概率3_二元随机变量与相关性
n维随机变量（随机向量）的形式：
X () ( X1(), X 2 (),L , X n ())
n维随机变量的联合分布函数： F (x1, x2 ,L , xn ) P( X1 x1, X 2 x2 ,L , X n xn )
二维离散型随机变量的联合分布列：
pij P( X xi ,Y y j )，i, j 1, 2,L 二维连续型随机变量的联合分布函数：
5、拒绝域为：W { rs C 2} W {rs C } W {rs C }
因为不涉及总体分 布和总体分布参数， 因此属于非参数假 设检验。
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二维随机变量与相关性
斯皮尔曼等级相关系数示例
同前例（P130）。数据如下：
T甲 R1 T乙 R2
d T甲 R1 T乙 R2
Var( X ) Var(Y ) XY
为X与Y的相关系数。
相关系数与协方差是同符号的，即同正同负，所以从 相关系数的取值也可以反映X与Y的（线性）相关性。
相关系数可以看做是X与Y标准化后的协方差。
施瓦兹不等式：
[Cov( X
,Y )]2
2 2
XY
(Schwarz inequality)
where,
2、设定显著性水平alpha；
3、计算检验统计量r（如两变量服从正态分布）；
4、查“检验表”，的临界值C;
5、拒绝域为：W { r C 2} W {r C } W {r C }
因为原假设中选用 总体分布的相关系 数，因此属于参数 假设检验。
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二维随机变量与相关性
斯皮尔曼等级相关系数的假设检验
1、陈述原假设与备择假设：H0 : r 0 H1 : r 0, H0 : r 0 H1 : r 0, H0 : r 0 H1 : r 0
2、设定显著性水平alpha；
3、计算检验统计量 rs（如两变量服从正态分布）；
4、查“检验表”，的临界值C;
x N
i1 i
2
N
y N 2
i1 i
y N
i1 i
2
其中，z
xi
和z
y
j
分别表示xi
和y
的标准分。
j
显然，两样本容量应该相同。
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二维随机变量与相关性
皮尔逊积矩相关系数的假设检验
1、陈述原假设与备择假设：H0 : 0 H1 : 0, H0 : 0 H1 : 0, H0 : 0 H1 : 0
平方和2 （3713）
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二维随机变量与相关性
皮尔逊积矩相关系数示例（续）
相关系数计算式为：
r
N
N i 1
xi yi
x N
i1 i
y N
j1 j
N
x N 2
i1 i
x N
i1 i
2
N
y N 2
皮尔逊积矩相关系数示例
考察两位教师的判分标准是否一致。（P127） 两位教师对20个学生的英语作文判分给出，通过计算
两组分数的相关系数，来考察之间的相关性。
作文编号 教师甲的分数 教师乙的分数
1-20
……
…… 相应分数 相乘后求和 （3534）
总分1 （256）
总分2 （265）
平方和1 （3498）
Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)。
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5
二维随机变量与相关性
二维随机变量的相关系数
设（X，Y）是一个二维随机变量，且 Var(X ) 0,Var(Y ) 0。
则称 Corr( X ,Y ) Cov( X ,Y ) Cov( X ,Y )
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7
二维随机变量与相关性
不相关与独立
一般场合，独立必然导致不相关，但不相关推不出独 立。但在正态场合下两者等价。
TH.
