内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学(文)
2018年3月20内蒙古模拟试卷一文科数学答案
(51, 41) ，共 4 种情况.
故课外学习数学的时间相差 5 分钟以上的概率 P
4 2 . -----------12 分 10 5
19．（本小题满分 12 分） 如 图 ，四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 ， BAD 60 . 已 知 PB PD 2 ， PA
18．（本小题满分 12 分） 某 课 题 研 究 小组为 了 解 学 生 的 课 外 学 习 数 学 的 情 况 ，进 行 了 “ 学 有 用 的 数 学 ” 的 校 园 调 查 活 动 ， 随 机 抽 取 了 某 校 30 名 学 生 进 行 调 查 ， 其 中 有 12 名 男 生 和 18 名 女 生 ， 将 这 30 名 学 生 参 加 课 外 学 习 数 学 活 动 的 时 间 编 成 如 图 所 示 的 茎 叶 图 （ 单 位 ：分 钟 ） ， 课 外 学 习 数 学 的 时 间 在 35 分 钟 以 上 （ 包 括
1 ， 数 列 bn 的 前 n 项 和 为 S n ， 求 S n . an an1
解： （Ⅰ ）T9 9a5 81
a1 4d 9
又 a1 , a2 , a5 成等比数列
2 a2 a1a5
高三文科数学答案 第
1 页
（共 8 页）
a1 1 `, d 2 an 2n 1
6.
3 页
高三文科数学答案 第
（共 8 页）
（ Ⅰ ） 证 明 ： PC BD ； （ Ⅱ ） 若 E 为 PA 上 一 点 ， 记 三 棱 锥 P BCE 的 体 积 和 四 棱 锥 P ABCD 的 体 积 分 别 为 V1 和 V2 ， 当 V1 : V2 1: 8 时 ， 求
内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案
A．5
B． 6
C． 7
D． 8
9.现有 4 张牌（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
字母。现在规定：当牌的一面为字母 R 时，它的另一面必须写数字 2 .你的任务是：为检验下
面的 4 张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（
）
A ．翻且只翻（ 1）（ 4） C．翻且只翻（ 1）（ 3）
1
[ 2, ]
D．
3
12.已知 BC 是圆 O 的直径， H 是圆 O 的弦 AB 上一动点， BC 10 ， AB 8 ，则 HB HC
的最小值为（ ）
A． 4
B． 25
C． 9
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .
D． 16
13.某人随机播放甲、乙、丙、丁
率是
．
4 首歌曲中的 2 首，则甲、乙 2 首歌曲至少有 1首被播放的概
M N（ ）
A ． {0, 1, 2}
B． {0, 2}
C． { 1,1}
D． {0,1}
3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子最上面一节的容积为（
）
2 A． 5 升
6 B ． 11 升
14.设函数 f ( x) 2 sin( x
( 0, )，
) x5
2，
8 为 y f ( x) 图象的对称轴，
11
x 8 为 f ( x) 的零点，且 f ( x) 的最小正周期大于 2 ，则
【配套K12】内蒙古包钢第一中学2018届高三数学上学期第一次月考试题 文
包钢一中2017-2018学年度第一学期月考考试高三年级文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2430A x x x =-+<，{}=24B x x <<，则A B =I （ ） A ．()1,3 B ．()1,4 C ．()2,3 D ．()2,4 2．已知复数3i12ia +-为纯虚数，则实数a =（ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．63．设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．[]1,6- D ．36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．已知()()4212xa f x a x x ⎧⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．[)4,8C ．()4,8D ．()1,8 5．设2log a =π，12log b =π，2c -=π，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>6．若不等式220x ax a -+>对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式2231tt a+-<的解集为（ ）A ．()3,1-B ．()(),31,-∞-+∞UC ．∅D ．()0,17．函数()()cos f x x =+ωϕ的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） A ．13,,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ππ B ．132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ππC ．13,,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z8．已知平行四边形ABCD 中，()3,7AD =uuu r ，()2,3AB =-uu u r，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO uuu r的坐标为（ ）A ．1,52⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭9．已知,,a b c ∈R ，那么下列命题中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a bc c>，则a b > C ．若33a b >且0ab <，则11a b > D ．若22a b >且0ab >，则11a b< 10．设()1,2OA =-uu r ，(),1OB a =-uu u r ，(),0OC b =-uu u r（0a >，0b >，O 为坐标原点），若A B C 、、三点共线，则21a b+的最小值是（ ） A ．4 B ．92C ．8D ．9 11．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．12+．20+．28 D ．18+12．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）ABCD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．下列叙述中（1）若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”（2）若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”（3）命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥” （4）l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则∥αβ正确的是 ．14．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ．15．在ABC ∆中，90B =︒，1AB BC ==，点M 满足2BM AM =uuu r uuu r，则CM CA ⋅=uuu r uu r．16．