第21讲状态空间分析2

9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
2、极点配置
(4)确定状态反馈增益矩阵K的方法 根据：期望闭环极点（特征值）： n n 1 n2 s 1 s 2 s n s 1s 2 s 确定状态反馈增益矩阵：K k1 a.直接代入法

k2
则
K n an n1 an1
2 a2 1 a1 T 1
c.阿克曼（Ackermann）公式 期望闭环极点（特征值）： s sI A BK s 1 s 2
s n
n
s 1s
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
2、极点配置
在某种程度上类似于根轨迹设计方法，即通过
状态反馈将系统闭环极点配置到期望的位置，以 获得理想的性能，区别在于：
根轨迹法只将闭环主导极点配置到期望位置
极点配置可以把所有的极点配置到期望位置
假设：
只讨论单输入-单输出（SISO）系统；
参考输入v(t)为零（或某个常值），即所谓
① 推导被控系统的状态空间模型； ② 检验被控系统的状态完全可控性； ③ 根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置； ④ 确定状态反馈增益矩阵K； ⑤ 利用所求出的增益矩阵K，推导控制器的传递
函数，检验其对给定初始条件的响应，如果响 应不能令人满意，则调整期望闭环极点的位置， 直到获得满意的响应为止。
1
由U s KX s ，得
U s K sI A BK K eC K eY s
1
基于观测器的控制器传递函数为：
G s
U s
Y s
K sI A BK K eC K e
1
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
设计主要采用状态反馈
状态 反馈
输出 反馈
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
1、基本概念
状态反馈可以利用系统内、外部特性，能够提供
更多的校正信息，可以获得更好的结果。
由于并不是所有状态变量在物理上都可以测量，
为了能够形成反馈，就引出了用状态观测器给出 状态估值的问题。 状态反馈与状态观测器的设计构成了状态空间综 合设计的主要内容。
若期望系统的调节时间为2s(2%准则)，阻尼比为 0.5，试确定反馈增益矩阵K。 期望闭环极点：
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
3、状态观测器
(1)基本概念 当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器 测量状态变量以便实现反馈。但一般情况下，只有 系统的输入和输出能够测量，而多数状态变量不易 测得或不能够测得。这就引出了利用被控对象输入 量和输出量建立状态观测器，重构状态的问题。 实际 系统 系统 估计
kn
状态反馈 增益矩阵
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
闭环 系统
X t A BK X t
方程 A BK t X t e X 0 的解 极点配置设计的问题在于选择合适的矩阵K，使 得闭环系统矩阵：
A BK
其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部（位 于S平面左半平面），则当t趋近于无穷时，X(t)趋 近于零。
第九章 状态空间分析与设计
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 线性系统的状态空间描述 线性系统的能控性和能观性 线性系统的反馈结构及状态观测器 Lyapunov稳定性分析 二次型最优控制
1 0 0 X t u t X t 2 3 2 y t 1 0 X t
若期望的系统特征根为-3和-5，试确定反馈增益 矩阵K和控制信号u(t)。
倒立摆控制系统状态空间极点配置
状态空间模型：
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
2、极点配置 (2)任意配置极点的充要条件
任意配置极点的充要条件是被控系统状态完全可 控，即：
B
的秩为n。
AB
AB
2
A B
n 1
证明见教材P551～553，10.2.2节
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
2、极点配置 (3)极点配置设计的步骤
调节器系统；
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
2、极点配置 (1)极点配置问题 X t AX t Bu t 系统 模型 y t CX t Du t
控制 信号
u t KX t
K k1 k2
( A* ) n 1 C *
K 0 0
1 N 1 A*
则
Ke K *
自学教材P575，例10.6
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
4、状态观测器的相关问题
(1)最佳Ke的选择原则
一般情况下，观测器极点必须比控制器极点快
2～5倍。此时，系统响应以控制器极点为主导。
X t AX t Bu t y t CX t u t KX t


