大学物理 自感与互感
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第四节自感与互感
Ψ N2 L= =µ S = µn 2 Sl = µn 2V I l
《大学物理》
教师：
胡炳全
二、互感现象 互感系数 1、互感现象 一个线圈的电流变化所引 起的另一线圈中的电磁感 应现象。叫互感。 2、互感系数 I1 B
1 可以证明
2
Φ m 2 = M 21 I1 Φ m1 = M 12 I 2
M 12 = M 21 = M
《大学物理》
教师：
胡炳全
例题1、有一长直密绕螺线管，长度为l，横截面积为S，线 圈的总匝数为N，管中介质的磁导率为µ。试求其自感系数。 解：设螺线管载流为I，则有
∫ H ⋅ d l = H ⋅ ab = I f =
l
N abI l
由
N H= I l B H= 可得
µ
N B=µ I l
每匝线圈的磁通量为： Φ m = BS = µ N SI l N2 总磁通量（或磁链）为： Ψ=µ SI l 则自感系数为：
证明：设有电流I Φ m = L1 I + L2 I ± 2 MI ∴ L = L1 + L2 ± 2 M 在这里，M还可以写成 M = k L1 L2 k叫耦合系数
全耦合 : k = 1 L = L1 + L2 ± 2 L1 L2 4 L0 → 0
L1 = L2 = L0
µ 0 I1 B1 = 2πr
l r I dr h a b
三角形线圈中的磁通量为
Φ
m 2
=
∫
S
B ⋅d S = =
∫
s
B cos θ ds
∫
b a
µ 0 I1 hdr 2π r
由相似三角形关系，可得 h b−r = l b−a
大学物理-12-4-自感和互感概要
5、 M 存在的利与弊 在变压器中：M 越大，能量损失越小。 在电子线路中：M 越大，相互干扰越大。
计算互感系数的一般步骤
（1）.设其中一个电路的电流为 I1 （2）.写出该电流的磁场分布 B
（3）.计算出另一个电路的全磁通 2
（4）. M 2
I1 I1 B1 Φ2 Ψ2 M
互感系数计算举例
2
计算空间磁场能量：Wm V wmdV
磁场的能量计算举例
例12-6 有一根无限长同轴电缆，由
半径为R1 和R2 两同轴圆筒状导体组成， 内外圆筒上分别流有大小相等，方向相反
的电流I。
求：长为 l 的一段电缆内储存的磁能。
解：H I
2r
Wm
V wmdV
1 H 2dV
V2
R2 1 ( I )2 2rldr
l
由互感系数定义可得互感为:
M
Nl ln a b
I 2
a
ab
★ 互感系数仅取决于两回路的形状,
相对位置,磁介质的磁导率．
互感系数计算举例
例4. 两共轴密绕长直螺线管，C1 和 C2 ， C1 为原线圈， 匝数为N1 ，C2 为副线圈，匝数为N2 ，两者长均为l , 线圈面
积均为S。管内介质的磁导率为μ，求①两螺线管的自感L1 和
W We Wm
wdV
V
回顾电场的能量
电容器的电能
dW Udq q dq C
W 1 C
Q
qdq
0
Q2 2C
+ + + + + + + + +
U
E
+
- - - - - - - - - dq
计算互感系数的一般步骤
（1）.设其中一个电路的电流为 I1 （2）.写出该电流的磁场分布 B
（3）.计算出另一个电路的全磁通 2
（4）. M 2
I1 I1 B1 Φ2 Ψ2 M
互感系数计算举例
2
计算空间磁场能量：Wm V wmdV
磁场的能量计算举例
例12-6 有一根无限长同轴电缆，由
半径为R1 和R2 两同轴圆筒状导体组成， 内外圆筒上分别流有大小相等，方向相反
的电流I。
求：长为 l 的一段电缆内储存的磁能。
解：H I
2r
Wm
V wmdV
1 H 2dV
V2
R2 1 ( I )2 2rldr
l
由互感系数定义可得互感为:
M
Nl ln a b
I 2
a
ab
★ 互感系数仅取决于两回路的形状,
相对位置,磁介质的磁导率．
互感系数计算举例
例4. 两共轴密绕长直螺线管，C1 和 C2 ， C1 为原线圈， 匝数为N1 ，C2 为副线圈，匝数为N2 ，两者长均为l , 线圈面
积均为S。管内介质的磁导率为μ，求①两螺线管的自感L1 和
W We Wm
wdV
V
回顾电场的能量
电容器的电能
dW Udq q dq C
W 1 C
Q
qdq
0
Q2 2C
+ + + + + + + + +
U
E
+
- - - - - - - - - dq
大学物理自感和互感
Ψ自 LI
L
d自 dt
d ( LI ) dI dL L I dt dt dt
若回路几何形状、 尺寸不变，周围介 质的磁导率不变 自感系数描述线圈 电磁惯性的大小
dL 0 dt
dI L L dt
负号表示自感电动势 总是要阻碍线圈回路 本身电流的变化。
3
单位：亨利，1H=1Wb/A 辅助单位：
B
I
2 πr
R1 Q
R
如图在两圆筒间取一长 为 l 的面 PQRS, 并将其分 成许多小面元.
