北京市高一数学竞赛初赛试题与答案

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第十八届北京高中数学应用竞赛初赛试题(PDF版)

第十八届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答一、（满分20分）一片枫叶紧紧地嵌在一个矩形框内部，即矩形的各边上都有枫叶边缘上的点，如右图．假设这个矩形框的每一条边都可以伸缩，令枫叶不动，矩形框转动，依靠框的伸缩始终保持这片枫叶紧紧地嵌在它的内部，而框始终是矩形．请说明，存在一个转动位置，这时的这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形的内部．解：设转动前的矩形的长和宽的长度分别为a 和b ．若a −b =0，这个矩形就是正方形．若a −b ≠0，不妨设a −b ＜0．在矩形转动时，a −b 的值也会随之变化．当旋转90º后，得到的矩形和最初的矩形重合，但a −b ＞0了．即a −b 的值是在[0,90º]上的转动角θ的连续函数，设a −b =f (θ)，于是，f (0)＜0，f (90º)＞0，由函数的零点存在定理可知，在上述转动中，一定有一个位置θ0，使f (θ0)=0，即a −b =0，这时的矩形框就是正方形框．从而这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形框内部．二、（满分20分）野外失火，火势以失火点为中心，匀速的向四周呈圆形蔓延．在火情发生t 0时间后，消防队员发现火情，随即迅速开始修建防火带．（1）消防队员修建的防火带是以失火点为圆心的圆，从该圆上的某一点同时向这点的两侧分别以火蔓延的速度的4倍修建防火带，求防火带围成的最小面积S ．（2）再给出一个修建防火带的方案？使防火带围成的面积比S 小．解：（1）设修建防火带的时间为t ，火势的蔓延速度为v ，修建的圆形防火带的半径R 不小于火势蔓延的圆的半径r ．因为πR =4vt ，r =v (t 0+t )，当面积取S 时，R =r ，即04()vt v t t π=+，得04t t ππ=−，所以，S =πR 2=24()vt ππ=22216(4)v t ππ−．（2）因为04t t ππ=−≈3.65t 0，不难得出，如果（1）的方案是从A 处开始修建，那么，向失火点方向靠近一点儿取点B （比如AB =1.5t 0，如右图），从这一点向垂直于AB 的两边修建，至C 、D 后，再修建圆弧形，即整个防火带围成的形状比圆少了一个弓形，面积缩小了．（缩小面积的方案很多，只要计算无误即算正确）三、（满分20分）广发银行推出一款理财产品“广发银行薪满益足140925版网银专属版”，42天，投资起点50,000元，高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍．销售费率0.10%—0.30%，托管费率0.03%．年化收益率预计为5.35%，发售期为2014年9月24日至2014年10月7日，收益起始日期为10月8日，收益终止日期为11月19日，单利计算利息．理财产品中途若取出，则按银行活期利率计算利息．收益公式：理财收益=申购本金×理财产品实际年化收益率×365实际理财天数其中，实际年化收益率=年化收益率−销售费率−托管费率．BA CD示例：理财本金为5万元，实际理财天数为197天，理财产品到期实际年化收益率为5.70%，则投资者的理财收益=50000×5.7%×197365=1538.22元．华夏基金公司推出一款货币型基金“华夏财富宝”，该基金的收益分配是按日结转份额的，每日收益支付方式只采用红利再投资（即红利转基金份额）方式．该货币型基金除去法定休息日外，随时可以申购和赎回，没有时间的限制．一般规定在交易日的15:00前赎回，资金到帐为2个交易日（T+2日）．日每万份基金净收益和7日年化收益率的计算方法如下：日每万份基金净收益=当日基金份额的已实现收益当日基金份额总额×100007日年化收益率（%）=365717111100% 1000010000R R⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎞⎛⎞+××+−×⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪⎪⎩⎭⋯其中，R i为最近第i个自然日（包括计算当日）的每万份基金净收益．每万份基金净收益采用四舍五入保留至小数点后第4位，7日年化收益率采用四舍五入保留至百分号内小数点后第2位．表1为2014年10月8日至11月18日“华夏财富宝”的日每万份基金净收益和7日年化收益率．投资人手上恰有10万块钱，10月8日至11月19日期间想进行投资，请问：（1）为了获得最大收益，投资人是投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”还是“华夏财富宝”？两种投资的差额为多少？（2）投资人想尽可能地保持资金的流动性（保证尽可能多的资金随时可用），那么10万块对两种产品如何配置，能使得获得的收益介于两者中最高收益的95%与最小收益的110%之间？解：（1）“广发银行薪满益足140925版网银专属版”单利计算利息，投资42天，当销售费率为0.30%时，收益为42100000 5.35%0.3%0.03%577.64365×−−×=（）．“华夏财富宝”复利计算利息，投资42天，收益为12421000001111496.57100001000010000R R R ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞×+⋅+⋅⋅+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⋯．因此投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”收益高．二者比较，差额为81.07元．（2）获得的收益介于两者中最高收益的95%和最小收益的110%之间，即为收益小于577.64×0.95=548.758元，大于496.57×1.1=546.227元．设分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”x 1、x 2元，列方程为1124221242546.227(5.35%0.3%0.03%)3651111548.758100001000010000100000x R R R x x x ⎧<⋅−−×⎪⎪⎪⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎨+⋅+⋅+⋅⋅+−<⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎪⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪+=⎪⎩⋯解得1612465.43.726740x <<，但由于高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍，因此分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”62000元和38000元，或63000元和37000元．四、（满分20分）储药柜的结构类似于书橱，从上到下有若干层横向隔板，每一层称为一个储药槽．每个储药槽内用竖向隔板隔开，形成若干个存放药盒的储药格．一个储药槽内只能摆放同一种药品．右图为并排的三个储药柜．为保证药品从储药格内顺利取出，要求放入药盒后，储药格内留有不小于2mm 的横向间隙，同时还要求药盒在储药格内放置时不会出现并排重叠（一个格内不能放两个药盒）、药盒不能在格内侧翻或水平旋转．假设药盒的长度＞宽度＞厚度，并且药盒在格内放置时要求（长×宽）面在左右，（宽×厚）面在前后，（长×厚）面在上下．为方便储药柜的制造，储药格的宽度类型越少越好．不同尺寸的药盒种类有成百上千种．表2所列的仅仅是20个不同的样品．请你就这20种药盒尺寸规格，给出能够存放这些药盒，且满足上述要求的储药格宽度类型最少的设计方案（无需考虑存放药盒的数量多少）．表2（度量单位：mm ）药盒编号长度宽度厚度药盒编号长度宽度厚度112076241195553321257220121086218312576211395553349171151413476205125722115955533612085201685464671173726171257533878652018116761691175656191001001010744740201317738解：药盒的长，宽，厚分别为记为a ,b ,c ．则有a ＞b ＞c ．假设用d 表示出药槽内竖隔板之间的宽度．欲使药盒在格内放置时不会出现并排重叠，必须有c ＜d ＜2c （1）欲使药盒不能在格内侧翻，必须有d（2）欲使药盒不能在格内水平旋转，必须有d（3）由（1）、（2）、（3），隔板之间的宽度必须满足c ＜d ＜min{2c,,（4）由于a ≥b ，再由（4），得c ＜d ＜min{2c,}（*）当b时，有2c ．由（*），隔板之间的宽度应取2c ．当c ≤b≤时，有2c=．由（*），隔板之间的宽度应．综上，隔板之间的宽度应取．这表明，在满足不会出现并排重叠和侧翻、或0+2的储药格内可以存放的药盒厚度c 的范围是c 0≤c0．由表2可知，药盒的厚度分布在10mm 至56mm 之间，于是，最少需要五种间隔，见表（2）．为了寻找S 与A 的关系，先将A =4×10k 变形为4A =10k ，两边取对数，得k =lg 4A，又2=10lg2,于是S =5×2k =5(10lg2)lg 4A =5(10lg 4A )lg2=5(4A )lg2=(lg 254)A lg2=3.29A lg2=3.29A 0.301．即物种的数量是岛屿的面积的函数，其表达式是S =3.29A 0.301．表（2）度量单位：mm 储药格宽度存储药盒的厚度14.1+210.0—14.120.0+214.1—20.028.2+220.0—28.240.0+228.2—40.056.4+240.0—56.4。