已知()lg ,0,2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩则函数()()2231y f x f x =-+的零点个数是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：422a a =，且14,4,a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求同时满足下列条件的所有n a 的和：①20116n ≤≤；②n 能够被5整除. 18．已知函数()2sin 2f x x x a =-.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）设0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π时，函数()f x 的最小值是2-，求()f x 的最大值. 19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=. （1）求2sincos 22A CB ++的值； （2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.20．在平行四边形ABCD 中，2BC =，BD CD ⊥，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD x =，()V x 表示四棱锥F ABCD -的体积. （1）求()V x 的表达式； （2）求()V x 的最大值.21．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足条件()231n n S a =-，其中*n ∈N .（1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n b 满足3log n n b a =，若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知函数()ln xg x x=，()()f x g x ax =-. （1）求函数()g x 的单调增区间；（2）若函数()f x 在()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值.包钢一中2017——2018学年度第一学期月考考试高三年级文科数学试卷参考答案一、选择题1-5:CDABC 6-10:BDCCD 11、12：BA 二、填空题13．（4） 14．20x y --= 15．3 16．5 三、解答题17．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意可得()()1121132,43,a d a d a a d +=+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得12a d ==. 所以2n a n =.（2）设同时满足20116n ≤≤和n 能够被5整除的n a 构成一个新的等差数列{}m b ， 其中12040b a ==，22550b a ==，…，20115230b a ==. 所以{}m b 的公差504010d '=-=， 所以{}m b 的前20项之和为20201920401027002S ⨯=⨯+⨯=. 18．解：（1）())sin 21cos2f x x x a =+=sin 222sin 23x x a x a ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭π，令3222232k x k +≤-≤+πππππ，得511,1212k x k k +≤≤+∈Z ππππ， ∴()f x 的单调递减区间()511,1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ππππ （2）∵02x ≤≤π，∴22333x ≤-≤πππ，sin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭π ∴()min f x a =；()max 2f x a =+，令2a =-，得2a =，所以()max 22f x ==19．解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可知，2222cos a c b ac B +-=， 由题意知22212a cb ac +-=， ∴1cos 4B =又在ABC ∆中A B C ++=π， ∴22sin cos 2sin cos 222A C BB B +-+=+π221cos 1cos cos 2cos 1224B B B B +=+=+-=-（2）∵2b =， ∴由22212a c b ac +-=可得2214242a c ac ac +-=≥-， ∴83ac ≤，∵1cos 4B =，∴sin 4B =，∴118sin 223ABC S ac B ∆=≤⨯=∴ABC ∆. ∴()121334n nn T +-+=.20．解：（1）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA AD ⊥， ∴FA ⊥平面ABCD .∵BD CD ⊥，2BC =，CD x =，∴2FA =，)02BD x =<<，ABCD S CD BD =⋅=∴()1233ABCD V x S FA =⋅=()02x <<.（2）()23V x ===∵02x <<，∴204x <<. ∴当22x =，即x =()V x 取得最大值，且()max 43V x =. 21．解：（1）证明：由题意得()1132n n n n n a S S a a --=-=-()2n ≥， ∴13n n a a -=，∴()132nn a n a -=≥， 又()111312S a a =-=，解得13a =， ∴数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列.（2）由（1）得3n n a =，则33log log 3nn n b a n ===， ∴3nn n n c a b n ==⋅，设123132333n T =⋅+⋅+⋅+()1133n nn n -+-⋅+⋅L ，2343132333n T =⋅+⋅+⋅+()1133n n n n ++-⋅+⋅L .∴1232333n T -=++++L ()1131333313n n n n n n ++--⋅=-⋅-.22．解：由已知函数()g x ，()f x 的定义域均为()()0,11,+∞U ，且()()0ln xf x ax a x=->. （1）函数()()()221ln ln 1ln ln x xx x g x x x --'==， 当x e >时，()0g x '>.所以函数()g x 的单调增区间是(),e +∞ （2）因()f x 在()1,+∞上为减函数， 故()()2ln 10ln x f x a x -'=-≤在()1,+∞上恒成立.所以当()1,x ∈+∞时，()max 0f x '≤. 又()()22ln 11ln ln x f x a x x -⎛⎫'=-=-+ ⎪⎝⎭21111ln ln 24a a x x ⎛⎫-=--+- ⎪⎝⎭， 故当11ln 2x =，即2x e =时，()max 14f x a '=-. 所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14.。