可得
X t A BK KeC X t Ke y t
利用拉氏变换，并令初值为零：
X s sI A BK K eC K eY s
程由n阶变为2n阶。
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
4、状态观测器的相关问题
(3)基于观测器的控制器传递函数
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
4、状态观测器的相关问题
(3)基于观测器的控制器传递函数
被控 对象 状态 反馈 观测 X t AX t Bu t K e y t CX t 模型
状态观测器设计的问题在于选择合适的矩阵Ke， 使得矩阵： 状态观测 A K eC 增益矩阵 其特征值（调节器系统的极点）均具有负实部 （位于S平面左半平面），则当t趋近于无穷时， E(t)趋近于零。
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
3、状态观测器
(3)确定状态观测增益矩阵Ke的方法 根据观测器的期望极点（特征值）： n n 1 n2 s 1 s 2 s n s 1s 2 s
如果传感器噪声较大，可以将观测器极点选的
比控制器极点慢一些，以减小系统带宽，平滑噪 声。此时，系统响应以观测器极点为主导。
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
4、状态观测器的相关问题
(2)观测器的引入对闭环系统影响
被控 对象
状态 反馈
X t AX t Bu t y t CX t u t KX t
X t AX t Bu t Ke y t y t y t CX t
X t AX t Bu t K e y t CX t
利用实际系统的状态方程减去上述方程，得：
sI A s n a1s n1 a2 s n2
定义变换矩阵T：T=MW 其中M是可控性矩阵：
2 M B AB A B an 1 an 2 a n 2 an 3 W 1 a1 0 1
an
An 1B
a1 1 1 0 0 0 0 0
X t AX t Bu t y t CX t
X t AX t Bu t y t CX t
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
3、状态观测器
(2)全阶状态观测器 所谓全阶状态观测器即能够观测到系统全 部状态变量的观测器。
X t A BK X t BKE t 可得 E t A K eC E t 其中 E t X t X t
观测 X t AX t Bu t K e y t CX t 模型
an 2 an 3 1 0
a1 1 1 0 0 0 0 0
则 Ke Q
1
n an
n 1 an 1
2 a2 1 a1
*
c.阿克曼（Ackermann）公式
N是可观性矩阵：
* N C
A*C *
( A* )2 C *
b.利用变换矩阵Q的方法 假设原被控对象的极点（特征值）：
sI A s n a1s n1 a2 s n2
定义变换矩阵Q：Q=WN* 其中N是可观性矩阵：
* N C
an
A*C *
( A* ) 2 C *
( A* ) n 1 C *
an 1 a n2 W a1 1
K e ke1 确定状态观测增益矩阵： a.直接代入法 ke 2
kenபைடு நூலகம்
n
*
极点（特征值）：
* n 1 * n 2 sI ( A KeC ) s n 1 s 2 s * n
s n 1s n 1 2 s n 2 n 直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵Ke。


写成矩阵形式为
X t A BK E t 0 BK X t A K eC E t
可见：
观测-状态反馈控制系统的闭环极点包含极点
配置设计产生的极点和状态观测器设计产生的 极点。
由于引入状态观测器，整个闭环系统的特征方
5、带观测器的调节器系统设计
① 推导被控系统的状态空间模型；
② 检验被控系统的状态完全可控性和可观性；
③ 根据性能要求确定期望的闭环系统极点位置，同
时选择期望的观测器极点；
④ 确定状态反馈增益矩阵K和状态观测增益矩阵Ke； ⑤ 利用所求出的增益矩阵K，推导观测器-控制器的
传递函数，如果控制器是稳定的，检验其对给定 初始条件的响应，如果响应不能令人满意，则调 整期望闭环极点的位置和（或）观测器极点的位 置，直到获得满意的响应为止。
X t X t A K eC X t X t
即
X t X t e
E t e
A K e C t
X 0 X 0
E 0
A K e C t
E t X t X t
习
A.10.5、B.10.3
题
第九章 状态空间分析与设计
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 线性系统的状态空间描述 线性系统的能控性和能观性 线性系统的状态反馈及状态观测器 Lyapunov稳定性分析 二次型最优控制
9.3 线性系统的状态反馈及状态观测器
1、基本概念
与经典控制设计采用输出反馈不同，状态空间
kn
n
极点配置后系统闭环极点（特征值）：
* n 1 * n 2 sI ( A BK ) s n 1 s 2 s * n
s n 1s n 1 2 s n 2 n 直接比较各幂次系数即可求得增益矩阵K。
b.利用变换矩阵T的方法 假设原被控对象的极点（特征值）：
n
n 1
2s
n2

A An 1 An1 2 An2
M是可控性矩阵：
M B AB A2 B
n I
An 1B
则
K 0 0
1 M 1 A
自学教材P556，例10.1
教材P625，A10.5
教材P625，A10.5
已知系统的状态空间模型如下：