一些知识点(基本函数,对称,周期)
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数的知识点
函数的知识点函数的学问点第一篇定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax’2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b’2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b’2-4ac0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;函数的学问点第三篇1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)推断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为冗杂，应先化简，再推断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);讨论函数的问题肯定要留意定义域优先的原则。
九年级所有函数知识点归纳
九年级所有函数知识点归纳在初中数学课程中，函数是一个非常重要的概念。
它作为数学中的基础概念之一，在解决实际问题时起着重要的作用。
接下来，我们将对九年级的所有函数知识点进行归纳和总结。
一、函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。
用数学符号表示为f(x) = y。
在函数的定义中，要求每一个自变量只对应唯一的因变量。
二、函数的表示方式函数可以通过多种方式来表示。
最常见的方式是函数的显式表达式，如y = 2x + 1。
还有函数的隐式表达式，如x² + y² = 1。
另外，函数还可以通过函数图像、函数表和函数关系式等方式来表示。
三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性可以分为增函数和减函数。
增函数是指在定义域内，随着自变量的增大，函数值也增大；减函数则相反。
3. 奇偶性：奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
4. 周期性：周期函数是指在一定范围内具有重复的规律性。
例如正弦函数和余弦函数就是周期函数，它们的周期是2π。
5. 对称性：函数的对称性包括轴对称和中心对称两种。
轴对称是指以某一条直线为对称轴，对称图像重合；中心对称则是指以某一点为中心，对称图像重合。
四、函数的基本类型1. 一次函数：一次函数是函数的一种特殊类型，其表达式为y= kx + b，其中k和b为常数。
2. 二次函数：二次函数是函数的另一种特殊类型，其表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数。
3. 绝对值函数：绝对值函数的表达式为y = |x|，其中x为实数。
4. 幂函数：幂函数是指函数的自变量为底数，指数为常数的函数。
例如y = x²、y = √x等。
5. 指数函数：指数函数是函数的自变量为指数，底数为常数的函数。
高三函数周期性和对称性知识点
高三函数周期性和对称性知识点在高三数学中，函数的周期性和对称性是一个重要的知识点。
了解和掌握函数的周期性和对称性可以帮助我们更加深入地理解和应用函数的性质。
本文将从周期函数、对称函数以及函数的应用等方面来介绍高三函数周期性和对称性的知识点。
一、周期函数周期函数是指在一定的区间内，函数的图像在某一特定规律下重复出现。
周期函数的特点是在一定的区间内有着相同的函数值。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
首先，我们来了解正弦函数和余弦函数。
正弦函数的图像是一条上下震荡的曲线，它的周期为2π。
也就是说，当自变量增加2π时，函数值会重新回到原来的值。
而余弦函数的图像也是一条上下震荡的曲线，它的周期也是2π。
正弦函数和余弦函数是非常常见的周期函数，在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
接下来，我们再来介绍一下正切函数。
正切函数的图像是一条摆动不定的曲线，它的周期为π。
也就是说，当自变量增加π时，函数值会重新回到原来的值。
正切函数相比于正弦函数和余弦函数而言，其周期要小一些。
二、对称函数对称函数是指函数的图像具有某种对称性质。
常见的对称函数有偶函数和奇函数。
偶函数是指函数的图像关于y轴对称。
也就是说，如果函数f(x)是一个偶函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = f(x)成立。
一个简单的例子就是二次函数y = x^2，它的图像关于y轴对称。
奇函数是指函数的图像关于原点对称。
也就是说，如果函数f(x)是一个奇函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)成立。
一个简单的例子就是一次函数y = x，它的图像关于原点对称。
三、函数的应用周期性和对称性的函数在实际问题中有很广泛的应用。
例如，振动现象的描述常常使用正弦函数、余弦函数或正切函数。
另外，对称函数的特点也为问题的求解提供了方便。
以周期函数为例，我们来看一个具体的应用。
假设有一个正弦函数表示一个物体的振动情况，我们希望求出物体完成一次振动的时间。
专题09 函数的基本性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性等)QG
专题09 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等）【重温课标】1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．2．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．3．结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．【解读考情】1．函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位．2．函数的奇偶性常与函数的单调性、对称性、最值等结合考查，综合考查知识的灵活应用能力，是高考考查的热点．3．函数的奇偶性，以选择、填空题居多，且是高考考查的热点．