在二维正态分布
N
(1,
2
,12
,
2 2
,
)
场合，不相关与
独立是等价的。
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8
二维随机变量与相关性
相关与因果
两变量有较强的相关关系（相关系数较大），并不意 味着两者之间有因果关系。例如某年的降雨量与出生率有 很强的相关性，但不能说高降雨量导致了高出生率，也不 能说高出生率导致了高降雨量。
• 协方差 > 0，称X与Y正相关，即同增同减； • 协方差 < 0，称X与Y负相关，即增减相反； • 协方差 = 0，称X与Y不（线性）相关。
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4
二维随机变量与相关性
二维随机变量的协方差
协方差的性质： 1. Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)； 2. 若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0，反之亦然； 3. Cov(X,Y)=Cov(Y,X)； 4. Cov(X,a)=0，a为常数； 5. Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)，a,b为常数; 6. Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)； 7. Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y),
xy
F (x, y)
p(u, v)dvdu
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3
二维随机变量与相关性
二维随机变量的协方差
设（X，Y）是一个二维随机变量，如果 E[(X E(X ))(Y E(Y ))] 存在，则称其为X与Y的协方差，或称为X与Y的相关（中心）
矩，并记为 Cov(X ,Y ) E[(X E(X ))(Y E(Y ))] 特别地： Cov(X , X ) Var(X )
即使两者有因果关系，也要特别注意：导致一件事情 发生的原因很多，不能说完全由它引起，所以要进一步考 虑多元线性回归问题。
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9
二维随机变量与相关性
相关性的描述与表示
变量间的两类基本关系：确定性关系与相关关系。 前者可以用函数关系表示出来，但后者没有确切的函
数关系。例如身高与体重的关系，相关但不确定。 相关关系又分为线性相关与非线性相关。（图略） 根据两变量变化的同向性，可以分为正相关与负相关；
2 X
Var
(
X
),
2 Y
Var(Y )
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6
二维随机变量与相关性
二维随机变量的相关系数
相关系数的性质：
1. 有界：1 Corr(X ,Y ) 1;
2. 相关系数大于（小于）0表示两变量正（负）相关，等 于0说明不线性相关；
3. 相关系数为 1 的充分必要条件是X与Y几乎处处有线性 关系，即存在a(不为0)和b，使得P(Y=aX+b)=1。其中 当Corr(X,Y)=1时，有a>0 ；当Corr(X,Y)=1，有a<0。
根据线性相关的强弱又可分为强相关和弱相关。 相关但不线性相关称为非线性相关。没有任何相关关
系称为不相关。 只有线性相关的两变量我们才能做线性回归。
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二维随机变量与相关性
相关性的量化
前面所讲的协方差和相关系数是两个基本的相关性指标。
以下讲： 1、皮尔逊积矩相关系数 Pearson product-moment correlation coefficient 2、斯皮尔曼等级相关系数 Spearman rank correlation coefficient
16 17
16 16.5
10 5.5 14 9.5
10 5.5 16 16.5
12 9.5 10 4.5
10 5.5 10 4.5
11
8
15 12.5
19 20
15 12.5
14 12
13
8
9
3
8
3
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二维随机变量与相关性
斯皮尔曼等级相关系数示例（续）
计算相关系数：
rs
1
d
17 18
17 19.5 -1.5 15 14.5 15 12.5
2
13 11
14 9.5 1.5 12 9.5 15 12.5 -3
8
2
12 6.5
10 5.5
7 1.5
15 14.5 17 19.5
18 19
பைடு நூலகம்
16 16.5
15 14.5 16 16.5
15 14.5 12 6.5
7
1
7 1.5
6
d N 2
i1 i
N (N 2 1)
6 409 1 20(202 1) 0.69
两者比较非常接近，说明同样的问题。 前者更准确。
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二维随机变量与相关性
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二维随机变量与相关性
皮尔逊积矩相关系数
适应于正态样本，满足相关系数的一般性质。
计算公式：
r
z z N
i1 xi yi
N 1
N
N i 1
xi yi
x N
i1 i
y N
j1 j
N
x N 2
i1 i
6
d N 2