2018-2019年高中数学北京高一竞赛测试检测试卷【1】含答案考点及解析

2018-2019年高中数学北京高一竞赛测试检测试卷【1】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.由下表可计算出变量的线性回归方程为（）543212A． B．C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，∴样本中心点为（3，1.2）代入选择支，检验可知A满足.故答案选A．考点：线性回归方程.2.下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据面动成体的原理即可解，一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥．一个直角梯形绕着直角边旋转一周得到圆台．解：该几体的上部分是圆锥，下部分是圆台，圆锥的轴截面是直角三角形，圆台的轴截面是直角梯形，∴这个几何图形是由直角三角形和直角梯形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到．故选A考点：旋转体点评：本题主要考查空间感知能力，难度不大，学生应注意培养空间想象能力．3.cos300°＝ ()A．－B．－C．D．【答案】C【解析】试题分析：利用诱导公式把要求的式子化为 cos（360°-60°）=cos60°，由此求得结果．解：cos300°=cos（360°-60°）=cos60°=，故选C考点：诱导公式和特殊角的三角函数值点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点．4.下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据基本初等函数的单调性知，在上单调递减；在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.考点：本小题主要考查基本初等函数的单调性.点评：考查函数的单调性，要记住基本初等函数的单调性，结合图象解决问题.5.若角和角的终边关于轴对称，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】试题分析：因为α，β角的终边关于y轴对称，所以，即α+β=π+2kπ，（k∈z），考点：终边相同的角。

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题(含答案)

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______．解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．所以f (1)=f (−1)=2．因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3()4()()3339f ，所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______．解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)．另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α．类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BLα=+ 因此，10.AM BM AK BL+= C BD A LK a y αMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24．由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立．于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______．解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB 因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+=βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+= 由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③ γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数： 1220202ii p p p x p ，i =1, 2, 3, …, 2020．易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积 12202012202022i i i j p p p p p p x x p p 2222222222122020121111202022ii j j i j p p p p p p p p p p p p ．这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．A B C I 1 I 2 • • F 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明：（1）当D 与M 重合时，显然有∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ，过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以 2AB BD AD BE +-=，2DC AD AC DF +-= 所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF AC AD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心，易知∠I 1DI 2=90°．由勾股定理得I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22．所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ． A B C I 1 I 2 • •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ．3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)．又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．（2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854,7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534．2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846，7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。

高一数学竞赛试题北京

高一数学竞赛试题北京【试题一：代数问题】题目：已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中\( a \)，\( b \)，\( c \)为常数，且\( a \neq 0 \)。

若函数\( f(x) \)在\( x = 1 \)处取得极小值，求\( a \)，\( b \)，\( c \)之间的关系。

解答：首先，我们知道一个二次函数的极值点可以通过求导数来找到。

对于函数\( f(x) \)，其导数为\( f'(x) = 2ax + b \)。

由于\( x = 1 \)是极小值点，我们有\( f'(1) = 2a + b = 0 \)。

又因为极小值点处的导数为0，我们可以得出\( a \)和\( b \)之间的关系。

同时，我们可以利用极小值的定义，即\( f(1) \)是\( x \)在\( 1 \)附近的最小值，进一步确定\( a \)的符号。

由于\( a \)是二次项系数，它决定了函数的开口方向，而极小值意味着开口向上，所以\( a > 0 \)。

结合以上信息，我们可以得出\( b = -2a \)。

【试题二：几何问题】题目：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB是斜边，且AC = 6，BC = 8。

求直角三角形ABC的周长。

解答：根据勾股定理，我们知道在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

即\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。

将已知的AC和BC的值代入，我们得到\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，所以\( AB = 10 \)。

直角三角形的周长是三边之和，所以周长为\( AC+ BC + AB = 6 + 8 + 10 = 24 \)。

【试题三：数列问题】题目：给定数列\( \{a_n\} \)，其中\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} =a_n + 2n \)。

