大学物理之机械振动汇总
大学物理机械振动总结
大学物理机械振动总结引言机械振动是研究物体在某一点上的位移随时间的变化规律的学科，是大学物理中的重要内容之一。
机械振动的研究对于我们理解自然界的运动规律和应用于工程领域具有重要意义。
本文将总结大学物理中的机械振动相关的概念和原理，并对常见的机械振动现象进行分析和讨论。
机械振动的基本概念振动的定义振动是指物体围绕一个平衡位置作往复运动的现象。
物体围绕平衡位置以一定的频率做往复运动，称为振动。
平衡位置和平衡位置附近的运动平衡位置是指物体在受力平衡的情况下的位置。
平衡位置附近的小幅度振动称为简谐振动。
简谐振动的特点简谐振动具有以下特点：- 振动频率固定，与振动物体的质量和弹性系数有关。
- 振动幅度受限，不能无限增大。
- 简谐振动的运动轨迹通常为正弦曲线。
振动的参数振动的参数包括振幅、周期、频率和相位差。
- 振幅指振动物体在运动过程中离开平衡位置的最大距离。
- 周期指振动物体从一个极值点到另一个极值点的时间。
- 频率指振动物体单位时间内通过某一点的次数。
- 相位差指两个振动物体或同一物体在某一时刻的振动状态之间的差异。
机械振动的原理牛顿第二定律与机械振动根据牛顿第二定律，质点受到的合外力等于质量乘以加速度。
对于机械振动而言，合外力与物体相对平衡位置的位移成正比，且方向与位移相反。
根据这个关系可以得到机械振动的微分方程，从而求解机械振动的运动方程。
弹簧振子的简谐振动弹簧振子是机械振动的经典实例，它由质点和弹簧组成。
当质点相对平衡位置发生偏离时，弹簧受到的拉力或压力将恢复质点的位移。
弹簧振子的运动方程可以通过牛顿第二定律和胡克定律求解得到。
单摆的简谐振动单摆也是机械振动的经典实例，它由重物和不可伸长的轻绳组成。
重物在绳的限制下，围绕固定轴点作往复运动。
单摆的运动方程可以通过牛顿第二定律和几何关系求解得到。
阻尼振动和受迫振动除了简谐振动，机械振动还包括阻尼振动和受迫振动。
- 阻尼振动是振动系统受到阻力作用而逐渐衰减的振动。
机械振动和机械波知识点复习及总结
机械振动和机械波知识点复习一 机械振动知识要点1． 机械振动：物体（质点）在平衡位置附近所作的往复运动叫机械振动，简称振动条件：a 、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。
b 、阻力足够小。
回复力：效果力——在振动方向上的合力 平衡位置：物体静止时，受（合）力为零的位置： 运动过程中，回复力为零的位置（非平衡状态） 描述振动的物理量位移x （m ）——均以平衡位置为起点指向末位置振幅A （m ）——振动物体离开平衡位置的最大距离（描述振动强弱） 周期T （s ）——完成一次全振动所用时间叫做周期（描述振动快慢） 全振动——物体先后两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的过程频率f （Hz ）——1s 钟内完成全振动的次数叫做频率（描述振动快慢） 2． 简谐运动概念：回复力与位移大小成正比且方向相反的振动 受力特征：kx F -= 运动性质为变加速运动 从力和能量的角度分析x 、F 、a 、v 、E K 、E P 特点：运动过程中存在对称性平衡位置处：速度最大、动能最大；位移最小、回复力最小、加速度最小 最大位移处：速度最小、动能最小；位移最大、回复力最大、加速度最大✧ v 、E K 同步变化；x 、F 、a 、E P 同步变化，同一位置只有v 可能不同3． 简谐运动的图象（振动图象）物理意义：反映了1个振动质点在各个时刻的位移随时间变化的规律 可直接读出振幅A ，周期T （频率f ） 可知任意时刻振动质点的位移（或反之） 可知任意时刻质点的振动方向（速度方向） 可知某段时间F 、a 等的变化4． 简谐运动的表达式：)2sin(φπ+=t TA x 5． 单摆（理想模型）——在摆角很小时为简谐振动回复力：重力沿切线方向的分力 周期公式：glT π2= （T 与A 、m 、θ无关——等时性） 测定重力加速度g,g=224T Lπ 等效摆长L=L 线+r6． 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动（减幅振动）——振动中受阻力，能量减少，振幅逐渐减小的振动 受迫振动：物体在外界周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动。
大学物理——机械振动
振动能量曲线
E
Ek(t) Ep (t)
T
o
t
x
o
t
例:如图m=2×10-2kg, 弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0= -9.8cm, v0=0 (1) 取开始振动时为计时零点， m O 写出振动方程； (2) 若取x0=0，v0>0为计时零点， x 写出振动方程,并计算振动频率。 解： 确定平衡位置 mg=k l 取为原点 ⑴ x k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为 x A cos(t 0 )
A1
A2
O
x
A2
A1
A1
O
x
A2
O
x
0, x2超前x1 = 0, 同相 = ，反相
x1 = A1 cos(ωt + 130 ) 55 x2 A2 cos(t 75 )
x2振动落后x1振动55° 或，x1振动超前x2振动55°
RJ
k
mg kl 0
T
m
F2
m
o
a
mg
T
x
mg kl 0
当m有位移x时
RJ
mg T ma
a T k ( l x )R J R
联立得
k
T
m
F2
m
o
J kx R 2 a R mg x d2x k 物体作简谐振动 x0 2 2 dt m J R 2 k 2 2 m J R T 2 2 m J R k
例2 一质量为0.01kg的物体作简谐运动，振幅 为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处， 向Ox负方向运动。求：（1）t =1.0s时，物体所处 的位置和所受的力；（2）由起始位置运动到x =－ 0.04m处所需要的最短时间。 2 1 s A = 0.08 m T 4 s x0 = 0.04 m 2 T π φ= v0＜0 3 3 x 0.08cos t x 3 O 2 t =1.0s时，x1 0.08cos 0.069m 2 3 2 2 a x F1 ma1 m x1 1.70 103 N
大学物理机械振动总结
大学物理机械振动总结在物理学领域中，机械振动是指物体在受到外力作用后发生的周期性或非周期性的振动运动。
它是研究物体运动规律和能量传递的重要课题之一。
机械振动存在于我们日常生活的各个方面，从钟摆的摆动到汽车的悬挂系统，无处不体现着机械振动的存在。
首先，机械振动的基本特点是周期性。
在一个振动过程中，物体会在一定的时间间隔内不断重复同样的运动。
这种周期性运动可以用正弦函数或余弦函数来表达，而周期T则是振动的一个重要参数，表示一个完整振动过程所需要的时间。
其次，机械振动的频率是指单位时间内振动次数的多少。