【知识点归纳】一、增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1) f (x )在区间D 上是增函数⇔ f (x 1)＜f (x 2)；(2) f (x )在区间D 上是减函数⇔ f (x 1)＞f (x 2)．【温馨提示】(1) 单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2) 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．(3) 两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，g (x )f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． 二、单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．三、函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：条件 (1) 对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2) 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1) 对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2) 存在x 0∈I ，使得 f (x 0)＝M 结论 M 为最大值M 为最小值四、判断或证明函数单调性的方法(1) （图象法）根据图象判断：函数的单调性在几何上表现为在某区间上函数图象从左到右是一致上升还是一致下降，因此可以根据图象的特点来判断．如：根据右图，指出函数y ＝f (x )的单调增区间与减区间．从图上可以看出函数y ＝f (x )在区间(－∞，－5]和(12，＋∞)内递增，在区间(－5，12]内递减． (2) （定义法）根据定义来判断或证明：这是最基本的方法，其步骤如下：第一步：取值，即设x 1，x 2是该区间内的任意两点，且x 1＜x 2．第二步：变形，变形有两种途径．一般采用作差法，即f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；如果是指数型一般采用作商比较法．第三步：定号，确定差f (x 1)－f (x 2)的符号，当符号不确定时，可以进行分区间讨论．如果是作商比较，则需比较变形结果与1的大小关系．第四步：判断，根据定义作出结论．(3) （导数法）用导函数方法去判断函数单调性．这种方法我们将在（高二）学习．(4) （结论法）判断函数单调性的常用结论① 在两个函数的公共定义域内，两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；② 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；③ 互为反函数的两个函数有相同的单调性；④ 如果f (x )在区间D 上是增(减)函数，那么f (x )在D 的任一子区间上也是增(减)函数； ⑤ 如果y ＝f (u )和u ＝g (x )单调性相同，那么y ＝f [g (x )]是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )单调性相反，那么y ＝f [g (x )]是减函数．简称为：同增异减．注：在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大简化我们的判断过程．五、函数单调性的应用单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有很重要的作用，具体体现在：(1) 利用单调性比较大小利用函数的增减性，可以把比较函数值的大小问题转化为自变量的大小比较问题． 如：已知函数y ＝0.8x 在R 上是减函数，因为－3.2＜－0.2，则0.8－3.2＞0.8－0.2．(2) 确定函数的值域或求函数的最值．如：函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增．则可以判定它的值域为[f (a )，f (b )]，若在[a ，b ]上递减，则函数值域为[f (b )，f (a )]且当f (x )在[a ，b ]上递增时，f (a )与f (b )分别为[a ，b ]上的最小值与最大值，当f (x )在[a ，b ]上递减时，f (a )与f (b )分别为[a ，b ]上的最大值与最小值．函数最值存在的两条定论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．*常用结论：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么：(1)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0 ⇔ f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)＞0 ⇔ f (x )在[a ，b ]上是增函数； (2) f (x 1)－f (x 2)x 1－x 20 ⇔ f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)＜0 ⇔ f (x )在[a ，b ]上是减函数． 【例题示范】例1．(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A .(－∞，－2)B .(－∞，1)C .(1，＋∞)D .(4，＋∞)【解析】由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间.因为函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，所以函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞).故选D .例2．(2020·海南卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2－4x －5)在(a ，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．[5，＋∞)【解析】令t ＝x 2－4x －5，由t ＞0，得x ＜－1或x ＞5，又f (x )＝log 2t 在定义域内单调递增，且t ＝x 2－4x －5在(5，＋∞)也单调递增，由复合函数的性质得a ≥5，故选D ．例3．