径向基函数网络
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径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用
径向基函数神经网络模型及其在预测系统中的应用传统的神经网络模型在处理非线性问题时存在一定的限制，而径向基函数神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）模型则能够有效地处理这类问题。
本文将介绍径向基函数神经网络模型的基本原理，并探讨其在预测系统中的应用。
1. 径向基函数神经网络模型的基本原理径向基函数神经网络模型是一种三层前馈神经网络，包含输入层、隐含层和输出层。
该模型通过将输入向量映射到高维特征空间，并利用径向基函数对输入数据进行非线性变换。
其基本原理如下：1.1 输入层：输入层接收原始数据，并将其传递给隐含层。
1.2 隐含层：隐含层中的神经元使用径向基函数对输入数据进行非线性变换。
径向基函数通常采用高斯函数，其形式为：φ(x) = exp(-(x-c)^2/2σ^2)其中，x为输入向量，c为径向基函数的中心，σ为径向基函数的宽度。
隐含层神经元的输出由径向基函数计算得到，表示了输入数据距离每个径向基函数中心的相似度。
1.3 输出层：输出层根据隐含层的输出和相应的权值进行计算，并生成最终的预测结果。
2. 径向基函数神经网络模型在预测系统中的应用径向基函数神经网络模型在各种预测系统中具有广泛的应用，包括金融预测、气象预测、股票价格预测等。
2.1 金融预测径向基函数神经网络模型能够对金融市场进行有效预测，例如股票价格、外汇汇率等。
通过输入历史数据，可以训练神经网络模型，利用其中的非线性变换能力来预测未来的价格走势。
实验表明，基于径向基函数神经网络模型的金融预测系统能够提供较高的准确度和稳定性。
2.2 气象预测径向基函数神经网络模型在气象预测中的应用也取得了良好的效果。
通过输入历史气象数据，神经网络模型可以学习到不同变量之间的关系，并预测未来的天气情况。
与传统的统计模型相比，径向基函数神经网络模型能够更好地捕捉到非线性因素对气象变化的影响，提高了预测的准确性。
6. 径向基函数网络
0 0
x1 Ф1 x2
w0J w1J wi1 wiJ
w01 w11 wI1 y1
...
...
x3
Фi
yJ wIJ
ФI xM
在实际应用中，一般都采用广义径向基函数网络。
...
4.概率神经网络
PNN网络的优点 训练容易，收敛速度快，从而非常适用于实时处理。 可以实现任意的非线性逼近，用PNN网络所形成的判决曲面 与贝叶斯最优准则下的曲面非常接近。
>> yy2 = sim(net, xx);
>> plot(xx,yy2,'.-r');
% 广义回归网络仿真
7.径向基网络应用实例
自己实现的广义回归网络： function y = grnn_net(p,t,x,spread)
测试： grnn_test.m
效果不错
7.径向基网络应用实例
这个网络的性能也与平滑因子的取值有关，取值过大则曲线 不够准确，取值过小会造成过学习。这里取缺省值0.5，下图 是取值分别为1和0.1时的测试结果。
RBF网络曲线拟合 :
输入18个样本点，将隐含节点个数设为18，其中心 就是输入的x值。期望输出为相对应的y值。 这样，网络中有一个输入节点，一个输出节点，18 个隐含节点。 采用工具箱函数：
curve_filt_newrb_build.m
curve_filt_newrb_sim.m
7.径向基网络应用实例
GRNN网络曲线拟合
在拟合质量相当的情况下，比较RBF网络与GRNN网络的速度 ： RBF网络消耗的时间远大于GRNN网络
>> x=-9:8; >> y=[129,-32,-118,-138,-125,-97,-55,-23,-4,... 2,1,-31,-72,-121,-142,-174,-155,-77]; >> plot(x,y,'o') >> P=x; % 样本的x值 % y值
x1 Ф1 x2
w0J w1J wi1 wiJ
w01 w11 wI1 y1
...
...
x3
Фi
yJ wIJ
ФI xM
在实际应用中，一般都采用广义径向基函数网络。
...