I
I r
P
R2
l
S
dr
则 dΦ B dS Bldr
Φ dΦ
R2 R1
I
2πr
l dr
10 - 4 自感和互感
第十章 电磁感应
Il R dr R 2 r
2 1
Il R2 ln( ) 2 R1
R1 Q
R
Φ l R L ln( ) I 2 R
2 1
I
I r
P
R2
l
S
dr
单位长度的自感为：
L R2 Lo ln( ) l 2 R1
10 - 4 自感和互感 自感的利用
第十章 电磁感应
在通路时，自感对电流的变化起抑制作用, 可稳定电路中的电流（扼流圈\镇流器等）. 在断路时，自感电动势可产生一个瞬时高 压，对有些场合（如日光灯的启动和感应圈 的升压）有用。 构成RC\RCL谐振电路,滤波器等
答： 如图,双线绕制,可确保自感系数为零
0 L
I
0
10 - 4 自感和互感 二、互感(mutual induction)
大学物理自感和互感(二)2024
大学物理自感和互感（二）引言概述：在大学物理中，自感和互感作为电磁学的重要概念，是理解电路和电磁现象的关键。
本文将介绍自感和互感的概念、特性以及在电路中的应用。
通过对这两个概念的深入理解，我们可以更好地理解电磁学原理，并在实践中应用于电路设计和电磁设备。
正文：1. 自感的概念与特性1.1 自感的定义1.2 自感系数的计算方法1.3 自感的单位与量纲1.4 自感的特性及其影响因素1.5 自感在电路中的作用2. 互感的概念与特性2.1 互感的定义2.2 互感系数的计算方法2.3 互感的单位与量纲2.4 互感的特性及其影响因素2.5 互感在电路中的作用3. 自感与互感的数学关系3.1 自感与互感的数学定义3.2 自感与互感的表达式3.3 自感与互感的对立性及作用机制3.4 引入自感与互感的电路方程组3.5 自感与互感的联合应用实例4. 自感和互感在电路分析中的应用4.1 自感与互感对电流、电压的影响4.2 自感与互感对电路能量的转移与储存的影响4.3 自感与互感对电路振荡特性的影响4.4 自感与互感在变压器设计中的应用4.5 自感与互感在电磁传感器中的应用5. 自感和互感的实验验证及工程应用5.1 自感和互感的实验测量方法5.2 自感与互感的实验数据处理与分析5.3 自感和互感在电子工程中的应用案例5.4 自感和互感在电力工程中的应用案例5.5 自感和互感的未来发展方向总结：通过本文的阐述，我们对自感和互感的概念、特性以及在电路中的应用有了较为全面的了解。
自感和互感是电磁学的重要概念，掌握它们的原理和应用，对于电子工程和电力工程领域的学习和实践具有重要意义。
通过进一步的研究和实验，我们可以深入探索自感和互感的机理，并将其应用于更广泛的电磁设备和系统中。
大学物理,电磁感应12.4自感和互感
要求自感电动势，应先求出自感系数。
9
12.3 自感和互感
自感应用：
第12章 电磁感应
日光灯镇流器；高频扼流圈；自感线圈与电 容器组合构成振荡电路或滤波电路。 通电后，启辉器辉光放电，金属片受热形变 互相接触，形成闭合回路，电流流过，日光灯灯 丝加热释放电子。 同时，启辉器接通辉光熄灭， 金属片冷却断开，电路切断，镇流器线圈中产生 比电源电压高得多的自感电动势，使灯管内气体 电离发光。 自感危害：电路断开时，产生自感电弧。
dI 1 dI 1 dΨ21 M 21 M ε 21 dt dt dt
当线圈 2 中的电流变化时，在线圈 1 中产生的 互感电动势为：
dΨ12 dI 2 dI 2 ε12 M 12 M dt dt dt
20
12.3 自感和互感
第12章 电磁感应
ε12
dI 2 = -M dt
4
12.3 自感和互感