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0成立． (1) 判断f (x )在[－1，1]上的单调性，并证明它；(2) 若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1) 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2，则－x 2∈[－1，1]，因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)， 由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 所以f (x )在[－1，1]上单调递增．(2) 因为f (1)＝1，f (x )在[－1，1]上单调递增．所以在[－1，1]上，f (x )≤1．问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1，1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2ma ＋m 2≥0．①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1，1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1) ≥0，所以m ≤－2，或m ≥2．所以m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2．【分段函数的单调性问题的解决策略】(1) 抓住对变量所在区间的讨论；(2) 保证各段上同增(减)时，要注意上、下段端点值间的大小关系；(3) 弄清最终结果取并集还是交集．例4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x ＞1）(4－a 2)x ＋2（x ≤1）是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4，8)C ．(4，8)D ．(1，8)【解析】函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞14－a 2＞0a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4，8)．选B ．例5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎦⎤－∞，138C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎭⎫138，2 【解析】由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＜0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138．选B ． 六、奇(偶)函数的定义及图象特征奇偶性定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数 关于原点对称【温馨提示】(1) 所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件．例如，y ＝x 2当定义域为区间(－∞，＋∞)时是偶函数，但当定义域为区间[－1，2]时却不具有奇偶性．(2) f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝1xf (0)无意义；又如f (x )＝2x －1满足f (0)＝0，但不是奇函数．但奇函数f (x )在x ＝0处有意义，必有f (0)＝0．(3) 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(4) 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．例如：y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则g (x )＝()()2f x f x +-为偶函数，h (x )＝()()2f x f x --为奇函数，且f (x )＝g (x )＋h (x )． (5) 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6) 既奇又偶的函数有无穷多个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．(7) 奇函数在定义域内满足()()f x f x =--，该式常用来求函数解析；偶函数在定义域内满足()()f x f x =-，该式也常用来求函数解析．【常用结论】①函数奇偶性满足下列性质：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②奇函数与奇函数复合还是奇函数，奇函数与偶函数复合是偶函数，偶函数与偶函数复合还是偶函数．【温馨提示】（这点非常注重要）f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x|)，该式把偶函数的负变量转化为正变量研究．【例题示范】例．y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，不等式f (x x ＋1)＜f (－12)的解集为________．【解析】因为y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数且在[0，＋∞)上递增，所以f (x x ＋1)＜f (－12)等价为f (|x x ＋1|)＜f (|－12|)＝f (12)，所以|x x ＋1|＜12，即2|x |＜|x ＋1|，平方得4x 2＜x 2＋2x ＋1，所以3x 2－2x －1＜0，解得－13＜x ＜1，即不等式的解集为(－13，1)． 七、函数奇偶性的判断与证明(1) 根据图象的对称性判断：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于y 轴成轴对称图形．反之，逆命题也都为真．(2) 根据定义判断或证明：其步骤为：第一步：考查定义域是否关于原点对称．若定义域不关于原点对称，则可断言函数y ＝f (x )不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，则进行下面步骤．第二步：判断f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立．