4.概率神经网络
PNN网络的优点 训练容易，收敛速度快，从而非常适用于实时处理。 可以实现任意的非线性逼近，用PNN网络所形成的判决曲面 与贝叶斯最优准则下的曲面非常接近。
>> yy2 = sim(net, xx);
>> plot(xx,yy2,'.-r');
% 广义回归网络仿真
7.径向基网络应用实例
自己实现的广义回归网络： function y = grnn_net(p,t,x,spread)
测试： grnn_test.m
效果不错
7.径向基网络应用实例
这个网络的性能也与平滑因子的取值有关，取值过大则曲线 不够准确，取值过小会造成过学习。这里取缺省值0.5，下图 是取值分别为1和0.1时的测试结果。
RBF网络曲线拟合 :
输入18个样本点，将隐含节点个数设为18，其中心 就是输入的x值。期望输出为相对应的y值。 这样，网络中有一个输入节点，一个输出节点，18 个隐含节点。 采用工具箱函数：
curve_filt_newrb_build.m
curve_filt_newrb_sim.m
7.径向基网络应用实例
GRNN网络曲线拟合
在拟合质量相当的情况下，比较RBF网络与GRNN网络的速度 ： RBF网络消耗的时间远大于GRNN网络
>> x=-9:8; >> y=[129,-32,-118,-138,-125,-97,-55,-23,-4,... 2,1,-31,-72,-121,-142,-174,-155,-77]; >> plot(x,y,'o') >> P=x; % 样本的x值 % y值
3.6 径向基函数神经网络模型与学习算法
2.5.3 RBF网络学习算法的MATLAB实现
newrb() 功能
建立一个径向基神经网络
格式
net = newrb(P，T，GOAL，SPREAD，MN，DF)
说明
P为输入向量，T为目标向量，GOAL为圴方误差， 默认为0，SPREAD为径向基函数的分布密度，默 认为1，MN为神经元的最大数目，DF为两次显示 之间所添加的神经元神经元数目。
I w ij exp d 2 X k ti max
2
2.5.3 RBF网络学习算法的MATLAB实现
RBF网络的MATLAB函数及功能
函 数 名 newrb() newrbe() newgrnn() newpnn() 功 能 新建一个径向基神经网络 新建一个严格的径向基神经网络 新建一个广义回归径向基神经网络 新建一个概率径向基神经网络
2.5.3 RBF网络学习算法的MATLAB实现
newrbe() 功能
建立一个严格的径向基神经网络,严格是指径向基 神经网络的神经元的个数与输入值的个数相等。
格式 (1) 说明
net = newrb(P，T， SPREAD)
各参数的含义见Newrb。
2.5.3 RBF网络学习算法的MATLAB实现
训练样本集X=[X1,X2,…,Xk,…,XN]T, 任一训练样本Xk=[xk1,xk2,…,xkm,…,xkM] ； 对应的实际输出为Yk=[Yk1, Yk2,…, Ykj,…, YkJ] 期望输出为dk=[dk1, dk2,…, dkj,…, dkJ] ；
；
当输入训练样本Xk时，第j个输出神经元的实际输出为：
GX k , X i G X k X i
1 2 Xi= [xi1,xi2,…,xim,…,xiM] exp Xk Xi 2 2 i 1 M 2 xkm xim exp 2 2 m 1 i
径向基函数（RBF）神经网络
径向基函数（RBF）神经⽹络RBF⽹络能够逼近任意的⾮线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性，具有良好的泛化能⼒，并有很快的学习收敛速度，已成功应⽤于⾮线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。
简单说明⼀下为什么RBF⽹络学习收敛得⽐较快。
当⽹络的⼀个或多个可调参数（权值或阈值）对任何⼀个输出都有影响时，这样的⽹络称为全局逼近⽹络。
由于对于每次输⼊，⽹络上的每⼀个权值都要调整，从⽽导致全局逼近⽹络的学习速度很慢。
BP⽹络就是⼀个典型的例⼦。
如果对于输⼊空间的某个局部区域只有少数⼏个连接权值影响输出，则该⽹络称为局部逼近⽹络。
常见的局部逼近⽹络有RBF⽹络、⼩脑模型（CMAC）⽹络、B样条⽹络等。
径向基函数解决插值问题完全内插法要求插值函数经过每个样本点，即。
样本点总共有P个。
RBF的⽅法是要选择P个基函数，每个基函数对应⼀个训练数据，各基函数形式为，由于距离是径向同性的，因此称为径向基函数。
||X-X p||表⽰差向量的模，或者叫2范数。
