常有用的工具。
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拉普拉斯定理
拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。
它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。
下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。
拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：
1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。
这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。
2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。
3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
这个定理描述
了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间
的关系。
拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。
它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。
此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。
控制系统是一种通过输出信号调节输入信号来控制系统行为的系统。
通过将系统的输入输出关系转化为拉普拉斯变换，可以方便地分析和设计控制系统的性能。
总之，拉普拉斯定理是拉普拉斯变换理论中的一个重要定理，它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质。
它的常数项性质、积分性质、初值定理和终值定理等性质使其具有广泛的应用范围，包括数学、物理学、工程学等领域。
通过拉普拉斯定理，我们可以更加方便地处理复杂的函数、方程以及系统，从而推动科学技术的发展。
拉普拉斯定理作为拉普拉斯变换理论中的重要定理，具有广泛的应用。
下面我们将继续讨论拉普拉斯定理的一些相关内容。
首先，拉普拉斯定理的常数项性质使得我们可以方便地处理包含常数项的函数。
对于一个函数f(t)中的常数项c，它的拉普
拉斯变换为c/s。
这意味着当我们对一个包含常数项的函数进
行拉普拉斯变换时，只需要将常数项除以s即可得到其变换结果。
例如，对于函数f(t)=3+4t，它的拉普拉斯变换为
F(s)=3/s+4/s^2。
我们可以看到，拉普拉斯定理允许我们直接
处理常数项，从而简化了计算的过程。
其次，拉普拉斯定理的积分性质为计算函数的积分提供了便利。
对于函数f(t)的积分∫[0,t]f(u)du，它的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个积分性质使得我们可以通过拉普拉斯变换来求解函数的积分。
例如，对于函数f(t)=t，它的积分∫[0,t]f(u)du为t^2/2，那
么它的拉普拉斯变换为F(s)=1/s^2。
通过拉普拉斯定理的积分
性质，我们可以方便地计算出函数的积分。
接下来，我们来讨论拉普拉斯定理的初值定理和终值定理。
初值定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之
间的关系。
如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普
拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理使得我们可以通过拉普
拉斯变换来推断函数在初始时刻的取值。
终值定理描述了函数
f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。
如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，
那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
终值定理帮助我们推断函数
在趋于无穷大时的极限，从而对系统的稳定性进行分析。
拉普拉斯定理不仅可以用于求解微分方程，还可以用于解析函数等问题。
通过将原问题转化为拉普拉斯变换的形式，并利用拉普拉斯定理的性质，我们可以更加方便地分析和求解问题。
例如，在电路理论中，我们可以将电路的输入和输出关系通过拉普拉斯变换转化为复平面上的函数，并利用拉普拉斯定理来
分析电路的性能和响应时间。
除此之外，拉普拉斯定理还在信号处理、控制理论等领域有广泛的应用。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转化为频域信号，通过拉普拉斯定理的性质，可以更加方便地分析信号的频谱和特性。
在控制理论中，拉普拉斯变换可以用来描述和分析控制系统的响应和稳定性。
利用拉普拉斯定理，我们可以将系统的输入输出关系转化为一个简单的代数方程，并通过代数方法来优化系统的性能。
综上所述，拉普拉斯定理作为拉普拉斯变换理论中的重要定理，具有常数项性质、积分性质、初值定理和终值定理等性质。
这些性质使得我们可以方便地处理包含常数项的函数，求解函数的积分，推断函数的初始值和极限等。
拉普拉斯定理在微分方程求解、信号处理、控制理论等领域具有广泛的应用，通过将原问题转化为拉普拉斯变换的形式，并利用拉普拉斯定理的性质，我们可以更加方便地分析和求解问题，推动科学技术的发展。