相似三角形周长与面积

4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发 生了怎样的变化？
S四边形ABCD =k2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D， △ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
A
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴ DE DF 1 AB AC 2
B
A'
C B'
C'
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
AB BC CA k A' B' B'C' C' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
从而
AB BC CA kA' B'kB'C'kC' A' k A' B'B'C'C' A' A' B'B'C'C' A'
AE AD 3 .已知△ABC的面积为100cm2 ，
AC AB 5
求四边形BCDE的面积。
A
解：∵ AE AD 3 ，∠A=∠A AC AB 5
∴ △ ADE∽△ ABC
E D
B
C
(两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似)
∴
S ADE
AE 2 （相似三角形面积的比等于
S
AC 2 相似比的平方）
A'C ' 72 18 24 30
A
B C
A'
B' C'
我来试一试：
2．两个相似三角形对应高的比为2:5， 则对应角平分线的比为____, 周长比为___ .
3．两个相似三角形对应中线的比为1:4， 则对应高的比为______ ,面积比为______。
例题： 已知：△ ABC ∽△ A' B'C，'
得到：
相似三角形周长的比等于相似比
探究
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比是多少？
A
A'
对应角平分
线的比呢？
对应中线的
BD
C
B' D'
比呢？
C'
如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'．
ห้องสมุดไป่ตู้
∵
∠ADB =∠A/D/B/ ∠B＝∠B'
相似三角形对应 高的比等于相似
原周长 ＝1 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也 扩大为原来的9倍．
解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S
S原四边形 扩大9倍四边形
＝
1 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且
情境引入：
已知： ∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定
义，我们有哪些结论？
A
A′
B
C
B′
C′
从对应边上看： __________________
从对应角上看：___________________
两个三角形相似，除了对应边成比例、 对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？
A
如果两个三角形相似，它 们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
∴ △ABD∽△A'B'D'
AD AB k
S△ ABC
1 BC AD 2
A' D' A' B'
S△A'B'C' 1 B'C'A' D'
2
1
k
比。
B'C'k A'
D'
2
k2
1 B'C'A' D'
2
这样，得到： 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
探究
（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k2，它们的
ABC
(以下解略)
1、连结三角展形示两风采边：中点的线段
把三角形截成的一个小三角形与 原三角形的周长比等于_1_:_2___,面 积比等于_1_:4_____.
2、两个相似三角形对应的中线长分别 是6cm和18cm，若较大三角形的周长是
4周2c长m_，1_4_面cm积,面是积12为cm__432，__则c较m。小2 三角形的
B
又 ∠D＝∠A
1
∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2
LADE 1 , LABC 2
LADE = 1 24 2
LADE =12
SADE = 1 SABC 4
SADE = 1 48 4
SADE =12
D
CE
F
﹕ 我们再用心来观察下面一组图形：
▪ 图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的 等边三角形，它们都相似？为什么？ （2）与（1）的相似比＝________________， （2）与（1）的周长比= （2）与（1）的面积比＝_______________; （3）与（1）的相似比＝________________， （3）与（1）的周长比＝________________. （3）与（1）的面积比＝_____________.
▪ 如果两个相似三角形的面积之比为1:9,则
它们对应边的比为
；对应高的比
为
。周长的比为
。
练习
1.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍． 解： （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
它们的周长分别为60cm和72cm， 且AB=15cm， B'C' =24cm。
求： BC, AC, A′B′, A′C′
A'
A
B C B'
C'
展示风采：
1、如图，点D、E分别是△ABC边AB、
AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那
么△ADE的周长︰△ABC的周长
＝ 1﹕3 。
A
D
E
B
C
例2：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，
AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．
解： △ABC∽△A'B'C'
k 60 15 72 18
AB 15 A' B ' 18
A' B ' 18 AB 18 15 18 15 15
BC 15 B 'C ' 18 BC 15 24 20
18
AC 60 15 20 25
面积比是多少？
A'
A
D
B
B'
C
分别连接AC，A'C'
则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
SABC k 2 SA' B 'C '
SACD k 2 SA'C 'D '
SABC
k S2 A'B'C '
SACD
k S2 A'C 'D'
D' C'
SABC SACD k2 S S A'B'C' A'C'D'