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
二元正态分布的相关系数公式
二元正态分布的相关系数公式二元正态分布的相关系数公式是用来衡量两个随机变量之间的线性相关程度的。
相关系数是一个介于-1和1之间的值，它可以告诉我们两个变量之间的相关程度以及相关方向。
相关系数的公式如下所示：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))其中，ρ(X,Y)表示变量X和Y之间的相关系数，Cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
相关系数的取值范围是-1到1，当相关系数接近1时，表示X和Y 之间存在强正相关关系；当相关系数接近-1时，表示X和Y之间存在强负相关关系；当相关系数接近0时，表示X和Y之间没有线性关系。
通过相关系数，我们可以判断两个变量之间的相关程度。
当相关系数的绝对值越接近1时，说明两个变量之间的相关性越强。
如果相关系数为0，则表示两个变量之间不存在线性关系。
除了判断相关程度，相关系数还可以用来进行预测。
当我们知道一个变量的取值时，可以利用相关系数来预测另一个变量的取值。
如果两个变量之间的相关系数为正，那么当一个变量的取值较大时，另一个变量的取值也较大；如果相关系数为负，那么当一个变量的取值较大时，另一个变量的取值较小。
在实际应用中，相关系数经常用于金融领域的风险管理和投资组合优化。
通过计算不同资产之间的相关系数，可以评估投资组合的风险以及资产之间的相关性。
相关系数还可以用于分析市场行情，判断不同股票之间的相关性，从而制定投资策略。
除了二元正态分布的相关系数，还存在多元正态分布的相关系数。
多元正态分布的相关系数可以衡量多个随机变量之间的相关程度。
多元正态分布的相关系数可以通过协方差矩阵来计算，公式如下所示：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))其中，ρ(X,Y)表示变量X和Y之间的相关系数，Cov(X,Y)表示X和Y的协方差矩阵，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
多元正态分布的相关系数可以用来研究多个变量之间的相关性，并通过相关系数来判断变量之间的相关程度。
随机变量的独立性和相关性
随机变量的独立性和相关性随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，用于描述随机事件和随机现象的数值特征。
研究随机变量之间的关系对于深入理解概率和统计学的基本原理至关重要。
在这篇文章中，我们将探讨随机变量的独立性和相关性。
一、独立性独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，即一个随机变量的取值对另一个随机变量的取值没有任何影响。
如果两个随机变量X和Y 是独立的，那么它们满足以下条件：P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)其中P(X=x, Y=y)表示X等于x，Y等于y的概率，P(X=x)和P(Y=y)分别表示X等于x的概率和Y等于y的概率。
换句话说，当两个随机变量独立时，它们的联合概率等于各自的边缘概率的乘积。
独立性的意义在于可以简化概率计算。
如果X和Y是独立的，那么我们可以通过独立事件的性质计算它们的联合概率。
此外，独立性还可以应用于贝叶斯定理、条件概率和协方差等相关概念的推导与计算。
二、相关性相关性是指两个随机变量之间存在某种程度的关联或依赖关系。
如果两个随机变量X和Y相关，那么它们的取值是彼此依赖的，即当X的取值发生变化时，Y的取值也会随之变化。
在统计学中，相关性通过协方差和相关系数来度量。
协方差描述了两个随机变量之间的总体关系，定义为：cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]其中cov(X,Y)表示X和Y的协方差，E(X)和E(Y)分别表示X和Y的期望（均值）。
协方差的数值可以为负、零或正，分别表示负相关、无相关或正相关。
相关系数是协方差的标准化形式，用于度量两个随机变量之间的线性相关程度。
相关系数的取值范围在-1和1之间，越接近-1或1表示相关性越强，越接近0表示相关性越弱或不存在。
三、独立性与相关性的区别独立性和相关性是两个不同的概念。
独立性是指两个或多个随机变量之间的独立关系，即一个变量的取值对另一个变量的取值没有影响。
相关性是指两个随机变量之间存在某种关联或依赖关系，即一个变量的取值会随着另一个变量的取值而变化。
《概率论与数理统计》课件3-2 二维离散型随机变量
++
(2)规范性
pij = 1
i =1 j =1
边缘分布律
+
P X = xi } = P X = xi ,Y < + } = P{X = xi , Y = yj }
j= 1
+
= pij = pi •
j= 1
(i = 1，2， )
+
} } P Y = yj = P X < + ,Y = yj = P{X = xi , Y = yj } i= 1
+
}=
j=1 P{X = xi , Y = yj } =
pij = pi • (i = 1，2，)
j= 1
+
+
P Y = yi } = P X + ,Y = yi } =
P{X = xi , Y = yj }=
pij =
p •j
(j
=
1，2， )
i =1
i =1
3.2- P63— 1 2 3
A
C
B
D
提交
P
XY
( X, Y)X xi }=P{X xi Y
},
j1
pj
pij P{Y yj } P{X
i1
i 1, 2, ,
j 1, 2, ,
Y yi },
pi p j (X,Y)
X
Y
.