频率f的倒数称为周期T，即T=1/f。
振动的频率越高，单位时间内振动次数越多，相应的周期也就越短。
频率与周期之间存在着倒数的关系，是彼此相互依存的。
频率和周期都是描述振动特征的重要参数，能够直观地表达出振动的快慢和紧凑程度。
再次，机械振动的振幅是指物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。
振幅越大，物体的运动范围也就越大，相应的振动能量也越大。
振幅与振动的能量之间存在着正相关的关系，振幅越大，能量传输的效果越明显。
此外，机械振动还有一个重要的参数叫做相位，用来描述物体在振动过程中的运动状态。
相位可以通过相位角来度量，它的变化范围在0到2π之间。
当相位角为0或2π时，物体达到最大振幅的正向运动；当相位角为π时，物体达到最大振幅的负向运动；当相位角为π/2或3π/2时，物体经过平衡位置，速度达到最大值。
机械振动的实际应用非常广泛。
例如，在建筑领域中，为了保证建筑物的稳定性和抗震性，需要对建筑结构进行振动分析和工程设计。
而在工业生产中，机械设备的振动也是一个重要的研究方向，可以通过合理的设计和调整来降低噪音和振动对设备和操作人员的影响。
此外，机械振动还有许多其他的应用，比如声学研究、航空航天技术等等。
总之，机械振动作为物理学领域中的一个重要分支，在科学研究和工程应用中都具有重要意义。
它的基本特征包括周期性、频率、振幅和相位等，这些特征参数可以用来描述和分析振动的规律和性质。
大学物理机械振动总结(二)2024
大学物理机械振动总结（二）引言概述：本文将对大学物理机械振动进行总结，包括其中的五个主要方面。
第一部分将介绍机械振动的基本概念和原理；第二部分将探讨机械振动的各种振动模式；第三部分将讨论机械振动的能量转换与耗散；第四部分将介绍机械振动的强迫振动与共振现象；最后一部分将概述机械振动的应用与未来发展方向。
机械振动的基本概念和原理：1. 振动的定义和分类2. 自由振动和受迫振动3. 振动系统的基本参数4. 单自由度振动系统的运动方程5. 阻尼振动和无阻尼振动机械振动的各种振动模式：1. 简谐振动和复谐振动2. 线性振动与非线性振动3. 自由振动与强迫振动4. 旋转振动和横向振动5. 特殊振动模式的示例和应用机械振动的能量转换与耗散：1. 势能与动能的转换2. 能量耗散与能量损失的机制3. 振动系统的能量储备和耗散方式4. 阻尼对振动系统的影响5. 能量转换与耗散的相关实例与应用机械振动的强迫振动与共振现象：1. 强迫振动的定义和性质2. 强迫振动的驱动力和响应3. 共振现象的发生条件和特性4. 共振的影响和应用5. 频率调谐和共振抑制方法机械振动的应用与未来发展方向：1. 机械振动在工程设计中的应用2. 振动传感器和控制技术的发展3. 振动的噪声控制与减震技术4. 机械振动在医学和生物工程领域的应用5. 未来机械振动研究的主要方向和挑战总结：本文对大学物理机械振动进行了全面总结。
通过对机械振动的基本概念和原理、各种振动模式、能量转换与耗散、强迫振动与共振现象以及应用与未来发展方向的介绍，我们可以更好地理解和应用机械振动的知识。
在未来，我们可以期待机械振动在工程领域和其他领域的新的应用和发展。
大学物理-机械振动
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
大学物理机械波振动题目汇总
0318一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？解：(1) 小物体受力如图． 设小物体随振动物体的加速度为a ，按牛顿第二定律有（取向下为正）ma N mg =- 1分)(a g m N -=当N = 0，即a = g 时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分 A = 10 cm ，N/m 3.060=k 有50/==m k ω rad ·s -1 2分系统最大加速度为 52max ==A a ω m ·s -2 1分 此值小于g ，故小物体不会离开． 1分(2) 如使a > g ，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得x a g 2ω-== 2分6.19/2-=-=ωg x cm 1分即在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离，由g A a >=2max ω，可得2/ωg A >=19.6 cm ． 1分3014一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24cm/s ，求(1)周期T ；(2)当速度是12 cm/s 时的位移．解：设振动方程为t A x ωcos =，则 t A ωωsin -=v(1) 在x = 6 cm ，v = 24 cm/s 状态下有t ωcos 126=t ωωsin 1224-=解得 3/4=ω，∴ 72.2s 2/3/2=π=π=ωT s 2分(2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t 2，则由t A ωωsin -=v得 2sin )3/4(1212t ω⨯⨯-=，解上式得 1875.0sin 2-=t ω相应的位移为 8.10sin 1cos 222±=-±==t A t A x ωω cm 3分 3021一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数μ为多少？解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为)cos(t A x ω=, t A xωωsin -=在6=x cm 处，24=xcm/s ∴ 6 =12|cos ω t |， 24=|-12 ω sin ω t |，解以上二式得3/4=ωrad/s 3分t A xωωcos 2-= ， 木板在最大位移处x 最大，为 2ωA x = ① 2分 若mA ω2稍稍大于μmg ，则m 开始在木板上滑动，取2ωμmA mg = ② 2分∴ 0653.0/2≈=g A ωμ ③ 1分 3022一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率．解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1， ω = 2πν = (π /4) s -1 3分 (1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方．