内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学文试题 含答案 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试（包头市第一次模拟考试）文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,3}A =，{1,3}B =-，则AB =（ ）A ．{1,1,2,3}-B ．{3}C ．{1,2,3}-D ．{1,1,2}- 2. 设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3 3.函数()cos()3f x x π=+图象的一条对称轴是（ ）A ．6x π=B ．x π=C ．53x π=D ．2x π= 4.已知向量(1,2)a =-，(,1)b λ=.若a b +与a 平行，则λ=（ ） A ．5- B ．52 C ．7 D ．12- 5.在平面直角坐标系xoy 中，直线20x y +=为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2 B．46.若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．83 B ．323 C ．163 D ．283 8.已知函数()ln(2)ln(4)f x x x =++-，则错误．．的是（ ） A ．()f x 在(2,1)-单调递增 B ．()f x 在(1,4)单调递减C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点(1,0)对称9.某学生食堂规定，每份午餐可以在三种热菜中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种热菜相同的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．1610.执行如图所示的程序框图，如果输入的150t =，则输出的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811.现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。
内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案
（2）若
18.如图，四棱锥 H ABCD 中， HA 底面 ABCD ， AD / / BC ， AB AD AC 6 ，
HA BC 8 ， E 为线段 AD 上一点， AE 2 ED ， F 为 HC 的中点.
（1）证明： EF / / 平面 HAB ； （2）求二面角 E HF A 的正弦值. 19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取 500 株小麦，测量这些小 麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表： 生 长 指 标 值 分 组 频 数
x
11 8 为 f ( x) 的零点，且 f ( x) 的最小正周期大于 2 ，则 {15.设数列
Sn
，若
S2 6
，
an 1 2S n 3
， n N ，则
S4
．
x2 y 2 2 1( a 0, b 0) 2 b 16.在平面直角坐标系 xoy 中，双曲线 a 的左支与焦点为 F 的抛物线 x 2 2 py ( p 0) 交 于 M ， N 两 点 . 若 MF NF 4 OF ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率
）
8.执行如图所示的程序框图，如果输入的
t
1 50 ，则输出的 n （
）
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
9.现有 4 张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一 个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母 R 时，它的另一面必须写数字 2 .你的任务是：为 检验下面的 4 张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ）
给出下列结论：① PD 平面 PEF ；② PD EF ；③ DG 平面 PEF ；④ DF PE ；⑤
内蒙古包头市第四中学2018届高考数学模拟试题 文(无答案)
内蒙古包头市第四中学2018届高考数学模拟试题 文（无答案）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知复数Z=1-i ，则2()1z z =-A. 2B. －2C. 2iD. －2i2设集合{}R x x x A ∈≥-=,914,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x x B ,03, 则 A ∩B=（ ） A ]2,3(-- B ．]25,0[]2,3(⋃-- C ．),25[]3,(+∞⋃--∞ D ．),25[)3,(+∞⋃--∞3、下列说法错误的是( )A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若1x ≠则2320x x -+≠” B ．命题"01,:"2<++∈∃x x R x p 使得，则"01,:"2≥++∈∀⌝x x R x p 均有 C ．若“q p 且” 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题 D ．若0,a a b a c ≠⋅=⋅则“”是“=”的充要条件 4、.已知函数()[]11y fx =-在，上的图象如图所示，则()[]11y f x =-在，上的图象可能是A.①②B.①③C.②③D.②④5、现采用随机模拟方法估计某运动员射击4次击中的概率，先由计算器给出0到9取整数的随机数。
指定0，1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为1组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 A 0.852 B 0.8192 C 0.8 D 0.756、函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线12x π=对称C ．关于点)0,6(π对称D ．关于直线6π=x 对称7、.已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221,(0)x y a a-=>交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( ) AC ．2D ．38、若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A．[B．( C．[ D．( 9、三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，若将俯视图水平放置后面积为（ ）C 2 D.1210、.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若()cos3f x x π=，则输出的S 的值为（ ）A.0B. 671.5C .671D .67211、．定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立则实数t 的取值范围是（ ） A ．(-∞，-2](0，l] B ．[-2，0)[l ，+∞) C ．[-2，l] D ．[-2，0)(0，l)12、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，且x ＜0时，()()20xf x f x '->恒成立，设()()()1,24,39,f a f b f c ===则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a ＞b ＞cB. a ＜b ＜cC. b ＜a ＜cD. b ＞a ＞c第Ⅱ卷（非选择题 共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13、已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ．14、已知0,1a a >≠，函数()22,01,0x x x f x a x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩在R 上是单调函数，且()52f a a =-，则实数a =___________.15、.