偏最小二乘法matlab编程
偏最小二乘法PLS回归NIPALS算法的Matlab程序及例子
偏最小二乘法PLS回归NIPALS算法的Matlab程序及例子②function [T,P,W,Wstar,U,b,C,B_pls,...Bpls_star,Xori_rec,Yori_rec,...R2_X,R2_Y]=PLS_nipals(X,Y,nfactor)% USAGE: [T,P,W,Wstar,U,b,C,Bpls,Bpls_star,Xhat,Yhat,R2X,R2Y]=PLS_nipals(X,Y,nfact) % PLS regression NIPALS algorithm PLS回归NIPALS算法% Compute the PLS regression coefficients PLS回归系数的计算% X=T*P' Y=T*B*C'=X*Bpls X and Y being Z-scores% B=diag(b)% Y=X*Bpls_star with X being augmented with a col of ones% and Y and X having their original units% T'*T=I (NB normalization <> SAS)% W'*W=I%% Test for PLS regression% Herve Abdi November 2002/rev November 2004%%% Version with T, W, and C being unit normalized% U, P are not% nfact=number of latent variables to keep 保持潜在变量的数量% default = rank(X)X_ori=X;Y_ori=Y;if exist('nfactor')~=1;nfactor=rank(X);endM_X=mean(X);M_Y=mean(Y);S_X=std(X);S_Y=std(Y);X=zscore(X);Y=zscore(Y);[nn,np]=size(X) ;[n,nq]=size(Y) ;if nn~= n;error(['Incompatible # of rows for X and Y']);end% Precision for convergenceepsilon=eps;% # of components kepts% Initialistion% The Y setU=zeros(n,nfactor);C=zeros(nq,nfactor);% The X setT=zeros(n,nfactor);P=zeros(np,nfactor);W=zeros(np,nfactor);b=zeros(1,nfactor);R2_X=zeros(1,nfactor);R2_Y=zeros(1,nfactor);Xres=X;Yres=Y;SS_X=sum(sum(X.^2));SS_Y=sum(sum(Y.^2));for l=1:nfactort=normaliz(Yres(:,1));t0=normaliz(rand(n,1)*10);u=t;nstep=0;maxstep=100;while ( ( (t0-t)'*(t0-t) > epsilon/2) & (nstep < maxstep));nstep=nstep+1;disp(['Latent Variable #',int2str(l),' Iteration #:',int2str(nstep)]) t0=t;w=normaliz(Xres'*u);t=normaliz(Xres*w);% t=Xres*w;c=normaliz(Yres'*t);u=Yres*c;end;disp(['Latent Variable #',int2str(l),', convergence reached at step ',...int2str(nstep)]);%X loadingsp=Xres'*t;% b coefb_l=((t'*t)^(-1))*(u'*t);b_1=u'*t;% Store in matricesb(l)=b_l;P(:,l)=p;W(:,l)=w;T(:,l)=t;U(:,l)=u;C(:,l)=c;% deflation of X and YXres=Xres-t*p';Yres=Yres-(b(l)*(t*c'));R2_X(l)=(t'*t)*(p'*p)./SS_X;R2_Y(l)=(t'*t)*(b(l).^2)*(c'*c)./SS_Y;end%Yhat=X*B_pls;X_rec=T*P';Y_rec=T*diag(b)*C';%Y_residual=Y-Y_rec;%% Bring back X and Y to their original units%Xori_rec=X_rec*diag(S_X)+(ones(n,1)*M_X);Yori_rec=Y_rec*diag(S_Y)+(ones(n,1)*M_Y);%Unscaled_Y_hat=Yhat*diag(S_Y)+(ones(n,1)*M_Y);% The Wstart weights gives T=X*Wstar%Wstar=W*inv(P'*W);B_pls=Wstar*diag(b)*C';%% Bpls_star Y=[1|1|X]*Bpls_star%Bpls_star=[M_Y;[-M_X;eye(np,np)]*diag(S_X.^(-1))*B_pls*diag(S_Y)] Bpls_star=[[-M_X;eye(np,np)]*diag(S_X.^(-1))*B_pls*diag(S_Y)];Bpls_star(1,:)=Bpls_star(1,:)+M_Y;%%%%%%%%%%%%% FunctionsHere %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function [f]=normaliz(F);%USAGE: [f]=normaliz(F);% normalize send back a matrix normalized by column% (i.e., each column vector has a norm of 1)[ni,nj]=size(F);v=ones(1,nj) ./ sqrt(sum(F.