单源最短路径问题(分支限界法)
第6章 分支限界法(新)
3
6.1 分支限界法的基本思想
2. 分支限界法基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜 索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结 点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿 子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其 余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结 点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空 时为止。
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6.5
上界函数
0-1背包问题
// n表示物品总数，cleft为剩余空间
while (i <= n && w[i] <= cleft) { cleft -= w[i]; b += p[i]; i++;
//w[i]表示i所占空间 //p n) b += p[i] / w[i] * cleft; // 装填剩余容量装满背包 return b; //b为上界函数
算法的while循环体完成对排列树内部结点的扩展。对于当前 扩展结点，算法分2种情况进行处理：
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6.7 旅行售货员问题
1、首先考虑s=n-2的情形，此时当前扩展结点是排列树中某 个叶结点的父结点。如果该叶结点相应一条可行回路且费用小于 当前最小费用，则将该叶结点插入到优先队列中，否则舍去该叶 结点。 2、当s<n-2时，算法依次产生当前扩展结点的所有儿子结点。 由于当前扩展结点所相应的路径是x[0:s]，其可行儿子结点是从 剩余顶点x[s+1:n-1]中选取的顶点x[i]，且(x[s]，x[i])是所给 有向图G中的一条边。对于当前扩展结点的每一个可行儿子结点， 计算出其前缀(x[0:s]，x[i])的费用cc和相应的下界lcost。当 lcost<bestc时，将这个可行儿子结点插入到活结点优先队列中。
单元最短路径问题 分支限界法
单元最短路径问题分支限界法【序】单元最短路径问题：分支限界法解析【引】在计算机科学中，图论问题一直是研究的热点之一。
而图的最短路径问题更是其中一个经典的困难问题。
在图中，单元最短路径问题就是要找到两个顶点之间的最短路径。
而在解决这个问题的过程中，我们可以借助分支限界法，来帮助我们找到最优的解。
本文将深度分析单元最短路径问题及分支限界法，以帮助读者全面理解并掌握这一问题解决方法。
【1】什么是单元最短路径问题？单元最短路径问题是图论中常见的一个问题，它要求在一个加权有向图或无向图中，找到两个给定顶点之间的最短路径。
该问题的解决方法包括了广度优先搜索、迪杰斯特拉算法等多种方法，其中分支限界法是一种常用的解决方法之一。
【2】分支限界法的基本思想分支限界法是一种通过搜索解空间来找到最优解的方法。
它通过将问题空间划分为一系列子问题，并不断搜索当前最优解的子空间，从而逐渐缩小问题空间，最终找到最优解。
【3】分支限界法在单元最短路径问题中的应用在解决单元最短路径问题时，分支限界法可以通过以下步骤来实施：1. 确定初始解和问题空间：选择一个顶点作为起始点，并设置一个初始解，例如将起始点的路径长度设置为0，其他顶点的路径长度设置为无穷大。
2. 扩展节点：从初始解开始，按照一定的扩展策略选择下一个节点进行扩展。
在单元最短路径问题中，我们可以选择将当前节点的邻接节点添加到解空间中。
3. 更新当前解：根据当前解空间中的节点，更新各节点的路径长度。
4. 剪枝：根据一定的条件，判断是否要剪去一些节点，从而缩小问题空间。
5. 重复上述步骤：不断迭代地重复上述步骤，直到找到最优解或者问题空间为空。
【4】为什么分支限界法适用于单元最短路径问题？分支限界法适用于单元最短路径问题的原因有以下几点：1. 分支限界法能够保证找到最优解。
通过不断地缩小问题空间，分支限界法能够找到最小的路径长度。
2. 分支限界法具有较高的搜索效率。
在每一步中，分支限界法都能够通过剪枝操作，排除一部分不可能达到最优解的节点，从而减少了搜索空间。
最短路径分支限界法
最短路径分支限界法最短路径问题是图论中的一个重要问题，涉及到在给定的图中找到两个顶点之间的最短路径。
在实际应用中，最短路径问题有着广泛的应用，比如导航系统中的路线规划、通信网络中的数据传输等。
为了解决最短路径问题，人们提出了许多算法，其中最短路径分支限界法是一种常用的方法之一。
最短路径分支限界法是一种穷举搜索算法，它通过不断地扩展当前路径，直到找到目标路径为止。
算法的核心思想是利用分支限界法来减少搜索空间，从而提高算法的效率。
具体而言，算法将搜索空间划分为若干个子空间，每次只对一个子空间进行搜索，从而避免了对整个搜索空间的穷举搜索，节省了时间和空间的开销。
最短路径分支限界法的基本步骤如下：1. 初始化：设置起始节点和目标节点，并初始化当前路径为空。
2. 扩展节点：从起始节点开始，按照某种策略选择一个节点进行扩展，将其加入当前路径。
3. 判断节点：判断当前路径是否到达目标节点，如果到达则得到一条候选路径，否则继续扩展。
4. 生成子节点：对当前节点生成所有可能的子节点，并计算子节点到起始节点的距离。
5. 选择子节点：从生成的子节点中选择一个作为下一个要扩展的节点，选择的策略可以根据具体情况进行调整。
6. 更新路径：将选中的子节点加入当前路径，并更新路径上的距离。
7. 剪枝操作：根据问题的特点，进行一定的剪枝操作，减少不必要的搜索。
8. 回溯操作：回溯到上一层节点，继续搜索其他子节点。
9. 终止条件：当搜索到达目标节点或者搜索空间为空时，算法终止。
最短路径分支限界法的关键在于选择合适的扩展策略和剪枝操作，以减少搜索空间。
常用的扩展策略包括贪心策略、A*算法等，而剪枝操作则可以根据具体问题的特点进行设计。
通过合理的策略选择和剪枝操作，最短路径分支限界法可以在较短的时间内找到最优解。
最短路径分支限界法虽然在解决最短路径问题中取得了一定的成果，但仍然存在一些局限性。
首先，算法的时间复杂度较高，特别是在处理大规模问题时，往往需要耗费大量的计算资源。
分支限界法
一、分支限界法：分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。
但在一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。
回溯法的求解目标是找出T 中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使用某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。