基于为径向基函数的插值函数为：输⼊X是个m维的向量，样本容量为P，P>m。
可以看到输⼊数据点X p是径向基函数φp的中⼼。
隐藏层的作⽤是把向量从低维m映射到⾼维P，低维线性不可分的情况到⾼维就线性可分了。
将插值条件代⼊：写成向量的形式为，显然Φ是个规模这P对称矩阵，且与X的维度⽆关，当Φ可逆时，有。
对于⼀⼤类函数，当输⼊的X各不相同时，Φ就是可逆的。
下⾯的⼏个函数就属于这“⼀⼤类”函数：1）Gauss（⾼斯）函数2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函数3）Inverse multiquadrics（拟多⼆次）函数σ称为径向基函数的扩展常数，它反应了函数图像的宽度，σ越⼩，宽度越窄，函数越具有选择性。
完全内插存在⼀些问题：1）插值曲⾯必须经过所有样本点，当样本中包含噪声时，神经⽹络将拟合出⼀个错误的曲⾯，从⽽使泛化能⼒下降。
径向基函数神经网络课件
小批量梯度下降算法
01
总结词
小批量梯度下降算法是一种折中的方法，每次使用一小批 样本来更新模型参数，既保持了计算量小的优点，又提高 了模型的稳定性。
02 03
详细描述
小批量梯度下降算法的核心思想是在每次迭代时，随机选 择一小批样本来计算损失函数，并使用梯度下降法或其他 优化方法来更新模型参数。这种方法可以平衡计算量和训 练时间的关系，同时提高模型的稳定性。
径向基函数神经网络课件
目 录
• 径向基函数神经网络概述 • 径向基函数神经网络的基本结构 • 径向基函数神经网络的学习算法 • 径向基函数神经网络的优化策略 • 径向基函数神经网络的实现细节 • 径向基函数神经网络的实例展示 • 总结与展望
01
径向基函数神经网络概述
神经网络简介
神经网络的定义
神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型，通过学习样 本数据来自动提取特征和规律，并完成分类、回归等任务。
02 03
详细描述
随机梯度下降算法的核心思想是在每次迭代时，随机选择一个样本来计 算损失函数，并使用梯度下降法或其他优化方法来更新模型参数。这种 方法可以大大减少计算量和训练时间。
优缺点
随机梯度下降算法的优点是计算量小，训练时间短，适用于大规模数据 集。但是，由于只使用一个样本进行更新，可能会造成模型训练的不稳 定，有时会出现训练效果不佳的情况。
2
输出层的节点数通常与输出数据的维度相等。
3
输出层的激活函数通常采用线性函数或softmax 函数。
训练过程
01
神经网络的训练过程是通过反向 传播算法实现的。
02
通过计算损失函数对网络权重的 梯度，更新权重以减小损失函数
径向基函数神经网络
11
径向基函数神经网络
内容提要
• 6.1 概述
• 6.2 径向基函数数学基础 • 6.3 径向基函数网络结构 • 6.4 RBF网络算法分析
RBF神经网络
• 径向基函数神经网络（radial basis function neural network，RBFNN） • RBF神经网络是基于人脑的神经元细胞对外界 反应的局部性而提出的新颖的、有效的前馈式 神经网络，具有良好的局部逼近特性。它的数 学理论基础成形于1985年由Powell首先提出的 多变量插值的径向基函数，1988年被 Broomhead和Lowe应用到神经网络设计领域 ，最终形成了RBF神经网络。
10
RBFNN的结构
RBFNN的Matlab实现
clear all clc x=0:0.1:5; y=sqrt(x); net=newrb(x,y); t=sim(net,x); plot(x,y-t,'+-') figure x1=5:0.1:9; y1=sqrt(x1); t1=sim(net,x1); plot(x1,y1-t1,'*-')
7
RBF神经网络的学习算法
RBF神经网络的学习算法分为两步：
第一步是确定隐含层神经元数目、中心和 宽度，第二步是确定隐含层和输出层之间的连 接权值。 径向基函数中心的选取方法主要有随机选 取法、K-均值聚类算法、梯度训练方法和正交 最小二乘法等。隐含层和输出层之间的连接权 值的训练方法主要包括最小均方差、递推最小 方差、扩展卡尔曼滤波等方法。
4
RBFNN的结构
图8.1 RBF神经网络的结构
5常用的Biblioteka 向基函数• 高斯函数（Gaussian Function）
径向基函数网络
• 正规化网络
• 其中基函数一般选用高斯函数：
• 那么：
正规化网络是一个通用逼近器，只要隐单元足够多，它就可以逼近任意M元 连续函数。且对任一未知的非线性函数，总存在一组权值使网络对该函数的 逼近效果最好。
