第十五届高中数学希望杯竞赛

合集下载

第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理

A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、组填空题（每题分，共分） 11 ．已知函数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数，
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数，
当
xÎR 时，
î0，x为无理数.
î1，x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9．等比数列
an
中，“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10．已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称，则 f (x) =（）
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
，且
Sn Tn
=
3n - 3 ，则 a6 2n + 3 b6
=（
）
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中，与 EF 相等的向量的个 E

关于公布第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高中福州赛区(初一年)获奖

第十九届“希望杯”全国数学邀请赛福州赛区获奖名单各县（市）区进修校，市属中学、县（市）区属中学，各私立学校：第十九届“希望杯”全国数学邀请赛决赛于4月13日进行，经评选，共评出，七年级：一等奖3名、二等奖24名、三等奖277名，共304名；高一年：一等奖1名、二等奖9名、三等奖105名，共115名。

特此表彰。

附件：获奖名单福州教育学院二○○八年六月十二日附件：获奖名单七年级一等奖学校学生姓名指导教师学校学生姓名指导教师闽清天儒中学林坚黄祥凤三中金山校区刘甫晟林如福州十八中学林煌翔韩振卿二等奖闽清天儒中学何常强黄运杰闽清天儒中学黄拔炜黄祥凤福州延安中学周立康周惠艳福州教院附中余毅锟刘宏图福州十九中学卢皓川陈中华福州二十四中薛斯斯陈永清罗源第三中学林子昂林水娟福州时代中学卞文杰范达铭闽清城关中学陈国锴黄学声闽清天儒中学吴虹燕林文俊罗源第三中学于召新黄兆文永泰第一中学温光耀金建瑜福州三牧中学杨亦萍蒋燕敏福州屏东中学蔡兆毅林峰罗源第三中学叶子桐黄菁福清融城中学高思坦洪晶福州华伦中学任琰胡春来福州十九中学陈嘉璇陈中华福州时代中学李健行吴婷华南实验中学林友城余雪芳连江启明中学郑书涵翁孝团闽侯尚干中学林锦林文福州第十中学练文钦薛正森长乐华侨中学官明正陈春燕三等奖闽清天儒中学林涌燊林乐礼闽清天儒中学赖昌勤林乐礼福州时代中学朱睿吴婷连江启明中学何宇翁孝团连江凤城中学叶韫盛郑本蛟福清融城中学吴镇邦卢青冰福州十九中学陈炜捷陈中华闽清城关中学刘雨忱黄声锋福清融城中学薛晨韬洪晶福州第一中学陈景林孙学文福州延安中学王学灿欧之海闽清天儒中学俞杭王向平福州十九中学洪伟峻陈中华福州十八中学柯薇陈英2闽清城关中学黄淮锐陈绍坦闽清天儒中学张维洵林文俊闽清天儒中学陈涵林乐礼福州民族中学郑承捷张秀春福清融城中学何华强洪晶福州屏东中学陈舒晴胡碧莲福州延安中学蔡晶晶钟奇汉闽清天儒中学雷华钊许力科福州民族中学魏弋莘肖周宜福州民族中学赵艳兰李雁峰福清文光中学何敏哲李加良福州教院附中刘瀚文刘宏图福州三牧中学王琰君蒋燕敏福州三牧中学张浩宇黄霖明福州十八中学林镔陈英福州十九中学陈泓铮陈中华福州民族中学雷小芳黄兆英福清文光中学吴茂恺倪明罗源第三中学郭丽超尤芳福清林厝中学何善财陈训育福清文光中学关玮郭小荣福州屏东中学刘思佳陈鸿燕四中桔园洲中学张捷谢小鹏福州第一中学丁运胡舒婷福州二十四中王玮璇陈雯罗源第三中学陈旭林书宝福清元洪高级中学林梦媛林华云福州三十六中瞿宜聘叶坤瑞福州三牧中学姜之麒刘姝福州十八中学叶欣杰陈英福州时代中学杨志灿林晶长乐华侨中学林雨陈肇清长乐朝阳中学郑师宜郑娟长乐旒峰中学陈香翔林秋锦闽侯淘江中学林嘉乐黄慧敏福州杨桥中学林翔陈清松福州励志中学陈晗陈兴林罗源第三中学黄天旭陈继盛福清文光中学吴希峣俞建枝闽侯淘江中学林成伟庄芳芳福州华伦中学刘因胡春来福州二十四中陈佳丽陈建虹长乐吴航中学陈文韬滕晖长乐华侨中学吴艺鸣曾兰娟长乐吴航中学陈董欣王家利福州民族中学胡佳美郑强国罗源第三中学沈伟烨纪建新福清融城中学姚莹卢青冰3连江启明中学林汉钊张立群闽侯淘江中学张炀阳张金清永泰城关中学张维泰董坤兴永泰城关中学陈冲温洪想福州华伦中学吴旭胡春来福州华伦中学章磊胡春来福州日升中学林星游林新云福州十一中学张铁男王淋淋福州屏东中学杨添胡碧莲福州十八中学陈氷枭韩振卿福州民族中学杨起伟邢玉桃罗源第三中学宁潇林晓艳福清文光中学吴彦李加良连江凤城中学孙昌炽郑本蛟闽侯青圃中学林烨芳陈望忠闽侯淘江中学蔡辉张金清福州华伦中学陈君豪魏正余福州第七中学陈祥马利榕长乐朝阳中学林升陈长春长乐朝阳中学陈隆陈锦福州民族中学兰进斌陈耀福清高山中学陈恺亮林文志福清港头中学王丁祥郑姗姗元洪高级中学俞涵林华云连江启明中学陈晗翁孝团闽侯沪屿中学叶宇翔戴荣闽侯实验中学张子钊江连顺永泰第一中学林星张田夫永泰云山中学徐华泉刘春启福州教院附中范思林刘宏图福州黎明中学林良哲叶李花福州英才中学张成旺郑其鉴福州第十五中陈志腾郑雪丽福州励志中学孙朝炜陈兴林福州第十四中林淑婷康萍福州第十八中林伊陈英福州民族中学谢健江郑卫福清文光中学陈凯頔李加良连江启明中学林婷张立群闽侯白沙中学李婷婷徐振明闽侯淘江中学黄伟张金清闽侯虎峰中学林帅斌林瑞新闽侯尚干中学林嘉乐林文师大文博附中李羚朱本辉师大二附中欧江皓林礼贤长乐航城中学张端鸿黄瑞贞长乐朝阳中学林芳婧郑娟福清文光中学潘冠星俞建枝4福清文光中学方舟郭小荣元洪高级中学郑婷婷林华云福清融城中学林意君魏荣福清西山学校陈佳虹饶爱红福清高岭中学林小峰陈龙锦闽侯竹歧中学陈成汉陈玉华闽侯淘江中学吴津津庄芳芳闽侯青圃中学林茂宇施文坚福州华侨中学陈鸿辉陈樟福州第十一中李钧霆陈勇福州第十一中陈卓诺王淋淋福州励志中学刘昕晨陈兴林福州第十八中王轩吴理品福州外国语学校陈泓静郑球福州外国语学校林海烽郑球福清文光中学陈昕苑郭小荣连江启明中学曾骁翁孝团闽侯荆溪中学李梦男洪雪琴闽侯实验中学程序周谟铝阳光国际学校胡宁宁于霞福州二十九中曾铎祥李旭辉福州二十九中朱钰涵李旭辉长乐文武砂中林祥林伟真罗源鉴江中学江舒婷黄锦锋福清城头中学张海威林碧强福清文光中学魏佳伟俞建枝福清文光中学周瑸俞建枝福清文光中学魏模俊郭小荣福清元樵中学陈翔周秀亮福清芦华中学余良武林泽平福清融城中学何庚洪晶福清融城中学方祥兴洪晶福清融城中学林瑜斌洪晶连江启明中学石世纪陈祖强连