既可采用定义直接推理，也可以利用转化的方法，先判断f (x )＋f (－x )＝0或f (x )－f (－x )＝0，究竟采用何种途径要具体问题具体分析．第三步：作出结论．若f (－x )＝f (x )则f (x )为偶函数，若f (－x )＝－f (x )则为奇函数，若f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数；若f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，则f (x )为非奇非偶函数．(3) 根据规律判断（详见前面的常用结论）：判断一个函数既不是奇函数也不是偶函数，取特殊值举反例即可！！．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4) 函数奇偶性的变形应用：对于高考中出现的要求证明函数奇偶性的试题，一般应该运用定义去证明，要注意灵活运用定义：当直接推证f (－x )＝f (x )，或f (－x )＝－f (x )遇到困难时，可以考虑证明等式f (－x )－f (x )＝0，或f (－x )＋f (x )＝0恒成立，或者证明f (－x )f (x )＝±1（f (x )≠0）恒成立，前一个技巧常用于含对数运算的函数，后一技巧常用于含指数运算的函数．【温馨提示】判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断．【常见的奇偶函数】(1) 奇函数：()ny x n =为奇数， y kx =，k y x =，tan y x =，sin y x =，x x y a a -=-，11x x a y a -=+，11x x a y a +=-， x xx x a a y a a ---=+，x xx x a a y a a --+=-，log )a y mx =，log )a y x =，log x nx n a y +-=，log x n x n a y -+=．(2) 偶函数：()y a a =为常数，n y ax =(n 为偶数)，||y k x =，cos y x =，+x x y a a -=，(||)y f x =；如果()y f x =为奇函数，那么()y f x =一定为偶函数．七、周期性与对称性1．周期函数：T 为函数f (x )的一个周期，则需满足的条件：(1) T ≠0；(2) f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意x 都成立．2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．【温馨提示(1) 定义应对定义域中的每一个x 值来说，若个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )不能说T 是f (x )的周期．(2) 在等式f (x ＋T )＝f (x )中，应强调加在自变量x 本身的常数才是周期，如f (x 2T )＝f (x 2，T 不是周期，而应写成f (x 2＋T )＝f [12(x ＋2T )]＝f (x 2)，2T 才是f (x )的周期． (3) 若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【必记结论】周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1) 设a 为非零常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：则函数y＝f (x )是周期函数，T ＝2|a |是它的一个周期．①f (x ＋a )＝－f (x )；②f (x ＋a )＝1f (x )；③f (x ＋a )＝－1f (x )；④f (x ＋a )＝k f (x )（k ≠0）； ⑤f (x ＋a )＝f (x －a )；⑥(x ＋a )＝f (x )＋1f (x )－1，⑦f (x ＋a )＝1－f (x )1＋f (x )． (2) 若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝|a －b |．(3) 若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数；(4) f (x )的图象既关于直线x ＝a 对称（即函数f (x )满足f (2a －x )＝f (x )）又关于直线x ＝b 对称（即函数f (x )满足f (2b －x )＝f (x )），则函数f (x )的周期T ＝2|a －b |(a ≠b )．（规律：和定对称 ，差定周期）(5) 设a 为非零常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，① f (x )为奇函数且其图象关于直线x ＝a 对称，则T ＝4|a |；② f (x )为奇函数且其图象对称中心为（a ，0），则T ＝2|a |；③ f (x )为偶函数且关于直线x ＝a 对称，则T ＝2|a |；④ f (x )为偶函数其图象对称中心为（a ，0）则T ＝4|a |．【识记规律】① 奇偶函数如果另外具有中心对称性或者轴对称性，则一定具有周期性，且周期是相邻对称中心之间距离的2倍，是相邻对称轴之间距离的2倍，是相邻对称轴与对称中心之间距离的4倍．② 如果一个函数图象既有中心对称性，又有轴对称性，则该函数一定具有周期性，且周期是相邻对称轴与对称中心之间距离的4倍．③ 如果一个函数图象有多个中心对称或对称轴，则一定具有周期性，且周期是相邻对称中心（对称轴）之间距离的2倍．轴对称性常用的结论(6) 若f (a －x )＝f (b ＋x )，那么函数f (x )图象的对称轴为x ＝a+b 2； (7) y ＝f (x )符合f (2a －x )＝f (x )等价于其图象的对称轴为x ＝a ，等价于f (a －x )＝f (a ＋x )；中心对称性常用的结论(8) 设a ，b ，c 为常数，若对于f (x )定义域内的任意x ，① 当f (a ＋x )+f (b －x )＝2c ，则y ＝f (x )的图象的对称中心为（a+b 2，c ）； ② 当f (2a －x )+f (x )＝2c ，则y ＝f (x )的图象的对称中心为（a ，c ）．其他结论若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称；若函数f (x )既是周期函数，则其导函数y ＝f ′(x )是周期函数；若函数f (x )是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )是偶函数；若函数f (x )是偶函数，则其导函数y ＝f ′(x )是奇函数；若函数g (x )是奇函数，f (x )＝g (x )+k ，则f (a )＋ f (－a )＝2k ﹒【例题示范】例1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．