北京市高一数学初赛试题及解答

北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案填空题答案一、选择题1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x2−2∈A, x−2∉A}，则集合B的所有元素之积为（A）36．（B）54．（C）72．（D）108．答：A．解：由x2−2∈A，可得x2=4，2，3，9，即x=±2，，±3．又因为x−2∉A，所以x≠2，x≠3，故x= −2，，，−3．因此，集合B={−2, , , , −3}．所以，集合B的所有元素的乘积等于(−2)()(−3)=36．2．已知锐角△ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)=（A．（B）2．（C）1．（D答：A．解：作锐角△ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角△ABC的垂心H也在形内．连接BO交⊙O于K，BK为Oe的直径. 连接AK，CK．因为AD，CE是△ABC的高，∠KAB，∠KCB是直径BK上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CEKC//AD，因此AKCH是平行四边形．所以KC =AH =AO =12BK ．在直角△KCB 中，由KC =12BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°．故tan(2BAC∠)= tan30°=3．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31．（B ）32．（C ）33．（D ）34．答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12．（B ）2．（C）（D答：D ．解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ．设点A (a , 1a )，则点B (a +1a , 1a − a )．因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a− a )=1，即21a− a 2=1．因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =12= 5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则f (10)−f (−5)=（A ）71655．（B ）75156．（C ）75615．（D ）76515．答：C ．解：因为当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )−2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x )−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p )−2017×5，因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a >．（B ）16a >．（C ）15a >．（D ）14a >．答：D ．解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y =x 2−4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ⨯-，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ⨯-．因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ⨯-，解得14a >．二、填空题1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设S =++++L ，求的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1,2，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此3===K ，共7个3；依次类推，4=====K ，共9个4；5=====K ，共11个5；6=====K ，共13个6；7=====K ，共15个7；8=====K ，共17个8；9=====K ，共19个9.S= (++)+(++++)+…+(++L ) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边ABBCCA厘米，求△ABC 的面积．答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB厘米，BCCA米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）．4.设函数()f x =的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N的值．答：2．解：由已知得()1f x =+因为NA M BP)())(())]x x x x ++-=---=22ln(()1())ln10x x -+--==，所以()))x x -=-，因此，)x +是奇函数．进而可判定，函数22)()1x x g x x ++=+为奇函数．则g (x )的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0．因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧»DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”¼AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米．解：半圆(O , 2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB =2，所以AB=AC=BD =4，AE =BE，ED =EC =4−．又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形¼EDC的面积=14π(4−2)2= 6π−π，卵形¼AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积 −△AEB 的面积+直角扇形¼EDC的面积B FADCEO= 2π+2×2π−4+6π−4π = (12−)π−4（平方厘米）．7. 已知22()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则g (100−x ) = (100−x )2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000= x 2−100x +5000= g (x )，即 g (k ) = g (100−k )．所以 f (k ) + f (100−k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+- =22(100)()k k g k +-=2，又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)22100==2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BEAF O E=，即22ac =，由此推出ac = 4．分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=② 由①、②两式可得DACBD A C B EG FO 1 O 2 · a b b c·4b =将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=解得b 2=5或b 2=20，即b b ，（负根舍）．于是，AB = a +c +2b = 4b ，或AB若AB ，△ABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求．所以AB 的长为．。

北京市高一数学竞赛(解析版)

北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题亲爱的中学生朋友:欢迎你参加本次竞赛活动﹗中国的未来需要众多的人才，人才的培养需要从青少年时代奠基，打好数学基础有助于从事各行业的发展。

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注意事项1.本次考试共有14个小题﹙6个选择，8个填空题﹚，把答案填写在下面标有题号的空格内。

2.不允许使用计算器。

3.监考员宣布考试结束时，请你私下本页，填好所要求填写的项目，交给监考员。

以下由考生填写姓名__________________性别______考号_____________ 校名______________________________年级___________以下由评分者填写本次考试该生所得分数是__________北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题一、选择题﹙满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分﹚ 1.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于 ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 2.0000cos31,tan 46,sin81,sin113的大小关系是﹙A ﹚0000cos31tan 46sin81sin113<<<.﹙B ﹚000sin81cos31sin113tan 46<<<.﹙C ﹚0cos31sin113sin81tan 46<<<.﹙D ﹚0000tan 46sin81cos31sin113<<<.3.已知0abc <，则在下列四个选项中，表示2y ax bx c =++的图像只可能是4.对非0实数a ，存在实数θ使得212cos a a θ+=成立，则6cos πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值是﹙A 32 ﹙B ﹚12. ﹙C ﹚32 ﹙D ﹚12-.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于﹙A ﹚21004 ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚22008. ﹙D ﹚2008.6.23456cos0cos cos cos cos cos cos777777ππππππ++++++等于﹙A ﹚4. ﹙B ﹚3. ﹙C ﹚2. ﹙D ﹚1.二、填空题﹙满分64分，每小题8分，请将答案填入第一页指定地方﹚ 1.求523111125323111og og og ⋅⋅的值.2.如果sin cos 2αα+=3tan πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值.3.在右图的圆中，弦,AB CD 垂直相交于E ，若线段,AE EB 和ED 的长分别是2厘米，6厘米和3厘米，试求这个圆的面积. 4.以[]x 表示不超过x 的最大整数，试确定sin1sin2sin3sin4sin5++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值.5.已知直角三角形ABC 斜边AB 29x y 0 ﹙A ﹚ x y 0 ﹙B ﹚ x y 0 ﹙C ﹚ xy0 ﹙D ﹚计算AB AC BC BA CA CB ++⋅⋅⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r .6.已知集合{}{}22,68070x xx x x ax A B -+<-+===.若A B ≠∅I ，确定实数a 的取值范围.7.分别以锐角三角形ABC 的边,,AB BC CA 为直径画圆，如图所示. 已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w 平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为u 平方厘米，试确定三角形ABC 的面积.8.已知正整数n 与k 使得252500n k =+成立.试确定不小于lg lg k n的最小整数的值.参考答案1. A 【解析】(2)2(1004)32(2)2006(1004)2(2)31004f f f f f +=⨯⎧⇒=⎨+=⨯⎩2. C 【解析】注意到：cos31sin59︒=︒，sin113sin67︒=︒ sin59sin67sin811tan 46︒<︒<︒<<︒4. A 【解析】注意到：2111cos (||)1cos 2||2||a a a a θθ+==+≥=≥我们有：cos 1θ=，sin 0θ=此时有：cos cos cos sin sin 6662πππθθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 5. B 【解析】令函数()lg f x x x =，则()f x 是(0,)+∞上的增函数，注意到： (10)10lg10101004()f f βββββα=⋅=⋅==，有10βα=此时有10(10)1004f ββαββ⋅=⋅==6.D 【解析】注意到：162534cos cos cos cos cos cos 0777777ππππππ+=+=+=因此有：原式＝11.()()2355lg 21lg 3111(3)lg 5loglog log 15125323lg 2lg 3lg 5-⨯-⨯-⨯⋅⋅=⋅⋅=- 2.sin cos sin 12()444k k Z πππαααααπ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⇒=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan 2tan 234343k πππππαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.2tan 3AE ADE DE ∠==，6tan 23BE BDE DE ∠===223tan 8sin 2123ADB ADB +∠==-⇒∠=-⨯28652658sin 465AB R S R ADB ππ===⇒==∠ 4. sin1、sin 2、sin3(0,1)∈， sin 4、sin5(1,0)∈-2sin1sin2sin3sin4sin5++++=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 5. ||29AB AC BC BA CA CB AB AC BC BA AB AB AB ++=+=⋅==⋅⋅⋅⋅⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r6.{|24}A x x =<<，记2()7f x x ax =-+，欲使A B φ≠I 需且只需：(2)(4)0f f <或0(2)0(4)0242f f a ∆≥⎧⎪≥⎪⎪⎨≥⎪⎪≤≤⎪⎩，整理有23274a ≤≤7.如图所示，设红色区域面积为x ，白色区域面积为y ，三个半圆的面积之和为S ，则：1()232S w y x u w u S y x u=+⎧⇒+=-⎨=++⎩ 8. 当n ＝ 1、2、3、4时，k 非正整数，当5n ≥时，有()44252500554n n k -+=⨯+= 此时有4225|5|k k ⇒，令25()k t t N =∈，有424545(2)(2)n n t t t --+=⇔=+⨯-，存在α、N β∈，αβ>，使得5225455t t αβαβ=+>-=⇒=- 若0β≠，则：5|55αβ-，矛盾有0β=，则：lg lg 22513225,5lg lg5k t k n n α=⇒=⇒==⇒=注意到lg125lg 225lg 62534lg 5lg 5lg 5=<<=，lg 2254lg5⎡⎤=⎢⎥⎢⎥。