t = 0时， 5-=x cm φcos A =t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=由上二式解得 tg φ = 1因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分25cos /==φx A cm 1分∴ 振动方程 )434c o s (10252π-π⨯=-t x (SI) 1分 (2) 速率 )434sin(41025d d 2π-π⨯π-==-t t x v (SI) 2分 当t = 0 时，质点在A 点221093.3)43sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==t x v m/s 1分 3027在一平板上放一质量为m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T= 21s ，振幅A = 4 cm ，求 (1) 物体对平板的压力的表达式．(2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为t A x π=4cos (SI)t A x π4cos π162-= (SI) 1分 (1) 对物体有 x m N mg=- ① 1分 t A mg x m mg N ππ+=-=4cos 162 (SI) ② 物对板的压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)t ππ--=4cos 28.16.192 ③ 2分 x(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分04cos 162=ππ+t A mg (SI)A q t 2164cos π-=π 1分 若能脱离必须 14cos ≤πt (SI)即 221021.6)16/(-⨯=π≥g A m 2分3264 一质点作简谐振动，其振动方程为 )4131cos(100.62π-π⨯=-t x (SI) (1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？解：(1) 势能 221kx W P = 总能量 221kA E = 由题意，4/2122kA kx =， 21024.42-⨯±=±=A x m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s 从平衡位置运动到2Ax ±=最短时间 ∆t 为 T /8．∴ ∆t = 0.75 s ． 3分3265在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．解： k = m 0g / ∆l 25.12N/m 08.08.91.0=⨯= N/m11s 7s 25.025.12/--===m k ω 2分 5cm )721(4/2222020=+=+=ωv x A cm 2分 4/3)74/()21()/(tg 00=⨯--=-=ωφx v ，φ = 0.64 rad 3分)64.07cos(05.0+=t x (SI) 1分3273一弹簧振子沿x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）．已知振动物体最大位移为x m = 0.4 m 最大恢复力为F m = 0.8 N ，最大速度为v m = 0.8π m/s ，又知t =0的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选x 轴方向相反．(1) 求振动能量；(2) 求此振动的表达式．解：(1) 由题意 kA F m =，m x A =，m m x F k /=．16.021212===m m m x F kx E J 3分 (2) π===2mm m x A v v ω rad /s 2分由 t = 0， φc o s 0A x ==0.2 m ， 0sin 0<-=φωA v可得 π=31φ 2分 则振动方程为 )312cos(4.0π+π=t x 1分 3391在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数 0/l mg k =． 选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，根据牛顿第二定律得 220d /d )(t x m x l k mg =+- 将 0/l mg k = 代入整理后得 0//d d 022=+l gx t x∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． 3分π===1.958.28/0l g ω 2分设振动表达式为 )cos(φω+=t A x 由题意： t = 0时，x 0 = A=2102-⨯m ，v 0 = 0，解得 φ = 0 1分 ∴ )1.9cos(1022t x π⨯=- 2分3827质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)318cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；(3) 振动的能量E ；(4) 平均动能和平均势能．解：(1) A = 0.5 cm ；ω = 8π s -1；T = 2π/ω = (1/4) s ；φ = π/3 2分(2) )318sin(1042π+π⨯π-==-t x v (SI) )318cos(103222π+π⨯π-==-t x a (SI) 2分 (3) 2222121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J 3分 (4) 平均动能 ⎰=T K t m T E 02d 21)/1(v ⎰π+π⨯π-=-Tt t m T 0222d )318(sin )104(21)/1( = 3.95×10-5 J = E 21+x )同理 E E P 21== 3.95×10-5 J 3分 3828一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1．(1) 求振动的周期T 和角频率ω．(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初速v 0及初相φ．(3) 写出振动的数值表达式．解：(1) 1s 10/-==m k ω 1分63.0/2=π=ωT s 1分(2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7.5 cm ，v 0 < 0由 2020)/(ωv +=x A 得 3.12020-=--=x A ωv m/s 2分π=-=-31)/(tg 001x ωφv 或 4π/3 2分 ∵ x 0 > 0 ，∴ π=31φ (3) )3110cos(10152π+⨯=-t x (SI) 2分 3834一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1，如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求(1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度．