【解析】设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ．又y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x (x ＜0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0. 例2．已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是_______．【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1所以函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x )在R 上是增函数．由f (3－a 2)＞f (2a )得3－a 2＞2a ．解得－3＜a ＜1．例3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50【解析】因为f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝f [1－(1＋x )]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．又f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，f (1)＝2，f (2)＝f (1＋1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，而50＝4×12＋2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.例4．(多选)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1【解析】根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－5)＝－1，则f (2019)＝f (－5＋2024)＝f (－5)＝－1，D 正确．故选BCD ．例5．(多选)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x【解析】由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，对于A ，f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；对于B ，f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；对于C ，－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；对于D ，f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知BD 正确，故选BD.例6．(2019·新课标Ⅱ卷)已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-．若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即 3a =-．。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档
函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。
在数学中，研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。
本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。
如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，则称函数为奇函数。
1.偶函数的特点：（1）关于y轴对称，即函数的图像关于y轴对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则偶函数的导函数也是偶函数。
2.奇函数的特点：（1）关于原点对称，即函数的图像关于原点对称；（2）具有对称性质，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)；（3）如果函数f(x)在定义域内可导，则奇函数的导函数也是奇函数。
二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。
1.关于y轴对称：如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴左右对称。
2.关于x轴对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上下对称。
3.关于原点对称：如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x)，则函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点对称。
三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。
1.周期函数：如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像在段区间内重复出现。
2.周期函数的性质：（1）在一个周期内，函数具有相同的性质和特点；（2）相邻两个周期之间的函数值关系相同；（3）周期函数的图像在一个周期内是相似的。
四、函数的判断在实际问题中，我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结一、函数的定义和表示方式1.定义：函数是一种特殊关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相对应。
2.表示方式：函数可以用图表、解析式、关系式等方式表示。
二、函数的定义域、值域和对应关系1.定义域：函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。