^2));f=F*diag(v);function z=zscore(x);% USAGE function z=zscore(x);% gives back the z-normalization for x% if X is a matrix Z is normalized by column% Z-scores are computed with% sample standard deviation (i.e. N-1)% see zscorepop[ni,nj]=size(x);m=mean(x);s=std(x);un=ones(ni,1);z=(x-(un*m))./(un*s);应用例子%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% example_pls.m: PLS example% RM3 Fall 2004% November 16 2004%% This script shows how to run% a Partial least square regression% (PLS).% Need Programs: PLS_nipals plotxyha% The example is the% Wine example from Abdi H. (2003)% See /~herve %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clearclc;disp(['Example of a PLS program. See Abdi H. (2003)']); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%************************************************************%% -> This is your title.%% -> Change it to fit your dataze_title=['PLS. Wines. '];%% **********************************************************%% This is the data matrix of the Predictors (IV)%% -> Change it for your exampleX=[...7 7 13 74 3 14 710 5 12 516 7 11 313 3 10 3];%%% get the # of rows andcolumns %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[nI,nJ]=size(X);%************************************************************ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -> These are your predictors names.% -> Change them to fit your data% You need as many names as mcX has columnsn=0;%n=n+1;nom_x(n)={' Price'};n=n+1;nom_x(n)={' Sugar'};n=n+1;nom_x(n)={' Alcohol'};n=n+1;nom_x(n)={' Acidity'};%%% Test the # of colums namesif nJ~=n;erreur(['Error -> (Wrong # of column names)!']);end%%*********************************************************** %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -> These are your observations names.% -> Change them to fit your datal=0;l=l+1;nom_r{l}={'W_1'};l=l+1;nom_r{l}={'W_2'};l=l+1;nom_r{l}={'W_3'};l=l+1;nom_r{l}={'W_4'};l=l+1;nom_r{l}={'W_5'};if nI~=l;erreur(['Error -> (Wrong # of row names)!']);end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% **********************************************************%% This is the data matrix of the Dependant Variables (DV)%% -> Change it for your exampleY=[...14 7 810 7 68 5 52 4 76 2 4];%%% get the # of rows andcolumns %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[nI2,nK]=size(Y);%************************************************************ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -> These are your predictors names.