已知,x y 满足10,20,20,x y x y x my -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩若z x y =+的最大值为32，则常数m=__________.16、.在△ABC 中，边 AC=13，AB=5，cosA=6513，过A 作P BC AP 于⊥，μλ+=，则________=λμ.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17、已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程220,()n n x x b n N *-+=∈的两根，且11a =（1）求证：数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；18、从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i X （单位万元）与月储蓄i Y （单位万元）的数据资料，算得101ii X=∑=8，101i i Y =∑=2，101ii i Y X =∑=1.84，1021ii X=∑=7.2（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ∧=b ∧x+a ∧（2）判断变量X 与Y 之间是正相关还是负相关（3）若该居民区某家庭月收入为0.7万元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程y ∧=b ∧x+a ∧中b ∧=1221ni ii nii x y nx ynxx==--∑∑，a ∧=y -b ∧x ，其中x ，y 为样本平均值19. （本小题满分12分）如图所示，正方形BCDE 所在的平面与平面ABC 互相垂直，其中120,2,,ABC AB BC F G ∠===o 分别为CE ，AB 的中点.（I ）求证：FG//平面ADE ； （II ）求FG 与BC 所成角的余弦值.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切. （Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、的取值范围.21. （本小题满分14分） 已知函数()()21ln ,2f x x x ag x x ax =+=+，其中a R ∈. （I ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与曲线()y g x =也相切，求a 的值； （II ）()()11,2x f x g x ∀>+<恒成立，求a 的取值范围.22．选修4—1：几何证明选讲如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点B 、C ，AQ OP ，垂足为Q ．若PA ＝4，PC ＝2，求AQ 的长．23．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数 )，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（第21题A 图）。
【数学】2017-2018年内蒙古包头一中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2017-2018学年内蒙古包头一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}2．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知数列{a n}满足：a n2=a n﹣1•a n+1（n≥2），若a2=3，a2+a4+a6=21，则a4+a6+a8=（）A．84 B．63 C．42 D．214．（5分）设a=2，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b5．（5分）若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣36．（5分）已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．B．C．D．7．（5分）设直线x﹣y﹣a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为（）A．B．C．±3 D．±98．（5分）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．4 B．6 C．4 D．29．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．410．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．511．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣312．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为．14．（5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的体积为．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若S3=13，a n+1=2S n+1，n∈N*，则符合S n ＞a5的最小的n值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC=60°，PC=2，AP +AC=4． （Ⅰ）求∠ACP ；（Ⅱ）若△APB 的面积是，求sin ∠BAP ．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9=90，S 15=240．（1）求{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ；（2）设a n b n =，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ．19．（12分）已知函数． （1）求f （x ）的最大值及取得最大值时的x 集合；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，f （A ）=0．求b +c 的取值范围．20．（12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F ﹣ABCD ，V F ﹣CBE ，求V F ﹣ABCD ：V F ﹣CBE ．21．（12分）已知函数f （x ）=（x ﹣2）e x 和g （x ）=kx 3﹣x ﹣2（1）若函数g （x ）在区间（1，2）不单调，求k 的取值范围；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=β和θ=β﹣（0＜β＜）与圆C分别异于极点O的A，B两点．（1）求圆C的极坐标方程；（2）求|OA|+|OB|的最大值．选修45：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．（I）求实数a，b的值；（II）求的最大值．2017-2018学年内蒙古包头一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．2．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．3．（5分）已知数列{a n}满足：a n2=a n﹣1•a n+1（n≥2），若a2=3，a2+a4+a6=21，则a4+a6+a8=（）A．84 B．63 C．42 D．21【解答】解：∵a n2=a n﹣1•a n+1（n≥2），∴数列{a n}是等比数列，设其公比为q，∵a2=3，a2+a4+a6=3+3q2+3q4=21，即q4+q2﹣6=0，解得q2=2或q2=﹣3（舍），∴a4+a6+a8=a2（q2+q4+q6）=3（2+4+8）=42．故选：C．4．（5分）设a=2，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵a=2＜=0，b=＞=1，0＜c=＜=1，∴a＜c＜b．