怎样求y=Asin(ωx+ψ)的解析式
如何确定正弦型函数y=Asin（ωχ+ψ）的
如何确定正弦型函数y =A s i n (ωx +φ)的解析式ʏ朱亚奇由函数图像或部分图像确定解析式的关键是求出A ,ω,φ的值㊂一般可由图像上的最大值㊁最小值确定A 的值㊂因为T =2πω,所以往往通过求周期T 来确定ω的值㊂确定φ的两种常用方法:①代入法,把图像上的一个已知点代入(此时,A ,ω已知)或代入图像与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上);②五点法,寻找五点作图法中的第一个零点-φω,0作为突破口,第一点 (即图像上升时与x 轴的交点)为ωx +φ=0, 第二点 (即图像的 峰点 )为ωx +φ=π2, 第三点 (即图像下降时与x 轴的交点)为ωx +φ=π, 第四点 (即图像的 谷点 )为ωx +φ=3π2, 第五点 为ωx +φ=2π㊂例1 图1是函数y =A s i n (ωx +φ)|φ|<π2的图像的一部分,试确定其一个函数解析式㊂图1解:(方法1)由图知A =3㊂由T =5π6--π6 =π,可得ω=2πT =2㊂由图像过点-π6,0 ,可得-π6ˑ2+φ=0,解得φ=π3㊂故函数y =3s i n 2x +π3 ㊂(方法2)由图可得A =3㊂由图知过点π3,0 和5π6,0,根据五点作图法可得π3㊃ω+φ=π,5π6㊃ω+φ=2π,解得ω=2,φ=π3㊂故函数y =3s i n 2x +π3㊂解决同一个问题,可以有多种途径,同学们在解题时,要注意提高发散思维能力,这样才能做到举一反三㊂例2 已知函数y =A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图像如图2所示,求此函数的解析式㊂图2解:由图知A =2,T 2=43-13=1,则T =2㊂由T =2πω=2,可得ω=π,这时函数y =2s i n (πx +φ)㊂由图像过点13,2 ,可得2s i n π3+φ =2,所以s i n π3+φ =1㊂又|φ|<π2,所以φ=π6㊂故函数y =2s i n πx +π6㊂A 由最值确定,ω由周期确定,周期通常通过特殊点观察求得,如相邻两个最大值㊁最小值点相差半个周期,φ由点在函数图像上列方程求得,确定φ值时,注意它的不唯一性,一般要求|φ|中最小的φ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)9知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
由函数y=Asin(ωx+φ)的图像求解析式
【解析】(1)依题意知，A＝2 2，T4＝6－2＝4， T＝16，∴ω＝π8，∴y＝2 2sinπ8x＋φ． 将点(2,2 2)代入 y＝2 2sinπ8x＋φ中， 得 2 2＝2 2sinπ4＋φ，即 sinπ4＋φ＝1． 而 0＜φ＜π，∴φ＝π4． ∴所求函数的解析式为 y＝2 2sinπ8x＋π4．
例2 如下图为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，试确 定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
练习 1：一正弦曲线的一个最高点为14，3，从相邻的最低点到 这最高点的图象交 x 轴于－14，0，最低点的纵坐标为－3，则这一正 弦曲线的解析式为( )
A．y＝3sinπx＋π4 B．y＝3sinπx－π4 C．y＝3sin2πx＋π8 D．y＝3sin2πx－π8
解析：依题意知 A＝3，T＝4×14＋14＝2，∴ω＝22π＝π，故可设 解析式为 y＝3sin(πx＋φ)，代入点14，3得，sinπ×41＋φ＝1，∴φ＋π4 ＝π2，φ＝π4，故解析式为 y＝3sinπx＋π4.
答案：A
【练习2】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0,|φ|＜π/2 )的图 象的一部分如图所示； (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程； (3)试写出f(x)的对称中心； (4)当x[0,π/2]时，求f(x)的值域.
练习2：
函数 y
Asin(x
),
(
A
0,
0,
|
|
)
的最小值是2，其图象相邻的最高点与最低点2横坐
标差的绝对值是3，且图象过点(0,1)，求函数解析
式.