江启明中学方仪罗惠钦连江透堡中学郑国瑞杨维铨闽侯良存中学林凯赵浩飞闽侯沪屿中学叶澍戴荣福州外国语学校刘宏杰郑球福州三十六中张嘉梁陈英平闽江学院附中汪鸿鸣郭妮亚福州黎明中学张嘉蕾郑明辉师大文博附中许书城朱本辉福州第十中学林耀王杏灵长乐朝阳中学黄恒意陈碧莺福清华侨中学林星垂谢铖斌福清第二中学薛宇航陈霞英闽侯大义中学陈标黄晓英5永泰云山中学卢圣添刘春启永泰东洋中学邓国栋黄朱健福州黎明中学江飞龙郑明辉师大文博附中郑垚朱本辉长乐朝阳中学刘剑豪陈碧莺长乐营前中学林锦李增灵长乐长乐二中陈贤钦叶玉娟罗源三和中学陈文凯薛丹丹罗源第二中学王小平陈朝云福清宏路中学倪坤庄章勤福清宏路中学林凡超庄章勤福清文光中学张宇翔郭小荣福清第二中学陈源韬梁世旺福清芦华中学郑青杰林泽平福清融城中学江友浜吴伟强福清融城中学李凌燕颜少云福清西山学校唐志洋王丹平永泰城关中学叶绍煜刘雪琴永泰城关中学张玲珠温洪想永泰云山中学郑宏波胡灿礼福州黎明中学陈婷郑明辉福州杨桥中学严潘心陈巧香教院二附中王锦波吴亚琼福州励志中学李鑫陈兴林福州励志中学林可馨陈兴林华南实验中学陈文凯黄焰师大文博附中许明侯素芳永泰城关中学檀灵潇范思忠福州第七中学陈志凌马利榕福州三十二中杨嘉伟林力福州二十九中谢周锦李旭辉长乐航城中学高林耿冯丽华长乐长乐二中陈灵陈黎航长乐华侨中学陈震东曾兰娟长乐吴航中学林子荐江秀英福清育才中学翁佳辉郑丽明江兜华侨中学翁松健翁英胜福清民乐中学陈杰郑峰福清临江中学林晓鑫严松发连江凤城中学林圳锋方圆永泰城关中学鲍霖寰董坤兴永泰城关中学王岩董坤兴永泰二十一中卢祯标卢进林永泰霞拔中学章忠铧卢仲济永泰第十五中鄢武张彩霞福州黎明中学温玮昊李国钦福州三十八中倪萍宋文献福州三十八中王特特吴丹岚6福州铜盘中学张鸿万潘琍师大二附中魏淑倩林礼贤罗源第二中学林钧余宁平永泰第一中学林璇蒋何兴福州第七中学许黄敏马利榕福州三十二中余敏林力福州二十四中刘宇镕陈建虹福州二十四中张晨琦陈建虹福州二十九中廖典鹏李旭辉长乐营前中学林峰郑学钦连江兴海学校蔡丽清刘红艳永泰十五中学张利城张彩霞格致鼓山校区蔡莹莹赵丹丹福州第七中学潘星辉彭金祥福州二十四中陈锦添吴件灯福州第四十中林振张惠萍永泰城关中学吴梧鸿林瑞云永泰第一中学张铭丰张祖冬福州三十七中潘鑫婷林文忠八中鳌峰初中卞潇煜林巧燕福州四十一中李昌润林花长乐华阳中学杨星李心超长乐农业中学林星辉候能辉长乐感恩中学刘权陈锦风连江蓼沿中学黄志华汤展潘永泰三洋中学鲍家潮王德程永泰盘谷中学吴晓婷方国财永泰永泰二中郑梅影张洪雅永泰葛岭中学林锦侯明容福州十六中学林泽暄陈国光十八中象园分校周承尧陈晓东福州秀山中学庄庆胜黄家强福州秀山中学冯帆邓赐荣福州十二中学严华伟王德贵福州则徐中学陈芷琼郑伯熙福州二十四中张宜佳陈雯福州二十四中陈安钰谢源波福州第四十中陈宏张惠萍长乐沙京中学文静刘义敏长乐长乐四中林炳辉邱德祥闽江学院附中李铖姜裕晓福州第十六中郑丁榕池贤云福州第十五中魏佳代庄澂福州第十四中张望鹏康萍福州第十中学林滢王杏灵长乐三溪中学陈英黄文标黄如论中学郑榕鹏吴灵强福州英才中学林辉吴燕7福州第十二中叶煌王德贵连江明智学校林子思廖均启连江琯头中学赵航杨银妹福州第十六中赵颖余铿俤` 四中桔园洲中学阮文烽王玲娟福州鼓山中学陈阳林东升黄如论中学谢昂谢承才连江树德学校郑焱辉唐得成连江官坂中学林宁叶贤潜连江树德学校吴雅珍严金文福州亭江中学张希园魏秀宗长乐金峰中学王振李秀青连江晓澳中学林飞林威八中鳌峰初中黄文艳林巧燕长乐城关中学邹冠义林豪长乐第五中学游超男陈洲平福州第六中学林源烨江华福州三十四中黄舜晖陈成铨长乐漳新中学林云钦柯维福州格光中学王曜林翔福州二十二中林鑫许兰英长乐朝阳中学张可奇郑鑫金桥高级中学（闽）夏耿毅陈碧高一年级一等奖学校学生姓名指导教师福州第一中学苏钧王欣二等奖福州第一中学刘庆航高东光福州第一中学许鹏辉范思乡福州第一中学林锦帆石先兵福州第一中学陈翰轩石先兵福州第一中学罗玫陶文平福州第一中学黄嘉曌陶文平福州第一中学董泳森黄炳锋福建师大附中黄申石连信榕福清第一中学周汀陈贻康三等奖8福州第一中学林健夫高东光福州第一中学曾溦马俊祥福州第一中学罗海韬黄炳锋罗源第一中学欧国标巫智杰福州第三中学徐刘彬黄炳锋长乐第一中学刘景泽陈永河福清第一中学周伟鹰陈贻康福建师大附中陈舒扬连信榕福州第八中学陈含涛陈文清长乐第一中学郑建潮许尚雄福建师大附中张心祥连信榕福州第七中学王树鹏王光英福州第八中学王翔王芳玲闽清第一中学林立财张和生金桥高级中学（福）邱画谋林岳水罗源第一中学沈文锋郑文雄福州第三中学庄煜昕葛晓杭长乐第一中学柯梢柏吴丽娜福清第一中学林小青陈贻康闽侯第一中学陈彦顺邹华生福清第三中学王长停高国祥福州第三中学王君行黄炳锋长乐第一中学江春辉陈永河福清高山中学林华陈天明福清华侨中学王建武陈天明福清第一中学陈宇明陈贻康福清第一中学张宇澄陈贻康福州格致中学陈柯任李颂京闽清第一中学庄忠秋张和生长乐第一中学林昶咏连佳福清第一中学翁才营陈贻康闽侯第三中学池存杰林锦霞闽侯第一中学林景煌邹华生闽清第一中学林楠张和生闽清第一中学林世杭张和生长乐第一中学林宇鹏许尚雄罗源第一中学张朝钧肖永伙长乐第一中学刘志鸿许尚雄福清第三中学施磊何艇福州第三中学李睦尧黄炳锋福州第三中学吴柯黄炳锋师大文博附中刘玉冰李建娇福州第八中学李滢宋长芬长乐第一中学陈恩连佳福州第三中学林燕黄炳锋福州第三中学熊涛黄炳锋福州高级中学林晨辉高岚龙长乐第七中学江明敬陈依秀9罗源第一中学黄思辰范学基福清虞阳中学胡浩然汤小梅福州第二中学文理峰廖晓庆福州第八中学郑良栋宋长芬永泰第一中学何培颖郑莎莎福州第三中学郑可明郑文祺福州第三中学阮悦葛晓杭福州第三中学林荔菲黄炳锋永泰第二中学林登樟陈俊斌福州华侨中学林希聪郑笑容福州第八中学王超陈文清福州第八中学郑春晨陈文清福州第四中不余昌嵩陈清福州民族中学林子澍丁金萍罗源第一中学卓义斌张昊福州第十八中林潇龙王华长乐华侨中学陈彩枫郑敏惠永泰第一中学黄栋陈小丹福州格致中学王子剑郑鹏宇闽侯第三中学范体权林锦霞福州高级中学高宇奕高岚龙闽侯第一中学方威张少芬闽侯第一中学潘登辉潘榕永泰第二中学林泽贵张智灿福州第八中学吴闽星周平罗源第一中学林齐勇孔敬锋福清华侨中学陈涛陈天明师大文博附中王劲淳马耀新阳光国际学校倪隆成唐雅英福清虞阳中学游桂辉张玉婷福州高级中学叶剑飞高岚龙福州民族中学陈文强吴才升福州教院附中王昱熠邵鸣福州城门中学林高威林艳福州第十八中林逸群薛怀维师大二附中王放赵芯元洪高级中学陈慧辉方霞福州华侨中学林水燕江智春福州第十一中黄林隽陈娟金桥高级中学（闽）林超石先兵长乐高级中学郑彬彬陈乐福州第十八中黄海坡薛怀维福州第七中学池丽英王光英长乐第二中学陈霖陈居秀永泰第一中学卢海良林志敏外国语学校郑学诘桑广田永泰第三中学黄晨锋鄢行海福州第十五中郑行霄吴彩凤10福州第十八中刘晓龙文自强福州第四十中陆宜炜张美兰长乐华侨中学高霄郑敏惠永泰城关中学卢锦清范少华三中金山校区何江龙林继枫三中金山校区肖志刚严飞焰外国语学校唐伟桑广田格致鼓山校区郑嘉韡陈达辉闽江学院附中方绪彬上官翰明11。