故选：D．5．（5分）若直线l1：ax+y﹣1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣3【解答】解：∵a=﹣2时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔解得：a=1故选：B．6．（5分）已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴．故选：C．7．（5分）设直线x﹣y﹣a=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为（）A．B．C．±3 D．±9【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，由△AOB为等边三角形，得圆心到直线x﹣y﹣a=0的距离d==，解得：a=±．故选：B．8．（5分）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（）A．4 B．6 C．4 D．2【解答】解：解：由三视图知：几何体是三棱锥，边长为4的等腰直角三角形为底面，高为4，（如图），∵AC=4，BC=4，AC⊥BC，SO⊥BC，SO=4，OB=OC=2，∴AB=4，AO=SB=SC=2，AOS是三角形直角，∴AS=6．∴棱的最长是AS=6，故选：B．9．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2﹣S k=24转化为：∴S k+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．11．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．12．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为﹣．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即为2+4•+42=4，即有1+4•+4=4，•=﹣，可得在方向上的投影为=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是②③．【解答】解：①m，n也可能异面，故不正确；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故正确；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n，故正确；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n，相交，异面，故不正确．故选②③．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的体积为．【解答】解：如图，设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P﹣ABC球半径为R，设△ABC外心为O，∵三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，∴由正弦定理，得：2r==2，解得r=1，即OA=1，过O作OD⊥平面ABC，取PA中点E，过E作ED∥AO，交OD于D，则D为球心，PD为球半径，PD=AD===，∴此三棱锥的外接球的体积为：V===．故答案为：．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若S3=13，a n+1=2S n+1，n∈N*，则符合S n ＞a5的最小的n值为5．=2S n+1，n∈N*，n≥2时，a n=2S n﹣1+1，∴a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，【解答】解：∵a n+1∴数列{a n}是等比数列，公比为3，由S3=13，∴=13，解得a1=1．∴a5=34=81．S n==，S5==121＞a5，S4==40＜a5．∴符合S n＞a5的最小的n值为5．故答案为：5．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…（1分）所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…（2分）解得AP=2．…（3分）所以AC=2．…（4分）所以△APC是等边三角形．…（5分）所以∠ACP=60°．…（6分）（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…（10分）在△APB中，由正弦定理得，…（11分）所以sin∠BAP==．…（12分）法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）所以BD=4．在Rt△ADB中，，…（10分）所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…（11分）==．…（12分）18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．（1）求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2）设a n b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1 ）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240，∴，解得a1=2，d=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，S n=2n+=n（n+1）．（2）∵a n=2n，a n b n=，∴=（），∴数列{b n}的前n项和：T n=（1﹣）==．19．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c 的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）f（x）=1﹣sin2x+2cos2x=cos2x﹣sin2x+2 （2分）=2cos（2x+）+2，（4分）∵﹣1≤cos（2x+）≤1，∴0≤2cos（2x+）+2≤4，∴f（x）的最大值为4，（5分）当2x+=2kπ（k∈Z），即x=kπ﹣（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，则此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（7分）（2）由f（A）=0得：2cos（2A+）+2=0，即cos（2A+）=﹣1，∴2A+=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+（k∈Z），又0＜A ＜π，∴A=，（9分）∵a=1，sinA=， 由正弦定理==得：b==sinB ，c=sinC ，（10分）又A=，∴B +C=，即C=﹣B ，∴b +c=（sinB +sinC ）=[sinB +sin （﹣B ）]=（sinB +cosB +sinB ）=2（sinB +cosB ）=2sin （B +），（12分）∵A=，∴B ∈（0，）， ∴B +∈（，），∴sin （B +）∈（，1]，则b +c 的取值范围为（1，2]．（14分）20．（12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1． （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为V F ﹣ABCD ，V F ﹣CBE ，求V F ﹣ABCD ：V F ﹣CBE ．