解：(1) 221kA E E E p K =+= 2/1]/)(2[k E E A p K +== 0.08 m 3分(2)222121v m kx = )(sin 22222φωωω+=t A m x m )(sin 222φω+=t A x 2222)](cos 1[x A t A -=+-=φω222A x =， 0566.02/±=±=A x m 3分(3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量221v m E E E p K =+= 8.0]/)(2[2/1±=+=m E E p K v m/s 2分3835在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 内完成48次振动，振幅为5 cm ．(1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为∆l ，则有l k mg ∆=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则0)(0=+-+∆x l k mg F解得 F = kx 0 2分 由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x0 则 02020)/(x x A =+=ωv 2分 又由题给物体振动周期4832=T s, 可得角频率 Tπ=2ω, 2ωm k = ∴ 444.0)/4(22=π==A T m kA F N 1分(2) 平衡位置以下1 cm 处： )()/2(2222x A T -π=v 2分221007.121-⨯==v m E K J 2分 2222)/4(2121x T m kx E p π== = 4.44×10-4 J 1分 解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ）， kA F = 2分 2224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz 2分∴ F = 0.444 N 1分(2) 总能量 221011.12121-⨯===FA kA E J 2分 当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25． 2分 ∴ 21007.1)25/24(-⨯==E E K J ，41044.425/-⨯==E E p J 1分5191一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：(1) 振动周期T ；(2) 加速度的最大值a m ；(3) 振动方程的数值式．解: (1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1∴ T = 2π/ω = 4.19 s 3分(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 2分 (3) π=21φ 5511如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．解：设物体的运动方程为 )c o s(φω+=t A x ． 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F ×0.05 = 0.5 J ．2分当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：5.0212=kA J ， ∴ A = 0.204 m ． 2分 A 即振幅． 4/2==m k ω (rad/s)2ω = 2 rad/s ． 2分按题目所述时刻计时，初相为φ = π．∴ 物体运动方程为 2分)2c o s (204.0π+=t x (SI)． 2分x = 0.02)215.1cos(π+t (SI) 3分 3078一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求(1) x = 0处质点振动方程；(2) 该波的表达式． 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 )2c o s(φν+π=t A y 由图可知，t = t ＇时 0)2cos(=+'π=φνt A y 1分0)2sin(2d /d <+'ππ-=φννt A t y 1分所以 2/2π=+'πφνt ， t 'π-π=νφ221 2分 x = 0处的振动方程为 ]21)(2cos[π+'-π=t t A y ν 1分 (2) 该波的表达式为 ]21)/(2cos[π+-'-π=u x t t A y ν 3分 3082如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s 沿x 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为t y π⨯=-4c o s 1032 (SI)．(1) 以A 点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，写出波的表达式． 解：(1) 坐标为x 点的振动相位为)]/([4u x t t +π=+φω)]/([4u x t +π=)]20/([4x t +π= 2分波的表达式为 )]20/([4cos 1032x t y +π⨯=- (SI) 2分(2) 以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为 ]205[4-+π='+x t t φω (SI) 2分 波的表达式为 ])20(4cos[1032π-+π⨯=-x t y (SI) 2分 3083一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播．设波沿着x 轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0 cm ，振动频率为25 Hz ，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24 cm ．当t = 0时，在x = 0处质元的位移为零并向x 轴正向运动．试写出该波的表达式．解：由题 λ = 24 cm, u = λν = 24×25 cm/s ＝600 cm/s 2分A = 3.0 cm ， ω = 2πν = 50 π/s 2分y 0 = A cos φ = 0， 0s i n 0>-=φωA yx u O t =t ′yA B x uπ-=21φ 2分 ]21)6/(50cos[100.32π--π⨯=-x t y (SI) 2分 3084一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅和角频率分别为A 和ω ，波速为u ，设t = 0时的波形曲线如图所示．