% -> Change them to fit your data% You need as many names as mcX has columnsm=0;%m=m+1;nom_y(m)={' Hedonic'};m=m+1;nom_y(m)={' Meat'};m=m+1;nom_y(m)={' Dessert'};%%% Test the # of colums namesif nK~=m;erreur(['Error -> (Wrong # of column names)!']);end%%*********************************************************** %%%%%%%%%%%% Call PLS_nipals %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%nfact2keep=2 ;%%% nfact gives the number of latent variables%%% the default is equal to the rank of X[T,P,W,Wstar,U,b,C,Bpls,Bpls_star,Xhat,Yhat,R2X,R2Y]=...PLS_nipals(X,Y,nfact2keep)%%%%%%%%%%%% Plot the Observations (T vectors) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%percent_of_inertiaX=100*R2X;percent_of_inertiaY=100*R2Y; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% The axes to keep for the plotsaxe_horizontal=1;axe_vertical=2; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%le_taux=[...' {\tau_X}_',int2str(axe_horizontal),'=',...int2str(percent_of_inertiaX(axe_horizontal)),'%,', ...' {\tau_X}_',int2str(axe_vertical),'=',...int2str(percent_of_inertiaX(axe_vertical)),'%', ...' {\tau_Y}_',int2str(axe_horizontal),'=',...int2str(percent_of_inertiaY(axe_horizontal)),'%,', ...' {\tau_Y}_',int2str(axe_vertical),'=',...int2str(percent_of_inertiaY(axe_vertical)),'%'];%%%% Plothere %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%figure(1);clf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Now plot the Observations Scores T%%ze_tRC=[ze_title,' Observations (T).'];titre=[ze_tRC, le_taux];plotxyha(T,1,2,titre,nom_r');axis('equal') ; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Now plot the X Scores W%%figure(2);clfze_tRC=[ze_title,' Predictors (W).'];titre=[ze_tRC, le_taux];plotxyha(W,1,2,titre,nom_x');axis('equal') ; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Now plot the Y Scores U%%figure(3);clfze_tRC=[ze_title,' DV (C -> Non Ortho).'];titre=[ze_tRC, le_taux];plotxyha(C,1,2,titre,nom_y');% axis('equal') ; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%作图函数plotxy定义function plotxy(F,axe1,axe2,titre,noms);% % ***** This is a Test Version *******% July 1998 Herve Abdi% Usage plotxy(F,axe1,axe2,title,names);% plotxy plots a MDS or PCA or CA graph of component #'Axe1' vs #'Axe2' % F is a matrix of coordinates% axe1 is the Horizontal Axis% axe2 is the Vertical Axis% title will be the title of the graph% Axes are labelled 'Principal Component number'% names give the names of the points to plot (def=numbers)nomdim='Dimension';[nrow,ncol]=size(F);if exist('noms')==0;noms{nrow,1}=[];for k=1:nrow;noms{k,1}=int2str(k);endendminx=min(F(:,axe1));maxx=max(F(:,axe1));miny=min(F(:,axe2));maxy=max(F(:,axe2));hold off; clf;hold on;rangex=maxx-minx;epx=rangex/10;rangey=maxy-miny;epy=rangey/10; axis('equal'); axis([minx-epx,maxx+epx,miny-epy,maxy+epy]) ; %axis('equal');%axis;plot ( F(:,axe1),F(:,axe2 ),'.');label=[nomdim,' '];labelx=[label, num2str(axe1) ];labely=[label, num2str(axe2) ];xlabel (labelx);ylabel (labely );plot([minx-epx,maxx+epx],[0,0] ,'b');% holdplot ([0,0],[miny-epy,maxy+epy],'b');for i=1:nrow,text(F(i,axe1),F(i,axe2),noms{i,1});end;title(titre);。