【解答】解：（1）证明：由平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ， 得CB ⊥平面ABEF ，而AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥CB （2分） 又因为AB 为圆O 的直径， 所以AF ⊥BF ，（3分）又BF ∩CB=B ，所以AF ⊥平面CBF （4分） （2）证明：设DF 的中点为N ，连接AN ，MN则MNCD ，又AOCD则MN AO ，所以四边形MNAO 为平行四边形，（6分） 所以OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， 所以OM ∥平面DAF ．（8分）（3）过点F 作FG ⊥AB 于G ，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ， 所以FG ⊥平面ABCD ，所以（9分）因为CB ⊥平面ABEF ， 所以（11分） 所以V F ﹣ABCD ：V F ﹣CBE =4：1．（12分）21．（12分）已知函数f （x ）=（x ﹣2）e x 和g （x ）=kx 3﹣x ﹣2 （1）若函数g （x ）在区间（1，2）不单调，求k 的取值范围；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求k 的最大值． 【解答】解：（1）g'（x ）=3kx 2﹣1…（1分）①当k ≤0时，g'（x ）=3kx 2﹣1≤0，所以g （x ）在（1，2）单调递减，不满足题意；…（2分）②当k＞0时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以，解得…（4分）综上k的取值范围是．…（5分）（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）e x﹣kx3+x+2依题可知h（x）=（x﹣2）e x﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立…（6分）h'（x）=（x﹣1）e x﹣3kx2+1，令φ（x）=h'（x）=（x﹣1）e x﹣3kx2+1，有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（e x﹣6k）…（7分）①当6k≤1，即时，因为x≥0，e x≥1，所以φ'（x）=x（e x﹣6k）≥0所以函数φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上单调递增，又由φ（0）=h'（0）=0故当x∈[0，+∞）时，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增又因为h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；…（10分）②当6k＞1，即时，当x∈（0，ln（6k）），φ'（x）=x（e x﹣6k）＜0，函数φ（x）即h'（x）单调递减，又由φ（0）=h'（0）=0，所以当x∈（0，ln（6k）），h'（x）＜h'（0）=0所以h（x）在（0，ln（6k））上单调递减，又因为h（0）=0，所以x∈（0，ln （6k））时h（x）＜0，这与题意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．…（13分）综上，即k的最大值是．…（14分）选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=β和θ=β﹣（0＜β＜）与圆C分别异于极点O的A，B两点．（1）求圆C 的极坐标方程； （2）求|OA |+|OB |的最大值．【解答】解：（1）圆的普通方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即x 2+y 2﹣4x=0， ∴圆C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ． （2）|OA |=4cosβ，|OB |=4cos （），∴|OA |+|OB |=4cosβ+4cos（β﹣）=4cosβ+2cosβ+2sinβ=6cos=4sin （）．∵0，∴当=即时，|OA |+|OB |取得最大值4．选修45：不等式选讲23．已知关于x 的不等式|x +a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． （I ）求实数a ，b 的值；（II ）求的最大值．【解答】解：（I ）由|x +a |＜b ，得﹣b ﹣a ＜x ＜b ﹣a ， 则，解得a=﹣3，b=1 …（5分）（II ）=2=4当且仅当=，即t=1时等号成立，故所求不等式的最大值是4 …（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x第21页（共21页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
内蒙古包头市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题有答案AlUPMH
2018年普通高等学校招生全国统一考试（包头市第一次模拟考试）理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足(1)1i z i +=-，则z =（） A ．1B ．2C ．3D ．42.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，2{|,}M x x x x U =≤∈，32{|320}N x x x x =-+=，则M N =I （） A ．{0,1,2}-- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{0,1} 3.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为（）A ．25升B ．611升C ．1322升D ．2140升4.若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D ．35.已知550(21)x a x -=4145a x a x a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++，则015a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=（）A ．1B ．243C ．32D ．2116.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A ．83B ．323C ．163D ．283 7.若双曲线C ：22221x y a b -=的离心率为e ，一条渐近线的倾斜角为θ，则cos e θ的值（）A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．不能确定，与e ，θ的具体值有关8.执行如图所示的程序框图，如果输入的150t =，则输出的n =（）A ．5B ．6C ．7D ．89.现有4张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。