第03届北京高中数学知识应用竞赛初赛及解题

第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题1.根据国家版权局?书籍稿酬暂行规定?,书籍稿酬由根本稿酬和印数稿酬组成.根本稿酬的标准为：〔1〕著作稿酬每千字10至30元,确有学术价值的,可适当提升,但每千字不超过40元；〔2〕词书稿有两种计酬方法：其一是按一般著作稿标准另加15%至20%计算〔词条书目〕；其二是按每千字20元至30元计算,另增加20%至30%的根本稿酬〔百科全书词条〕.印数稿酬的标准为：〔1〕一般书籍,印数在一万册以内的,以一万册计算付根本稿酬的8%.印数超过一万册的,其超过局部每千册付根本稿酬的0.8%.〔2〕确有学术价值而印数较少的专著,印数在一万册以内的,以一万册计算付根本稿酬的30%,印数超过一万册的,计算方法同〔1〕.根据以上内容,解答以下问题.〔1〕假设印x 千册,试写出每千字最高稿酬f(x) 和每千字最低稿酬g(x) 的函数关系式；〔2〕假设王教授出版了一本25.4万字的书,印数1.8万册,试计算他可获得的最高稿酬和最低稿酬.2．小童的父亲要到美国访问,受人之托希望多带点东西.中国民航的?国际旅客须知?中有关规定："计件免费行李额"中规定"适用中美、中加国际航线上的行李运输…….经济和旅游折扣票价,免费交运的行李数为两件,每件箱体三边之和不超过62英寸〔158厘米〕,但两件之和不得超过107英寸〔273厘米〕,每件最大重量不得超过32公斤."试问这两个箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请到市场上看看,商店出售的行李箱的尺寸与你计算所得结果是否近似？为什么？3．今年年初由中国建设银行北京市分行印发的?个人住房贷款简介?的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题.其中指明贷款额最高为拟购置住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年.个人住房贷款利率如附表1所示.借款人在借款期内每月以相等的月均还款额归还银行贷款本金和利息.附表2列出了不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和.试给出公式说明附表2中后三列数是如何算出来的.近年来国务院批准,中国人民银行决定从1999年9月21日起,延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房.各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年.每笔贷款年限由商业银行依据借款个人的年龄、工作年限、还款水平等因素与借款人协商确定.个人住房款年利率最高水平降为5.88%.并根据贷款期限划分为两个档次：5年以下〔含5年〕为年利率5.31,5年以上为年利率5.88%.请你根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和,并与原附表2中的同期贷款的负担情况比拟,住房贷款的负担各降低了多少.附表2 中国建设银行北京分行个人住房贷款1~20年月均还款金额表〔借款额为壹万元〕单位：元自1998年12月7化工厂从今年一月起,假设不改善生产环境,按现状生产,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处分,第一个月.如果从今年一月起投资500万元增加回收净化设备〔改造设备时间不计〕,一方面可以改善环境,另一方面也可以大后的前5个月中的累计净收入是生产时间 n〔以月为单位〕的二次函数,生产前1、前2、前3个月的累计收入分别可万元,以后稳定在第5个月的水平.同时该厂不但不受罚,而且还将得到环保部门一次性100万元的奖励.问经过多少个后的纯收入多于不改造时的纯收入.世界人口组织公布,地球上的人口在公元元年为2.5亿,1600年为5亿,1830年为10亿,1930年为20亿,1960年为50亿,到1999年底,地球上的人口数到达了60亿.请你根据20世纪人口增长规律推测,到哪年世界人口将到达100少人口？庆庆典活动的中央广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵,方阵前排距观礼台120米,方阵纵列95人,每列长大能到达满意的观礼效果？某1000个人中有10个人患有一种病,现要通过验血把这10个病人查出来,假设采用逐个人化验的方法需化验999次坏情况下化验次数,如果碰巧,可能首先化验的10个人全是病人,10次化验就够了.下面讨论的化验次数均指最坏情少化验次数,人们采用分组化验的方法,即把几个人的血样混在一起,先化验一次,假设化验合格,那么这几个人全部正明这几个人中有病人,再对它们重新化验〔逐个化验,或再分成小组化验〕.一种分组化验方法使其化验次数尽可能地小,不超过100次.参考解答〕此时x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ,因此此书25.4万字〔254千字〕,所以最高稿酬为16629.888≈16629.89〔元〕,最低稿酬为11.44×254=2095.76 〔元〕解设长、宽、高分别为a,b,c 显然a>0,b>0,c>0. 假设a+b+c 一定〔≤158〕,,当且仅当a=b=c 时等号成立,因此箱子为正方体时体积最大.个正方体箱子的边长分别为a,b,(a>0,b>0). 由条件知3(a+b)≤273,,为求最大取等号,故得a+b=91代入b=91-a ,那么显然,当时, 有最小值,且题意及上述,要在且a+b=91 ,即 ,的条件下求f(a) 的最大值,而,于是得箱子的边长分别为厘米和厘米时,其体积之和为最大.即为：调查思考：商店出售的箱子三边长与计算所得误差很大,原因：〕正方体箱子不易携带.〕正方体箱子容量大,但易超重.很多货运箱的形状与手提行李箱相比,近似于正方体,由于货运箱可更多地考虑其容积问题.解设贷款额〔本金〕为A〔元〕,货款期限为n〔月〕,月利率为 ,月均还款额为B,令利金额,那么=n 时,,于是贷款期5年时,元,得总额 60B=11784.60,利息负担总额60B-A=1784.60 ,得到附表2上相应的值.货款利率后,还款款 60B=11408.4,总利息60B-A=1408.4 ,与原附表2中的同期货款的负提相比,每月少交6.27 元.一共n>60〔10年〕,, 同理可得,月均还款69.24,总还款16617.6,总利息6617.6,与原来比,每月省11.69元,共省2805.6元.解设不改造设备,按原条件生产,n 个月累计收入为a(n),改造设备后生产,n个月累计收入为b(n).由条于是101=b(1)=a+b+c204=b(2)=4a+2b+c309=b(3)=9a+3b+c方程组,得到a=1, b=100, c=0 于是简单计算可以发现,5个月内投资不能见效.这是由于b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11],b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2] , (n>5),, 化简得时时,经过9个月投资才可见效.题目中的数据均为大致时间,粗略估计的量,带有较多的误差.因此寻找人口增长规律时不需要,也不应吻合.数据中20世纪以前的人口资料更加粗略,况且人口的预报准确程度主要受到20世纪人口增长规律时,不必要考虑20世纪以前的数据资料,在20世纪人口增长速度是逐渐变快的,因此用直线变化〔匀速的；做为人口增长的模型,一般可以使用指数关系 ,其中N(t) 为t 时人口数,a,r 为式取对数可得它是关于t 的线性模型,这里 ln为以e底的对数.利用1930~199 8.33,r=0.0162,(亿) (1930≤t≤1999)的拟合效果为〔人口单位：亿〕代1930 1960 1974 1987 1999数20 30 40 50 60数19.49 31.70 39.78 49.11 56.61,可用于预报.t)=100 ,可求出t=2030.84 ,故可知如果照此规律大约在2031年世界人口将到达100亿,而于2100年解下面给出一个简单的解法,但它是较粗糙的,不过也实用.满意,可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的局部是一样的.礼者居高a 米,从观礼位置看到的纵列上每个花的局部高度为b 米.意,每列从第一个人到最后一个人〔第95人〕有94个间空,列长192米,那么每列相邻二人平均间距约单起见,不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米,那么一、二排间距为 x米,那么〔米〕解我们给出如下的方法：00人中任取64人,把他们的血样混合化验〔一般地,n 个人中有k 个病人,令s 使,那么从人一组,当n=1000 ,k=10 时,这64人混合血样合格〔化验是阴性〕,那么这64个人正常,可排除,无需再化验,再从剩下未化验的人中.这64人混合血样不合格〔化验呈阳性〕,说明这64人中有病人.把这64个人,分为两组,每组32人.一组的混合血化验,即可确定有病人的一组.〔即只需化验一次,假设化验的这组血样成阴性,那么病人在样成阳性,这组有病人,但此时,另一组也可能有病人〕.作为最坏的可能情形,我们无法保证另一组的32人的一组后,把另一组人退回到未化验的人群中去.病人的这组32人,再分为两组,每组16人,重复上述过程.即化验一次,确定有病人的一组,把另一组退回下去,直到找到一个病人为止.至此一共化验了7次.未化验的人中任取64人重复上述过程.,对每次64人混合血化验成阳性的,通过7次化验可找到1个病人,由于共有10个病人,因此,这样的情形次.对每次64人混合血化验成阴性的,由于1000=15×64+40 ,化验次数不超过15次.的化验次数不超过70+15=85次.。