历届希望杯高中试题及答案

历届希望杯高中试题及答案希望杯数学竞赛是一项在中国高中生中广泛参与的数学竞赛，它旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。

以下是历届希望杯高中数学竞赛的一些试题及答案的示例：试题一：已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b $，当$ x = 1 $时，$ f(x) $取得最大值4。

求$ a $和$ b $的值。

答案：首先，我们对函数$ f(x) $求导得到$ f'(x) = 6x^2 - 6x + a $。

由于函数在$ x = 1 $时取得最大值，这意味着$ f'(1) = 0 $。

将$ x = 1 $代入导数中，我们得到：\[ 6(1)^2 - 6(1) + a = 0 \]\[ 6 - 6 + a = 0 \]\[ a = 0 \]接下来，我们需要找到$ b $的值。

由于$ f(1) = 4 $，我们将$ x = 1 $代入原函数中：\[ f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 0(1) + b = 4 \]\[ 2 - 3 + b = 4 \]\[ b = 5 \]所以，$ a = 0 $和$ b = 5 $。

试题二：在平面直角坐标系中，点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求直线AB的方程。

答案：首先，我们计算线段AB的斜率$ m $：\[ m = \frac{-1 - 2}{4 - (-1)} = \frac{-3}{5} \]然后，使用点斜式方程，以点A为例，写出直线AB的方程：\[ y - 2 = -\frac{3}{5}(x + 1) \]将方程化简，得到：\[ y = -\frac{3}{5}x - \frac{3}{5} + 2 \]\[ y = -\frac{3}{5}x + \frac{7}{5} \]这就是直线AB的方程。

试题三：已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、70°和70°，求三角形ABC的外接圆半径。

数学：希望杯竞赛试题详解(1-10题)