例4 函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)图 象的一部分如图所示．
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
高一数学函数y=Asin(ωx+ψ)课件
进阶习题2
函数 y = sin(2x - π/6) 在区间 [0, π] 上的单调递增区间为 _______．
进阶习题3
函数 y = sin(x - π/6) 在区间 [0, π] 上的单调递减区间为 _______．
进阶习题4
函数 y = sin(2x + π/3) 在区间 [0, π/2] 上的单调递减区间为 _______．
高阶习题及解析
01
02
03
04
高阶习题1
函数 y = sin(x + π/3) 在区间 [0, π] 上的对称轴方程为 _______．
高阶习题2
函数 y = sin(2x - π/2) 在区 间 [0, π] 上的对称轴方程为
_______．
高阶习题3
函数 y = sin(x - π/6) 在区间 [0, π] 上的对称中心坐标为
参数A、ω、ψ的意义与作用
A的意义与作用
振幅A决定了正弦函数的最大值 和最小值，即函数的幅度大小。 增大A的值会使函数振幅增大，
反之则减小。
ω的意义与作用
角频率ω决定了正弦函数的周期 ，即函数重复出现的时间间隔。 增大ω的值会缩短周期，使函数 变化加快；减小ω的值则会延长
周期，使函数变化减慢。
ψ的意义与作用
ω的变化影响
改变ω的值会影响函数的周期，周期 的变化会导致函数图像的平移。同时 ，ω的变化也会影响函数在单个周期 内的变化速率。
03
CATALOGUE
函数y=asin(ωx+ψ)的应用实例
物理中的简谐振动与波动
简谐振动
在物理中，简谐振动是一种周期性的 来回运动。函数y=asin(ωx+ψ)可以 用来描述这种振动的位移随时间的变 化。其中，ω表示振动的角频率，ψ 表示初相，a表示振幅。
1.3.4 函数y=Asin(ωx+φ)解析式
1.3.4 函数sin()y A x ωϕ=+的解析式一、课题：函数sin()y A x ωϕ=+的解析式二、教学目标：1．会根据函数图象写出解析式；2．能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．三、教学重、难点：1．根据函数图象写解析式；2．根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．四、教学过程：（一）复习：由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法：（方法一）：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；（方法二）：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。
（二）新课讲解：1．根据函数图象求解析式例1：已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。
解：由图知：函数最大值为又∵0A >，∴A =由图知52632T πππ=-= ∴2T ππω==，∴2ω=， 又∵157()23612πππ+=，∴图象上最高点为7(12π，7)12πϕ⨯+，即7sin()16πϕ+=，可取23πϕ=-，所以，函数的一个解析式为2)3y x π=-． 2．由已知条件求解析式例2： 已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这 个函数的解析式。
解：由题意：5A =，24T π=， ∴22T ππω==， ∴4ω=， ∴5cos(4)y x ϕ=+， 又∵图象经过点5(0,)2-， ∴55cos 2ϕ-=， 即1cos 2ϕ=-， x3- 3π 56π 3O又∵0ϕπ<<， ∴23πϕ=， 所以，函数的解析式为25cos(4)3y x π=+． 例3：已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为最小值为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式。
函数y=Asin(ωx+φ)的解析式求法
2 的一段图象如图所示．
(1)求 f(x)的解析式．
f(x)＝3sin
2x－ π 5 10
．
5．已知函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)
A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2
的最小正周期为 2，且当 x＝1时，
3
f(x)取得最大值 2．
(1)求函数
f(x)的解析式．f(x)＝2sin
πx＋π 6
．
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思路点拨：可由最高点、最低点确定A，再由周期确定
ω，然后由图象过已知点确定φ.
