第四章一元一次方程
六.【当堂检测】 完成《补充习题》中的练习，然后后小组内先核对答案，完成自 我评价。 七.【回扣目标】学有所成、悟出方法 移项时要改变项的符号外，还应该注意什么？ 教 后 记
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§ 4.2 解一元一次方程（3） 课型：新授 主备：匡寿林 课时：3/4 复备： 教学准备： 教学时间： 月 日：
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§ 4.2 课型：新授 主备：匡寿林 教学目的 教学重难点 课时：1/4 复备： 教学准备： 教学时间： 月 日：
1．了解方程的解，解方程的概念； 2．掌握运用等式的基本性质解简单的一元一次方程； 3．经历体会解方程中的转化思想． 运用等式的基本性质解简单的一元一次方程． 教 学 过 程 个人复备
例 2．解方程： 1 （1）x－3＝4－ x 2 1 1 （2） x－1＝3x＋ 3 3
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让学生自己完成，问：你觉得自己在哪一步易错？ 教师引导学生归纳： （1）移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数 项移到等号的右边． （2）移项要改变符号． 例 3．x 为何值时，代数式 4x＋3 与－5x＋6 的值． （1） 相等？ （2）互为相反数？ （3）和为 3？
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§ 4.1 从问题到方程 课型：新授 主备：匡寿林 课时：1/1 复备： 教学准备： 教学时间： 月 日：
教学目的
1、 探索实际问题中数量之间的相等关系,并用方程描述; 2、 通过对多种实际问题中的数量关系的分析 ,使学生初步感受方程是刻画现实世 界的有效模型; 3、 认识一元一次方程,并能正确识别. 分析题意，找出相等关系，正确列出方程. 教 学 过 程 个人复备
一.【情境引入】初步感知、激发兴趣 1．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式 (1)如果 3x+8 = 11,那么 3x = 11. (2)如果 2y = 5,那么 y = 2.用等式性质解下列方程： （1）4x－15＝9； （2）3x＝10－2x． .
二.【个体先学】问题引路、初步运用 1.学生解答后，引导学生观察解题过程： 问题一：解方程 4x－15＝9 时，能否直接把等式左边的－15 改变符号移到等式右边？ 问题二：方程 4x－15＝9 与 4x＝9＋15 的差别在哪儿？ 问题三： 解方程 3x＝10－2x 时， 能否直接把等式右边的－2x 改变符号移到等式左边？为什么？ 2.学生自主学习课本第 100-101 页内容，对于自己不理解的问题， 可进行简短的讨论； 3.下面的移项对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）5＋x＝10 移项得 x＝10＋5； （2）3x＝2x＋8 移项得 3x＋2x＝－8 ； （3）-2x＋5＝4－3x 移项得-2x＋3x＝4＋5 三.【合作研学】教师引领、师生互动 例 1．解方程： （1）4x－13＝23 （2）2x＝5x－21
2.解方程 2（2x+1）=1-5（x-2）
3.
当 x 取何值时，代数式 3（2-x）和-2（3+2x）的值相等？
归纳：解方程去括号时注意点有哪些？
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四.【探究拓学】能力提升、突破难点 1. 已 知 方 程 2( x 1) 3( x 2) 的 解 是 关 于 x 的 方 程
2[3( x m) 4( x 1)] 3(m 2) 的解，求 m 的值.