(1) 写出此波的表达式．(2) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点的振动方程． (3) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点在t = 0时的振动速度．解：(1) 以O 点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为0c o s 0==φA y ， 0s i n 0<-=φωA v所以 π=21φ波的表达式为 ]21)/(c o s [π+-=u x t A y ωω4分 (2) 8/λ=x 处振动方程为]21)8/2(cos[π+π-=λλωt A y )4/cos(π+=t A ω1分 8/3λ=x 的振动方程为]218/32cos[π+-=λλπωt A y )4/cos(π-=t A ω1分 (3) )21/2sin(/d d π+π--=λωωx t A t yt = 0，8/λ=x 处质点振动速度]21)8/2sin[(/d d π+π--=λλωA t y 2/2ωA -=1分 t = 0，8/3λ=x 处质点振动速度]21)8/32sin[(/d d π+⨯π--=λλωA t y 2/2ωA =1分 3108两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：)244(31cos 1000.421t x y -π⨯=- (SI))244(31cos 1000.422t x y +π⨯=- (SI)求： (1) 两波的频率、波长、波速；(2) 两波叠加后的节点位置；(3) 叠加后振幅最大的那些点的位置．解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得：ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ，各1分 波速 u = λν = 6.00 m/s1分 (2) 节点位置 )21(3/4π+π±=πn x x u Oy)21(3+±=n x m , n = 0，1，2，3, … 3分 (3) 波腹位置 π±=πn x 3/44/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, … 2分3109设入射波的表达式为 )(2cos 1Tt xA y +π=λ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求(1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置．解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变π，且反射波振幅为A ，因此反射波的表达式为 ])//(2cos[2π+-π=T t x A y λ 3分(2) 驻波的表达式是 21y y y +=)21/2cos()21/2cos(2π-ππ+π=T t x A λ 3分 (3) 波腹位置： π=π+πn x 21/2λ, 2分 λ)21(21-=n x , n = 1, 2, 3, 4,… 波节位置： π+π=π+π2121/2n x λ 2分 λn x 21= , n = 1, 2, 3, 4, (3110)一弦上的驻波表达式为 t x y ππ⨯=-550c o s )6.1(c o s 1000.32 (SI)．(1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅及波速；(2) 求相邻波节之间的距离；(3) 求t = t 0 = 3.00×10-3 s 时，位于x = x 0 = 0.625 m 处质点的振动速度．解：(1) 将 t x y ππ⨯=-550cos 6.1cos 1000.32与驻波表达式 )2cos()/2cos(2t x A y νλππ= 相对比可知：A = 1.50×10-2 m, λ = 1.25 m ， ν = 275 Hz波速 u = λν = 343.8 m/s 5分(2) 相邻波节点之间距离 λ21=∆x = 0.625 m 2分 (3) 2.4600,-=∂∂=t y t x v m/s 3分 3111 如图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密媒质的反射面．波由P 点反射，OP = 3λ /4，DP = λ /6．在t = 0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D 点处入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为A ，频率为ν．）解：选O 点为坐标原点，设入射波表达式为])/(2c o s [1φλν+-π=x t A y 2分 则反射波的表达式是 ])(2cos[2π++-+-π=φλνxDP OP t A y 2分 合成波表达式（驻波）为 )2cos()/2cos(2φνλ+ππ=t x A y 2分 在t = 0时，x = 0处的质点y 0 = 0， 0)/(0<∂∂t y ，故得 π=21φ 2分 因此，D 点处的合成振动方程是)22cos()6/4/32cos(2π+π-π=t A y νλλλt A νπ=2sin 3 2分 3138某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求(1) 该质点的振动方程；(2) 此振动以波速u = 2 m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以该质点的平衡位置为坐标原点）；(3) 该波的波长．解：(1) 振动方程 )22cos(06.00π+π=t y )cos(06.0π+π=t (SI) 3分 (2) 波动表达式 ])/(c o s[06.0π+-π=u x t y 3分 ])21(c o s [06.0π+-π=x t (SI) (3) 波长 4==uT λ m 2分 3141图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 (1) 该波的波动表达式；(2) P 处质点的振动方程． 解：(1) O 处质点，t = 0 时0cos 0==φA y ， 0sin 0>-=φωA v所以 π-=21φ 2分 又 ==u T /λ (0.40/ 0.08) s= 5 s 2分故波动表达式为 ]2)4.05(2c o s [04.0π--π=x ty (SI) 4分 (2) P 处质点的振动方程为 ]2)4.02.05(2cos[04.0π--π=ty P )234.0cos(04.0π-π=t (SI) 2分 3142 (m) -图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．