题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）由图象，显然有AB BC k k <，即)()(a b b a b b b b a b b a ----<-+-+，即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t ，tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点图1A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>ABk ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ，即a b b b b a --<-+，故y x <.评析比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x ，322> 10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <.从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是（）图2图3A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确. 总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（第十一届高二第一试第7题）解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b a c b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ．解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3由cb a >>，知,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ．评析由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归．此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题：已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ．证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >> ， 0111>-+-+-∴ac c b b a ．此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立，∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++．（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y+∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c ca b cx y zx yzx y za b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222cb a zc y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴．本赛题还可直接由下面的命题得解．命题若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ．证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈= ,则22111n i ni i n i iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212nn x x x y y y === 时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++-- ．也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴---> ．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦--- ()()211111n -≥+++个 ()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ．由此可得本赛题的如下解法：cb a >>，,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由题意，4≤n ．故选C ．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>> ，并且122320002001111m a a a a a a =+++--- ，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤解 12320002001a a a a a >>>>> ，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ．题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为 ( ) A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2 b n a b m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx a b )( ≤ny ab 2222()()2b m n x y a +++==.2b b a a b=+⋅ny mx +∴,ab ab b =≤当且仅当x =且,y =即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab =解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=mx ny ∴+≤当且仅当m y n x =时取等号，故()max mx ny +=解法4设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n +≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny +=解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是≤()max k mx ny mx ny =+≤∴+=解法6设12,z m ni z x yi=+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴1212,z z mx ny mx ny mx ny z z ⋅=+≥+∴+≤12z z =⋅==当且仅当m y n =时取等号，故()max mx ny +=解法7 构造函数()()()222222f X m n X mx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max mx ny mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,AC m=,BC =,,BD x AD y AB ===为圆的直径，由托勒密定理,ADBC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,x y b ⋅⋅≤，从而得mx ny +≤，当且仅当my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ∴+=．评析解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法．由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展此题可作如下推广若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++= 则()1122max n n a b a b a b +++=()1,2,,i i b i n == 时取得最大值）.证明 2222221212n n a a a p ⎫⎫⎫+++=⇒+++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭.q =1122a b a b ∴+++1122n n n n a b b b b ⎫=⋅⋅++⋅⎪⎪⎭≤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq q p p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论．推广有十分广泛的应用，现举一例：例已知123,,,,,,234,8.a b c x y z R a b c x y z +∈++=++=且求最大值．解2221232344,8a b c b cx y z ++==++=22⇒+2+＝8．由推广知3484==当且仅当===即12ax by cz ===时取等号．max∴=.24 题4 对于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1 题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1120122x x m x 或⎪⎩⎪⎨⎧--><-1120122x x m x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-11210122x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-11210122x x x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ,所以21<<x 或113<<-x 或1=x ，即)2,13(-∈x . 解法2 已知不等式即()()01212<---x m x ，令()()121)(2---=x m x m f ，则当012≠-x ，即1±≠x 时，)(m f 是m 的一次函数，因为1≤m ，即11≤≤-m 时不等式恒成立，所以)(m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(22x x f x x f ，即⎩⎨⎧<->-+0202222x x x x ，解得213<<-x )1(≠x . 又当1=x 时，1)(-=m f ，适合题意，当1-=x 时，()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是213<<-x .评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m 的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11ax a x ≥-+.由282≥a ,得02a <≤,2max =∴a . 解法 2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4 (1a2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x xxa -=- 且 x a x -=11, 即 2a x = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法 422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又2122≥+x x 恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=a x a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a +α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a . )22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2s i n 2s i n 242-1≥)12s i n (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a ≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则 222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y xy x n n ==== 2211（常数）时取等号.” 0x a <<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得x a x -+11a 4≥②.故,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11ax a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 解法8 运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥---- 若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2 xO2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x .故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展此题可作如下推广：推广1 若1210n x x x a -<<<<< ，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明由已知，1210n x x x a -<<<<< ，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n ≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥⎪--⎝⎭ 2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<< ，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k a b b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==ni ii i b ab a 1时取等号.证明不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即k ik ic b 1+kn i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ ib ⋅，则11111(1)()k nnn k i i iki i i i b kM c k bc ++===+≥+∴∑∑∑1111()k nn k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k n ki k i ib a a +=≥∑11()nk i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k n i ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ， ()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是（）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题）解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴， pq qp pq ≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin =θ，cos θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2l o g 121->-x ，即22121121l o gl o g -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->x .又对数函数logx 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log -x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x aa f x g x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x a a f x g x <⇔<；⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x aa f x g x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x a a f x g x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log a c a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式）例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解.例不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04.应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x xx f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是（）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θcos =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填()+∞,2.评析这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅(比如0就是它的一个解).拓展通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的结论已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤.(6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．根据这一结论，请回答下列问题：1.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是．2.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是．3.t +有解，则实数t 的取值范围是．4.t +有解，则实数t 的取值范围是．5.t >+恒成立，则实数t 的取值范围是．6.t +恒成立，则实数t 的取值范围是．答案 1. ()2,+∞ 2.(,-∞ 3.)⎡+∞⎣4.(],2-∞5.(,-∞6.()2,+∞题9不等式3422≥+---x x x 的解集是（）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x 或3x x ≥≤<. 综上，所求解集为,⎫⎡⎪⎢⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=B x ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A. 解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3].1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3]. 评析解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 - 就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ；当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ;当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ;当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ.根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、 2sinx+3cosx>4;2、 322163-->-x x ;3、 x x x -<-+-433)1(log 4;4、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ 2、[2，+∞) 3、φ 4、R。

希望杯数学竞赛参赛条件

希望杯数学竞赛参赛条件希望杯数学竞赛参赛条件数学是一门严谨而美妙的学科，它是推动人类科学与技术发展的基石之一。

为了鼓励学生对数学的兴趣和热爱，促进数学教育的提高，希望杯数学竞赛已经成为中小学生展示才华和交流学习经验的平台。

报名条件：希望杯数学竞赛是一个全国性的数学竞赛，面向中小学各年级的学生。

参赛的条件如下：1. 参赛资格：本竞赛面向全国的中小学生，不限制学校类型和行政区域。

只要你是中小学在校学生，就有资格参加。

2. 年级限制：竞赛分为初赛和决赛两个阶段，年级分别为小学、初中和高中。

具体年级范围如下：- 小学组：一至六年级- 初中组：七至九年级- 高中组：十至十二年级3. 报名方式：参赛学生需由所在学校组织报名，学校需成立竞赛报名组织，负责整理报名表格和提交报名信息。

比赛形式：希望杯数学竞赛采用笔试的形式进行，分为初赛和决赛两个阶段。

1. 初赛：初赛采取闭卷的形式进行，涵盖了基础的数学知识和思维能力。

题目类型包括选择题、填空题和计算题等。

初赛考试时间为约两个小时，考试成绩将按照分数进行排名。

2. 决赛：初赛成绩排名前50%的学生将晋级到决赛阶段。

决赛将采取面试形式，考核学生的综合数学能力，包括问题解决能力、数学推理能力和创新思维等方面。

决赛的具体形式将根据参赛人数和年级进行相应调整，以保证公平公正。

奖项设置：为了激励学生的学习兴趣和参与积极性，希望杯数学竞赛设置了丰厚的奖项。

1. 个人奖项：- 一等奖：冠军将获得特等奖金和奖状，同时获得参观名校机会。

- 二等奖：亚军将获得奖金和奖状，同时获得数学学习资料一套。

- 三等奖：季军将获得奖金和奖状，同时获得数学游戏套装一份。

- 骨干奖：每年根据参赛人数的比例设置一定数量的骨干奖，获得该奖项的学生将获得奖金和奖状。

2. 学校奖项：- 全国一等奖学校：获得该奖项的学校将获得奖金和奖状，同时获得数学教学资源一箱。

- 全国二等奖学校：获得该奖项的学校将获得奖金和奖状，同时获得数学教学资源半箱。

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题

历届希望杯全国中学生数学竞赛试题希望杯全国中学生数学竞赛，简称希望杯，是全国性的高中生数学竞赛，目的是提高中学生的数学水平，发现和培养数学人才。

该竞赛创立于1991年，得名于中国社会四大精神家之一的邓小平主席“希望工程”，每年都举办。

历届希望杯的试题融合了中外数学思想和实际应用，难度逐年增加，不仅考查了学生的基本数学素养，还着重考察了学生的解题能力、创新能力和数学思维，具有普及性和挑战性。

以2020年的希望杯高中组试题为例，该试题分为两个部分：第一部分是选择题，共8题，每题4分，答错不扣分；第二部分是非选择题，共4道大题，每题20分。

其中，在选择题部分，第4题和第8题具有代表性。

第4题是一道比较经典的组合数学问题，给定$n$个线性方程和$n$个变量，每个方程只含有两个变量，求解是否可能使得每个方程恰好有一个解。

此题除了需要运用组合数学的内容，在解决思路上也需要考虑细节，属于比较考验学生的解题能力的题目。

而第8题则是一道难度较大的几何题目，给定三角形$ABC$，在弧$BC$上选取点$D$，$E$，在弧$AC$上选取点$F$，$G$，证明直线$BD$，$FG$，$CE$三线共点。

此题需要学生在几何知识的基础上，结合创新思维解题，考验学生的应用数学、几何证明能力以及数学思维和想象力。

在非选择题部分，第1题和第2题也是有代表性的。

第1题是一道较为基础的集合论问题，设$A$，$B$，$C$为任意三个集合，求证$A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$。

第2题则是一道挑战性较大的数学分析问题，对以$2\pi$为周期的函数$f(x)$，给定$p>1$，若$n\in N^*$，则有$\int_{0}^{2\pi}f(nx)dx=0$，求证$\int_{0}^{2\pi}\left| f(x)\right|^pdx=k\int_{0}^{2\pi}\left|f'(x)\right|^pdx$，其中$k$是$p-1$次多项式，且系数为常数。