3 1 2 2.解方程： [2(x－ )＋ ]＝5x． 2 2 3
五.【展示与反馈】生生互动、突出重点 1．解方程： （1）－3(x－1)＝9； （2）2(2x＋1)＝3－2(x－2)． 2．解方程： 2 2 （1）6－3(x－ )＝ ； 3 3 3 2 1 1 2 （2） [ ( x＋1)＋2]－2 ＝ x． 2 3 4 2 3 3．当 x 取何值时，代数式 3(2－x)和 2(3＋x)的值相等？ 4．小明今年 6 岁，他的爷爷 62 岁，几年后，小明的年龄是他爷 爷年龄的
你是如何做到的？ 三.【合作研学】教师引领、师生互动 探究等式的基本性质： 方程 2x＋1＝5 可以变形如下：
方程 3x＝3＋2x 学教案
从以上的变形中，你发现等式具有怎样的性质？ 结合天平，观察方程的变形，概括出等式的性质： 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结 果仍是等式． 等式两边都乘（或除以）同一个不等于 0 的数，所得结果仍是等 式． 四.【展示与反馈】生生互动、突出重点 根据等式性质解一元一次方程 例 1 解下列方程： （1） x＋5＝2； （2）－2x＝4．
一.【情境引入】初步感知、激发兴趣 怎样求一元一次方程 2x＋1＝5，2x＋(12－x)＝20， 1 1 1 x－4＝ x－1，8＋6(n－1)＝140，5＋x＝ (32＋x)中未知数 3 4 4 的值呢？ 二.【个体先学】问题引路、初步运用 自主学习课本第 99-100 页的内容，完成课本中的问题后讨论下列问 题： 1.什么叫做方程的解?“解方程”与“方程的解”概念相同吗？ 2.填空： (1)在 1、3、－2、0 中，方程 2x－1＝－5 的解为 ． (2)在 1、3、－2、0 中，方程 x－1 ＝1 的解为 2 ．
教学目的
1. 会运用去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的方法解一些简单的一元一次 方程； 2.通过观察和尝试，培养归纳总结的能力； 3.主动探索，勇于实践，在活动中与他人合作交流. 应用“去括号”等方法解一些简单的一元一次方程． 教 学 过 程 个人复备
教学重难点
一.【情境引入】初步感知、激发兴趣 1.复习去括号法则 括号前是“＋”号， ． 括号前是“－”号， ． 2．将(3x＋2)－2(2x－1)去括号正确的是( ) A．3x＋2－2x＋1 B．3x＋2－4x＋1 C．3x＋2－4x－2 D．3x＋2－4x＋2 去括号易错点：①漏乘 ②符号 二.【个体先学】问题引路、初步运用 学习课本第 102-103 页内容，完成下列问题： 小明说： “我姐姐今年的年龄是我去年的年龄的 2 倍少 6” ，已 知姐姐今年 20 岁，问小明今年几岁？ ①设小明今年 x 岁，用含 x 的代数式表示姐姐的年龄：2(x－1) －6 ，如何给这个代数式去括号呢？ ②根据题意列出方程 2(x－1)－6＝20，如何解方程学生展开讨 论，寻求解法． 三.【合作研学】教师引领、师生互动 1. 解方程 -3（x+1）=9
例 4．如果关于 x 的方程－3x＋4＝5x－4 与 3(x＋1)＋4k＝11 的 解相同，试求 k 的值．
四.【展示与反馈】生生互动、突出重点 解方程： (1)
2 x = 10- x 3
(2)
1 x + = x-1 3 2
(3)
1 x = 2x-2 2 3
(4) 2- 0.75 x =
3 4
五.【探究拓学】能力提升、突破难点 若 5(y－2)2＋2＝7(y－2)2－8，试求(y－2)2 的值
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则他去学校所用时间为多少小时？ 四.【展示与反馈】生生互动、突出重点 （1） 小张去商店买练习本， 回来后问同学们： “店主告诉我， 如果多买一些就给我八折优惠，我就买了 20 本，结果便宜了 1.6 元，你猜原来每本价格多少元？”这里如果设每本价格 x 元，则 列方程得什么？你能写出所列方程吗？ （2）A、B 两地相距 50 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地 出发，相向而行，甲每小时比乙多行 2 千米，若两人同时出发， 经过 3 小时相遇．