• 广义网络
• 当基函数为高斯函数时：
RBF神经网络两种模型
• 正规化网络RN：通用逼近器 • 基本思想： • 通过加入一个含有解的先验知识的约束来控制映射函数的光滑性，若输入一
径向基函数网络
• RBF神经网络定义 • RBF神经网络工作原理 • RBF神经网络模型 • RBF神经网络学习算法 • 实例
径向基函数网络（RBF网络）
• 径向基函数是多维空间插值的传统技术，根据生物神经元具有局部响应这一 特点，将RBF引入到神经网络设计中，产生了RBF神经网络。
• RBF网络能够逼近任意的非线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性， 具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数 逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建 模、控制和故障诊断等。
自组织选取中心算法步骤
• 1.基于K-均值聚类方法求取基函数中心
• 2.求解方差 • 3.计算隐含层和输出层之间的权值
实例
根据RBF神经网络的网络结构和工作 原理，可确定以下编程步骤及相关语言： 初始化，确定RBF网络模型的输入，输出 向量。 用newrb()函数设计一个满足一定精度的 RBF网络。
运行程序，可得到函数逼近曲线和函数逼近 外推误差曲线分别为：
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谢谢大家 ！
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下面看一个例子： 用RBF网络逼近Hermit多项式
y(x) 1.1(1 x 2x2 ) exp( x2 ) 2
径向基函数
m
,
i 1
通过学习，设法得到相应的参数
Radial Basis Functions: •Radial-basis functions were introduced in the solution of the real multivariate interpolation problem. • Basis Functions: A set of functions whose linear combination can generate an arbitrary function in a given function space. • Radial: Symmetric around its center
14
二、RBF Network 性能
RBF网络是一个两层前馈网 隐层对应一组径向基函数，实现非线性映射 每一个隐层单元Ok的输出：
μ
是高斯分布的期望值，又称中心值；σ k是宽度，控制围绕中心 的分布
k
每个隐单元基函数的中心可以看作是存储了一个已知的输入。当输
入 X 逼近中心时，隐单元的输出变大。这种逼近的测度可采用 Euclidean距离： || x-μ ||²
(c1,x) = 1 if distance of x from c1 less than r1 and 0 otherwise (c2,x) = 1 if distance of x from c2 less than r2 and 0 otherwise
：Hyperspheric radial basis function
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二、RBF Network 性能
Center of the function
8
一、概述
,
i 1
通过学习，设法得到相应的参数
Radial Basis Functions: •Radial-basis functions were introduced in the solution of the real multivariate interpolation problem. • Basis Functions: A set of functions whose linear combination can generate an arbitrary function in a given function space. • Radial: Symmetric around its center
14
二、RBF Network 性能
RBF网络是一个两层前馈网 隐层对应一组径向基函数，实现非线性映射 每一个隐层单元Ok的输出：
μ
是高斯分布的期望值，又称中心值；σ k是宽度，控制围绕中心 的分布