解：方法一(逐一定参法)
由图象知振幅 A＝3，
又 T＝5π－
－π 6
＝π，
∴ω＝2π＝2．
6
T
由点
－π，0 6
，令－π6×2＋φ＝0，
得φ＝π， 3
∴y＝3sin
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(3)从寻找“五点法”中的第一零点－ωφ ，0(也叫初始点) 作为突破口．以 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调 递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第 一个点．
2．在研究 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω＞0)的性质时，注意采 用整体代换的思想．例如，它在 ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得 最大值，在 ωx＋φ＝32π＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
最高点ωx＋φ＝π2或最低点ωx＋φ＝32π不易出错，而用零点时 一定要分清是“上始点”(ωx＋φ＝0)，还是“下始点”(ωx＋φ
＝π)，否则将有可能得出错解．此外，若 φ 不在要求的范围内，
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径注意：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin )4(π-x 的图象是由y ＝sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二：教材改编2．为了得到函数y ＝2sin )32(π-x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．]函数y ＝2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三：易错自纠 5．要得到函数y ＝sin )34(π-x 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．三、典型例题题型一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 典例 已知函数y ＝2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin )32(π+x 的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练：(1)若把函数y ＝sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________．思维升华：y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 跟踪训练 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三：三角函数图象性质的应用 命题点1：三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin )6(ϕπ+x ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2：函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在),2(ππ上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 命题点3：三角函数图象性质的综合 典例 已知函数f (x )＝3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-，求当m 取得最小值时，g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间．思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(-，则函数f (x )的解析式为__________．四、反馈练习1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin )322(π+x ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B )1,3(-π，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos )33(π+x ，其中x ∈],6[m π，若f (x )的值域是]23,1[--，则m 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P )23,0(，则φ的值为________． 13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f )61(的值为________．.15．设函数f (x )＝sin )6(πω-x ＋sin )2(πω-x ，其中0＜ω＜3.已知f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。
人教版高中数学必修4怎样求y=Asin(ωxφ)的解析式
怎样求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式学习了正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题.这里振幅A常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=2πω来求得，问题的关键是求初相ϕ.本文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法.一、待定系数法分析正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A、ω、ϕ的三个方程，从而解出A、ω、ϕ，这就是待定系数法.例1 若函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<2π)的最小值是－2，周期为23π，且它的图象经过点(0,)，求此函数的解析式.解析：∵函数的最小值是－2，∴A=|－2|=2.∵函数的周期是23π，∴23π=2πω，解得ω=3.∵函数的图象经过点(0,),∴将x=0，y=及A=2代入y=Asin(ωx+ϕ)得－=2sinϕ，sinϕ=－2.∵0<ϕ<2π，∴y=54π或74π.故所求函数的解析式是：y=2sin(3x+54π)或y=2sin(3x+74π)例2 已知函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式.分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的12.∴2T=56π－6π=23π，即T=43π，∴ω=2Tπ=32又显然有A=2，下面只须求初相ϕ.设曲线与x轴交C，易知，C(2π,0)将A=2，ω=32，x=2π，y=0代入y=Asin(ωx+ϕ)得0=2sin(34π+ϕ).∴ϕ=kπ－34π，(k∈Z).注意到y=Asin(ωx+ϕ)的图象是由y=sinx的图象，经过振幅、周期变换，且向右平移而得，当k=0时，ϕ在区间[－π,π]上有解.∴ϕ=－34π，故函数的解析式是y=2sin(32x－34π).