由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法在解空间树T上的搜索方式也不相同。
回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T。
分支限界法的搜索策略是：在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展对点。
为了有效地选择下一扩展结点，以加速搜索的进程，在每一活结点处，计算一个函数值（限界），并根据这些已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
二、分支限界法的基本思想：分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常见的有子集树和排列树。
在搜索问题的解空间树时，分支限界法与回溯法对当前扩展结点所使用的扩展方式不同。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，那些导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被子加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所求的解或活结点表为空时为止。
三、选择下一扩展结点的不同方式：从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支限界法。
最常见的有以下两种方式：1、队列式(FIFO)分支限界法：队列式分支限界法将活结点表组织成一个队列，并按队列的先进先出原则选取下一个结点为当前扩展结点。
第6章 分支限界法
通常采用最大堆或最小堆来实现优先队列式分支限界法求解问 题。
可以用如下方法求得最优解中的分量：1）对每个扩展结点保存
该结点到根结点的路径；2）在搜索过程中构建搜索经过的树结
构，在求得最优解时，从叶子结点不断回溯到根结点，以确定最
优202解0年中7月的19日各个分量。
21
提纲
一、分支限界法的基本思想 二、单源最短路径问题 三、装载问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、旅行售货员问题
E 使总的路程最短。
23
F GH I J K 43 42 32
L MN O P Q
2020年7月19日
17
分支限界法解旅行售货员问题
FIFO队列：
活结点队列： {{F{CED}G,{,GH,FD{,E{IH,,J{,GHIJEK{F,IJK,,}KIHG,J},KJ},}KI,K}}}}
B
2
3
4
1 30 2
2020年7月19日
24
2.2单源最短路径问题算法思想
用一最小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的 当前路长。
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展 后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中 取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依 次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩 展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到 顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则 将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结 点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。
[G] N, 0 =>N(25), O(0)
不搜索以不可行结点为根的子树
优先队列式分支限法：
[A] B, C => B(45), C(0)
分支限界法实验（单源最短路径）
分⽀限界法实验（单源最短路径）算法分析与设计实验报告第七次实验基本思想：附录：完整代码（分⽀限界法）Shorest_path.cpp//单源最短路径问题分⽀限界法求解#include#include#include#include"MinHeap2.h"using namespace std;templateclass Graph //定义图类{friend int main();public:void shortest_path(int); private:int n, //图的顶点数*prev; //前驱顶点数组Type **c, //图的邻接矩阵*dist; //最短距离数组};templateclass MinHeapNode //最⼩堆中的元素类型为MinHeapNode{friend Graph;public:operator int() const{return length;}private:int i; //顶点编号Type length; //当前路长};//单源最短路径问题的优先队列式分⽀限界法templatevoid Graph::shortest_path(int v){MinHeap> H(1000);//定义最⼩堆的容量为1000//定义源为初始扩展结点MinHeapNode E;//初始化源结点E.i=v;E.length=0;dist[v]=0;while(true)//搜索问题的解空间{for(int j=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]!=0)&&(E.length+c[E.i][j]{//顶点i到顶点j可达，且满⾜控制约束//顶点i和j之间有边，且此路径⼩于原先从源点i到j的路径长度dist[j]=E.length+c[E.i][j];//更新dist数组prev[j]=E.i;//加⼊活结点优先队列MinHeapNode N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);//插⼊到最⼩堆中}try{H.DeleteMin(E); // 取下⼀扩展结点}catch (int){break;}if(H.currentsize==0)//优先队列空{break;}}}int main(){int n=11;int prev[12]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};//初始化前驱顶点数组intdist[12]={1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000};//初始化最短距离数组cout<<"单源图的邻接矩阵如下："<int **c=new int*[n+1];for(int i=1;i<=n;i++) //输⼊图的邻接矩阵{c[i]=new int[n+1];for(int j=1;j<=n;j++){cin>>c[i][j];}}int