已知波速为u ，求(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波动表达式． 解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向左传播．在t = 0时刻，O 处质点φc o s 0A =， φωs i n 00A -=<v ，故 π-=21φ 2分 又t = 2 s ，O 处质点位移为 )214cos(2/π-π=νA A 所以 π-π=π-21441ν， ν = 1/16 Hz 2分振动方程为 )218/c o s (0π-π=t A y (SI) 1分 (2) 波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s波长 λ = u /ν = 160 m 2分波动表达式 ]21)16016(2cos[π-+π=x t A y (SI) 3分 3143如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求 (1) 该波的表达式；(2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式． 解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向左传播． 原点O 处质点，t = 0 时φcos 2/2A A =, 0sin 0<-=φωA v所以 4/π=φO 处振动方程为 )41500cos(0π+π=t A y (SI) 3分 由图可判定波长λ = 200 m ，故波动表达式为]41)200250(2c o s [π++π=x t A y (SI) 2分 (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是)45500cos(1π+π=t A y 1分 振动速度表达式是 )45500cos(500π+ππ-=t A v (SI) 2分 3144一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．(1) 求P 处质点的振动方程；(2) 求此波的波动表达式； t (s)0-A 1y P (m)(3) 若图中 λ21=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程．解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为])4/2cos[(π+π=t A y P )21cos(π+π=t A (SI) 3分 (2) 波动表达式为 ])4(2c o s [π+-+π=λd x tA y (SI) 3分(3) O 处质点的振动方程 )21cos(0t A y π= 2分 3158在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为)]/(2cos[1λνx t A y -π= 与 )]/(2cos[22λνx t A y +π= ，试求Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置．解：(1) 设振幅最大的合振幅为A max ，有φ∆⋅++=cos 22)2(222max A A A A A式中 λφ/4x π=∆，又因为 1/4c o s c o s =π=∆λφx 时，合振幅最大，故 π±=πk x 2/4λ合振幅最大的点 λk x 21±= ( k = 0，1，2，…) 4分 (2) 设合振幅最小处的合振幅为A minφ∆⋅++=cos 22)2(222min A A A A A因为 1cos -=∆φ 时合振幅最小且 λφ/4x π=∆故 π+±=π)12(/4k x λ合振幅最小的点 4/)12(λ+±=k x ( k = 0，1，2，…) 4分 3335一简谐波，振动周期21=T s ，波长λ = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求：(1) 此波的表达式；(2) t 1 = T /4时刻，x 1 = λ /4处质点的位移；(3) t 2 = T /2时刻，x 1 = λ /4处质点的振动速度．解：(1) )1024cos(1.0x t y π-π=)201(4cos 1.0x t -π= (SI) 3分 (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移)80/4/(4cos 1.01λ-π=T ym 1.0)818/1(4cos 1.0=-π= 2分(3) 振速 )20/(4sin 4.0x t t y -ππ-=∂∂=v ． )4/1(212==T t s ，在 x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的振速 O P d26.1)21sin(4.02-=π-ππ-=v m/s 3分 3410一横波沿绳子传播，其波的表达式为 )2100c o s(05.0x t y π-π= (SI) (1) 求此波的振幅、波速、频率和波长．(2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度．(3) 求x 1 = 0.2 m 处和x 2 = 0.7 m 处二质点振动的相位差．解：(1) 已知波的表达式为)2100cos(05.0x t y π-π= 与标准形式)/22cos(λνx t A y π-π= 比较得A = 0.05 m ， ν = 50 Hz ， λ = 1.0 m 各1分u = λν = 50 m/s 1分(2) 7.152)/(max max =π=∂∂=A t y νv m /s 2分322m a x 22m a x 1093.44)/(⨯=π=∂∂=A t y a ν m/s 2 2分(3) π=-π=∆λφ/)(212x x ，二振动反相 2分3476一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波的表达式为 )/(2cos λνx t A y -π=, 而另一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，波的表达式为 )/(2cos 2λνx t A y +π=求：(1) x = λ /4 处介质质点的合振动方程；(2) x = λ /4 处介质质点的速度表达式．解：(1) x = λ /4处)212c o s (1π-π=t A y ν , )212cos(22π+π=t A y ν 2分 ∵ y 1，y 2反相 ∴ 合振动振幅 A A A A s =-=2 , 且合振动的初相φ 和y 2的 初相一样为π21． 4分 合振动方程 )212cos(π+π=t A y ν 1分 (2) x = λ /4处质点的速度 )212sin(2/d d π+ππ-== v t A t y νν )2cos(2π+ππ=t A νν 3分 5199有一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，其波速u = 400 m/s ，频率ν = 500 Hz ．