现在规定：当牌的一面为字母R 时，它的另一面必须写数字2.你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（）A ．翻且只翻（1）（4）B ．翻且只翻（2）（4）C ．翻且只翻（1）（3）D ．翻且只翻（2）（3）10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 是EF 的中点，沿DE ，EF ，FD 将正方形折起，使A ，B ，C 重合于点P ，构成四面体，则在四面体P DEF -中，给出下列结论：①PD ⊥平面PEF ；②PD EF ⊥；③DG ⊥平面PEF ；④DF PE ⊥；⑤平面PDE ⊥平面PDF .其中正确结论的序号是（）A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．②④⑤11.已知函数3()24f x x x =-2()x x e e -+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（） A ．1[,2]3- B ．2[1,]3-- C ．2[,1]3D ．1[2,]3- 12.已知BC 是圆O 的直径，H 是圆O 的弦AB 上一动点，10BC =，8AB =，则HB HC ⋅u u u r u u u r的最小值为（）A ．4-B ．25-C ．9-D ．16-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是．14.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，(0,)2πωϕ><，58x π=为()y f x =图象的对称轴，118x π=为()f x 的零点，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=． 15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若26S =，123n n a S +=+，*n N ∈，则4S =．16.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于M ，N 两点.若4MF NF OF +=，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c a B b --=. （1）求sin sin AC 的值；（2）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S . 18.如图，四棱锥H ABCD -中，HA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，6AB AD AC ===，8HA BC ==，E 为线段AD 上一点，2AE ED =，F 为HC 的中点.（1）证明：//EF 平面HAB ；（2）求二面角E HF A --的正弦值.19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标生长指标值分组[165,175) [175,185) [185,195) [195,205) [205,215) [215,225) [225,235) 频数 10 45 110 165 120 40 10（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z 服从正态分布2(,6)N μ，其中μ近似为样本平均数x ，26近似为样本方差2s .①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②若从试验田中抽取100株小麦，记X 表示这100株小麦中生长指标值位于区间(187.8,212.2)的小麦株数，利用①的结果，求EX .15012.2≈.若2(,6)Z N μ:，则(66)0.6826P Z μμ-<<+=， (2626)0.9544P Z μμ-<<+=.20.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右两个焦点，124F F =，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足122AF BF =u u u r u u u u r . （1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形21ABF F 的面积.21.已知函数2()ln f x ax x x =--，(,ln 1)a R x x ∈≤-. （1）若38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为21x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2ρ=.（1）若2a =-时，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l距离的最大值为a .23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()12f x x x =+--，2()g x x x a =--. （1）当5a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，求a 的取值范围.2018年普通高等学校招生全国统一考试（包头市第一次模拟考试）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: ADCDB 6-10: CBBAC 11、12：DD二、填空题 13. 56 14. 12π15. 6616.三、解答题17.解：（1）由正弦定理，设sin sin sin a b c kA B C ===， 则22sin sin sin c a k C k A b k B --=2sin sin sin C A B -=. 由题设条件，得cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B --=，整理得sin()2sin()A B B C +=+.又A B C π++=，所以sin 2sin C A =，即sin 1sin 2A C =. （2）由余弦定理，可知222cos 2a c b B ac +-=14=，①由（1）可知sin 1sin 2A a C c ==，② 由2b =，再联立①②求得2c =，1a =，sin B4=，((0,))B π∈，所以1sin 2S ac B ==. 18.解：（1）由已知得243AE AD ==， 取BH 的中点G ，连接AG ，GF ，由F 为HC 的中点知//GF BC ，142GF BC ==， 又//AD BC ，故//GF AE， 所以四边形AEFG 为平行四边形，于是//EF AG ，AG ⊂平面HAB ，EF ⊄平面HAB ，所以//EF 平面HAB .（2）取BC 的中点T ，连接AT .由AB AC =得AT BC ⊥，从而AT AD ⊥，且AT ===以A 为坐标原点，AT 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -. 由题意知，(0,0,8)H ，(0,4,0)E，4,0)C，2,4)F ，(0,4,8)HE =-u u u r ，(5,2,4)HF =-u u u r ，(5,2,4)AF =u u u r . 设(,,)n x y z =r 为平面HEF 的法向量，则00n HE n HF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r u u u r ， 即4805240y z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，可取(0,2,1)n =r . 设000(,,)m x y z =为平面HAF 的法向量， 则00m HF m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即52405240x y z x y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，可取(2,5,0)m =-u r . 于是cos ,n m <>r u r m n m n ⋅=⋅u r r 252335-=-， 5sin ,n m <>=r u r .所以二面角E HF A --的正弦值为5.19.解：（1）画图.（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为 1700.021800.09x =⨯+⨯1900.222000.332100.24+⨯+⨯+⨯2200.082300.02200+⨯+⨯=， 222(30)0.02(20)0.09s =-⨯+-⨯2(10)0.2200.33+-⨯+⨯22100.24200.08+⨯+⨯2300.02150+⨯=.（3）①由（1）知(200,150)Z N :，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.220012.2)P Z =-<<+0.6826=.