二、平移变换图1图2 我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)=Asin[ω(x+ϕω)]的图象，可以看成是由函数y=sinx 的图象经过下面变换而得到： y=sinx 的图象 →y=Asinx 的图象（振幅变换）→y=Asinωx 的图象（周期变换）→y=Asin[ω(x+ϕω)]的图象（平移变换），这里抓住特殊点的平移来求ϕ.例3 图2是正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个周期的图象，试求此函数的解析式.分析 这里2T =32π，∴T=3π，ω=23.∵函数的图象可以看成是y=sinx 的图象经过振幅变换、 周期变换后，再向左平移52π个单位.∴52π=ϕω，即ϕ= 54π·23=53π.下面只须再由图象过点(0,来确定A. 将x=0，y=及ϕ=53π代入y=Asin(ωx+ϕ)=Asin 53π，A=2，故函数的解析式是y=2sin(23x+53π).评注：由y=Asinωx 的图象经过平移得到y=Asin[ω(x+ϕω)]的图象，可从图像上特殊点的变化得到平移的规则，如本题中向左平移52π个单位等. 三、“五点法”我们知道，用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图，主要是作变量代换X=ωx+ϕ，由X 取0，2π，π，32π，2π来求出对应的x 的值，确定图象五个关键点的位置.而求其表达式，则相当于X ，x 已知，求ω与ϕ.例4 如图3，写出函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个表达式.解析： 易知，令X=ωx+ϕ.图象中的特征点(2,－)，(6,0)对应y=sinX 图象中五个关键点的两点(32π,－1)，(2π,0)，因此， 32262πωϕωϕπ⎧⋅+=⎪⎨⎪⋅+=⎩，解得854πωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴8πx+54π)评注： 建立x ，X 对应点间的联系，必须注意特征点是与y=sinx 图象上五个关键点中(0,0)，(2π,1)，(π,0)，(32π,－1)，(2π,0)的哪一个相对应，如当ω·2+ϕ=32π时，只能有ω·6+ϕ=2π.而已知图象求表达式，答案是不唯一的，但只是ϕ值不同，可以相差2kπ(k ∈Z).如当ω·6+ϕ=0时，由ω·2+ϕ=2π也可解得：ω=8π，ϕ=－34π.。
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怎样求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式
学习了正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题。
这里振幅A 常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=2π
ω
来求得，问题的关键是求初相ϕ。
本文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法。
一、待定系数法 分析正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A 、ω、ϕ的三个方程，从而解出A 、ω、ϕ，这就是待定系数法。
例1 若函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<2π)的最小值是－2，周期为23
π，且它的图象经过点(0,
)，求此函数的解析式。
解析： ∵函数的最小值是－2，∴A=|－2|=2。
∵函数的周期是
23π，∴23π=2πω
，解得ω=3。
∵函数的图象经过点(0,
),∴将x=0，y=
及A=2代入y=Asin(ωx+ϕ)
=2sin ϕ，sin ϕ=
－2.∵0<ϕ<2π，∴y=54π或74
π。
故所求函数的解析式是： y=2sin(3x+
54π)或y=2sin(3x+74
π
) 例2 已知函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式。
分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的1
2。
∴
2T =56π－6π=23
π
，即T=43π，∴ω=2T π=32
又显然有A=2，下面只须求初相ϕ。
设曲线与x 轴交C ，易知，C(2π,0)将A=2，ω=32，x=2
π
，
y=0代入y=Asin(ωx+ϕ)得0=2sin(34
π
+ϕ)。
∴ϕ=k π－34
π
，(k ∈Z)。
注意到y=Asin(ωx+ϕ)的图象是由y=sinx 的图象，经过振幅、周
期变换，且向右平移而得，当k=0时，ϕ在区间[－π,π]上有解。
∴ϕ=－34
π
，故函数的
解析式是y=2sin(32x －34
π
)。
二、平移变换 我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)=Asin[ω(x+ϕ
ω)]
的图象，可以看成是由函数y=sinx 的图象经过下面变换而得到： y=sinx 的图象 →y=Asinx
图1
图2 的图象（振幅变换）→y=Asin ωx 的图象（周期变换）→y=Asin[ω(x+ϕ
ω
)]的图象（平移变换），这里抓住特殊点的平移来求ϕ。
例3 图2是正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个周期的图象，试求此函数的解析式。
分析 这里2T =32
π
，∴T=3π，ω=23。
∵函数的图象可以看成是y=sinx 的图象经过振幅变换、
周期变换后，再向左平移52π个单位。
∴52π=ϕ
ω
，即ϕ=
54π·23
=53
π。
下面只须再由图象过点(0,)
来确定A 。
将x=0，y =及ϕ=
53π代入y=Asin(ωx+ϕ)53
π
，A=2，故函数的解
析式是y=2sin(23x+53
π
)。
评注：由y=Asin ωx 的图象经过平移得到y=Asin[ω(x+ϕ
ω
)]的图象，可从图像上特殊点
的变化得到平移的规则，如本题中向左平移52
π
个单位等。
三、“五点法” 我们知道，用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图，主要是作变
量代换X=ωx+ϕ，由X 取0，
2
π
，π，32π，2π来求出对应的x 的值，确定图象五个关
键点的位置。
而求其表达式，则相当于X ，x 已知，求ω与ϕ。
例4 如图3，写出函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0
，ω>0)的一个表达式。
解析： 易知令
X=ωx+ϕ。
图象中的特征点(2,－)，(6,0)对应y=sinX 图象中五个关键点的两点(
32
π
,－1)，(2π,0)，因此， 32262πωϕωϕπ⎧⋅+=⎪⎨
⎪⋅+=⎩，解得8
54
πωπϕ⎧
=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴8
πx+54π
)
评注： 建立x ，X 对应点间的联系，必须注意特征点是与y=sinx 图象上五个关键点中
(0,0)，(
2
π
,1)，(π,0)，(32π,－1)，(2π,0)的哪一个相对应，如当ω·2+ϕ=32π时，只能
有ω·6+ϕ=2π。
而已知图象求表达式，答案是不唯一的，但只是ϕ值不同，可以相差
2k
π(k ∈Z)。
如当ω·6+ϕ=0时，由ω·2+ϕ=
2π也可解得：ω=8
π
，ϕ=－34π。