如果设甲的速度为 x 千米/小时，可列怎样的方 程，请列出来． （3）有一根铁丝，第一次用了它的一半少 1 米，第二次用 去了剩余的一半多 1 米， 结果还剩 2.5 米， 问这根铁丝原有多长？ （只列方程不解答． ） 试一试 课本 P97． 1 1 方程 2x＋1＝5、2x＋（12－x）＝20、 x－4＝ x－1、 3 4 1 8＋6（n－1）＝140、5＋x＝ （32＋x）等，它们都只含有一个未 4 知数（元） ，并且未知数的次数都是 1（次） ．像这样的方程，叫 做一元一次方程． 五.【探究拓学】能力提升、突破难点 1.在国庆阅兵中，坦克方队共由 18 辆坦克组成，分成六排，第 一排坦克的数量是第二排的一半，第三排坦克的数量比第二排多 1 辆，第四、五、六排数量相等，都是第二排的两倍，问每排各 有多少辆坦克？请列出方程. 2.某商场出售某种文具，每件可盈利 2 元，为了支援贫困山区， 现在按原售价的 7 折出售给一山区学校， 结果每件盈利 0.2 元 （盈 利=售价－进价） ，问该文具每件的进价是多少元？请列出方程. 六.【当堂检测】 完成《补充习题》中的练习，然后后小组内先核对答案，完成自 我评价。 七.【回扣目标】学有所成、悟出方法 如何用方程描述实际问题的数量关系？ 用方程表达实际问题中数量关系的基本步骤是什么？ 一元一次方程的概念，如何判断一个方程是一元一次方程？ 教 后 记
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六.【当堂检测】 完成《补充习题》中的练习，然后后小组内先核对答案，完成自 我评价。 七.【回扣目标】学有所成、悟出方法 通过这节课你学到了什么？ 你认为去括号的依据是什么？去括号时要注意什么？ 教 后 记
教学重难点
一.【情境引入】初步感知、激发兴趣 1．如图，天平的左盘中有两个相同的小球和一个质量为 1g 的小球，右盘中有一个 5g 的砝码．怎样描述天平平衡时所表示 的数量之间的相等关系？
2．篮球联赛规则规定：胜一场得 2 分，负一场得 1 分．某篮球队赛了 12 场，共得 20 分．怎样描述其中数量之间的 相等关系？ 二.【个体先学】问题引路、初步运用 学生自主学习课文第 96-97 页内容，完成下列问题： 想一想 我国古代问题：以绳三折测之，绳多四尺；若将 绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？ 意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来 量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？ 三.【合作研学】教师引领、师生互动 例 1 用方程描述下列问题中数量之间的等量关系： 某校七年级共有 216 名师生参加某次活动，用一辆面包车和 若干辆客车接送，已知这一辆面包车只能坐 16 人，还需用多少 辆 40 座的客车？ 变式训练一：用四辆轿车和若干辆客车接送，已知一辆轿车 只能坐 4 人，还需用多少辆 40 座的客车？ 变式训练二：用轿车和客车共 9 辆车接送，已知一辆轿车只 能坐 4 人，还需用多少辆轿车和多少辆 40 座的客车？ 例 2 用方程描述下列问题中数量之间的等量关系： （1）某种新鲜蔬菜经过脱水处理后，质量减少 70%，为了 得到这种脱水蔬菜 100kg，需要这种新鲜蔬菜多少千克？ （2）某学生从家到学校时，每小时走 5 千米；按原路返回时， 每小时走 4 千米，结果返回的时间比去学校的时间多花 10 分钟，
苏科版(2024新版)七年级数学上册第四章专题课件：利用一元一次方程的解求字母的值
－2＝3 x ＋1－6，移项，得4 x －3 x ＝1＋2－6，合并
同类项，得 x ＝－3.所以 a 的值为 ，方程正确的解
为 x ＝－3.
类型4 恒解与无解问题
5. 已知关于 x 的一元一次方程
＋
−
－
＝2，其中 a ，
b ， k 为常数.
(1)当 k ＝2时，原方程有无数多个解，求此时 a ＋4 b
.因为关于 x 的方程2 ax ＝( a ＋1) x ＋6的解为正整
−
数，所以 x ＝
为正整数.所以 a －1＝1或 a －1＝2或 a
−
－1＝3或 a －1＝6.所以 a ＝2或 a ＝3或 a ＝4或 a ＝7.
