《电磁现象》第一讲

《电磁现象》第一讲电流周围的磁场一、磁场基本性质1、磁场高斯定理：磁场中通过任一封闭曲面的磁通量一定为零。

说明磁场是无源场。

类比于静电场：静电场中通过任一封闭曲面的电通量不一定为零。

静电场是有源场。

2、安培环路定理：磁感应强度沿任意闭合回路的线积分等于穿过该闭合回路的全部电流的代数和的μ0倍。

说明磁场是有旋场。

类比于静电场：静电场中场强沿任意闭合回路的线积分一定等于零。

静电场是无旋场。

二、电流产生磁场的规律1、毕奥-萨伐尔定律（电流元“I△L”周围磁场的分布规律；类似于点电荷场强的关系式）对于电流强度为I 、长度为△L 的导体元段，设其在距离为r 的点激发的“元磁感应强度”为△B 。

则：△B=μ0I 4πr 2 △Lsin θ（式中θ为电流方向与r 之间的夹角，μ0=4π×10-7Tm/A 、真空磁导率）；△B 的方向由矢量积的右手螺旋关系确定。

应用毕萨定律再结合矢量叠加原理，理论上可以求解任意形状导线在任何位置激发的磁感强度。

2、典型的电流分布的磁场（了解即可，不要求推导）（1）无限长直线电流的磁场：B=μ0I 2πr （r 是场点P 到导线的垂直距离）若直导线的长度是有限的，则其周围磁场：B=μ0I4πr (cos θ1-cos θ2) ；显然，当L 趋于无限长时，θ1→0︒，θ2→180︒，B=μ0I2πr 。

(2)细长密绕通电螺线周围的磁场：管内：B=μ0nI （式中n 是螺旋管单位长度上线圈的匝数），由此可知，这是一个匀强磁场。

而管外的磁场为零。

（3）圆形电流中心的磁感应强度：B=μ0I2r（r 为圆形电流的半径）例题1：如图所示，M l M 2和 M 3 M 4都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列成的导线排横截面，两导线排相交成120°，O O /为其角平分线。

每根细导线中都通有电流 I ，两导线排中电流的方向相反，其中M l M 2中电流的方向垂直纸面向里。

导线排中单位长度上细导线的根数为λ。

图中的矩形abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导体片的横截面，（ab 《bc ），长直半导体片与导线排中的细导线平行，并在片中通有均匀电流I 0，电流方向垂直纸面向外。

已知 ab 边与OO /垂直，bc ＝l ，该半导体材料内载流子密度为 n ，每个载流子所带电荷量的大小为 q 。

求此半导体片的左右两个侧面之间的电势差。

（已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时，电流产生的磁场离直导线的距离为r 处的磁感应强度的大小为 rIk B ,式中k 为已知常量。

）例题2：图中L 是一根通电长直导线，导线中的电流为I 。

一电阻为R 、每边长为2a 的导线方框，其中两条边与L 平行，可绕过其中心并与长直导线平行的轴线OO /转动，轴线与长直导线相距b ，b ＞a ，初始时刻，导线框与直导线共面。