v=1; //源结点为1Graph G;G.n=n;G.c=c;G.dist=dist;G.prev=prev;clock_t start,end,over; //计算程序运⾏时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();G.shortest_path(v);//调⽤图的最短路径查找算法//输出从源结点到⽬的结点的最短路径cout<<"从S到T的最短路长是："<for(int i=2;i<=n;i++)//输出每个结点的前驱结点{cout<<"prev("<}for(int i=2;i<=n;i++) //输出从源结点到其他结点的最短路径长度{cout<<"从1到"<}for(int i=1;i<=n;i++) //删除动态分配时的内存{delete[] c[i];}delete[] c;c=0;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显⽰运⾏时间cout< system("pause");return 0;}MinHeap.h#includetemplateclass Graph;templateclass MinHeap //最⼩堆类{templatefriend class Graph;public:MinHeap(int maxheapsize=10); //构造函数，堆的⼤⼩是10~MinHeap(){delete[] heap;} //最⼩堆的析构函数int Size() const{return currentsize;} //Size()返回最⼩堆的个数T Max(){if(currentsize) return heap[1];} //第⼀个元素出堆MinHeap& Insert(const T& x); //最⼩堆的插⼊函数MinHeap& DeleteMin(T& x); //最⼩堆的删除函数void Initialize(T x[],int size,int ArraySize); //堆的初始化void Deactivate();void output(T a[],int n);private:int currentsize,maxsize;T *heap;};templatevoid MinHeap::output(T a[],int n) //输出函数，输出a[]数组的元素{for(int i=1;i<=n;i++)cout<cout<}templateMinHeap::MinHeap(int maxheapsize){maxsize=maxheapsize;heap=new T[maxsize+1]; //创建堆currentsize=0;}templateMinHeap& MinHeap::Insert(const T& x){if(currentsize==maxsize) //如果堆中的元素已经等于堆的最⼤⼤⼩return *this; //那么不能在加⼊元素进⼊堆中int i= ++currentsize;while(i!=1 && x{heap[i]=heap[i/2];i/=2;}heap[i]=x;return *this;}templateMinHeap& MinHeap::DeleteMin(T& x) //删除堆顶元素{if(currentsize==0){cout<<"Empty heap!"<return *this;}x=heap[1];T y=heap[currentsize--];int i=1,ci=2;while(ci<=currentsize){if(ciheap[ci+1])ci++;if(y<=heap[ci])break;heap[i]=heap[ci];i=ci;ci*=2;}heap[i]=y;return *this;}templatevoid MinHeap::Initialize(T x[],int size,int ArraySize) //堆的初始化{ delete[] heap;heap=x;currentsize=size;maxsize=ArraySize;for(int i=currentsize/2;i>=1;i--){T y=heap[i];int c=2*i;while(c<=currentsize){if(cheap[c+1])c++;if(y<=heap[c])break;heap[c/2]=heap[c];c*=2;}heap[c/2]=y;}}templatevoid MinHeap::Deactivate() {heap=0;}。
第6章 分支限界法
6.3 装载问题
1. 问题描述
• 有一批共个集装箱要装上 2 艘载重量分别为 C1 和C2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且
w
i 1
n
i
c1 c2
• 装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案 可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出 一种装载方案。 • 如果一个给定装载问题有解，则采用装载策略
最短路径问题关键部分算法
while (true){ // 搜索问题的解空间 for (int j=1;j<=n;j++) if(c[E.i][j] <max && E.length+cE.i][j] < dist[j]) { // 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束 dist[j]=E.length+c[E.i][j]; //修正数值
bestx[j] = (bestE.LChild) ? 1 : 0; bestE = bestE.parent; }
学习要点
理解分支限界法的剪枝搜索策略 掌握分支限界法的算法框架，会描述队列变化
（1）队列式(FIFO)分支限界法
（2）优先队列式分支限界法 ：会确定优先级
通过应用范例学习分支限界法的设计策略
掌握两类例子每类2个例子：子集树、排列树
分支限界法与回溯法
（1）求解目标：基本相同 回溯法：通过回溯找出满足约束条件的所有解或最 优解 分支限界法：找出满足约束条件的一个解，或是在 满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解 （2）搜索方式：不同
3. 约束条件 1）显式约束：对分量xi的取值限定。
2）隐式约束：为满足问题的解而对不同分量之 间施加的约束。 4. 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式 约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
单源最短路径问题(分支限界法)
使用优先队列式分支限界法，用一极小堆来存储活结点表。其优 先级是结点所对应的当前路长，当前路长小的节点优先