2.值域：函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
3.对应关系：对于函数中的每个输入值，都有一个唯一的输出值与之对应。
三、函数的图象和图像1.图象：函数的图象是函数在平面直角坐标系中的表示，其所有的点坐标满足函数的对应关系。
2.图像：函数的图像是函数的图象在控制显示器或打印机上的可视化表现。
四、函数的性质1.单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
2.奇偶性：函数可以是奇函数（关于原点对称）或偶函数（关于y轴对称）。
3.周期性：函数可以是周期函数，即函数在一定区间内具有重复的规律。
4.奇点和间断点：函数的奇点是指函数在定义域内的特定点，其函数值不存在或趋于无穷；间断点是指函数在特定点不连续。
五、函数的极限与连续性1.极限：函数的极限是指当自变量趋于一些值时，函数值的趋向或趋近的特性。
2.连续性：函数在定义域内的所有点都连续，当且仅当函数在这些点的极限存在且等于这些点的函数值。
六、函数的导数与微分1.导数：函数的导数描述了函数在其中一点处的变化率。
导数表示为函数的斜率或函数的变化速率。
2.微分：函数的微分可以理解为函数在其中一点处的无穷小增量。
七、函数的极值与最值1.极值：函数在极值点处的函数值称为极大值或极小值。
极大值是函数在该点附近所有函数值中最大的值，极小值是函数在该点附近所有函数值中最小的值。
2.最值：函数的最大值和最小值称为函数的最值。
八、函数的反函数1.反函数：如果函数f的定义域与值域互换，且对于f的每一个输出值，存在唯一的输入值与之对应，则这个函数称为f的反函数。
以上是函数的基本性质的总结，函数理论是数学中的基础内容，也是其他学科中的重要概念。
高一三角函数知识点归纳总结公式
高一三角函数知识点归纳总结公式以下是高一三角函数的一些知识点和公式：1. 三角函数的基本性质：周期性：sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π。
奇偶性：sin(x) 是奇函数，cos(x) 是偶函数。
有界性：sin(x) 和 cos(x) 的取值范围都是 [-1, 1]。
2. 三角函数的定义域和值域：定义域：对于所有实数 x，sin(x) 和 cos(x) 的定义域都是 R。
值域：sin(x) 和 cos(x) 的值域都是 [-1, 1]。
3. 三角函数的周期性和对称性：周期性：sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π。
对称性：sin(x) 在(0, π) 上是增函数，在(π, 2π) 上是减函数；cos(x) 在(0, π/2) 和(π, 3π/2) 上是减函数，在(π/2, π) 和(3π/2, 2π) 上是增函数。
4. 三角函数的和差公式：sin(x+y) = sinxcosy + cosxsinycos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny5. 三角函数的倍角公式：sin2x = 2sinxcosxcos2x = cos²x - sin²xtan2x = 2tanx / (1 - tan²x)6. 三角函数的半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cosx) / 2]cos(x/2) = ±√[(1 + cosx) / 2]tan(x/2) = ±√[(1 - cosx) / (1 + cosx)]7. 三角函数的和差化积公式：sin(x+y)-siny=2sin((x-y)/2)cos((x+3y)/2)cos(x+y)-coxy=-2sin((x-y)/2)cos((x+3y)/2)8. 其他常用公式：sin²θ + cos²θ = 1（勾股定理）tanθ = sinθ / cosθ（正切的定义）arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x) 等反三角函数。
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以 2a 是函数的一个周期( a 0 )； (5) 若函数满足 f ( x a )＝1 ，同理可得 2a 是函数的一个周期( a 0 ). f ( x)
(6) 如果 y f ( x) 是 R 上的周期函数，且一个周期为 T，那么
函数
图象
y k<0
参数范围
单调区间或单调性 单调递增区间
k 0
k>0
一次函数
,
单调递减区间
y kx b k 0
O x
k 0
,
单调递减区间为
y
y=ax2+bx+c a<0 x=b 2a x
a0
b , ； 2a
f ( x nT ) f ( x)(n Z ) ．
(7) 函数图像关于 x a, x b 轴对称 T 2(a b) ． (8) 函数图像关于 a,0, b,0 中心对称 T 2(a b) ． (9) 函数图像关于 x a 轴对称，关于 b,0 中心对称 T 4(a b) ．
y
k y= (k>0) x
单调递减区间为
O x
k 0
, 0 和 0,
反比例函数 y
k x
y
k 0
O
单调递增区间为
x k y= (k<0) x
k 0
, 0 和 0,
y 0<a<1 y=ax a>1 1 O x
单调递减区间为
0 a 1
单调递增区间为
二次函数
O
b , . 2a
单调递增区间为
y ax 2 bx c
a 0
y
y=ax2+bx+c a<0
x=O
b 2a
a0
x
b , ； 2a
单调递减区间为
b , . 2a
,
单调递增区间为
指数函数 y a
x
（ a 0 且 a 1）
a 1
,
单调递减区间为
y
a>1 y=logax
对数函数
0 a 1
0,
单调递增区间为
y log a x
（ a 0 且 a 1）
O
1
x 0<a<1
a 1
0,
在 0, 上递减
0
y α<0 α>1 y=xα α=1 0<α<1 α=0 1 x
幂函数 y x
0
没有单调性
1 OBiblioteka 0在 0, 上递增关于函数对称与周期常用的结论（x 系数相反表对称，相同表周期） (1) 若 f x a f a x 或 f x f 2a x ，则 f x 关于 x a 对称. (2) 若 f x T f x ，则 T 是函数的一个周期 (3) 若满足 f ( x＋a )＝－f x ，则 f ( x＋2a)＝f [( x＋a)＋a]＝－f ( x＋a )＝f x ，所 以 2a 是函数的一个周期( a 0 )； (4) 若满足 f ( x＋a )＝