偏最小二乘建模的全过程MATLAB程序与结果
一.利用160组数据建PLS 回归模型。
>> clear >> load ysj>> X=ysj(:,1:8); >> Y=ysj(:,9:11); >> E0=stand(X); >> F0=stand(Y); >> A=rank(E0);>> [W,C,T,U,P,R]=bykpcr(E0,F0); W ：自变量轴权重； C ：因变量轴权重；T ：自变量系统主成分得分； U ：因变量系统主成分得分； P ：模型效应载荷量； R ：因变量载荷量。
（一）.确定主成分个数三种方法： （1）复测定系数：2221()hkk k h tr R F =⨯=∑复测定系数表示所提取的主成分的可解释变异信息占总变异的百分比。
当 h m =，复测定系数的值足够大时，可再第m 步终止主成分的提取计算。
通常20.85m R ≥即可。
>> RA=plsra(T,R,F0,A)RA =0.3390 0.4831 0.5731 0.6358 0.6488 0.6522 0.6531 0.6537结论：利用这个方法，无法确定。
（2）类似典型相关分析中的精度分析方法：>> [Rdx,RdX,RdXt,Rdy,RdY ,RdYt]=plsrd(E0,F0,T,A) Rdx =0.3034 0.4348 0.0539 0.1326 0.0082 0.0132 0.0331 0.0208 0.2661 0.1918 0.0549 0.1932 0.1852 0.0001 0.0416 0.0671 0.0400 0.1010 0.3281 0.0191 0.4557 0.0529 0.0002 0.0030 0.0206 0.0813 0.4868 0.0492 0.0469 0.3026 0.0021 0.0104 0.0016 0.0472 0.5869 0.0921 0.0126 0.1955 0.0101 0.0540 0.2667 0.2229 0.2517 0.0002 0.0447 0.0638 0.0634 0.08660.2746 0.1859 0.0112 0.0041 0.0006 0.0434 0.4569 0.02330.5467 0.4430 0.0018 0.0001 0.0072 0.0003 0.0008 0.0001RdX =0.2150 0.2135 0.2219 0.0613 0.0951 0.0840 0.0761 0.0332 RdXt =1.0000Rdy =0.0092 0.0002 0.1325 0.0438 0.0195 0.0019 0.0002 0.00030.0761 0.0613 0.0112 0.0568 0.0001 0.0025 0.0001 0.00060.4591 0.1697 0.0009 0.0000 0.0013 0.0010 0.0011 0.0001 RdY =0.1814 0.0771 0.0482 0.0336 0.0070 0.0018 0.0005 0.0003 RdYt =0.3498>> [V]=LJRdX(RdX)V =0.2150 0.4284 0.6504 0.7117 0.8068 0.8908 0.9668 1.0000（3）累计贡献率：>> [U]=LJGXL(X,T,A)U =0.1756 0.3846 0.5791 0.6308 0.7198 0.7981 0.8711 0.9043(4) 交叉有效性由于不会编交叉有效性的MATLAB 程序，因此，没再验证。
matlab最小二乘法求微分方程系数
matlab最小二乘法求微分方程系数在Matlab中，可以使用最小二乘法来求解微分方程的系数。
最小二乘法是一种统计方法，用于寻找一组参数，使得这组参数与数据之间的误差平方和最小化。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的步骤：1. 首先，定义微分方程的形式，如y'(t) = a * y(t) + b *u(t)，其中y'(t)表示y关于t的导数，a和b是待求解的系数，u(t)是输入函数。
2. 生成输入数据u(t)和对应的输出数据y(t)。
将输入数据和输出数据存储在向量中。
3. 创建误差函数，该函数计算模型预测值与实际输出值之间的误差。
根据微分方程的形式，计算预测值y_pred(t) = a * y(t-Δt) + b * u(t-Δt)，其中Δt是时间步长。
4. 使用Matlab的非线性最小二乘函数（如lsqnonlin）来求解最小二乘问题。
将误差函数作为目标函数，并给定初始猜测的参数值，通过迭代优化参数值以最小化误差函数。
5. 获取最优参数值。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的示例代码：```matlab% 定义微分方程形式 y'(t) = a * y(t) + b * u(t)% 生成输入数据 u(t) 和输出数据 y(t)% 将输入数据和输出数据存储在向量 u 和 y 中% 创建误差函数function error = diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt)a = x(1);b = x(2);y_pred = a * y(1:end-1) + b * u(1:end-1);error = y(2:end) - y_pred;end% 给定初始猜测的参数值x0 = [1, 1];% 使用 lsqnonlin 求解最小二乘问题coefficients = lsqnonlin(@(x) diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt), x0);% 获取最优参数值a = coefficients(1);b = coefficients(2);```在实际应用中，需根据具体的微分方程形式和数据进行适当的修改和调整。
偏最小二乘法matlab编程
一、起源与发展偏最小二乘法（partial least squares method，PLS）是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。