②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B :，所以1000.682668.26EX =⨯=.20.解：（1）由题意知26a =，24c =，所以3a =，2c =.所以2225b a c =-=，椭圆C 的方程为22195x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以111(2,)AF x y =---u u u r ，222(2,)BF x y =--u u u u r ， 由122AF BF =u u u r u u u u r ，得1222(2)x x +=-，122y y =. 延长AB 交椭圆于H ， 因为122AF BF =u u u r u u u u r ，所以12//AF BF ，且122AF BF =. 所以线段2BF 为1AF H ∆的中位线，即2F 为线段1F H 的中点，所以(6,0)H .设直线AB 的方程为6x my =+，代入椭圆方程得，225(6)945my y ++=，即22(59)601350m y my +++=. 所以122260359m y y y m +=-=+，21222135259y y y m ⋅==+， 消去2y ，得229325m ⨯=，依题意取5m =-. 1221AF H BF H ABF F S S S ∆∆=-四边形11221122F H y F H y =-1222242826y y y y y =-=-=212059m m =-=+.21.解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--， 所以31'()14f x x x =--(32)(2)(0)4x x x x +-=>.令'()0f x =，得2x =，当(0,2)x ∈时，'()0f x <；当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--.（2）由2()ln f x ax x x =--，得1'()21f x ax x =--221(0)ax x x x --=>，所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x --=<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点.因为当10a -≤≤时，(1)10f a =-<，221()0e e a f e e -+=>，所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,)+∞上有零点.综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点.（3）由（2）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点.因为()f x 有两个零点，所以0a >.由2()ln f x ax x x =--，得221'()(0)ax x f x x x --=>.令2()21g x ax x =--， 因为(0)10g =-<，20a >，所以()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设这个零点为0x ， 当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >； 所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增.要使函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即2000ln 0ax x x --<.因为2000()210g x ax x =--=，所以2000ln ax x x --20001(2ln 22)2x ax x =-+-200001[2ln (21)1]2x ax x x =-+---+ 001(12ln )02x x =--<，可得002ln 10x x +->，又因为()2ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上是增函数，且(1)0h =，所以01x >，0101x <<， 由200210ax x --=，得02012x a x +=20011()x x =+20111()24x =+-，所以022a <<，即01a <<.以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点.当01a <<时，2121()1a g a a a =--10a a -=>，(1)2(1)0g a =-<， 所以011x a <<. 因为211()1a f e e e =-+220e e a e -+=>，且0()0f x <，所以函数()f x 在01(,)x e 上有一个零点. 又因为22422()ln a f a a a a =--22(1)10a a ≥--=>（因ln 1x x ≤-）.且0()0f x <，所以()f x 在02(,)x a 上有一个零点. 所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a 内有两个零点.综上，实数a 的取值范围是(0,1).22.解：（1）曲线的普通方程为224x y +=，当2a =-时，直线l 的普通方程为20y x +=， 由22204x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 从而C 与l的交点坐标为(55-，(,55-. （2）直线l 的普通方程为220x y a +--=，设C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则C 上的点(2cos ,2sin )θθ到l 的距离为d==.当2a ≥-时，d==，所以8a =-当2a <-时，d，=，所以12a =，综上，8a =-12a =.23.解：（1）当5a =时，不等式()()f x g x ≥等价于12x x +--25x x ≥--，①当1x <-时，①式化为220x x --≤，无解；当12x -≤≤时，①式化为2340x x --≤，得12x -≤≤；当2x >时，①式化为280x x --≤，得2x <≤.所以()()f x g x ≥的解集为1[1,2+-.（2）当[2,3]x ∈时，()3f x =， 所以()()f x g x ≥的解集包含[2,3]，等价于[2,3]x ∈时()3g x ≤.又2()g x x x a =--在[2,3]上的最大值为(3)6g a =-. 所以(3)3g ≤，即63a -≤，得3a ≥.所以a 的取值范围为[3,)+∞.。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
（包头市第一次模拟考试）
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，集合，则，故选A．
2. 设复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意复数满足，则，所以，故选B．
3. 函数图象的一条对称轴是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数，令，解得，
即函数图象的一条对称轴是，故选C．
4. 已知向量，.若与平行，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由向量，，则，
因为向量与平行，则，解得，故选D．
5. 在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，
又直线是双曲线的一条渐近线，所以，
所以，故选C．
6. 若，且，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
目标函数，可化为，
由图可知，当直线过点时，得到目标函数的最小值，
由，解得，则目标函数的最小值为，故选D．
7. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）。