k
每个隐单元基函数的中心可以看作是存储了一个已知的输入。当输
入 X 逼近中心时，隐单元的输出变大。这种逼近的测度可采用 Euclidean距离： || x-μ ||²
(c1,x) = 1 if distance of x from c1 less than r1 and 0 otherwise (c2,x) = 1 if distance of x from c2 less than r2 and 0 otherwise
：Hyperspheric radial basis function
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二、RBF Network 性能
Center of the function
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一、概述
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按照RBF神经网络的编程步骤可得到： x=-4:0.08:4; t=1.1*(1-x+2*x.^2).*exp(-x.^2/2)+0.1*rand(1,101); p_test1=4:0.08:4.32; net=newrb(x,t,0.8,0.7,100); Y=sim(net,p_test1); x1=-4:0.08:4.32; x2=4:0.08:4.32; t1=1.1*(1-x1+2*x1.^2).*exp(-x1.^2/2); t2=1.1*(1-x2+2*x2.^2).*exp(-x2.^2/2); e=Y-t2
• 学习算法需要求解的参数： ➢ 径向基函数的中心 ➢ 方差 ➢ 隐含层到输出层的权值
• 当采用正归化RBF网络结构时，隐节点数即样本数，基函数的数据中心即为 样本本身，参数设计只需考虑扩展常数和输出节点的权值。
• 当采用广义RBF网络结构时，RBF网络的学习算法应该解决的问题包括：如 何确定网络隐节点数，如何确定各径向基函数的数据中心及扩展常数，以及 如何修正输出权值。
•RBF网络是一种单隐层的三层前向网络 • RBF神经网络有两种模型：正规化网络和广义网络 • RBF网络的基本思想
➢ 用RBF作为隐单元的“基”构成隐函数空间，将输入矢量直接映射到 隐空间（不需要通过权连接）
➢ 当RBF的中心确定后，映射关系也就确定 ➢ 隐含层空间到输出空间的映射是线性的
RBF网络的工作原理
格式：net=newrb(P,T,g,s) Newrb()可自动增加RBF网络的隐层神经
19
元，直到均方差满足为止。其中P,T,g,s 分别是输入向量，输出向量（目标值） 均方差精度和径向基层的散布常数。g和 s的取值直接影响到网络的拟合和泛化能 力。 用sim函数进行仿真。 格式：y=sim(net,P)
RN
GN
隐节点=输入样本数
所有输入样本设为 径向基函数的中心
隐节点＜输入样本数
径向基函数的中心 由训练算法确定
径向基函数 取统一的扩展常数
径向基函数的扩展常数 不再统一由训练算法确定
没有设置阈值
输出函数的线性中包含阈值参数， 用于补偿基函数在样本集上的 平均值与目标值之平均值之间的差别。
RBF网络的学习算法
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wc1=e./t2 figure(1) plot(x1,t1,'k-',x,t,'k+',x2,Y,'r+'); xlabel('自变量x')； ylabel('函数值y(x)')； figure(2) plot(x2,e,‘b+',x2,e,‘b-'); xlabel('自变量x')； ylabel(‘误差值e’)；
• 学习方法分类（根据RBF中心选取方法的不同分）： • 随机选取中心法 • 自组织选取中心法 • 有监督选取中心法 • 正交最小二乘法等
自组织选取中心法
• 中心和权值的选取可以分为两个相互独立的步骤进行： • 一是无监督的自组织学习阶段，即学习隐含层基函数的中心与方差的阶段；
其任务是用自组织聚类方法为隐层节点的径向基函数确定合适的数据中心， 并根据各中心之间的距离确定隐节点的扩展常数。一般采用Duda和Hart1973 年提出的k-means聚类算法。 • 二是有监督学习阶段，其任务是用有监督学习算法训练输出层权值，一般采 用梯度法进行训练。
自组织选取中心算法步骤
• 1.基于K-均值聚类方法求取基函数中心
• 2.求解方差 • 3.计算隐含层和输出层之间的权值
实例