其实在早在70年代伍德(S.Wold)的父亲H Wold便在经济学研究中引入了偏最小二乘法进行路径分析，创建了非线性迭代偏最小二乘算法(Nonlinear Iterative Partial Least Squares algorithm，NIPALS)，至今仍然是PLS中最常用和核心的算法。
PLS在20世纪90年代引入中国，在经济学、机械控制技术、药物设计及计量化学等方面有所应用，但是在生物医学上偏最小二乘法涉及相对较少。
对该方法的各种算法和在实际应用中的介绍也不系统，国内已有学者在这方面做了一些努力，但作为一种新兴的多元统计方法，还不为人所熟知。
PLS是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
通常用于曲线拟合。
有人用下式来形容PLS：偏最小二乘回归≈多元线性回归分析＋典型相关分析＋主成分分析二、特点：与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：(1) 能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；(2) 允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；(3) 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；(4) 偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；(5) 在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。
偏最小二乘法的Matlab源码(2008-09-21 09:31:21)所谓偏最小二乘法，就是指在做基于最小二乘法的线性回归分析之前，对数据集进行主成分分析降维，下面的源码是没有删减的/greensim）。
function [y5,e1,e2]=PLS(X,Y,x,y,p,q) %% 偏最小二乘回归的通用程序%注释以“基于近红外光谱分析的汽油组分建模”为例，但本程序的适用范围绝不仅限于此% % 输入参数列表% X 校正集光谱矩阵，n×k的矩阵，n个样本，k个波长% Y 校正集浓度矩阵，n×m的矩阵，n个样本，m个组分% x 验证集光谱矩阵% y 验证集浓度矩阵% p X的主成分的个数，最佳取值需由其它方法确定% q Y的主成分的个数，最佳取值需由其它方法确定%% 输出参数列表% y5 x对应的预测值（y为真实值）% e1 预测绝对误差，定义为e1=y5-y% e2 预测相对误差，定义为e2=|(y5-y)/y|%% 第一步：对X,x,Y,y进行归一化处理[n,k]=size(X);m=size(Y,2);Xx=[X;x];Yy=[Y;y];xmin=zeros(1,k);xmax=zeros(1,k);for j=1:kxmin(j)=min(Xx(:,j));xmax(j)=max(Xx(:,j));Xx(:,j)=(Xx(:,j)-xmin(j))/(xmax(j)-xmin(j));endymin=zeros(1,m);ymax=zeros(1,m);for j=1:mymin(j)=min(Yy(:,j));ymax(j)=max(Yy(:,j));Yy(:,j)=(Yy(:,j)-ymin(j))/(ymax(j)-ymin(j));endX1=Xx(1:n,:);x1=Xx((n+1):end,:);Y1=Yy(1:n,:);y1=Yy((n+1):end,:);%% 第二步：分别提取X1和Y1的p和q个主成分，并将X1,x1,Y1,y1映射到主成分空间[CX,SX,LX]=princomp(X1);[CY,SY,LY]=princomp(Y1);CX=CX(:,1:p);CY=CY(:,1:q);X2=X1*CX;Y2=Y1*CY;x2=x1*CX;y2=y1*CY;%% 第三步：对X2和Y2进行线性回归B=regress(Y2,X2,0.05);%第三个输入参数是显著水平，可以调整%% 第四步：将x2带入模型得到预测值y3y3=x2*B;%% 第五步：将y3进行“反主成分变换”得到y4y4=y3*pinv(CY);%% 第六步：将y4反归一化得到y5for j=1:my5(:,j)=(ymax(j)-ymin(j))*y4(:,j)+ymin(j);end%% 第七步：计算误差e1=y5-y;e2=abs((y5-y)./y);function [MD,ERROR,PRESS,SECV,SEC]=ExtraSim1(X,Y)%% 基于PLS方法的进一步仿真分析%% 功能一：计算MD值，以便于发现奇异样本%% 功能二：计算各种p取值情况下的ERROR,PRESS,SECV,SEC值，以确定最佳输入变量个数[n,k]=size(X);m=size(Y,2);pmax=n-1;q=m;ERROR=zeros(1,pmax);PRESS=zeros(1,pmax);SECV=zeros(1,pmax);SEC=zeros(1,pmax);XX=X;YY=Y;N=size(XX,1);for p=1:pmaxdisp(p);Err1=zeros(1,N);%绝对误差Err2=zeros(1,N);%相对误差for i=1:Ndisp(i);if i==1x=XX(1,:);y=YY(1,:);X=XX(2:N,:);Y=YY(2:N,:);elseif i==Nx=XX(N,:);y=YY(N,:);X=XX(1:(N-1),:);Y=YY(1:(N-1),:);elsex=XX(i,:);y=YY(i,:);X=[XX(1:(i-1),:);XX((i+1):N,:)];Y=[YY(1:(i-1),:);YY((i+1):N,:)];end[y5,e1,e2]=PLS(X,Y,x,y,p,q);Err1(i)=e1;Err2(i)=e2;endERROR(p)=sum(Err2)/N; PRESS(p)=sum(Err1.^2); SECV(p)=sqrt(PRESS(p)/n); SEC(p)=sqrt(PRESS(p)/(n-p)); end%%[CX,SX,LX]=princomp(X);S=SX(:,1:p);MD=zeros(1,n);for j=1:ns=S(j,:);MD(j)=(s')*(inv(S'*S))*(s); end。