类型3 根据错解求字母的值
4. [2024 盐城亭湖区校级月考]某同学在解方程
4＋1，移项，合并同类项，得 x ＝2 m －3.2( x ＋1)－ m ＝
x －2( m －2)，去括号，得2 x ＋2－ m ＝ x －2 m ＋4，移
项，合并同类项，得 x ＝2－ m .所以2 m －3＝2－ m ＋4，
移项，合并同类项，得3 m ＝9，系数化为1，得 m ＝3.
2. 已知关于 x 的方程2－
第4章 一元一次方程
专题 利用一元一次方程的解求字母的值
类型1 根据解之间的关系求字母值
1. [2024无锡锡山区校级月考]已知关于 x 的方程5 x －2 m ＝
4( x －1)＋1的解比关于 x 的方程2( x ＋1)－ m ＝ x －2( m －
2)的解大4，求 m 的值.
解：5 x －2 m ＝4( x －1)＋1，去括号，得5 x －2 m ＝4 x －
苏科版(2024新版)七年级数学上册第四章专题《一元一次方程》课件：数学文化试题
x 根据鹿的总数是100可列方程为x+ 3 =100,解得x=75.
答:城中有75户人家.
336 里.
解析 设第一天走的路程为x里,
由题意得,x+ 1 x+1
1 x+ x+
1
x+
1
x=378,
2 4 8 16 32
解得x=192,则x+
1 2
x+
1 4
x=192+96+8=336.
故此人前三天走的路程为336里.
4.(2022吉林长春中考改编)《算法统宗》是中国古代重要的 数学著作,其中记载:我问开店李三公,众客都来到店中,一房 七客多七客,一房九客一房空.其大意为:今有若干人住店,若 每间住7人,则余下7人无房可住;若每间住9人,则余下一间无 人住.求该店有客房多少间,房客多少人.
A.8(x-3)=7(x+4)
y3 y4
C. =
8
7
B.8x+3=7x-4 y3 y4
D. = 87
解析 根据物价相等可列方程为8x-3=7x+4, 根据人数相等可列方程为 y 3 = y 4 .故选D.
87
2.《九章算术》是中国传统数学重要的著作,奠定了中国传统数 学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术 .其中,方程术是《九章算术》的最高数学成就.《九章算术》中 记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数 、鸡价各几何?”试用列方程解应用题的方法求出该问题的解. (译文:“假设有几个人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了 十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:有几个人共同出钱 买鸡?鸡的价钱是多少?”)
一元一次方程及其解法教案教学设计
4.2一元一次方程及其解法教案设计第4章一元一次方程七年级上册苏科版（2024）【教材分析和学情分析】教材分析：第四章“一元一次方程”是初中数学的基础内容，主要介绍了方程的基本概念、方程的解、等式的性质以及如何解一元一次方程。
这一章的学习，旨在通过实际问题的解决，让学生理解并掌握一元一次方程的模型，培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。
教材中通过丰富的实例和习题，帮助学生从实际问题中抽象出数学问题，再通过解决数学问题，反哺解决实际问题，形成数学思维。
学情分析：1. 学生基础：七年级的学生已经学习了基本的算术运算，对数的概念有一定的理解，但可能对如何用数学模型解决实际问题还比较陌生。
此外，他们的抽象思维能力和逻辑推理能力还在发展阶段。
2. 学习兴趣：初中的学生对新鲜事物充满好奇，如果能将一元一次方程与生活实际相结合，设计一些趣味性的教学活动，可以激发他们的学习兴趣。
3. 学习习惯：部分学生可能还习惯于被动接受知识，缺乏主动探究和自我解决问题的习惯，需要教师引导他们主动参与到学习过程中。
4. 学习困难：一些学生可能在理解等式的性质和运用这些性质解方程时遇到困难，需要教师耐心引导，通过实例演示和反复练习帮助他们掌握。
【教学目标】1. 知识与技能：学生应能理解一元一次方程的定义，掌握其标准形式，并能识别和列出实际问题的一元一次方程。
2. 过程与方法：通过实例，让学生经历从实际问题抽象出一元一次方程的过程，掌握解一元一次方程的基本步骤，培养他们的抽象思维和问题解决能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，体验数学与生活的紧密联系，提高他们的学习积极性和自信心。
【教学重难点】1. 重点：理解一元一次方程的定义，能正确列出和解一元一次方程。
2. 难点：将实际问题转化为一元一次方程，理解解方程的过程。
【教学过程】1. 导入新课：通过生活中的实例，如“小明有10元钱，他买了一本书花了5元，他还剩下多少钱？”引入方程的概念，让学生初步感知方程是用来表示等量关系的数学工具。
苏科版(2024新版)七年级数学上册第四章专题课件：特殊一元一次方程的解法技巧
合并同类项，得－ x ＝－ ，
系数化为1，得 x ＝1.