希望杯数学竞赛参赛条件2篇

希望杯数学竞赛参赛条件2篇第一篇：希望杯数学竞赛参赛条件数学是一门极富挑战性和创造性的学科，而数学竞赛则是培养学生数学思维、解决问题能力的重要途径。

作为一项重要的全国性数学竞赛，希望杯数学竞赛为广大中小学生提供了展示自己才华的舞台。

然而，参加希望杯数学竞赛需要满足一定的条件。

下面，我们就来看一看希望杯数学竞赛的参赛条件。

首先，参加希望杯数学竞赛的学生需要在指定的年级范围内。

比赛分为小学组、初中组和高中组，针对不同年级的学生分别设有不同的竞赛项目。

对于小学生来说，他们需要在小学六年级或以下年级才能参加希望杯数学竞赛。

初中生需要在初中三年级及以下年级，而高中生则需要在高中三年级及以下年级。

这样的划分旨在保证参赛学生具备相应的数学基础和能力。

其次，参加希望杯数学竞赛的学生需要通过学校或者教育部门的选拔。

希望杯数学竞赛一般由学校或者地方教育部门组织，并通过选拔筛选出代表学校或地方参赛的学生。

这种选拔机制不仅能够激发学生的竞争意识和积极性，也能确保参赛学生对数学有一定的认知和掌握。

通过选拔，能够选拔出真正热爱数学、对数学有浓厚兴趣的学生，为他们提供一个更具挑战性的竞争平台。

除了通过学校或者教育部门的选拔，个人报名参加希望杯数学竞赛也是允许的。

而且，不少地方教育部门还鼓励学生个人报名参加竞赛，给予相应的支持和帮助。

这种方式使得更多热爱数学的学生有机会参与到希望杯数学竞赛中来，进一步促进了数学教育的普及和发展。

需要注意的是，参加希望杯数学竞赛并不要求学生具备丰富的竞赛经验或者获得过其他数学大赛的奖项。

即便是没有相关经验的学生，只要满足参赛条件，都可以报名参加竞赛。

希望杯数学竞赛鼓励学生通过参赛，锻炼自己的数学思维和解决问题的能力，而不仅仅是追求荣誉和奖项。

希望杯数学竞赛是一项具有一定门槛的竞赛，但也向广大中小学生提供了参赛的机会。

通过这项竞赛，学生可以展示自己在数学方面的才华和潜力，提高自己的学习兴趣和能力。

第7绝对值函数

Y.P.M 数学竞赛讲座 1绝对值函数在这里绝对值函数f(x)特指函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |.1.图像变换[例1]:(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-2|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_________.[解析]:[评注]:①函数y=f(|x|)是偶函数,图像关于y 轴对称,在y 轴右侧的图像与y=f(x)的图像重合;②函数y=|f(x)|是非负函数,y=f(x)在x 轴上方的图像与y=|f(x)|的图像重合,y=f(x)在x 轴下方的图像与y=|f(x)|的图像关于轴对称.[类题]:1.(2006年湖北高考试题)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32.(2005年上海高考试题)设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0,且c>0 (B)b<0,且c=0 (C)b>0,且c<0 (D)b ≥0,且c=03.(1986年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=|1-2x|,x ∈[0,1].那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 2.几何意义[例2]:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)2005个实数x 1,x 2,…,x 2005满足|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005 -x 1|=1,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于 .[解析]:[评注]:数轴上的点P 、A 对应的实数分别是x 、a,则|PA|=|x-a|.这就是绝对值的几何意义.利用该几何意义可得|x-a|+ |x-b|≥|a-b|;|x-a|-|x-b|≤|a-b|.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .2.(2009年重庆高考试题)不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)3.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)在平面直角坐标系中定义两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的交通距离为d(P,Q)=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等,其中实数x,y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________. 3.三角不等[例3]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)当实数a ∈ 时,不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3.[解析]:[评注]:绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,|a-c|≤|a-b|+|b-c|.[类题]:1.(2009年辽宁高考试题)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.如果∀x ∈R,f(x)≥2,则a 的取值范围是 .2.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)对于任意实数x,若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立,则实数a 应满足( )(A)0<a<1 (B)0<a ≤1 (C)a>1 (D)a ≥13.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知不等式|x-a|+|x-b|<1(其中a,b 是常数)的解集是空集,则2 Y.P.M 数学竞赛讲座 |a-b|的取值范围是( )(A)(-1,1) (B)(0,1) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞)4.零点方法[例4]:(2002年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,且f(f(x))=f(2002)+1,则x= .[解析]:[评注]:零点法,即令函数f(x)中每个绝对值内的式子等于零,分别求出x 的值,并把求出的值表示在数轴上,然后按这些点把数轴分成的部分,由左至右分类去绝对值.[类题]:1.(1993年第四届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)函数f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值为_______.2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x 满足log 2x=1+cos θ,其中θ∈[-2π,0],则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2143--+x x +3168--+x x 的最小值为 ,此时x ＝ . 5.二阶函数[例5]:(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设函数f(x)=|1-2x|-3|x+1|,如果方程f(x)=a 恰有两个不同的实数根u,v,满足2≤|u-v|≤10,则实数a 的取值范围是 .[解析]:[评注]:二阶函数f(x)=a|x-x 1|+b|x-x 2|(x 1<x 2)有如下性质:①当a+b>0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},当a+b<0时,f(x)有最大值=max{f(x 1),f(x 2)},当a+b=0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},也有最大值=max{f(x 1),f(x 2)};②当且仅当a=b 时,f(x)的图像是轴对称图形,且对称轴为x=221x x +;③当且仅当a+b=0时,f(x)的图像是中心对称图形,且对称中心为(221x x +,f(221x x +)). [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛试题)设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是 .2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)-13.(2010年湖南高考试题)用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=-21对称,则t 的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 6.最值问题[例6]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生试题)函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值为_______.[解析]:[评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |有如下结论:①函数f(x)的极值在零点x 1,x 2,…,x n 处取得;②当a 1+a 2+…+a n >0时,f(x)有最小值;当a 1+a 2+…+a n <0时,f(x)有最大值;当a 1+a 2+…+a n =0时,f(x)有最小值,也有最大值;③当|a i |为正整数时,零点x i 计|a i |次,把这些零点由小到大的排列.当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为奇数时,所有零点的中间数是其极值点;当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为偶数时,所有零点的中间两数(包括这两个数)之间的任意一个数都是其极值点.