根据RBF神经网络的网络结构和工作 原理，可确定以下编程步骤及相关语言： 初始化，确定RBF网络模型的输入，输出 向量。 用newrb()函数设计一个满足一定精度的 RBF网络。
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下面看一个例子： 用RBF网络逼近Hermit多项式
y(x) 1.1(1 x 2x2 ) exp( x2 ) 2
训练输入样本集x=-4﹕0.08﹕4,有噪声，样本长度 L=101；测试输入集x2 =4﹕0.08﹕4.32,长度L1=5； 学习训练中，将带有噪声的y(x)作为目标函数，均方 误差为0.8，径向基函数的扩展速度为0.7，隐层的神 经元最大数目为100。绘制函数逼近曲线和函数逼近 外推误差曲线。
• 正规化网络
• 其中基函数一般选用高斯函数：
• 那么：
正规化网络是一个通用逼近器，只要隐单元足够多，它就可以逼近任意M元 连续函数。且对任一未知的非线性函数，总存在一组权值使网络对该函数的 逼近效果最好。
• 广义网络
• 当基函数为高斯函数时：
RBF神经网络两种模型
• 正规化网络RN：通用逼近器 • 基本思想： • 通过加入一个含有解的先验知识的约束来控制映射函数的光滑性，若输入一
径向基函数网络
• RBF神经网络定义 • RBF神经网络工作原理 • RBF神经网络模型 • RBF神经网络学习算法 • 实例
径向基函数网络（RBF网络）
• 径向基函数是多维空间插值的传统技术，根据生物神经元具有局部响应这一 特点，将RBF引入到神经网络设计中，产生了RBF神经网络。
• RBF网络能够逼近任意的非线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性， 具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数 逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建 模、控制和故障诊断等。
• 函数逼近： • 以任意精度逼近任一连续函数。一般函数都可表示成一组基函数的线性组合，
RBF网络相当于用隐层单元的输出构成一组基函数，然后用输出层来进行线 性组合，以完成逼近功能。 • 分类： • 解决非线性可分问题。RBF网络用隐层单元先将非线性可分的输入空间设法 变换到线性可分的特征空间（通常是高维空间），然后用输出层来进行线性 划分，完成分类功能。
输出映射函数是光滑的，则重建问题的解是连续的，意味着相似的输入对应 着相似的输出。 • 广义网络GN：模式分类 • 基本思想： • 用径向基函数作为隐单元的“基”，构成隐含层空间。隐含层对输入向量进 行变换，将低维空间的模式变换到高维空间内，使得在低维空间内的线性不 可分问题在高维空间内线性可分。
两种模型的比较
按照RBF神经网络的编程步骤可得到： x=-4:0.08:4; t=1.1*(1-x+2*x.^2).*exp(-x.^2/2)+0.1*rand(1,101); p_test1=4:0.08:4.32; net=newrb(x,t,0.8,0.7,100); Y=sim(net,p_test1); x1=-4:0.08:4.32; x2=4:0.08:4.32; t1=1.1*(1-x1+2*x1.^2).*exp(-x1.^2/2); t2=1.1*(1-x2+2*x2.^2).*exp(-x2.^2/2); e=Y-t2
• 学习算法需要求解的参数： ➢ 径向基函数的中心 ➢ 方差 ➢ 隐含层到输出层的权值
• 当采用正归化RBF网络结构时，隐节点数即样本数，基函数的数据中心即为 样本本身，参数设计只需考虑扩展常数和输出节点的权值。
• 当采用广义RBF网络结构时，RBF网络的学习算法应该解决的问题包括：如 何确定网络隐节点数，如何确定各径向基函数的数据中心及扩展常数，以及 如何修正输出权值。
•RBF网络是一种单隐层的三层前向网络 • RBF神经网络有两种模型：正规化网络和广义网络 • RBF网络的基本思想
➢ 用RBF作为隐单元的“基”构成隐函数空间，将输入矢量直接映射到 隐空间（不需要通过权连接）
➢ 当RBF的中心确定后，映射关系也就确定 ➢ 隐含层空间到输出空间的映射是线性的
RBF网络的工作原理
格式：net=newrb(P,T,g,s) Newrb()可自动增加RBF网络的隐层神经
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元，直到均方差满足为止。其中P,T,g,s 分别是输入向量，输出向量（目标值） 均方差精度和径向基层的散布常数。g和 s的取值直接影响到网络的拟合和泛化能 力。 用sim函数进行仿真。 格式：y=sim(net,P)