现使线框以恒定的角速度ω转动，求线框中的感应电流的大小。

不计导线框的自感。

已知电流I 的长直导线在距导线r 处的磁感应强度大小为krI，其中k 为常量。

练习题、两个套在一起的非导体薄臂长筒可以绕公共轴自由转动。

大圆筒半径是小圆筒半径的两倍，两圆筒的表面面电荷密度相同。

现在使外圆筒从静止加速转动到角速度为ω，内圆筒原来是静止的，那么此时内圆筒将向何方向转动？角速度多大？（设两圆筒都很轻）《电磁现象》第二讲带电粒子在磁场中的运动a 、v⊥B时，匀速圆周运动，半径r =qB mv ，周期T=qBm2π b 、v与B成θ时（00<θ<900），做等螺距螺旋运动，半径r =qBsin mv θ，螺距d =qBcos mv 2θπ 例题1：如图所示，经电压U 加速电子（加速前电子静止），从电子枪口T 射出，其初速度沿直线Ta 方向，要求电子击中与Ta 方向成θ角、距枪口T 距离为d 的靶M ，求以下两种情况求下所用的匀强磁场的磁感应强度： （1）磁场垂直于直线Ta 与点M 所确定的平面 （2）磁场平行于TM例题2：如图所示，半径为R 的圆筒形真空管中有两个隔板A 和A /，其中心有小孔，相距L ，区域Ⅰ中有水平方向的匀强电场，区域Ⅱ中有水平方向的匀强磁场，区域Ⅲ中无电场、磁场。

由阴极K 发生的电子由电场加速后穿过小孔A 成发散电子束进入区域Ⅱ，设所有电子穿过小孔A 时的水平分速度都为v ，调节区域Ⅱ中的磁感应强度使之为能使电子速穿过A /小孔的最小值B ，从这时开始计时且保持此值不变，但使B 的方向做周期为T 的周期性变化(如图b 所示)。

设真空管中碰到管壁的电子均不弹回。

(1)求有电子束穿过A /时，T 的最小值T 0；(2)设T=2T 0，哪些时间内有电子束穿过A /？(3)进入区域Ⅲ的电子中，运动方向与管轴间的最大夹角为多少？例题3：如图所示的磁流体发电机，两金属板间距为d ，板长无限，板宽为b ，质量为m ，带电量为＋q ，单位体积内个数为n 的粒子和质量为m ，带电量为-q ，单位体积内个数为n 的粒子，均以速度v 沿着与板面平行的方向射入两板间，两板间还有与粒子速度方向垂直的磁场，其磁感应强度B 满足qdmvB 2≤，若以 U 表示发电机两极板间的电压，试求此发电机的输出电流I 与U 的关系（不计重力）练习题1、图中S 为一离子源，它能均匀地向各方向持续大量发射正离子。

离子质量皆为 m ，电量皆为q ，速率皆为v 0。

在离子的右侧有一半径为R 的圆屏，OO /是通过圆屏中心O 并垂直于屏面的轴线，S 位于轴线上。

空间有一平行于轴线向右的匀强磁场，磁感应强度为B 。

发射的离子中，有的离子不论SO 的距离如何，总能打到圆屏上，求这类离子占离子总数的比例（不考虑离子之间的碰撞及相互作用力）练习题2、 图（a ）和图（b ）是磁流体发电机的工作原理示意图。

图（a ）中的长方体是发电导管，中空部分的长、高、宽分别为 l 、a 、b ，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略导体电极，这两个电极与负载电阻R L 相连。

整个发电导管处于图（b ）中磁场线圈产生的匀磁场里，磁感应强度为B ，方向如图（b ）所示。

发电导管内有电阻率为ρ的高温、高速电离体，气体沿导管向右流动，并通过专用管道导出。

由于运动的电离气体受到磁场作用，产生电动势。

发电导管内电离气体流速随磁场有无而不同。

设发电导管内电离气体流速处处同，且不存在磁场时电离气体的流速为v 0，电离气体所受摩擦阻力总与流速成正比，发电管两端的电离气体压强差△p 维持恒定，试求磁流体发电机的电动势E 的大小。