[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值为_______.2.⑴(2007年第十八届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)=∑=--101|)1 2(| nnx的最小值是( )(A)40 (B)50 (C)60 (D)80⑵(2006年全国Ⅱ高考试题)函数f(x)=∑=-191| |nnx的最小值为( )(A)190 (B)171 (C)90 (D)453.(2009年上海高考试题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站.使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.7.图象性质[例7]:(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+ …+|x+2007|+|x−1|+|x−2|+…+|x−2007|(x∈R),且f(a2−3a+2)=f(a−1),则a的值有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个[解析]:[评注]:关于函数f(x)=a1|x-x1|+a2|x-x2|+…+a n|x-x n|的图像有如下结论:①函数f(x)图像的两端是两条射线,这两条射线所在直线的斜率及在y轴上的截距分别互为相反数;②函数f(x)图像的是轴对称图形的充要条件是:所有零点关于其中位数对称,且关于中位数对称的两零点所对应的系数相等,其对称轴为x=中位数;③函数f(x)图像的是中心对称图形的充要条件是所有零点关于其中位数对称,关于中位数对称的两零点所对应的系数互为相反数,且所有系数和为零,其对称中心为(x0,f(x0)),其中x0为零点的中位数.奇数阶绝对值函数不是中心对称图形.[类题]:1.(2012北约自主招生试题)求x的范围,使得|x+2|+|x|+|x-1|是增函数.2.(原创题)若函数f(x)=|x+1|+2|x+a|+(b-1)|x+3|的图像为轴对称图形,则a+b= .3.(原创题)函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-1006|-|x-1007|-|x-1008|-…-|x-2012|图像的对称中心为 .8.综合函数[例8]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若对于任意的实数x,函数f(x)=x2-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值都是非负实数,则实数a的最小值为 .[解析]:[评注]:[类题]:1.(2005年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥22的x的取值范围为 .2.(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.则不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为 .3.(2008年广东高考试题)己知a∈R,若关于x的方程x2+x+|a-41|+|a|=0有实根,则a的取值范围是.绝对值函数在这里绝对值函数f(x)特指函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |.1.图像变换[例1]:(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-2|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_________. y y y[解析]:f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|, 1 2 f 2(x)=|f 1(x)-2|的图像如图: O -1 O 1 x 1其面积为8-1=7. -3 O 3 x [评注]:①函数y=f(|x|)是偶函数,图像关于y 轴对称,在y 轴右侧的图像与y=f(x)的图像重合;②函数y=|f(x)|是非负函数,y=f(x)在x 轴上方的图像与y=|f(x)|的图像重合,y=f(x)在x 轴下方的图像与y=|f(x)|的图像关于轴对称.[类题]:1.(2006年湖北高考试题)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解:令f(x)=|x 2-1|,设方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0的两根分别为y 1、y 2,则y 1+y 2=1,y 1y 2=k,k ≤41,且f(x)=y 1,f(x)=y 2,①由图知,方程恰有2个实根⇔y 1>1,y 2<0,如y 1=2,y 2=-1,k=-2满足条件,所以①正确;②由图知,方程恰有4个实根⇔y 1=y 2=21,k=41所以②正确;③由图知,方程恰有5个实根⇔y 1=1,y 2=0,k=0所以③正确;④由图知,方程恰有8个实根⇔y 1≠y 2,且y 1、y 2∈(0,1),如y 1=31,y 2=32,k=92满足条件,所以④正确.综上,正确命题的个数为4,假命题的个数为0,故选(A).2.(2005年上海高考试题)设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0,且c>0 (B)b<0,且c=0 (C)b>0,且c<0 (D)b ≥0,且c=03.(1986年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=|1-2x|,x ∈[0,1].那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 解:f(x)=|1-2x|=|2x-1|的图像如图: y y yf(f(x))=|2|2x-1|-1|的图像如图: 1(求该函数的零点41,43); O 21 x O 41 43 x O 81 41 43 87 x f(f(f(x)))=|2|2|2x-1|-1|-1|(求该函数的零点81,41,43,87),共有8个解. 由y=f(x)到y=|2f(x)-1|的变换:纵坐标伸长2倍,得值域[0,2];再向下平移1个单位,最后作绝对值变换.2.几何意义[例2]:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)2005个实数x 1,x 2,…,x 2005满足|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005 -x 1|=1,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于 .[解析]:在数轴上取点P i :x i ,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|=|OP 1|+|OP 2|+…+|OP 2005|,|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005-x 1| =1⇔|P 1P 3|+|P 2P 3|+…+|P 2004P 2005|+|P 1P 2005|=1⇒2|P 1P 2005|≥1,为使|OP 1|+|OP 2|+…+|OP 2005|最小,取P 1,P 2…,P 2004为O,P 2004, 0.5⇒|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于0.5.2 Y.P.M 数学竞赛讲座[评注]:数轴上的点P 、A 对应的实数分别是x 、a,则|PA|=|x-a|.这就是绝对值的几何意义.利用该几何意义可得|x-a|+ |x-b|≥|a-b|;|x-a|-|x-b|≤|a-b|.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .2.(2009年重庆高考试题)不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)3.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)在平面直角坐标系中定义两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的交通距离为d(P,Q)=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等,其中实数x,y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________.解:由条件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|.①当x ≤1,y ≤3时,无解;②当x ≤1,3≤y ≤9时,y=8.5,线段长为1;③当x ≤1,y ≥9时,无解;④当1≤x ≤6,y ≤3时,无解;⑤当1≤x ≤6,3≤y ≤9时,x+y=9.5,线段长为52;⑥当1≤x ≤6,y ≥9时,无解;⑦当x ≥6,y ≤3时,无解;⑧当x ≥6,3≤y ≤9时,y=3.5,线段长为4;⑨当x ≥6,y ≥9时,无解.综上所述,点C 的轨迹构成的线段的长之和为1+52+4=5(1+2). 3.三角不等[例3]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)当实数a ∈ 时,不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3.[解析]:不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3⇔∀x ∈R,|x+a+1|+|x+a 2-2|≥3⇔|(a 2-2)-(a+1)|≥3⇔a 2-a ≤0,或a 2-a-6≥0⇔a ∈(-∞,-2]∪[0,1]∪[3,+∞). [评注]:绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,|a-c|≤|a-b|+|b-c|.[类题]:1.(2009年辽宁高考试题)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.如果∀x ∈R,f(x)≥2, 则a 的取值范围是 .2.