RN
GN
隐节点=输入样本数
所有输入样本设为 径向基函数的中心
隐节点＜输入样本数
径向基函数的中心 由训练算法确定
径向基函数 取统一的扩展常数
径向基函数的扩展常数 不再统一由训练算法确定
没有设置阈值
输出函数的线性中包含阈值参数， 用于补偿基函数在样本集上的 平均值与目标值之平均值之间的差别。
RBF网络的学习算法
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wc1=e./t2 figure(1) plot(x1,t1,'k-',x,t,'k+',x2,Y,'r+'); xlabel('自变量x')； ylabel('函数值y(x)')； figure(2) plot(x2,e,‘b+',x2,e,‘b-'); xlabel('自变量x')； ylabel(‘误差值e’)；
• 学习方法分类（根据RBF中心选取方法的不同分）： • 随机选取中心法 • 自组织选取中心法 • 有监督选取中心法 • 正交最小二乘法等
自组织选取中心法
• 中心和权值的选取可以分为两个相互独立的步骤进行： • 一是无监督的自组织学习阶段，即学习隐含层基函数的中心与方差的阶段；
其任务是用自组织聚类方法为隐层节点的径向基函数确定合适的数据中心， 并根据各中心之间的距离确定隐节点的扩展常数。一般采用Duda和Hart1973 年提出的k-means聚类算法。 • 二是有监督学习阶段，其任务是用有监督学习算法训练输出层权值，一般采 用梯度法进行训练。
自组织选取中心算法步骤
• 1.基于K-均值聚类方法求取基函数中心
• 2.求解方差 • 3.计算隐含层和输出层之间的权值
实例
根据RBF神经网络的网络结构和工作 原理，可确定以下编程步骤及相关语言： 初始化，确定RBF网络模型的输入，输出 向量。 用newrb()函数设计一个满足一定精度的 RBF网络。
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下面看一个例子： 用RBF网络逼近Hermit多项式
y(x) 1.1(1 x 2x2 ) exp( x2 ) 2
训练输入样本集x=-4﹕0.08﹕4,有噪声，样本长度 L=101；测试输入集x2 =4﹕0.08﹕4.32,长度L1=5； 学习训练中，将带有噪声的y(x)作为目标函数，均方 误差为0.8，径向基函数的扩展速度为0.7，隐层的神 经元最大数目为100。绘制函数逼近曲线和函数逼近 外推误差曲线。
• 正规化网络
• 其中基函数一般选用高斯函数：
• 那么：
正规化网络是一个通用逼近器，只要隐单元足够多，它就可以逼近任意M元 连续函数。且对任一未知的非线性函数，总存在一组权值使网络对该函数的 逼近效果最好。
• 广义网络
• 当基函数为高斯函数时：
RBF神经网络两种模型
• 正规化网络RN：通用逼近器 • 基本思想： • 通过加入一个含有解的先验知识的约束来控制映射函数的光滑性，若输入一
径向基函数网络
• RBF神经网络定义 • RBF神经网络工作原理 • RBF神经网络模型 • RBF神经网络学习算法 • 实例
径向基函数网络（RBF网络）
• 径向基函数是多维空间插值的传统技术，根据生物神经元具有局部响应这一 特点，将RBF引入到神经网络设计中，产生了RBF神经网络。
• RBF网络能够逼近任意的非线性函数，可以处理系统内的难以解析的规律性， 具有良好的泛化能力，并有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数 逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建 模、控制和故障诊断等。
• 函数逼近： • 以任意精度逼近任一连续函数。一般函数都可表示成一组基函数的线性组合，
RBF网络相当于用隐层单元的输出构成一组基函数，然后用输出层来进行线 性组合，以完成逼近功能。 • 分类： • 解决非线性可分问题。RBF网络用隐层单元先将非线性可分的输入空间设法 变换到线性可分的特征空间（通常是高维空间），然后用输出层来进行线性 划分，完成分类功能。
输出映射函数是光滑的，则重建问题的解是连续的，意味着相似的输入对应 着相似的输出。 • 广义网络GN：模式分类 • 基本思想： • 用径向基函数作为隐单元的“基”，构成隐含层空间。隐含层对输入向量进 行变换，将低维空间的模式变换到高维空间内，使得在低维空间内的线性不 可分问题在高维空间内线性可分。
两种模型的比较