Y X
y1
y2
yj
x1
p 11 p 12
x2
p 21 p 22
p1j
p2 j
xi
pp
i1
且满足P{X1X2 = 0} = 1，则 P X1 = X2 } = ( )。
随机变量的独立性与相关性
随机变量的独立性与相关性随机变量是概率论和统计学中非常重要的概念，它描述了一种具有不确定性的数值变化过程。
在实际应用中，我们经常需要分析随机变量之间的关系，以便更好地理解和应对不确定性。
一、独立性的概念与性质独立性是指两个或多个随机变量之间的关系，在给定其他随机变量的取值时并不影响彼此的概率分布。
具体来说，对于随机变量X 和Y，如果其联合概率分布可以拆解为 X 和 Y 的边缘概率分布的乘积形式，即 P(X,Y) = P(X) * P(Y)，则称 X 和 Y 是独立的。
独立性具有以下性质：1. 互斥事件的独立性：如果事件 A 和事件 B 是互斥的，即同时发生的概率为零，那么 A 和 B 是独立的。
这可以通过检验P(A∩B) = P(A) * P(B) 来判断。
2. 集合独立性：对于任意多个事件，如果它们两两独立，那么它们是集合独立的。
也就是说，对于事件集合 {A1, A2, ..., An}，如果对于任意的i ≠ j，有P(Ai∩Aj) = P(Ai) * P(Aj)，则它们是集合独立的。
3. 独立性的性质传递：如果事件 A 和事件 B 是独立的，事件 B 和事件 C 也是独立的，则事件 A 和事件 C 是独立的。
这可以通过检验P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C) 来判断。
二、相关性的概念与性质相关性描述了两个随机变量之间的线性关系。
具体来说，对于随机变量 X 和 Y，它们之间的相关性可以通过协方差和相关系数来度量。
1. 协方差：协方差用于度量两个随机变量的总体误差。
设 X 和 Y是两个随机变量，它们的期望分别为μx 和μy，协方差定义为 Cov(X,Y) = E[(X-μx)(Y-μy)]。
2. 相关系数：相关系数是协方差的标准化形式，它的取值范围在 -1 到 1 之间。
设 X 和 Y 是两个随机变量，它们的标准差分别为σx 和σy，则相关系数定义为Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σx * σy)。
概率论 相关系数
概率论相关系数相关系数是研究两个变量之间关联程度的统计方法之一。
它用于衡量两个变量之间线性相关的强度和方向。
相关系数的取值范围在-1和+1之间，其中-1表示完全的负相关，+1表示完全的正相关，0表示无相关。
相关系数在概率论中起着重要的作用，它可以帮助我们确定两个变量之间是否有显著的关联，并且可以用于预测和建模。
相关系数被广泛应用于各种领域，包括经济学、金融学、社会科学、医学等。
计算相关系数需要首先计算两个变量的协方差。
协方差是衡量两个变量之间的总体变异程度的统计量。
然后，通过将协方差除以两个变量的标准差的乘积，可以得到相关系数。
相关系数的计算公式如下：r = cov(X, Y) / (std(X) * std(Y))其中，r表示相关系数，cov表示协方差，std表示标准差。
协方差和标准差的计算方法可以参考相关教材或文献。
除了计算相关系数，还需要对相关系数的结果进行解释和分析。
以下是一些相关参考内容，可以帮助读者理解和应用相关系数：1. 相关系数的解释：- 相关系数介绍：相关系数是用来衡量两个变量之间关联程度的统计方法。
它的取值范围在-1和+1之间，越接近于-1或+1表示关联程度越强，越接近于0表示关联程度越弱或无关。
- 相关系数的意义：相关系数可以帮助分析变量之间的线性关联程度，从而确定它们之间的统计关系。
- 相关系数的解释：解释相关系数的取值范围和意义，包括完全相关、完全负相关和无相关。
2. 相关系数的应用：- 相关系数的应用领域：介绍相关系数在不同学科和领域中的应用，如经济学、金融学、社会科学、医学等。