(3)
−
−
＝ x；
解：去括号，得 x － －6＝ x ，
去分母，得2 x －1－24＝6 x ，
移项、合并同类项，得－4 x ＝25，
系数化为1， x 得＝－ .
(4)
(
+ ) + + ＝1.
解：去括号，得 ( x ＋1)＋3＝4，
继续去括号，得 x ＋ ＋3＝4，
去分母，得 x ＋1＋6＝8，
移项、合并同类项，得 x ＝1.
类型3
3.
拆分型
解方程： ＋ ＋ ＋ ＋…＋
＝1.
解：原方程化为
×
(1)
−
＋
＝5 x ；
解：去括号，得3 x － ＋1＝5 x ，
移项、合并同类项，得－2 x ＝ ，
系数化为1，得 x ＝－ .
(2)4
−
(
− )
＝ (5＋ x )；
解：去括号，得2 x －3 x ＋3＝ ＋ x ，
移项，得2 x －3 x － x ＝ －3，
苏科版七年级数学上册第四章 一元一次方程知识点归纳
苏科版七年级数学上册第四章 一元一次方程知识点归纳一、一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。
一般形式：ax+b=0(a≠0)注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。
如x x=+31，它不是一元一次方程。
二、解一元一次方程方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质：（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
移项移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
移项的作用：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。
分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
解下列方程：（1）x x 2434-=-；（2）)9(76)20(34x x x x --=--；（3）3136521--=+-+x x x ；（4）35.0102.02.01.0=+--x x用方程解决问题列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。
关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系实际问题的常见类型：行程问题：路程=时间×速度，时间=速度路程，速度=时间路程 （单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时） 工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和利润问题：利润=售价-进价，利润率=进价利润，售价=标价×（1-折扣） 等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率。
苏科版(2024新版)七年级数学上册第四章专题课件：利用一元一次方程解决分段问题
②若第一次购买此种蔬菜在15千克以上且不超过35千
克，第二次购买此种蔬菜超过35千克，
则7.2 m ＋6.4(60－ m )＝400.
解得 m ＝20.则60－ m ＝40.
③若第一次购买此种蔬菜在35千克以上，则第二次购
买的数量少于第一次，不合题意.
答：第一次购买此种蔬菜20千克，第二次购买此种蔬
甲用户该月的天然气费用.
若 x ≤75，则费用为
2.5 x
元；
若 x ＞75，则费用为
(2.7 x －15)
元.
(2)若甲用户11月份的天然气费用为201元，求甲用户11月
份天然气的用量.
解：因为2.5×75＝187.5(元)＜201元，所以2.7 x －15
＝201，解得 x ＝80.
答：甲用户11月份天然气的用量为80立方米.
4元/立方米
超出10立方米的部分
8元/立方米
请根据上表的内容解答下列问题：
(1)若某户居民2月份用水8立方米，则应收水费 20 元.
(2)若某户居民3月份用水 a 立方米(其中6＜ a ≤10)，请用
含 a 的代数式表示应收水费 (4 a －12) 元.