第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答

网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答（北京数学会普及委员会提供）一、（满分２０分）在测量课上，老师交给的任务是测量楼前旗杆的高度．小王灵机一动，想出了如下的测量法：请同学小李当“参照物”站在旗杆下，在离旗杆较近的地方，用手机拍下小李和旗杆的照片，如图所示．然后把照片放在计算机的屏幕上，量出旗杆有６．３个小李的高度，小李的身高为１．６５米，于是得到旗杆的高度约为６．３×１．６５＝１０．４（米）．（１）你认为这种测量方法如何？如认为正确，请说明理由以及这种方法的优点；如认为有问题，请说明问题出在何处，结果偏大还是偏小？（２）你认为测量中如何做就能减少误差，得到正确的结果？参考解答：（１）这个方法虽然操作简单易行，但却是有问题的，这样得到的结果，与实际真实的结果相比，偏小．照相者离旗杆越近，误差越大．事实上，从这张照片上可以看到，同样大小的窗户框，其高度在照片上看，四层的只有一层的７０％，这符合“近大远小”的视觉规律．因此旗杆下面的“一人高”和旗杆顶端的“一人高”对应的真实高度是不一样的，小王却把它当成一样的计算了．而顶端的“一人高”比下端的一人高所对应的实际尺寸要大，故小王的结果偏小了．（２）减少误差的思路有两种，一是远离旗杆，用长焦镜头拍照．这时摄影者到旗杆底部和到旗杆顶部的距离差会缩小，从而减少误差．但也要注意，距离远了，旗杆和人像也会变小，观察度量长度时的误差也会变大．二是考虑“近大远小”的变化率，比如可以根据图片量出，旗杆下端一米对应ａ毫米，旗杆顶端用国旗的实际宽度算出一米对应ｂ毫米，可以认为整个旗杆平均一米等于图中的（ａ＋ｂ）／２毫米，于是用旗杆在照片上的总长度（毫米），除以（ａ＋ｂ）／２就是旗杆的真实高度（米）．二、（满分２０分）人们日常生产的产品———大到飞机、汽车，小到锅碗瓢盆———其表面通常是由一些光滑的曲面拼接而成的．在不同曲面的衔接处，我们往往也希望它是光滑的．如何能做到这一点呢？为简单起见，我们只考虑平面上两条光滑曲线在衔接点是光滑（没有尖角）的．１．给定平面上两条光滑的曲线，它们在某一点衔接．请你给出一个标准（即给出定义），用它来说明，在这个衔接点是光滑的．２．给定平面直角坐标系，在ｘ＝２左侧的曲线是函数ｙ＝ｘ２－ｘ＋ｃ（ｘ≤２）的图像，其中ｃ是参数，在ｘ＝２右侧的曲线是函数ｙ＝ａｌｎｘ（ｘ≥２）的图像，其中ａ是参数．请你选择适当的参数ａ，ｃ（即，选择ｘ＝２左右两侧适当的曲线）使得在ｘ＝２时上述两条曲线衔接，且在衔接点满足你所给出的光滑标准．参考答案：１．两条光滑曲线在衔接点是光滑的，就是衔接后的整条曲线在该点的切线存在．等价于原来的两条曲线在衔接点的切线重合，即两个函数在该点的导数相等．２．在直线ｘ＝２左侧的曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋ｃ（ｘ≤２）的导数是２ｘ－１，在ｘ＝２的值都是３，和参数值ｃ无关．在ｘ＝２右侧的曲线ｙ＝ａｌｎｘ（ｘ≥２）的导数是ａｘ，在ｘ＝２的值是ａ２．根据刚刚给出的定义，为了保证两条曲线衔接后在衔接点处是光滑的，要求这两个值相等，即要求ａ２＝３，解得ａ＝６．选择在直线ｘ＝２右边的曲线为函数ｙ＝６ｌｎｘ（ｘ≥２）的图像．由于ｘ＝２时的函数值为６ｌｎ２，所以两条·１４·网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模曲线的衔接点为（２，６ｌｎ２）．为使左边的曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋ｃ（ｘ≤２）也过点（２，６ｌｎ２），则选取ｃ，满足２２－２＋ｃ＝６ｌｎ２．解得ｃ＝６ｌｎ２－２．三、（满分２０分）２０１１年８月７日，Ｄ２２次列车（长春—北京动车组，经停站：长春—四平—铁岭—沈阳北—盘锦北—北戴河—滦县—北京）上的一位乘客记录下了列车运行全程的时刻与速度对应表如下（速度单位：千米／小时）：时刻１５：１８　１５：２５　１５：２６　１５：２７　１５：２８速度０１３０　１５８　１５６　１５４时刻１５：３０　１５：３１　１５：３２　１５：３３　１５：３５速度１５６　１６２　１６１　１５２　１６０时刻１５：３６　１５：３７　１５：３８　１５：４０　１５：４１速度１６１　１５７　１６１　１６１　１６１时刻１５：４２　１５：４３　１５：４５　１５：４６　１５：４７速度１６１　１６１　１５２　１６１　１６１时刻１５：４８　１５：５０　１５：５１　１５：５２　１５：５３速度１５５　１６０　１５７　１５９　１６０时刻１５：５５　１５：５６　１５：５７　１５：５８　１６：００速度１５６　１５６　１６０　１６１　１５６时刻１６：０１　１６：０４　１６：０５　１６：０６　１６：０８速度１５５　１３６　６５　３６　１２时刻１６：０９　１６：１０　１６：１２　１６：１３　１６：１５速度００４３　７７　１１７时刻１６：１６　１６：１７　１６：１８　１６：２０　１６：２１速度１２６　１５６　１５５　１４４　１５６时刻１６：２２　１６：２３　１６：２５　１６：２６　１６：２７速度１５６　１５５　１５６　１５６　１５６时刻１６：２８　１６：３０　１６：３１　１６：３２　１６：３３速度１６０　１６０　１６１　１６１　１５８时刻１６：３５　１６：３６　１６：３７　１６：３８　１６：４０速度１６１　１５５　１６１　１６１　１６１时刻１６：４１　１６：４２　１６：４３　１６：４５　１６：４６速度１５６　１５６　１５６　１５６　１５６时刻１６：４７　１６：４８　１６：５０　１６：５６　１６：５７速度１５７　１５６　１４６　１０４　１０８时刻１６：５９　１７：００１７：０２　１７：０３　１７：０４速度３５　０９２　１０９　１６１时刻１７：０６　１７：０７　１７：０８　１７：０９　１７：１１速度１５２　１６３　１６３　１５８　１６３时刻１７：１２　１７：１３　１７：１４　１７：１６　１７：１７速度１５８　１６２　１６３　９８　１２４时刻１７：１８　１７：１９　１７：２１　１７：２２　１７：２３速度１６３　１３６　１２４　１５７　１５５时刻１７：２４　１７：２７　