- 相关系数的作用：说明相关系数在建模和预测中的重要作用，包括解释变量之间的关联关系、预测未知值等。
3. 相关系数的解释和分析：- 相关系数的解释：如何解释相关系数的取值以及它们表示的关联程度。
- 相关系数的分析：如何分析相关系数的结果，判断两个变量之间的关联关系以及其强度和方向。
除了以上内容，还可以附加一些实际案例或研究结果，以帮助读者更好地理解相关系数的应用和分析方法。
二元随机变量的协方差
二元随机变量的协方差1.引言1.1 概述概述部分的内容：二元随机变量是概率论中的一个重要概念，它描述了两个随机变量之间的关系。
随机变量是指能够随机取得不同数值的变量，而二元随机变量则是指由两个随机变量构成的有序对。
在实际问题中，我们经常会遇到多个随机变量之间的关联关系，而协方差则是用来衡量这种关联关系的一种统计量。
协方差是统计学中常用的一个概念，它通过计算两个随机变量之间的差异程度来刻画它们的相关性，可以用来判断两个变量之间的线性关系。
当协方差为正值时，说明两个随机变量呈正相关，即其中一个随机变量增加，另一个随机变量也会增加；当协方差为负值时，说明两个随机变量呈负相关，即其中一个随机变量增加，另一个随机变量会减少；当协方差接近于零时，说明两个随机变量之间没有线性关系。
本文将介绍二元随机变量的定义和性质，并详细讨论协方差的概念及其计算方法。
在正文部分，我们会通过具体的例子和计算公式来说明如何计算二元随机变量的协方差。
同时，我们还会探讨协方差的作用和意义，以及二元随机变量协方差的应用场景。
了解二元随机变量的协方差对于理解随机变量之间的关联关系以及进行相关数据的分析具有重要意义。
通过深入研究二元随机变量的协方差，我们能够更好地理解概率统计学中的相关概念，并能够在实际问题中应用相关知识进行数据分析和决策。
接下来，我们将首先介绍二元随机变量的定义和性质。
1.2文章结构文章结构的目的是为了清晰地展示文章的组织结构，帮助读者更好地理解和阅读文章。
在本文中，我们将通过以下几个部分来呈现关于二元随机变量的协方差的内容：2. 正文：这部分将介绍二元随机变量的定义和性质，并详细讨论协方差的概念和计算方法。
我们将解释什么是二元随机变量，介绍其常见的性质，并且说明协方差的定义和作用。
此外，我们还会提供一些计算协方差的方法和示例，以帮助读者更好地理解和应用协方差的概念。
3. 结论：在这一部分，我们将总结二元随机变量的协方差的作用和意义。
随机变量的方差、协方差与相关系数
目 录
• 随机变量的方差 • 随机变量的方差 • 随机变量的协方差 • 相关系数 • 方差、协方差与相关系数的关系 • 实例分析
01
CATALOGUE
随机变量的方差
协方差的定义
协方差是衡量两个随机变量同时偏离其各自期望值程度的量，表示两个随机变量 之间的线性相关程度。
03
当两个随机变量的尺度相差很大时，直接计算协方差可能 得出不准确的结果，此时归一化的相关系数更为适用。
方差、协方差与相关系数的应用场景
方差在统计学中广泛应用于衡量数据的离散程度，例如在计算平均值、中位数等统计量时需要考虑数 据的离散程度。
协方差在回归分析、时间序列分析等领域中有着广泛的应用，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。
3
当只考虑一个随机变量时，方差即为该随机变量 与自身期望值之差的平方的期望值，因此方差是 协方差的一种特例。
协方差与相关系数的关系
01
相关系数是协方差的一种归一化形式，用于消除两个随机变量 尺度上的差异，计算公式为 $r = frac{Cov(X,Y)}{sigma_X sigma_Y}$。
02
相关系数的取值范围是 [-1,1]，其中 1 表示完全正相关，1 表示完全负相关，0 表示不相关。
详细描述
对称性是指如果随机变量X和Y的相关系数是r，那么随机变量Y和X的相关系数也是r。有界性是指相关 系数的绝对值不超过1，即|r|≤1。非负性是指相关系数的值总是非负的，即r≥0。
相关系数的计算
总结词