各种最小二乘法汇总(算例及MATLAB程序)
u(400)
⎟ ⎠
Matlab程序见附录 1。
1.2. 递推最小二乘算法
递推最小二乘算法公式：
^
^
^
θ (k) = θ (k −1) + K (k)[z(k) − h' (k)θ (k −1)]
K (k) = P(k −1)h(k)[h' (k)P(k −1)h(k) + 1 ]−1
(1.2)
Λ(k)
b2 a1 50 100 150 200 250 300 350 400 450
图 1 一般最小二乘参数过渡过程
4
盛晓婷 最小二乘算法总结报告
估计方差变化过程
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450
图 2 一般最小二乘方差变化过程
1.1. 一次计算最小二乘算法
⎛ ⎜
^
a1
⎞ ⎟
⎛ -1.4916 ⎞
^
θ
LS
=
⎜^ ⎜ a2 ⎜^ ⎜ b1
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
(
H
T L
H
L
)−1
H
T L
Z
L
=
⎜ ⎜
0.7005
⎟ ⎟
⎜1.0364 ⎟
⎜
⎟
(1.1)
⎜⎜⎝
^
b2
⎟⎟⎠
⎝ 0.4268 ⎠
⎛ Z (3) ⎞
⎛ hT (3) ⎞ ⎛ −Z (2) −Z (1)
图 1 一般最小二乘参数过渡过程 .....................................................4 图 2 一般最小二乘方差变化过程 ....................................................5 图 3 遗忘因子法参数过渡过程 ........................................................7 图 4 遗忘因子法方差变化过程 ........................................................8 图 5 限定记忆法参数过渡过程 ......................................................10 图 6 限定记忆法方差变化过程 ......................................................10 图 7 偏差补偿最小二乘参数过渡过程 ..........................................12 图 8 偏差补偿最小二乘方差变化过程 ..........................................12 图 9 增广最小二乘辨识模型 ..........................................................13 图 10 增广最小二乘参数过渡过程 ................................................14 图 11 广义最小二乘参数过渡过程 ................................................16 图 12 广义最小二乘方差变化过程 ................................................16 图 13 辅助变量法参数过渡过程 ....................................................18 图 14 辅助变量法方差变化过程 ....................................................18 图 15 二步法参数过渡过程 ............................................................20 图 16 二步法方差变化过程 ............................................................20
#matlab用于最小2乘法计算实例
计算法（最小二乘法）：2组数据：x 1, x 2, x 3….. x n 为测量数据列，比如半导体电阻的温度y 1, y 2, y 3….. y n 为测量数据列，比如半导体电阻的端电压计算相关系数e R X Y XY ⋅-=， 如|Re |很接近1，则x 和y 是线性关系。
可用y =a x +b 表示 22X Y X Xa Y X ⋅-=- ， b a Y X =- 其中： 1()/n i i X x n ==∑ ; 122()/n i i x X n ==∑ ; 1()/n i i Y y n ==∑ ; 122()/ni i y Y n ==∑ ; 1()/ni i i XY x y n ==∑ 计算Re ，a ，b 的matlab 语句：Re =(mean(x.*y)-(mean(x))* (mean(y)))/sqrt((mean(x.*x)-(mean(x))^2)*( (mean(y.*y)-(mean(y))^2)))a =(mean(x.*y)-(mean(x))* (mean(y)))/ ((mean(x.*x)-(mean(x))^2))b =mean(y)-a *mean(x)例如，对于半导体热敏特性实验：%本实验中用的半导体热敏电阻，它的阻值与温度关系近似满足011()0B T T R R e -=式中R 0为T 0 时的电阻（初值）， R 是温度为T 时的电阻，B 为温度系数（热敏指数）。
B 在工作温度范围内并不是一个严格的常数，但在我们的测量范围内，它的变化不大。
%将上式变形得到： 1ln R B C T=⋅+ 以ln R 为纵轴，1/T 为横轴做图，直线的斜率即为B 值。
%亦可以用计算法(最小二乘法)求出B 和C,matlab 计算如下：t=[10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30] %输入热敏电阻的温度数据(摄氏T=273.17+t %换算为热力学温度u=[110,108,103,97,93,89,84,80,76,72,69,65,62,59,56,54,51,49,47,45,43] %输入热敏电阻二端的电压数据(m R=u.*50%计算热敏电阻的阻值，实验中通过热敏电阻的电流为20uAx=1./T %lnR=B/T+C , 作变量代换：令y= lnR ，x=1/Ty=log(R) %matlab中log表示自然对数lnRe=(mean(x.*y)-(mean(x))* (mean(y)))/sqrt((mean(x.*x)-(mean(x))^2)*( (mean(y.*y)-(mean(y))^2)))B=(mean(x.*y)-(mean(x))* (mean(y)))/ ((mean(x.*x)-(mean(x))^2))C=mean(y)-B*mean(x)%输入自己的温度t，电压u数据组，复制到matlab命令窗口，就可得结果。