１７：２８　１７：３０　１７：３１速度１５５　１０６　５６　４１　４３时刻１７：３２　１７：３３　１７：３５　１７：３６　１７：３７速度１０　００３４　４０时刻１７：３８　１７：３９　１７：４１　１７：４２　１７：４３速度４６　５４　１２４　１５５　１５７时刻１７：４４　１７：４６　１７：４７　１７：４８　１７：４９速度１５８　１８４　２２０　２３８　２３９时刻１７：５１　１７：５２　１７：５３　１７：５４　１７：５６速度２４０　２３８　２３８　２４０　２４０时刻１７：５７　１７：５８　１７：５９　１８：０１　１８：０２速度２３８　２３９　２３６　２３８　２３８时刻１８：０３　１８：０４　１８：０６　１８：０７　１８：０９速度２４０　２３９　２３９　２２４　２３９时刻１８：１１　１８：１２　１８：１３　１８：１４　１８：１６速度２３８　２３９　２３９　２３５　２３９时刻１８：１７　１８：２１　１８：２２　１８：２３　１８：２５速度２３９　１０８　６６　２５　０时刻１８：２６　１８：２７　１８：２９　１８：３０　１８：３１速度６２　９１　１５４　１９９　２３０时刻１８：３２　１８：３４　１８：３５　１８：３６　１８：３７速度２３９　２３９　２２７　２１６　２２７时刻１８：３９　１８：４０　１８：４２　１８：４４　１８：４５速度２３８　２３７　２１６　２１６　２１８时刻１８：４６　１８：４７　１８：４９　１８：５０　１８：５１速度２１８　２１７　２１８　２２３　２１４时刻１８：５２　１８：５４　１８：５５　１８：５６　１８：５７速度２１８　２３６　２４０　２１６　２１３时刻１８：５９　１９：００１９：０１　１９：０２　１９：０４速度２０３　２３８　２３９　２３７　２３９时刻１９：０５　１９：０６　１９：０７　１９：０９　１９：１０速度２３９　２３８　２３９　２３９　２３９·２４·网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模时刻１９：１１　１９：４７　１９：４８　１９：５０　１９：５１速度２３９　１６３　５４　３４　４时刻１９：５２　１９：５３　１９：５４　１９：５５　１９：５７速度０００００时刻１９：５８　１９：５９　２０：０１　２０：０２　２０：０３速度０３８　６８　７２　１５５时刻２０：０４　２０：０６　２０：０７　２０：０８　２０：０９速度１５９　１５８　１６４　１６４　１６４时刻２０：１１　２０：１２　２０：１３　２０：１４　２０：１６速度１６１　１５８　１５８　１６４　１６４时刻２０：１７　２０：１８　２０：１９　２０：２１　２０：２２速度１５９　１６５　１６４　１５９　１５８时刻２０：２５　２０：２７　２０：２８　２０：３０　２０：３１速度１１７　９７　３８　０２７时刻２０：３３　２０：３４　２０：３５　２０：３６　２０：３８速度１００　１０６　１０７　１５３　１６４时刻２０：３９　２０：４０　２０：４１　２０：４３　２０：４４速度１４７　１６３　１４８　１５３　１５９时刻２０：４５　２０：４６　２０：４８　２０：４９　２０：５０速度１６３　１６３　１５８　１５１　１５４时刻２０：５１　２０：５３　２０：５４　２０：５５　２０：５６速度１６３　１６４　１６３　１５９　１６５时刻２０：５８　２０：５９　２１：００２１：０１　２１：０３速度２０３　２０４　２０４　２０４　２０４时刻２１：０４　２１：０５　２１：０６　２１：０８　２１：０９速度２０１　２０４　２０４　２００　２０３时刻２１：１０　２１：１２　２１：１３　２１：１４　２１：１５速度２０４　２０４　２０３　１８６　１９８时刻２１：１６　２１：１８　２１：１９　２１：２０　２１：２１速度１８８　２０４　２０４　２０４　２０４时刻２１：２３　２１：２４　２１：２５　２１：２６　２１：２８速度２０４　２０２　２０４　２０３　２０４时刻２１：２９　２１：３０　２１：３１　２１：３３　２１：３４速度２０４　２０３　２００　１３６　１１８时刻２１：３５　２１：３６　２１：３８　２１：３９　２１：４０速度１０５　１１９　１１９　１０４　１０９时刻２１：４１　２１：４５　２１：４６　２１：４７　２１：４９速度８６　１１４　７０　３９　３８时刻２１：５０　２１：５１　２１：５２速度３１　２７　１４根据这张数据表，请你回答下列问题：（１）Ｄ２２列车运行的总路程大概是多少？借助网络查阅一下具体的数值，如果有误差，请分析一下原因．（２）１９：１１～１９：４７时间段内列车没有显示数据，因此数据缺失．请推算一下，此间的平均速度．（３）画出列车在不同时间运行的速度曲线，描述列车全程的运行动态．参考解答：（１）设时间为ｔ，ｔ时刻的速度为ｖ（ｔ），Ｄ２２次列车经停站为长春、四平、铁岭、沈阳北、盘锦北、北戴河、滦县、北京，将这些站分别记作Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，相邻经停站间的距离分别记为｜ＡＢ｜，｜ＢＣ｜，｜ＣＤ｜，｜ＤＥ｜，｜ＥＦ｜，｜ＦＧ｜，｜ＧＨ｜．方法１：将总路程分为七段，求出每一段内记录下的所有ｍ个速度值的和，在用这个和除以ｍ得到商，把这个值当做这一段的平均速度．这七段的平均速度分别为：１４２．９１８９，１３８．２２８６，１２０．４８００，１８６．３４２１，１９６．０７３２，１３０．６０８７，１５３．０３１３．再根据记录中这七段前后的两个时刻得到每一段行车用时，进而得到这七段的距离分别为｜ＡＢ｜＝１２８．６２７０，｜ＢＣ｜＝１１５．１９０５，｜ＣＤ｜＝６６．２６４０，｜ＤＥ｜＝１５５．２８５１，｜ＥＦ｜＝２８４．３０６１，｜ＦＧ｜＝６９．６５８０，｜ＧＨ｜＝２０９．１４２７．于是Ｄ２２次列车运行的总路程为ｄ１＝１０２８．５千米．方法２：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用这小段时间末端的速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间［ｔ（ｉ），ｔ（ｉ＋１）］上的平均速度为ｖ（ｉ＋１），由此计算出Ｄ２２次列车运行的总路程为ｄ２＝１０５３．９千米．