(1) 某时刻t ，波线上x 1处的相位为φ 1，x 2处的相位为φ 2，试写出 x 2 - x 1与φ 2 - φ 1的关系式，并计算出当x 2 - x 1 = 0.12 m 时φ 2 - φ 1的值．(2) 波线上某定点 x 在t 1时刻的相位为1φ'，在t 2时刻的相位为2φ'， 试写出t 2 - t 1与12φφ'-'的关系式，并计算出t 2 - t 1 = 10-3 s 时12φφ'-'的值． 解：该波波长 λ = u /ν = 0.8 m(1) x 2点与x 1点的相位差为λφφ/)(2)(1212x x -π=--λφφ/)(21212x x -π-=- 3分当=-12x x 0.12 m 时 π-=-3.012φφ rad 1分(2) 同一点x ，时间差12t t -，相应的相位差T t t /)(21212-π='-'φφ)(212t t -π=ν 3分当 31210-=-t t s 时， π='-'12φφ rad 1分5319已知一平面简谐波的表达式为 )24(cos x t A y +π= (SI)．(1) 求该波的波长λ ，频率ν 和波速u 的值；(2) 写出t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；(3) 求t = 4.2 s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t ．解：这是一个向x 轴负方向传播的波．(1) 由波数 k = 2π / λ 得波长 λ = 2π / k = 1 m 1分由 ω = 2πν 得频率 ν = ω / 2π = 2 Hz 1分 波速 u = νλ = 2 m/s 1分(2) 波峰的位置，即y = A 的位置．由 1)24(cos =+πx t有 π=+πk x t 2)24( ( k = 0，±1，±2，…)解上式，有 t k x 2-=．当 t = 4.2 s 时， )4.8(-=k x m ． 2分所谓离坐标原点最近，即| x |最小的波峰．在上式中取k = 8，可得 x = -0.4的波峰离坐标原点最近． 2分(3) 设该波峰由原点传播到x = -0.4 m 处所需的时间为∆t ，则 ∆t = | ∆x | /u = | ∆x | / (ν λ ) = 0.2 s 1分 ∴ 该波峰经过原点的时刻 t = 4 s 2分 5516平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度．解：设x = 0处质点振动的表达式为 )c o s (0φω+=t A y ，已知 t = 0 时，y 0 = 0，且 v 0 > 0 ∴π-=21φ ∴ )2cos(0φν+π=t A y )21100cos(1022π-π⨯=-t (SI) 2分 由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为 )/22c o s (0u x t A y νφνπ-+π=)2121100cos(1022x t π-π-π⨯=- (SI) 2分 x = 4 m 处的质点在t 时刻的位移)21100cos(1022π-π⨯=-t y (SI) 1分 该质点在t = 2 s 时的振动速度为 )21200sin(1001022π-π⨯⨯-=-πv 2分 = 6.28 m/s 1分5519在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λωxt A y π+=，入射波在x = 0处绳端反射，反射端为自由端．设反射波不衰减，求驻波表达式．解：入射波在x = 0处引起的振动方程为 t A y ωc o s 10=，由于反射端为自由端，所以反射波在O 点的振动方程为 t A y ωc o s 20= 2分∴反射波为 )2cos(2λωxt A y π-= 3分合成的驻波方程为 21y y y +=)2cos(λωx t A π+=)2cos(λωx t A π-+ t x A ωλcos )2cos(2π= 3分5520 在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λπωx t A y +=，入射波在x = 0处反射，反射端为固定端．设反射波不衰减，求驻波表达式． 解：入射波在x = 0处引起的振动方程为 t A y ωc o s 10=，由于反射端为固定端,∴反射波在 x = 0处的振动方程为)cos(20π+=t A y ω 或 )c o s (20π-=t A y ω 2分 ∴反射波为 )2cos(2λωxt A y π-π+=或 )2cos(2λωxt A y π-π-=3分 驻波表达式为 21y y y += )2cos(λωxt A π+=)2cos(λωxt A π-π-+)21cos()212cos(2π+π-π=t x A ωλ3分 或 )21cos()212cos(2π-π+π=t xA y ωλ。
机械振动和机械波知识点总结
机械振动和机械波知识点总结一、机械振动的基本概念1.简谐振动：具有恢复力的物体围绕平衡位置作周而复始的往复运动，其运动规律满足简谐振动的规律。
2.振幅：振动的最大偏离量，表示振动的幅度大小。
3.周期：振动完成一次往复运动所经历的时间。
4.频率：单位时间内振动的循环次数。
5.角频率：单位时间内振动的循环角度。
6.动能和势能：振动物体在做往复运动过程中，动能和势能不断转化。
7.谐振：当外力与物体的振动频率相同时，产生共振现象，能量传递效率最高。
二、机械振动的描述方法1.运动方程：描述物体随时间变化的位置。
2.振动曲线：以时间为横轴，位置或速度为纵轴，绘制出的曲线。
3.波形图：以距离为横轴，垂直方向的位移、压强或密度为纵轴，绘制出的曲线。
三、机械振动的特性1.振动的幅度、周期和频率可以通过测量来确定。
2.振动的速度和加速度随时间变化而变化，速度与位置之间呈正弦关系，加速度与位置之间呈负弦关系。
3.振动的能量在物体各个部分之间以波动形式传递，不断发生能量转化。
4.振动物体的相对稳定位置是平衡位置，物体相对平衡位置的偏离量越大，能量传递越快，振幅越大。
四、机械波的基本概念1.机械波是一种能量的传递方式，通过介质中的相互作用使得能量沿介质传播。
2.波的传播速度与介质的性质有关，弹性固体中传播速度最大，液体次之，气体最小。
3.机械波分为横波和纵波。
横波的传播方向与振动方向垂直，如水波；纵波的传播方向与振动方向一致，如声波。
五、机械波的描述方法1.波的频率、波长和传播速度之间存在关系：波速=频率×波长。
2.波谱分析：将波的复杂振动分解成一系列简单谐波的叠加。
3.波的传播可分为反射、折射、干涉、衍射和驻波等现象。
六、机械波的特性1.超前传播：波的传播速度比振动速度快。
2.波的干涉：两个波相遇时，根据叠加原理，产生增强或减弱的效果。