(3)若某户居民4月份交水费52元，求该户居民4月份的用
水量为多少立方米？
解：设该户居民4月份的用水量为 x 立方米.因为2×6＋
4×(10－6)＝28(元)，28＜52，所以 x ＞10.根据题意，
得2×6＋4×(10－6)＋8( x －10)＝52，解得 x ＝13.
答：该户居民4月份的用水量为13立方米.
0.6元/千瓦时
4 800千瓦时的部分
第3档
超过4 800千瓦时的部分
( a ＋0.3)元/千瓦时
第4章 一元一次方程
4.1 从问题到方程
例 4 教材补充例题在一次美化校园活动中，先安排 31 人去拔 草，18 人去植树，后又增派 20 人去支援他们，结果拔草的人数是 植树的人数的 2 倍．问
支援拔草和植树的分别有多少人？(只列出方程即可)
4.1 从问题到方程
[解析] 首先设支援拔草的有 x 人，则支援植树的有(20－x)人， 根据题意可得等量关系：原来拔草人数＋支援拔草的人数＝2×(原 来植树的人数＋支援植树的人数)．
目标三 会用等式的基本性质解一元一次方程
例 3 教材例 1 变式题用等式的基本性质解下列方程：
(1)x＋4＝0；
(2)－41x＝3.
解：(1)根据等式的基本性质 1，方程两边都减去 4，得 x＝ －4.
(2)根据等式的基本性质 2，方程两边都乘－4，得 x＝－12.
第1课时 等式的基本性质
【归纳总结】解方程的实质是将方程化为“x＝a”的形式，解题 的基本思路是首先根据等式的基本性质将不含未知数的项移到等 式的右边，含未知数的项移到等式的左边，再合并同类项，最后 根据等式的基本性质 2 化未知数的系数为 1.
第4章 一元一次方程
第1课时 等式的基本性质
目标突破 总结反思
第1课时 等式的基本性质
目标突破
目标一 会验证一个数是不是方程的解
例 1 教材补充例题检验 x＝－5 与 x＝5 是不是方程2x－ 3 1＝ x－2 的解．
第1课时 等式的基本性质
解：把 x＝－5 分别代入方程的左右两边， 左边＝2×（－35）－1＝－131，右边＝－5－2＝－7. 因为左边≠右边，所以 x＝－5 不是方程2x－ 3 1＝x－2 的解． 把 x＝5 分别代入方程的左右两边， 左边＝2×53－1＝3，右边＝5－2＝3. 因为左边＝右边，所以 x＝5 是方程2x－ 3 1＝x－2 的解．
第四章一元一次方程(换元法新定义方程压轴)(原卷版)
(2)已知关于x的一元一次方程 是“和解方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 都是“和解方程”，求代数式 的值．
7．定义新运算 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如 ；
若 ，则称a与b互为“望一”数；
若 ，则称a与b互为“望外”数；
(1)计算： ．
(2)下列互为“望一”数的是．互为“望外”数的是．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
(3)若 ，则x可以取哪些整数？
(4)若 ，则x的值为多少？
8．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程 和 为“美好方程”．
(1)若关于x的方程 与方程 是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程，”求关于y的一元一次方程 的解．
(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程 和 是“美好方程”，求关于y的一元一次方程 的解．
6．我们规定：若关于x的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为 ，而 ，则方程 为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有．
第四章一元一次方程（换元法、新定义方程压轴）
一、换元法解方程
1．若关于x的一元一次方程 的解为 ，则关于y的一元一次方程 的解为（）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元一次方程 的解是 ，关于y的一元一次方程 的解是 （其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（）
A． B．
苏科版七年级数学上册 4.1 等式与方程(第4章 一元一次方程 学习、上课课件)
思路点拨 解答此类问题时，先要观察等式变形后的左边与右边，
与等式变形前的左边与右边的差异，是同时增加(或减少) 还是同时扩大(或缩小)，然后确定变形的依据，最后得出 结论.
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知识点 3 方程
知3－讲
1. 未知数 在2x＋1＝x＋5 ，a＋b＝12，2a＋b＝20，0.618x2＝
1.6这些等式中，都是用字母表示要求的未知的量，这样的 字母叫作未知数.