《电磁现象》第三讲动生电动势的计算导体切割磁感线而产生的电动势叫动生电动势。

导体切割磁感线的形式多种多样，效果也不尽相同。

例题1：在某处有一小缺口（长为△L）的金属圆环沿水平面做纯滚动，环心的水平速度为常量V0；设空间有垂直于环面的匀强磁场B，B的方向如图所示。

试求此环中所产生的感应电动势E的最大值。

例题2：如图所示，有一水平方向的匀强磁场，磁感应强度B很大。

一个半径R，厚度为D（D《R）的匀质金属圆盘，在此磁场中竖直下落，盘面始终在竖直平面内并与磁场B 的方向平行。

设金属盘的电阻为零，其绝对介电常数为9×10-12C2/(N·m2)，密度为9×103kg/m3。

空气阻力忽略不计。

若圆盘在没有磁场时下落的加速度比有磁场时的加速度减小了千分之一。

求磁感应强度B为多大？例题3：如图所示，ACD 是由均匀细导线制成的边长为 d 的等边三角形线框，它以 AD 为转轴，在磁感应强度为B的恒定的匀强磁场中以恒定的角速度ω转动（俯视为逆时针旋转），磁场方向与AD垂直。

已知三角形每条边的电阻都等于R。

取图示线框平面转至与磁场平行的时刻为 t=01、求任意时刻t线框中的电流2、规定A点的电势为0，求 t= 0时，三角形线框的AC 边上任一点P（到 A 点的距离用 x 表示）的电势U p，并画出U p与 x 之间关系的图线练习题1、如图所示，在竖直放置的两条平行光滑长导轨的上端，接有一个容量为C、击穿电压为U B的电容器，有一匀强磁场与导轨平面垂直，磁感强度为B。

现在有一根质量为m、长为L的金属杆ef在t=0时以初速度v0沿导轨下滑。

问：金属杆ef下滑多长时间电容器就被击穿？假设图中任何部分的电阻和电感均忽略不计。

练习题2、如图所示，光滑的水平面上，有边长L=0.8m的正方形导线框abcd，质量m=100g，自感系数L=10-3Vs/A，电阻忽略不计。

当t=0时，线框的bc边以初速度v0=4m/s 进入磁感强度为B的有界匀强磁场区域，磁场区域宽s=0.2m，B的大小为0.5T，方向如图所示。

试分析bc边的运动。

《电磁现象》第四讲感生电动势的计算根据麦克斯韦电磁场理论：变化的磁场周围会产生电场，该电场即为感生电场（注意在磁场区域之外也有感生电场的分布）。

感生电场的性质与静电场的性质不同；不能用静电场中的相关概念、规律来讨论感生电场。

若把一段导体或一个闭合线圈放在变化的磁场中，则导体中会产生感生电动势；感生电场力充当产生感生电动势的非静电力。

一方面，感生电动势在数值上等于感生电场力移动单位正电荷所做的功；另一方面，对于闭合回路中所产生的感生电动势可由法拉第电磁感应定律求得。

在求感生电动势时应当把这两方面结合起来。

例题1：如图所示，一半径为R 的圆柱形区域内有磁感应强度B 随时间均匀变化，变化率为∆B∆t =k （k 为一正值常量），方向垂直于纸面向外的磁场。

圆柱形区外空间没有磁场。

导体棒AC 如图放置，其与半径OA 的夹角为α=450。

在导体棒上任意取一点，设该点到A 点的距离为x ，求从A 点到该点的导体棒上产生的感应电动势的大小。

例题2：一个导线围成半径为D 的圆环adbc ，在圆环所围成的区域内有一半径为D/2的圆柱形磁场区域，其周界与圆环内切于c 点。

此区域内有均匀磁场，磁感强度为B ，方向垂直纸面向里。

磁场随时间增强，变化率为∆B∆t =k=常量。

导线ab 是圆环的一条直径，与磁场边界相切，如图所示。

设导线ab 以及被其所分割成两个半圆的电阻都是r ，今用一电流表G 接在a 、b 两点之间，电流表位于纸面内，内阻亦为r(连接电流表的导线电阻忽略不计)。

试问下列情况下，通过电流表的电流I G 为多少？(1)半圆环acb 和adb 都位于纸面内，并分别位于ab 的两侧 (2) adb 再绕ab 转90︒折成与acb 重合练习题1、如图所示，有一匀质细导线弯成的半径为a 的圆线圈和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。

在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度B随时间t 均匀减小，其变化率的大小为一已知常量k 。

已知21r =32r 。