数学建模MATLAB算法大全第30章 偏最小二乘回归
-531-第三十章 偏最小二乘回归在实际问题中，经常遇到需要研究两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量（常称为自变量或预测变量）去预测另一组变量（常称为因变量或响应变量），除了最小二乘准则下的经典多元线性回归分析（MLR ），提取自变量组主成分的主成分回归分析（PCR）等方法外，还有近年发展起来的偏最小二乘（PLS）回归方法。
偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量（样本量）又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。
偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容，提供更丰富、深入的一些信息。
本章介绍偏最小二乘回归分析的建模方法；通过例子从预测角度对所建立的回归模型进行比较。
§1 偏最小二乘回归考虑p 个变量p y y y ,,,21"与m 个自变量m x x x ,,,21"的建模问题。
偏最小二乘回归的基本作法是首先在自变量集中提出第一成分1t （1t 是m x x ,,1"的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息）；同时在因变量集中也提取第一成分1u ，并要求1t 与1u 相关程度达到最大。
然后建立因变量p y y ,,1"与1t 的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法中止。
否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。
若最终对自变量集提取r 个成分r t t t ,,,21"，偏最小二乘回归将通过建立p y y ,,1"与r t t t ,,,21"的回归式，然后再表示为p y y ,,1"与原自变量的回归方程式，即偏最小二乘回归方程式。
偏最小二乘回归(基于MATLAB自带函数实现)
%样本为n*p的矩阵，n为样本数，p为每个样本的自变量维度（自变量个数）%输出为n*m的矩阵，n为样本数，m为每个样本的因变量维度%交叉验证过程分别计算h个成分数的加扰动预测误差PRESS以及h-1个成分数的预测误差。
clc;clear;load('sample_alldata.mat');sample=10000*sample_alldata(:,2:end-1);wave_s=34;wave_e=464;data_train=sample(1:65,wave_s:wave_e);data_predict=sample(66:end,wave_s:wave_e);target_out=sample_alldata(1:65,end);%训练集data_predict=data_predict/max(data_predict);%测试predict_out=sample_alldata(66:end,end);num=size(data_train,1);%训练集样本数for i=1:num%数据标准化data_train(i,:)=zscore(data_train(i,:));endn=size(data_train,2);%自变量维度m=size(target_out,2);%因变量维度%for i=1:num-1%for j=1:num% [XL,YL,XS,YS,beta,PCTVAR,MSE]=plsregress(data_train,target_out,i);%end%endhandleofwaitbar=waitbar(0);%设置进度条便于观察%交叉验证SS=[];PRESS=[];Q=[];mse=[];for h=2:num-2 %分别验证选取不同的成分数时，成分数不能多于样本数ncomp=h;%成分数[XL,YL,XS,YS,beta,PCTVAR,MSE]=plsregress(data_train,target_out,ncomp-1);%所有的样本建模，但成分数少一（h-1个成分）yfit=[ones(size(data_train,1),1) data_train]*beta;%所有样本的模型预测值res=yfit-target_out;%误差向量SS_h1=sum(res.^2);%平方和mse=[mse sum(MSE(2,:).^2)];SS=[SS SS_h1];PRESS_h=0;for i=1:num; %所有样本都轮流抽出来一次data_train_cv=data_train;target_out_cv=target_out;data_train_cv(i,:)=[];%去掉一行（去掉一个样本）target_out_cv(i,:)=[];[XL,YL,XS,YS,beta,PCTVAR,MSE]=plsregress(data_train_cv,target_out_cv,ncomp);%减少一个参与建模的样本，但是增加一个成分来建模,同时，每次建模抽取未参与建模的一个样本来进行预测。
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一、起源与发展
偏最小二乘法（partial least squares method，PLS）是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。
其实在早在70年代伍德(S.Wold)的父亲H Wold便在经济学研究中引入了偏最小二乘法进行路径分析，创建了非线性迭代偏最小二乘算法(Nonlinear Iterative Partial Least Squares algorithm，NIPALS)，至今仍然是PLS中最常用和核心的算法。