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知1－练
解题秘方：紧扣等量关系“剩余空白区域的面积＝(1－ 14)×长方形空地的面积”列出等式． 解：可列等式为(30－2x)(20－x)＝(1－14)×20×30.
感悟新知
知1－练
思路总结 列等式的一般思路：
(1)要注意理清情境中的数量关系，列出相应的代数式； 如题(1)是行程问题，可以根据“速度×时间＝路程”， 用代数式表示出甲、乙两人跑的路程；
个不为0的数.
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知2－练
例 2 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x＝c (c 为常数) 的形式， 正确的是( )
A. 由－13x＝23y得x＝2y B. 由3x－2＝2x＋2得x＝4 C. 由2x－3＝3x得x＝3 D. 由ax＝5a得x＝5 解题秘方：紧扣等式的基本性质求解，涉及加减的用性质 1，涉及乘除的用性质2(注意：等式的两边都除以同一个 数的时候，这个数必须不为0).
第4章 一元一次方程
4.1 等式与方程
学习目标
1 课时讲解 等式
等式的性质 方程 方程的解与解方程
2 课时流程
逐点 导讲练Leabharlann 课堂 小结作业 提升
感悟新知
知识点 1 等式
知1－讲
概念 像2x＝3y，S＝xy，12a＋3b＝58这样，表示相等关系
第4章《一元一次方程》知识讲练(学生版)
2023-2024学年苏科版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：一元一次方程的概念1．方程：叫做方程．2．一元一次方程：只含有（元），未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程．知识要点：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数的次数为；②未知数所在的式子是，即分母中不含未知数．3．方程的解：叫做这个方程的解．4．解方程：叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：，结果仍相等．等式的性质2：，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数 保持不变． 3．去括号法则：（1）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是 ，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的(2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边， 移到方程另一边．(4)合并：逆用 ，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为 (a ≠0)的形式．(5)系数化为1： 得到方程的解bx a=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若 相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝ ×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×3.利润问题：商品利润＝商品售价－4.工程问题：工作量＝工作效率× ，各部分劳动量之和＝5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金× ×6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）关于x 的方程kx ＝2x +6与2x ﹣1＝5的解相同，则k 的值为（ ） A ．4B ．3C ．5D ．62．（2分）（2022秋•高新区期末）已知等式3a ＝2b +5，则下列等式中不一定成立的是（ ） A ．3a ﹣5＝2bB ．3a +1＝2b +6C ．D ．3ac ＝2bc +53．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）小明到某文具店购买铅笔和中性笔．设购买铅笔的金额为x元，根据表格，下列方程错误的是（）商品单价（元/支）购买数量/支购买金额/元铅笔x中性笔总计/ 13 34 A．+＝13 B．x+3.5（13﹣）＝34C．1.2（13﹣）＝x D．3.5（13﹣）＝34﹣x4．（2分）（2022秋•江都区期末）某学校组织师生去中小学素质教育实践基地研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①40m+15＝45（m﹣1）；②40m﹣15＝45（m﹣1）；③＝﹣1；④+1．其中正确的是（）A．①④B．①③C．②③D．②④5．（2分）（2022秋•连云港期末）明代的数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之少四两，五两分之多半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则还差四两，如果每人分五两，则还多半斤（注：明代1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设共有x 两银子，则可列方程为（）A．7x﹣4＝5x+8 B．C．7x+4＝5x﹣8 D．6．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）元旦期间，甲、乙两家水果店对刚到货的橙子搞促销，甲水果店连续两次降价，第一次降价10%，第二次降价20%，乙水果店一次性降价30%，小丽想要购买这种橙子，她应选择（）A．甲水果店B．乙水果店C．甲、乙水果店的价格相同D．不确定7．（2分）（2022秋•南通期末）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）A．依题意3×120＝x﹣120B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤8．（2分）（2022秋•泗洪县期末）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（）A．240（x+12）＝120x B．240（x﹣12）＝120xC．240x＝120（x+12）D．240x＝120（x﹣12）9．（2分）（2022秋•工业园区校级月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（）A．5秒B．5秒或者4秒C．