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)对于任意实数x,若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立,则实数a 应满足( )(A)0<a<1 (B)0<a ≤1 (C)a>1 (D)a ≥13.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知不等式|x-a|+|x-b|<1(其中a,b 是常数)的解集是空集,则|a-b|的取值范围是( )(A)(-1,1) (B)(0,1) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞)4.零点方法[例4]:(2002年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,且f(f(x))=f(2002)+1,则x= .[解析]:f(x+1)=|x-1|-|x+1|⇒f(x)=|x-2|-|x|⇒f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<)2(2)20(22)0(2x x x x ,f(2002)=-2⇒f(2002)+1=-1,①当x<0时,f(x)=2⇒f(f(x))=f(2)=-2;②当x>2时,f(x)=-2⇒f(f(x))=f(-2)=2;③当0≤x ≤2时,f(x)=2-2x ⇒f(f(x))= f(2-2x)=2|x|-2|x-1|=2x-2|x-1|=-1⇒2x+1=2|x-1|⇒x=41. [评注]:零点法,即令函数f(x)中每个绝对值内的式子等于零,分别求出x 的值,并把求出的值表示在数轴上,然后按这些点把数轴分成的部分,由左至右分类去绝对值.[类题]:1.(1993年第四届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)函数f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值为_______.2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x 满足log 2x=1+cos θ,其中θ∈[-2π,0],则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2143--+x x +3168--+x x 的最小值为 ,Y.P.M 数学竞赛讲座 3 此时x ＝ .5.二阶函数[例5]:(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设函数f(x)=|1-2x|-3|x+1|,如果方程f(x)=a 恰有两个不同的实数根u,v,满足2≤|u-v|≤10,则实数a 的取值范围是 .[解析]:因为函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤----<+)21)(4()211(25)1(4x x x x x x 的图像如图: 当a>3时,f(x)=a 无解;当a=3时,f(x)=a 只有一个解;当-29≤a<3时,直线y=a 与y=x+4和y=-5x-2有两个交点,故此时f(x)=a 有两个不同的解u=a-4,v=-51(a+2),2≤|u-v|≤10⇔-316≤a ≤34;当a<-29时,直线y=a 与y=x+4和y=-x-4有两个交点,故此时f(x)=a 有两个不同的解u=a-4,v=-(a+4),2≤|u-v|≤10⇔-5≤a ≤-1,得实数a 的取值范围是[-5,34]. [评注]:二阶函数f(x)=a|x-x 1|+b|x-x 2|(x 1<x 2)有如下性质:①当a+b>0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},当a+b<0时,f(x)有最大值=max{f(x 1),f(x 2)},当a+b=0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},也有最大值=max{f(x 1),f(x 2)};②当且仅当a=b 时,f(x)的图像是轴对称图形,且对称轴为x=221x x +;③当且仅当a+b=0时,f(x)的图像是中心对称图形,且对称中心为(221x x +,f(221x x +)). [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛试题)设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是 .解:令x=at,则原不等式为|a||2t-1|+|a||3t-2|≥a 2⇔|a|≤|2t-1|+|3t-2|⇔|a|≤31.2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)-13.(2010年湖南高考试题)用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=-21对称,则t 的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 6.最值问题[例6]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生试题)函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值为_______.[解析]:f(x)=|x-1|+2|x-21|+…+2011|x-20111|,所有零点由小到大:20111(2011个),20101(2010个),…,21(2个), 1(1个),共有1+2+…+2011=1006×2011个,所以在503×2011个与503×2011+1个零点之间取得最小值,令1+2+…+n<503×2011⇒n 的最小值=1421⇒第503×2011个与503×2011+1个零点均为14221⇒f(x)的最小值为f(14221)= 711592043. [评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |有如下结论:①函数f(x)的极值在零点x 1,x 2,…,x n 处取得;②当a 1+a 2+…+a n >0时,f(x)有最小值;当a 1+a 2+…+a n <0时,f(x)有最大值;当a 1+a 2+…+a n =0时,f(x)有最小值,也有最大值;③4 Y.P.M 数学竞赛讲座当|a i |为正整数时,零点x i 计|a i |次,把这些零点由小到大的排列.当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为奇数时,所有零点的中间数是其极值点;当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为偶数时,所有零点的中间两数(包括这两个数)之间的任意一个数都是其极值点.[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值为_______.2.⑴(2007年第十八届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)=∑=--101|)12(|n n x 的最小值是( )(A)40 (B)50 (C)60 (D)80 ⑵(2006年全国Ⅱ高考试题)函数f(x)=∑=-191||n n x 的最小值为( ) (A)190 (B)171 (C)90 (D)453.(2009年上海高考试题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站.使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.7.图象性质[例7]:(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+ …+|x+2007|+|x −1|+|x −2|+…+|x −2007|(x ∈R ),且f(a 2−3a+2)=f(a −1),则a 的值有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 [解析]:由题设知f(x)为偶函数,则考虑在−1≤x ≤1时,恒有f(x)=2×(1+2+3+…+ 2007)=2008×2007.所以当−1≤a 2−3a+2≤1,且−1≤a −1≤1时,恒有f(a 2−3a+2)=f(a −1).故选(D).[评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |的图像有如下结论:①函数f(x)图像的两端是两条射线,这两条射线所在直线的斜率及在y 轴上的截距分别互为相反数;②函数f(x)图像的是轴对称图形的充要条件是:所有零点关于其中位数对称,且关于中位数对称的两零点所对应的系数相等,其对称轴为x=中位数;③函数f(x)图像的是中心对称图形的充要条件是所有零点关于其中位数对称,关于中位数对称的两零点所对应的系数互为相反数,且所有系数和为零,其对称中心为(x 0,f(x 0)),其中x 0为零点的中位数.奇数阶绝对值函数不是中心对称图形.[类题]:1.(2012北约自主招生试题)求x 的范围,使得|x+2|+|x|+|x-1|是增函数.2.(原创题)若函数f(x)=|x+1|+2|x+a|+(b-1)|x+3|的图像为轴对称图形,则a+b= .3.(原创题)函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-1006|-|x-1007|-|x-1008|-…-|x-2012|图像的对称中心为 .8.综合函数[例8]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若对于任意的实数x,函数f(x)=x 2-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值都是非负实数,则实数a 的最小值为 .[解析]:由条件知⎩⎨⎧≥+-=≥++-=02||)1(02|1|)0(a f a f ,解得-2≤a ≤1.当a=-2时,f(x)= x 2-2x-|x+1|-|x-2|+4,对于任意的实数x,f(x)的值都是非负实数,因此a=-2符合要求.所以,实数a 的最小值为-2.[评注]:[类题]:1.(2005年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥22的x 的取值范围为 .2.(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.则不等式f(x)≥x 2-8x+15的解集为 .3.