PLS在20世纪90年代引入中国，在经济学、机械控制技术、药物设计及计量化学等方面有所应用，但是在生物医学上偏最小二乘法涉及相对较少。
对该方法的各种算法和在实际应用中的介绍也不系统，国内已有学者在这方面做了一些努力，但作为一种新兴的多元统计方法，还不为人所熟知。
PLS是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
通常用于曲线拟合。
有人用下式来形容PLS：
偏最小二乘回归≈多元线性回归分析＋典型相关分析＋主成分分析
二、特点：
与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：
(1) 能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；
(2) 允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；
(3) 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；
(4) 偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；
(5) 在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。
偏最小二乘法的Matlab源码(2008-09-21 09:31:21)
所谓偏最小二乘法，就是指在做基于最小二乘法的线性回归分析之前，对数据集进行主成分分析降维，下面的源码是没有删减的
/greensim）。
function [y5,e1,e2]=PLS(X,Y,x,y,p,q) %% 偏最小二乘回归的通用程序%
注释以“基于近红外光谱分析的汽油组分建模”为例，但本程序的适用范围绝不仅限于此% % 输入参数列表
% X 校正集光谱矩阵，n×k的矩阵，n个样本，k个波长
% Y 校正集浓度矩阵，n×m的矩阵，n个样本，m个组分
% x 验证集光谱矩阵
% y 验证集浓度矩阵
% p X的主成分的个数，最佳取值需由其它方法确定
% q Y的主成分的个数，最佳取值需由其它方法确定%
% 输出参数列表
% y5 x对应的预测值（y为真实值）
% e1 预测绝对误差，定义为e1=y5-y
% e2 预测相对误差，定义为e2=|(y5-y)/y|
%% 第一步：对X,x,Y,y进行归一化处理
[n,k]=size(X);
m=size(Y,2);
Xx=[X;x];
Yy=[Y;y];
xmin=zeros(1,k);
xmax=zeros(1,k);
for j=1:k
xmin(j)=min(Xx(:,j));
xmax(j)=max(Xx(:,j));
Xx(:,j)=(Xx(:,j)-xmin(j))/(xmax(j)-xmin(j));
end
ymin=zeros(1,m);
ymax=zeros(1,m);
for j=1:m
ymin(j)=min(Yy(:,j));
ymax(j)=max(Yy(:,j));
Yy(:,j)=(Yy(:,j)-ymin(j))/(ymax(j)-ymin(j));
end
X1=Xx(1:n,:);
x1=Xx((n+1):end,:);
Y1=Yy(1:n,:);
y1=Yy((n+1):end,:);
%% 第二步：分别提取X1和Y1的p和q个主成分，并将X1,x1,Y1,y1映射到主成分空间
[CX,SX,LX]=princomp(X1);
[CY,SY,LY]=princomp(Y1);
CX=CX(:,1:p);
CY=CY(:,1:q);
X2=X1*CX;
Y2=Y1*CY;
x2=x1*CX;
y2=y1*CY;
%% 第三步：对X2和Y2进行线性回归
B=regress(Y2,X2,0.05);%第三个输入参数是显著水平，可以调整
%% 第四步：将x2带入模型得到预测值y3
y3=x2*B;
%% 第五步：将y3进行“反主成分变换”得到y4
y4=y3*pinv(CY);
%% 第六步：将y4反归一化得到y5
for j=1:m
y5(:,j)=(ymax(j)-ymin(j))*y4(:,j)+ymin(j);
end
%% 第七步：计算误差
e1=y5-y;
e2=abs((y5-y)./y);
function [MD,ERROR,PRESS,SECV,SEC]=ExtraSim1(X,Y)
%% 基于PLS方法的进一步仿真分析
%% 功能一：计算MD值，以便于发现奇异样本
%% 功能二：计算各种p取值情况下的ERROR,PRESS,SECV,SEC值，以确定最佳输入变量个数
[n,k]=size(X);
m=size(Y,2);
pmax=n-1;
q=m;
ERROR=zeros(1,pmax);
PRESS=zeros(1,pmax);
SECV=zeros(1,pmax);
SEC=zeros(1,pmax);
XX=X;
YY=Y;
N=size(XX,1);
for p=1:pmax
disp(p);
Err1=zeros(1,N);%绝对误差
Err2=zeros(1,N);%相对误差
for i=1:N
disp(i);
if i==1
x=XX(1,:);
y=YY(1,:);
X=XX(2:N,:);
Y=YY(2:N,:);
elseif i==N
x=XX(N,:);
y=YY(N,:);
X=XX(1:(N-1),:);
Y=YY(1:(N-1),:);
else
x=XX(i,:);
y=YY(i,:);
X=[XX(1:(i-1),:);XX((i+1):N,:)];
Y=[YY(1:(i-1),:);YY((i+1):N,:)];
end
[y5,e1,e2]=PLS(X,Y,x,y,p,q);
Err1(i)=e1;
Err2(i)=e2;
end
ERROR(p)=sum(Err2)/N; PRESS(p)=sum(Err1.^2); SECV(p)=sqrt(PRESS(p)/n); SEC(p)=sqrt(PRESS(p)/(n-p)); end
%%
[CX,SX,LX]=princomp(X);
S=SX(:,1:p);
MD=zeros(1,n);
for j=1:n
s=S(j,:);
MD(j)=(s')*(inv(S'*S))*(s); end。