5秒或者秒D．秒10．（2分）（2022秋•江都区月考）观察月历，用形如的框架框住月历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，55，60，75，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是（）A．45 B．55 C．60 D．75二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•亭湖区期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．12．（2分）（2022秋•泗阳县期末）如图，在数轴上，A、B两点同时从原点O出发，分别以每秒2个单位和4个单位的速度向右运动，运动的时间为t，若线段AB上（含线段端点）恰好有4个整数点，则时间t 的最小值是．13．（2分）（2022秋•海门市期末）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？根据题意，可求得合伙买羊的是人．14．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）防范新冠病毒感染要养成戴口罩、勤洗手、多通风、常消毒等卫生习惯，其中对物体表面进行消毒可以采用浓度为75%的酒精．现有一瓶浓度为95%的酒精500mL，需将其加入适量的水，使浓度稀释为75%．设加水量为xmL，可列方程为．15．（2分）（2022秋•江都区期末）一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合作．完成整个工程一共需要小时．16．（2分）（2022秋•江阴市期末）某种商品降价10%后的价格恰好比原价的一半多40元，该商品的原价是元．17．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为﹣12．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒4个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒6个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．18．（2分）（2022秋•大丰区期末）京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时，按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多3分钟，求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为．19．（2分）（2022秋•句容市校级期末）如图，正方形的边长为6，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，那么三角形的面积是．20．（2分）（2021秋•射阳县校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•仪征市期末）解方程：（1）5（x﹣1）+3＝3x﹣3；（2）+＝1．、22．（6分）（2022秋•仪征市期末）某小组计划做一批“中国结”如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？小明和小红在认真思考后，根据题意分别列出了以下两个不同的方程：①5x﹣9＝4x+15②＝（1）①中的x表示；②中的y表示．（2）请选择其中一种方法，写出完整的解答过程．23．（8分）（2022秋•丹徒区期末）某商场用2730元购进甲、乙两种商品共60件，这两种商品的进价、标价如表所示：价格\类型甲乙进价（元/件）35 65标价（元/件）50 100（1）这两种商品各购进多少件？（2）若甲种商品按标价的9折出售，乙种商品按标价的8.5折出售，且在运输过程中有2件甲种、1件乙种商品不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该商场共获利多少元？24．（8分）（2022秋•惠山区校级期末）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．25．（8分）（2022秋•丹徒区期末）已知关于m的方程的解也是关于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如图，数轴上，O为原点，点M对应的数为m，点N对应的数为n．①若点P为线段ON的中点，点Q为线段OM的中点，求线段PQ的长度；②若点P从点N出发以1个单位/秒的速度沿数轴正方向运动，点Q从点M出发以2个单位/秒的速度沿数轴负方向运动，经过秒，P、Q两点相距3个单位．26．（8分）（2022秋•玄武区校级期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表：户月用水量（m3）收费标准（元/m3）不超过18m3超过18m3，但不超过25m3的部分 5超过25m3的部分7（1）小明家3月份用水量为20m3，应缴纳水费元；（2）设某户某月的用水量为xm3，应缴纳水费多少元？（用含x的代数式表示）（3）小红家6月份和7月份的用水量共50m3，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费217元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为m3，m3．27．（8分）（2022秋•太仓市期末）如图1，将一副三角板摆放在直线MN上，在三角板OAB和三角板OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，∠AOB＝45°，∠COD＝30°．（1）保持三角板OCD不动，当三角板OAB旋转至图2位置时，∠BOD与∠AON有怎样的数量关系？请说明理由．（2）如图3，若三角板OAB开始绕点O以每秒6度的速度逆时针旋转的同时、三角板OCD也绕点O以每秒3度的速度逆时针旋转，当OB旋转至射线OM上时，两块三角板同时停止转动．设旋转时间为t秒，则在此过程中，是否存在t，使得∠BOD+∠AON＝60°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N 两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N 表示的数为3．（1）直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是；（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．。