相关系数的计算方法有多种，包括皮尔 逊相关系数、斯皮尔曼秩相关系数等。
VS
详细描述
皮尔逊相关系数是最常用的一种，其计算 公式为r=∑[(xi-x̄)(yi-ȳ)]/[(n-1)sxy]，其 中xi和yi分别是随机变量X和Y的第i个观测 值，x̄和ȳ分别是X和Y的均值，sxy是X和 Y的协方差。斯皮尔曼秩相关系数适用于 有序分类变量，其计算方法是根据变量的 秩次进行计算。
二元随机变量
二、二元离散型随机变量的分布
1. 联合概率分布 定义2.6 设二元随机变量(, )的所有可能 值为(xi, yj), i, j=1,2,…, 且 P{=xi, =yj} =pij , i, j=1,2,…, (※) 则称(, )为二元离散型随机变量，称(※) 式为(, )的概率分布或分布律，或称为 和 的联合分布律。
二元随机变量及其分布函数
1.定义
设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是 S {e}, 设 X X ( e) 和 Y Y ( e) 是定义在 S 上的随机变量 , 由它们构成的一个向量 ( X , Y ), 叫作二元随机变量 或二维随机变量 .
X (e )
图示
S
e
Y (e )
有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
y y2 (x1, y2) (x2, y2)
表34表35yx01pxxi0149384958594859484959pyyj4959例3一个袋中有三个球依次标有数字122从中任取一个不放回袋中再任取一个设每次取球时各球被取到的可能性相等以从中任取一个不放回袋中再任取一个设每次取球时各球被取到的可能性相等以xy分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字求分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字求xy的分布律与分布函数
2o 0 F ( x, y ) 1,
且有
lim F ( x , y ) 0, 对于任意固定的 y , F ( , y ) x
对于任意固定的x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
第四节随机变量的相关系数和相关性
xyf ( x, y )dxdy
1 π r2
x 2 y 2 r 2
xydxdy 0.
于是，X和Y的相关系数ρ= 0．这样，X和Y虽然不相关， 但是不独立．
2、变量的相关关系 两个随机变量之间的关系大致有三种 ——函数关系、统计独立和统计相依．本节引言中曾指出 “若两个随机变量独立，则它们一定不相关，反之则未必”． 例4.27就是一例．下面再举一例说明这一事实 .
是以原点为圆心半径为r的圆，而随机变量X和Y的联合
分布是在圆上的均匀分布．
(1)易见，X和Y的联合密度为
1 2 , 若( x, y ) ?G， f ( x, y ) r 0 , 若( x, y) ?G．
其边缘密度，即X的密度f1 (x)和Y的密度f2(y)相应为
2 2 2 2 2 2 r x , 若 | x | r ， 2 2 r y , 若 | y | r， f1 ( x) πr f 2 ( y ) πr 0 ， 若 | x | r； 0 ， 若 | y | r．
反之未必，但是当X和Y的联合分布为二元正态分布时, “相关系数ρ=0”与“X和Y独立”等价．
(3) 相关系数ρ的绝对值等于1的充分必要条件, 是变量 X和Y（以概率１）互相为线性函数：
Y a bX , X c dY
2 确切地说，若 EX x，EY y；DX x2，DY y ； | | 1，则
的联合分布也未必是二元正态分布．
y x Y y ( X x ), X x (Y y ) x y
其中“±”应取与ρ的符号一致的符号．
2 ; ) 例4.25 假设随机向量(X,Y)服从参数为 (1 , 2 ; 12 , 2