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它 的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最 小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩 展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可 达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度 小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结 点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先 队列为空时为止。
else enode = (HeapNode) heap.removeMin();
}
总结：
分支限界法，通过目标函数和约束条件减少无效 操作，尽早发现剪枝点。适用于解决满足约束条 件的解中找出是目标函数值达到最大或最小的解。
所以单源最短路径很适合用分支限界法解决~~
•按照队列先进先出（FIFO） 原则选取下一个节点为扩展 节点。
•按照优先队列中规定的优先 级选取优先级最高的节点成 为当前扩展节点。
给定带权有向图G =(V,E)，其中 每条边的权是非负实数。另外， 还给定V中的一个顶点，称为源。 现在要计算从源到所有其它各顶 点的最短路长度。这里路的长度 是指路上各边权之和。这个问题 通常称为单源最短路径问题。
{ // 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束
dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];
p[j]=enode.i;
HeapNode node = new HeapNode(j,dist[j]);
heap.put(node); // 加入活结点优先队列
}
if (heap.isEmpty()) break;
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•按照队列先进先出（FIFO） 原则选取下一个节点为扩展 节点。
•按照优先队列中规定的优先 级选取优先级最高的节点成 为当前扩展节点。
给定带权有向图G =(V,E)，其中 每条边的权是非负实数。另外， 还给定V中的一个顶点，称为源。 现在要计算从源到所有其它各顶 点的最短路长度。这里路的长度 是指路上各边权之和。这个问题 通常称为单源最短路径问题。
在算法扩展结点的过程中，一旦 发现一个结点的下界不小于当前 找到的最短路长，则算法剪去以 该结点为根的子树。
在算法中，利用结点间的控制关 系进行剪枝。从源顶点s出发，2 条不同路径到达图G的同一顶点。 由于两条路径的路长不同，因此 可以将路长长的路径所对应的树 中的结点为根的子树剪去。
算法从源节点S开始S
a
b
c
计算当前最短路程为
2
3
4
6走bgmr，bgmp路
u
ed
gf
h
径。当前最短路径为 7，扩展得aeko.当前 5 最短路径为8.算法结
49
5
12
6
qk
ml
束
57
6 10
r
p
12
88
while (true)
{ // 搜索问题的解空间
for (int j=1;j<=n;j++)
if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j])
•分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的
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解空间树。
•在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成
2
为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可
行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中
3
•此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过 程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
被扩展，3个子节点被
插入堆中计算当前最
短路径为2将当前路径
最短的节点扩展，即
走au,ae,ad计算当前最
短路径为3，将其扩展，
走 bg,bf 计 算 当 前 最 短
路径为4，由先进先出
原则，走ch.
5
s
a
b
c
2
3
4
u ed g
f
h
4
95
12 6
单源路径问题的解空间树 节点旁数字为当前路长
s
当前最短路程为4，将其
else enode = (HeapNode) heap.removeMin();
}
总结：
分支限界法，通过目标函数和约束条件减少无效 操作，尽早发现剪枝点。适用于解决满足约束条 件的解中找出是目标函数值达到最大或最小的解。
所以单源最短路径很适合用分支限界法解决~~
使用优先队列式分支限界法，用一极小堆来存储活结点表。其优 先级是结点所对应的当前路长，当前路长小的节点优先
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它 的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最 小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩 展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可 达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度 小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结 点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先 队列为空时为止。
扩 展 即 走 aeq,aek; 计 算 最短路程为5，注意：当 前结点不小于已找到的 最短路程，剪枝：不再
a 2
u ed
b
3
g
f
c 4
h
扩展继续，最短路程为5， 5
4 95
12
6
将 其 扩 展 ， 即 bgm,bgl ； 计算最短路 径为 5.满足
q k10
计算当前最短路程6， 满足剪枝条件，剪枝
{ // 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束
dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];
p[j]=enode.i;
HeapNode node = new HeapNode(j,dist[j]);
heap.put(node); // 加入活结点优先队列
}
if (heap.isEmpty()) break;