二次曲线模型和三次指数平滑模型

二次曲线模型简介

二次曲线模型的一般形式为：

^

2012t y b b t b t =++ （20b ≠） （3-1）

用阶差法识别二次曲线模型，如表（3-1）

表（3-1） 二次曲线模型的阶差计算表

由表（2-1）可知，二次曲线模型的特点是二阶差分为一个常数。因此，当一个时间序列{}t y 的二阶分差近似为一个常数时，都可以选择二次曲线模型进行预测。

二次曲线模型的参数估计可以采用最小二乘法。首先，将二次曲线模型线性化，令1t t = ，22t t = ，这样将二次曲线模型转化为二元线性模型：

^

01122t y b b t b t =++ （3-2）

然后，根据最小二乘法原理：使误差平方和

^

2

2011221

1

()()n

n

t t t t t Q y y y b b t b t ===-=---∑∑ （3-3）

达到最小，从而得到参数0b 、1b 和2b 的估计值。根据极值原理,Q 在其偏导数为0时取得极值。因此，令

01122001122110112222

202()02()0t t t Q

y b b t b t b Q

y b b t b t t b Q

y b b t b t t b ⎧∂=----=⎪∂⎪⎪∂=----=⎨∂⎪⎪∂=----=⎪∂⎩∑∑∑ （3-4） 整理后即的正规方程组：

011222

10111212220211222t t t

y nb b t b t t y b t b t b t t t y b

t b t t b t ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （3-5）

即：

2

01223

0122234012t t t y nb b t b t ty b t b t b t t y b t b t b t ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （3-6）

最后，求解三元一次线性方程组式（3-6），即可得到参数0b 、1b 和2b 的估计值，从而得到二次曲线模型。

三次指数平滑法简介

2.1.1 指数平滑公式

如果时间序列的变化呈现二次曲线趋势时，可用三次指数平滑法进行预测。所谓三次指数平滑法，就是将二次指数平滑序列再进行一次指数平滑。而二次指数平滑序列由二次指数平滑公法得到，所谓二次指数平滑法，就是对一次指数平滑序列再进行一次指数平滑。而一次指数平滑序列由一次指数平滑法得到。设时间序列为{t y }，一次指数平滑计算公式为：

(1)(1)1(1)t t t s y s αα-=+- （2-1）

式中：(1)t s 是第t 期的一次指数平滑值：t y 是第t 期的观测值；α是加权系数，

01α<< 。二次指数平滑公式为：

(2)(1)(2)1(1)t t t s s s αα-=+- （2-2）

式中：(2)t s 是第t 期的二次指数平滑值；α同上。三次指数平滑公式为：

(3)(2)(3)1(1)t t t s s s αα-=+- （2-3）

式中：(3)t s 是第t 期的三次指数平滑值；α同上。

2.1.2 α和初始值(1)0s 、(2)

0s 、(3)

0s 的取值原则

一般α的选取遵循下面的原则：

（1）当时间序列波动不大、较为平稳时，可取较小的α值（0.05~0.2）。 （2）当时间序列具有明显的变动趋势是时，可取较大的α值（0.3~0.6）。 （3）实际应用中，可多取几个α值进行运算，选取使误差最小的α作为加权系数。

初始值(1)

0s 的给定方法：

（1）当时间序列的样本容量20n > 时，初始值对预测结果影响较小，可选取第一期观测值作为初始值。

（2）当时间序列的样本容量20n ≤ 时，初始值对预测结果影响较大，应选取最初几期观测值的均值作为初始值。

初始值(2)0s 的给定方法同上面(1)0s 的给定方法。初始值(3)0s 选取(2)0s

2.1.3 二次曲线预测模型

三次指数平滑的目的是为了计算二次曲线预测模型的参数。设时间序列的二次曲线预测模型为：

2t t t t T y a b T c T +=++ （2-4） 其中的参数^

t a ，^

t b ，^

t c 分别为：

(1)(2)(3)(1)(2)(3)2

2(1)(2)(3)

2

33[(65)2(54)(43)]2(1)[2]2(1)t t t t t t t t t t t t a s s s b s s s c s s s ααααααα⎧⎪=-+⎪⎪⎪=---+-⎨-⎪⎪=-+⎪-⎪⎩

（2-5） T 是：预测超前期。