3.波的衍射：波通过孔隙或物体边缘时发生的现象。
4.驻波：两个等幅、频率相同的波在空间中相遇，发生干涉，形成波节和波腹。
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x Acos(t 0 ) v Asin(t 0)
初始条件 t 0, x x0 , v v0
x0 Acos0
v0
Asin0
A
x02
( v0
)2
振幅A由初始 条件决定
2、周期 、频率、角频率
周期T ：物体完成一次全振动（状态重复一次）
所需时间。
Acos(t 0) Acos(t T ) 0
讨论 已知t 0, x 0, v0 0 求 0
0 A cos0
0
π 2
v0 A sin 0 0
sin 0 0
取
0
π 2
x
A
x Acos(t π)
2
o
A
v
x
o
xt图
Tt
T 2
例 物体沿x轴作谐振动，在t=0时，其坐标
为x（0）＝－8.50cm、速度为－0.92m/s、加
速度47.2m/s2. 求（1）弹簧振子的频率和周期 （2）初相位和振幅
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
（广义）振动：任一物理量(如位移、电流、电 场强度、温度等)在某一数值附近周期性变化。
机械振动按照振动的形式分类 振动分类
线性振动
非线性振动
自由振动
受迫振动
受迫振动
阻尼自由振动
自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
4-1 简谐振动运动学
8
昆虫翅膀振动的 频率（Hz）
雌性蚊子 雄性蚊子 苍蝇 黄蜂
355~415 455~600 330 220
3、相位和初相位 x Acos(t 0 )
t 0 ——相位，决定谐振动物体的运动状态
v Asin(t 0 )
a
d2x dt 2
A2
cos(t
0 )
0 是t =0时刻的位相—初相位
t 0 x0 Acos0 v0 A sin0
v(cms1)
解：用旋转矢量法 辅助求解
31.4
15.7 0
15.7
1
t(s)
31.4
x Acos(t )
v vm
Asin(t ) vm A 31.4cms1
cos(t
2
)
v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位
t
2
由图知 2
23
6
1 s1
A vm 31.4 10cm
3.14 x 10 cos( t )cm
6
t 0
2
o
v
t 1s
4 -2 单摆和复摆(简谐振动动力学)
简谐振动
一 单摆
d2x dt 2
2
x
0
5 时，sin
tan 0
v0
x0
初相位 也由初 始条件
决定
小结
（1）简谐振动的判据：
① F= － kx
物体受“线性回复力”性质的力
② ③
d2x dt 2
x
A
2x 0
cos(t
0
动力学方程（简谐振动微分方程） ) 运动（振动）方程
（2）对给定振动系统，周期和频率由系统本身性质 决定（固有周期、固有频率）
（3）振幅和初相由初始条件决定
a o
T
t v
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
(t 2 ) (t 1)
2
1
2 1
0同步 x
超前
π 反相 为其它 落后
x
x
o
o
o
t
t
t
例题 已知某简谐振动的 速度与时间的关系 曲线如图所示，试求其振动方程。
A
x02
( v0
)2
tan 0
v0
x0
三. 简谐振动的描述方法
1. 解析法 x=Acos( t+0 ),且 A>0
已知表达式 A、T、 0 已知 A、T、 0 表达式
2. 曲线法
m
x A
0 = /2
o
xo
Tt
x0 = 0 已知曲线
-A
A、T、 0
已知 A、T、 0 曲线
曲线反映了三个特征量；任意时刻的位移和速度方向
x
x Acos(t )
vm A
v A sin(t )
an A 2 a A2 cos(t )
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
v
A
sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
2
)
a A2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
T/4
T/4
一、简谐振动的规律
简谐振动是最简单最基本的线性振动。
简谐振动
合成 复杂振动
分解
1、简谐振动概念：一个作往复运动的物体，如果
其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t
按余弦（或正弦）规律变化的振动。
运动（振动）方程：x Acos(t 0 )
如：弹簧振子模型（理想的谐振动模型）
F kx “线性回复力”
T 2
频率：单位时间内振动的次数。
1 T
2
角频率： 2 2
T
对弹簧振子 k
m
T 2 m
k
1 k 2 m
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质决 定的。所以叫固有周期、固有频率、固有角频率
动物的心跳（次/分）
大象 猪 松鼠
25~30 马 60~80 兔 380 鲸
40~50 100
•
tan x(0) 0.461 x(0)
155o ＝ 25（o 不符合题意）
A= x(0) 9.4cm
cos
3、几何描述------旋转矢量表示法
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它 振的 幅模A ，等并于使振矢动量的A
在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 匀角速转动，其角
速度 与振动频率
解： 设 x Acos(t )............(1)
x(0) Acos............(2)
•
x(0) Asin............(3)
••
x(0) 2 Acos............(4)
••
x(0) 23.5(rad / s)
x(0)
T 2 0.27s
相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
t 0
o
A
x0 x
x0 Acos
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运
动.
旋转矢量分析速度和加速度
y
vm t π
2
t an
A
O
a
v
d2x kx m dt 2
m k
Ox
2 k m
d2x dt 2
2
x
0
d2x dt 2
2
x
0
其通解为：
ห้องสมุดไป่ตู้
简谐振动的微分方程
x Acos(t 0 ) 简谐振动的运动学方程 v dx A sin(t )
dt
a d2 x A 2 cos(t )
dt 2
二、描述简谐振动的特征量
1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位 移（或角位移）的绝对值。