方法３：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用这小段时间前端的速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间［ｔ（ｉ），ｔ（ｉ＋１）］上的平均速度为ｖ（ｉ），由此计算出Ｄ２２次列车运行的总路程为ｄ３＝１０４３．２千米．方法４：（积分的思想），将所给相邻两个时刻间作为一小段时间，用区间端点的平均速度当作这小段区间上的平均速度，即设区间［ｔ（ｉ），ｔ（ｉ＋１）］上的平均速度为ｖ（ｉ）＋ｖ（ｉ＋１）２，由此计算出Ｄ２２次列车运行·３４·网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模的总路程为ｄ４＝１０４８．６千米．网络数据：长春到北京的火车距离为ｄ＝１００３千米．距离误差百分比定义为｜ｄｉ＋ｄ｜ｄ．上述四种算法的距离误差百分比分别为０．０２５４，０．０５０８，０．０４０１，０．０４５４．误差原因分析：数据的误差可能来源于数据缺失，另一个重要原因是所估计的平均速度的误差使得结果出现较大误差，速度区间的划分是比较关键的因素．误差可能的原因为平均速度的假设过于粗糙，间隔大的数据对结果有影响．（２）我们选用第一种距离估算方法，来研究１９：１１～１９：４７时间段内的缺失数据，假设缺失数据是导致总体距离误差的主要因素．列车实际距离为精确的１００３千米，按照第一种算法可估算出距离为１０２８．５千米，多走了２５．５千米．该时间段经历时间为３６分钟．用第一种算法估计的平均速度为１９６．０７３２千米／小时，于是知道这段缺失数据对应的更为准确的平均速度ｖ满足（１９６．０７３２－ｖ）·３６／６０＝２５．５，解得ｖ＝１４７．５７３２千米／小时．由此看出在这个时间段内有减速现象更为准确．由第二种估计方法，得此段的平均速度ｖ满足（１６３－ｖ）×３６／６０＝１０５３．９－１００３，解得ｖ＝７８千米／小时．由第三种估计方法估计此段的平均速度ｖ满足（２３９－ｖ）×３６／６０＝１０４３．２－１００３，解得ｖ＝１７２千米／小时．由第四种估计方法估计此段的平均速度ｖ满足（（１６３＋２３９）／２－ｖ）×３６／６０＝１０４８．６－１００３，解得ｖ＝１２５千米／小时．（３）时间－速度图像如图１：１列车运行过程中因为有停靠站，共有七段运行过程．在前三段基本为一个较慢的恒速：１６５千米／小时；第三、四段运行在较高的速度上：２３９千米／小时；第六段和第七段的大约前四分之一又回到了较慢的１６５千米／小时；第七段的中间时段（约占第七段的一半）的速度大约是２０４千米／小时；第七段的后四分之一是逐渐减速．图２四、（满分２０分）ＡＯＢＤ是从密度均匀、薄厚一致、半径为ｒ的圆形纸板上剪下来的开角为２θ的扇形纸板，ＯＤ为对称轴．已知这块扇形纸板的重心Ｃｓｅｃ位于距离圆心Ｏ为２ｒ３ｓｉｎθθ的位置．请你确定弓形纸板ＡＢＤ的重心位置，即给出一个用ｒ和θ表示的数学模型．参考解答：由图可知，扇形ＯＡＤＢ是关于ＯＤ对称的．因此扇形的重心应位于ＯＤ上，则重心在距离点Ｏ为ｘｓｅｃ＝２ｒ３ｓｉｎθθ的点Ｃｓｅｃ处．扇形ＯＡＤＢ可以分为三角形ＯＡＢ和弓形ＡＤＢＥ两部分．又知三角形ＯＡＢ的重心位于对称轴ＯＤ上，与点Ｏ的距离为ｘｔｅｉ＝２３ｒｃｏｓθ的点Ｃｔｒｉ处．显然弓形的重心Ｃｓｅｇ也应该在半径ＯＤ上．设该点据圆心Ｏ点的距离为ｘｓｅｇ．根据假设，可知这三个重心的位置应与这个扇形以及组成它的三角形和弓形的面积有关．有关系Ａｔｒｉ（Ｃｓｅｃ－Ｃｔｒｉ）＝Ａｓｅｇ（Ｃｓｅｇ－Ｃｓｅｃ），或者有Ａｔｒｉ（ｘｓｅｃ－ｘｔｒｉ）＝Ａｓｅｇ（ｘｓｅｇ－ｘｓｅｃ）．式中Ａｔｒｉ、Ａｓｅｇ分别表示三角形和弓形的面积．显然如果用Ａｓｅｃ表示扇形的面积，应该有Ａｓｅｃ＝Ａｔｒｉ＋Ａｓｅｇ．由此，前面的式子就可以改写成Ａｓｅｇ·ｘｓｅｇ＝Ａｓｅｃ·ｘｓｅｃ－Ａｔｒｉ·ｘｔｒｉ，由此解得ｘｓｅｇ＝Ａｓｅｃｘｓｅｃ－ＡｔｒｉｘｔｒｉＡｓｅｇ，·４４·网址：ｚｘｓｓ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ应用与建模不难算出Ａｓｅｃ＝πｒ２θ／π＝ｒ２θ，Ａｔｒｉ＝ｒ２ｓｉｎθｃｏｓθ．由此可得Ａｓｅｇ＝ｒ２（θ－ｓｉｎθｃｏｓθ）．代入上面的公式可以算出ｘｓｅｇ＝２ｒ３ｓｉｎ３θθ－ｓｉｎθｃｏｓθ．五、（满分２０分）生物学家认为，正在休息时的温血动物体内消耗的能量就是为了保持其体温．体内消耗的能量Ｅ与通过心脏的血流量Ｑ成正比，体重与体积成正比．已知一些动物的体重与脉搏率如表１所示：表１　一些动物的体重和脉搏率动物名体重（克）脉搏率（心跳次数／分钟）鼠２５　６７０大鼠２００　４２０豚鼠３００　３００兔２０００　２０５小狗５０００　１２０大狗３００００　８５羊５００００　７０马４５００００　３８（１）请你根据上面提供的生物学家的认识，给出血流量与体重关系的数学模型．（２）从表１可以看到，体重Ｗ越轻的动物脉搏率ｆ越高．请通过各量之间的比例关系，建立脉搏率与体重关系的数学模型．（３）根据表１，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证你建立的数学模型．名词解释：血流量Ｑ是单位时间流过的血量，脉博率ｆ是单位时间心跳的次数．假设：心脏每次收缩挤压出来的血量ｑ与心脏大小成正比，动物的心脏大小与其体积大小成正比．参考解答：（１）因为动物体温通过身体表面散发热量．表面积越大，散发的热量越多，为保持体温需要的能量越大，所以动物体内消耗的能量Ｅ与其表面积Ｓ成正比．即Ｅ＝ｐ１Ｓ．又已知动物体内消耗的能量Ｅ与通过其心脏的血流量Ｑ成正比，即Ｅ＝ｐ２Ｑ．因此得Ｑ＝ｐＳ．另一方面，因为体积Ｖ与体重Ｗ成正比，可表为Ｖ＝ｒ１Ｗ．而表面积Ｓ大约与体积Ｖ的三分之二次方成正比，可表为Ｓ＝ｒ２Ｖ２３．因此得Ｓ＝ｒＷ２３．所以血流量与体重关系模型：Ｑ＝ｋ·Ｗ２３．（２）根据定义，有ｆ＝Ｑｑ．又根据假设，有ｑ＝ｃＷ．再由（１）的结论Ｑ＝ｋ·Ｗ２３和ｆ＝Ｑｑ，得ｆ＝Ｑｑ＝ｋＷ２３ｃＷ，也就是ｆ＝ｋＷ１３．这个脉搏率与体重关系的模型说明，温血动物的体重越大，脉搏率越底．脉搏率与体重的三分之一次方成反比．（３）表１的数据基本上反映了这个反比例的关系．图３是原始数据的散点图，图４是以ｌｎ（Ｗ）和ｌｎ（ｆ）为坐标的散点图．图３　脉搏率ｆ与体重Ｗ的散点图图４　对数坐标下脉搏率ｆ与体重Ｗ的散点图·５４·。