(2008年广东高考试题)己知a ∈R,若关于x 的方程x 2+x+|a-41|+|a|=0有实根,则a 的取值范围是 .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第十五届（2004年）“希望杯”全国数学邀请赛高一第2 试一、选择题1．已知集合{ | cos , }2A y y x x Nπ= = ∈，{ | sin , }4B y y x x Nπ= = ∈，则A、A ⊃BB、A ⊂BC、A = BD、A∈B2．若a+m=b+n=c+p=d+q，其中m< 0,n>0,p<0,q>0 ，且m>p那么a,b,c,d 中最大的是A、aB、bC、cD、d3．“a≠b且b≠c”是“a≠c”成立的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件4．已知a,b,c,d 都是整数，且x<2b,b<3c,c<4d,d<50，那么a 的最大值A、1157B、1167C、1191D、11995．设x, y 是任意两个正奇数，且x > y ，若k 总能整除x2−y2，则k 的最大值是A、2B、4C、6D、86．若lg |x|+| tan x|=0 ，则x 的个数是A、0B、1C、2D、37．数列{ } n a 的通项20042008 na nn−=−，在此数列的前50 项中，最大项和最小项依次是A、第1 项和第50 项B、第50 项和第1 项C、第45 项和第44 项D、第44 项和第45 项8．等比数列sec , sec , sec3 3 2 3 3ππθπθ+ θ+ + 的公比是A、1/6B、1/3C、1/2D、19．已知函数f(x) = (x+1)2 ，若存在实数t ，使得f(x+1)≤x在x ∈[1，m ]时成立，则m的最大值是A、2 B、3 C、4 D、510．已知集合M 是满足下列条件的函数f(x)的全体：①当x∈[0,+∞) 时，函数值为非负实数②对于任意s,t∈[0,+∞)，橙子奥数工作室录入暗记，都有f (s)+ f (t)≤ f (s+t)．在函数1 2 3 f (x)=x, f (x)=2x−1, f (x)=ln(x+1)中，属于M 的有A、1f (x) 和2f (x)B、1f (x) 和3f (x)C、2f (x) 和3f (x)D、1f (x) 、2f (x) 和3f (x)二、填空题11．若对于任何非零实数a 和b ，有f(ab)= f(a)+ f(b)，则f (1) = _____．构造一个满足前面条件的函数，它的解析式是f(x) = __________．12．直角坐标平面内横、纵坐标都是整数的点称为格点．将半径为2 的一个圆片平放在直角坐标系内，让它随意移动，它盖住的格点最多有_____个，最少有_____个．13．生物小组的一位同学发现随着气温的升高，蟋蟀每分钟的鸣叫次数也在逐渐增加．他每隔1 °C 记录一次，下面是其中的四组数据，有两个已经模糊不清了，但是他知道记录的数据成等差数列．则表格中的数据A=_____，B=_____．鸣叫次数（次/分）8 29 B 89温度（°C）9 A 20 3614．设{a n}是集合，橙子奥数工作室录入暗记，{2s+ 2t+2r| 0≤s<t<r且r,s,t ∈N}中所有的数从小到大地排成的数列，则5 a = __________，50 a = __________．15．等差数列{ } n a 的前n 项和为n S ，若3 6 S= 21,S= 24 ，则公差d = _____，数列{| |} n a 的前50 项的和是_____．16．直角坐标平面内直线l 上所有的点构成的点集是A，将A 中所有的点左移4 个单位再下移5 个单位后得点集B，若恰有集合A=B，直线l 与x 轴成锐角θ，则tanθ= _____．17．n 个向量的和为零向量，若其中一个向量的坐标为（3，4），则其余n −1 个向量的和的模是_____．18．已知函数f(x)= |x2 +bx+c| 在[0，2]上的最大值为t ，当b,c变化时，t 的最小值是_____．19．In a certain formula, p is directly proportional to s and inversely proportional to t . If p = 2 whens = 15 and t = 2.5 , what is the value of p in terms of t and s ? Answer:__________．20．一个小于15 个正整数，被4 除余2，被5 除余1，这个数是_____．三、解答题21．已知数列：{ } n a 中， 1 2 n n a a n −= + （其中n 是大于1 的整数）⑴若{ } n a 是等差数列，求{ } n a 的通项公式．⑵{ } n a 能否为等比数列？若可能，求其通项公式；若不能，请说明理由．22．不等式(−2)x a−3x−1−(−2)x<0对于任意正整数x 恒成立，求实数a 的取值范围．23．如图，一块边长为20cm 的正方形铁片ABCD 已截去一个半径为r cm（r ∈(0, 20] ）的扇形AEF（1/4 个圆），用剩下的部分截成一个矩形PMCN，怎样截可使此矩形的面积最大？最大面积是多少？__（广西、山东、宁夏、海南卷）（2005年）一、选择题1．命题p:∅∈{∅}；命题q : 若A = {1, 2} ，B={x|x⊆A}，则A∈B ，那么A、p 真，q 假B、p 真，q 假C、p 假，q 真D、p 真、q 假2．设集合| 1, , | 1, , | 1,2 4 4 8 8 4M =⎧⎧x x=k+ k∈Z⎧⎧N=⎧⎧x x=k+ k∈Z⎧⎧P=⎧⎧x x=k+ k∈Z⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧，则A、M ∪N=PB、M ∩N=PC、M ∩P=ND、M ∩N=M3．已知关于x 的不等式6 01ax bx+ + >−（a,b∈R）的解集为（−2，−1）∪（1，+∞），则a+b=A、3B、4C、5D、64．下列函数中，值域为R+ 的是A、y = 2−|x−1|B、y=3x+1（x > 0 ）C、y=x2 +x+ 2D、2y 1x=5．偶函数f(x)（x ∈R ）满足f(−4) =f(1) =0，且在区间[0，3]与[3，+∞]上分别递减和递增，则不等式，橙子奥数工作室录入暗记，x3 f (x) <0的解集为A、(−∞,−4)∪(4,+∞)B、(−∞,−1)∪(1,4)C、(−∞,−4)∪(−1,0)D、(−∞,−4)∪(−1,0)∪(1, 4)6．已知直线l,m与平面α，则l // m 的一个充要条件是A、l,m与α等角B、l⊥α,m⊥αC、l//α,m//αD、l⊥α,m//α7．Four people: A,B,C and D are accused in a trial. It is known that⑴if A is guilty ,then B is guilty ⑵if B is guilty ,then C is guilty or A is not guilty ⑶if D is not guilty ,then A is guilty and C is not guilty ⑷if D is guilty ,then B is not guiltyhow many of the accused are guilty ? Answer:A、2B、3C、4D、Insufficient information to determine8．已知1 2 3 1 2 3 f (x) =x+1, f (x) =2x, f (x) = −3x+5,F(x) =min{f (x), f (2), f (x)}，则F(x) 的最大值是A、1B、2C、4D、39．P 是四边形ABCD 所在平面外一点，若点P 到四边形各边的距离相等，则四边形ABCD 是A、正方形B、菱形C、梯形D、两组对边之和相等的四边形10．可将空间分成15 个部分的平面的个数至少是A、3B、4C、5D、6二、填空题11．设集合A={1，2，3，4，5，6}，则从A 到A 的映射f 有___个，其中满足f(a) ≥a的映射有___个．12．正四棱锥P −ABCD 的侧棱长及底面边长均为a ，点M 是侧棱PA 的中点，点N 是侧棱PB 上的一个动点，点T 是底面ABCD 内的一个动点，则MN+NT 的最小值是_____．13．已知正四棱锥的底面积为m ，侧面积为n ，则它的体积等于_____．14．函数，橙子奥数工作室录入暗记，y=3x2−6x+2 2x−x2+4的最大值为_____，最小值为_____．15．如果△ABC 边上的点的坐标(x, y)在映射f: (x,y)→(2x+2,2y−5) 的作用下的象的集合所对应的图形是△A'B'C'，已知△ABC 的面积为6，则△A'B'C'的面积等于_____．16．Let a and b be the two real roots of the quadratic equation x2−(k−1)x+k2+3k+4=0, where k issome real number. The largest possible value of a2+b2 is _____．17．已知半径为5 的球的两个平行截面的面积分别为9π和16π，则这两个截面之间的距离为_____．18．函数y=x2 （−2≤x ≤2）与函数y=x+m的图象恰有1 个公共点在y 轴的右侧，则m 的取值范围是_____．19．直四棱柱1 1 1 1 ABCD −A B C D 的底面ABCD 是等腰梯形，若1 AD=AB=AA， 1 DC = 2AB ，则异面直线1 AD 与1 CB 所成角的余弦值为_____．20．某校高一新生784 人，每班分配56 人，方法是：将每人的入学成绩从高分到低分依次编号（成绩相同的学生按姓氏笔画顺序），然后按S 形顺序编班．例如：若有8 个班，将编号1 至8 号分别编在1 至8 班，9 至16 号分别编在8 至1 班，17 至24 号编在1 至8 班，⋯，该校高一新生编号为300（每号只对1 人）的同学编在_____ 班．三、解答题（每题10 分，共33 分）21、已知正四棱锥S −ABCD 中，∠ASB=2θ，AB=a⑴求侧棱与底面ABCD 所成角的余弦值⑵求此四棱锥的内切球的半径22．密码员王超设计了一种给自然数编码的方法⑴先将自然数表示成五进制（逢5 进1）⑵再将五进制中的数码与集合{V，W，X，Y，Z}中的元素建立一个一一对应后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数编成VYZ，VYX，VVW，求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数．23．已知函数22( ) 11f x x kxx x+ +=+ +⑴当k = 2 时，求f(x)的值域；⑵若存在实数a,b,c 使f(a)+ f (b)< f (c)，试求实数k 的取值范围．。