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北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案填空题答案一、选择题:1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2−2∈A , x −2∉A }，则集合B 的所有元素之积为（A ）36．（B ）54．（C ）72．（D ）108．答：A ．解：由x 2−2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x =±2，，，±3．又因为x −2∉A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = −2，，−3．因此，集合B ={−2, ,, , ，−3}．所以，集合B 的所有元素的乘积等于(−2)()()(−3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)= （A （B ）2．（C ）1．（D 答：A ．解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内．连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O e 的直径. 连接AK ，CK ．因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．所以KC =AH =AO =12BK ．在直角△KCB 中，由KC =12BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°．故tan(2BAC ∠)= tan30°．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31．（B ）32．（C ）33．（D ）34．答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x -O -y 中，A , B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12．（B ）2．（C）2．（D）2．答：D ．解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ．设点A (a ,1a )，则点B (a +1a , 1a− a )．因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a − a )=1，即21a− a 2=1．因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =12= 5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则f (10)−f (−5)=（A ）71655．（B ）75156．（ C ）75615．（ D ）76515．答：C ．解：因为当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )−2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x )−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )即 f (x ) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p )+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p )+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p )−2017×5，因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a >．（B ）16a >．（C ）15a >．（D ）14a >．答：D ．解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2−4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y =x 2−4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ⨯-，所以，要y =m 与y =x 2−4ax +2a ,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ⨯-．因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ⨯-，解得14a >．二、填空题:1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设S =++++L ，求的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1,, ＜2，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此3===K ，共7个3；依次类推，4=====K ，共9个4；5=====K ，共11个5；6=====K ，共13个6；7=====K ，共15个7；8=====K ，共17个8；9=====K ，共19个9.S = (++)+(++++)+…+(++L ) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边AB 厘米，BC CA 厘米，求△ABC 的面积．答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB=BC=CA米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）． 4.设函数22(1))()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N的值．答：2．解：由已知得22)()11x x f x x ++=++ 因为)())(())]x x x x ++-=--=22ln(()1())ln10x x -+--==，所以()))x x -=-，因此，)x 是奇函数．进而可判定，函数22)()1x x g x x +=+为奇函数．则g (x )的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0．因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．NA MBP事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧»DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”¼AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米．解：半圆(O , 2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB =2，所以AB=AC=BD =4，AE =BE，ED =EC =4−．又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形¼EDC的面积=14π(4−2= 6π−π，卵形¼AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积 −△AEB 的面积+直角扇形¼EDC的面积 = 2π+2×2π−4+6π−4π = (12−)π−4（平方厘米）．7. 已知22()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g (x ) = x 2−100x +5000，则g (100−x ) = (100−x )2−100(100−x )+5000=1002−200x +x 2−1002+100x +5000= x 2−100x +5000= g (x )，即 g (k ) = g (100−k )．B FADCEO所以 f (k ) + f (100−k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+- =22(100)()k k g k +-=2，又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)22100==2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC −c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BEAF O E=，即22ac =，由此推出ac = 4．分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=②由①、②两式可得4b =将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=DAC BD A CB E G FO 1 O 2 · a b b c·解得b2=5或b2=20，即b b （负根舍）．于是，AB = a+c+2b = 4b ，或AB ．若AB ，△ABC为钝角三角形，不合题设△ABC是锐角三角形的要求．所以AB的长为．。