2、自感系数 L
根据毕奥—萨尔定律： μ0 Idl r dB 4π r 3
第12章 电磁感应
I
B
线圈中的电流在空间任意一点激发的磁感应 强度的大小与线圈中的电流强度成正比，即： 穿过线圈自身总的磁通量与电流 I 成正比，
写成：
Φ LI
L 为自感系数。
解：设长直导线中电流 I ，
矩形线圈平面上的磁链数为： dr I
N B dS
M I
0 I N ldr a 2r 0 NIl a b ln 2 a 0 Nl a b ln 2 a
s ab
r
l
a
b
24
12.3 自感和互感
思考？ 若已知矩形线圈中有电流：
9
12.3 自感和互感
自感应用：
第12章 电磁感应
日光灯镇流器；高频扼流圈；自感线圈与电 容器组合构成振荡电路或滤波电路。 通电后，启辉器辉光放电，金属片受热形变 互相接触，形成闭合回路，电流流过，日光灯灯 丝加热释放电子。 同时，启辉器接通辉光熄灭， 金属片冷却断开，电路切断，镇流器线圈中产生 比电源电压高得多的自感电动势，使灯管内气体 电离发光。 自感危害：电路断开时，产生自感电弧。
dI 1 dI 1 dΨ21 M 21 M ε 21 dt dt dt
当线圈 2 中的电流变化时，在线圈 1 中产生的 互感电动势为：
dΨ12 dI 2 dI 2 ε12 M 12 M dt dt dt
20
12.3 自感和互感
第12章 电磁感应
ε12
dI 2 = -M dt
4
12.3 自感和互感
2、自感系数 L
根据毕奥—萨尔定律： μ0 Idl r dB 4π r 3
第12章 电磁感应
I
B
线圈中的电流在空间任意一点激发的磁感应 强度的大小与线圈中的电流强度成正比，即： 穿过线圈自身总的磁通量与电流 I 成正比，
写成：
Φ LI
L 为自感系数。
解：设长直导线中电流 I ，
矩形线圈平面上的磁链数为： dr I
N B dS
M I
0 I N ldr a 2r 0 NIl a b ln 2 a 0 Nl a b ln 2 a
s ab
r
l
a
b
24
12.3 自感和互感
思考？ 若已知矩形线圈中有电流：
大学物理自感和互感(一)
大学物理自感和互感（一）引言概述：在大学物理学中，自感和互感是电磁现象中非常重要的概念。
自感和互感不仅在电路中起着关键作用，还在电磁场理论中有着广泛的应用。
本文将详细探讨自感和互感的基本概念、定义、计算方法以及它们在电路和电磁场中的应用。
正文：一、自感的概念和基本特性1. 自感的定义和原理2. 自感的单位和表示方式3. 自感的计算方法4. 自感的影响因素5. 自感与能量的关系二、自感的应用1. 自感对直流电路中的影响2. 自感对交流电路中的影响3. 自感在电磁铁和电磁感应中的应用4. 自感在变压器和电感储能中的作用5. 自感在电磁波传输中的应用三、互感的概念和基本特性1. 互感的定义和原理2. 互感的单位和表示方式3. 互感的计算方法4. 互感的影响因素5. 互感与电路传输特性的关系四、互感的应用1. 互感在变压器中的作用2. 互感在电感耦合放大器中的应用3. 互感在电波传输线中的影响4. 互感在共振电路中的应用5. 互感在电磁波传输和通信中的应用五、自感和互感的比较与总结1. 自感和互感的相同点和区别2. 自感和互感的物理意义和实际应用3. 自感和互感对电路和电磁场的影响4. 自感和互感的计算和测量方法5. 自感和互感的研究方向和未来发展趋势总结：通过本文的介绍，我们了解到了自感和互感在大学物理中的重要性及其在电路和电磁场中的应用。
自感和互感的概念、特性、计算方法以及实际应用都被深入探讨。
希望读者通过本文的阐述，对自感和互感有更加全面的理解，并能将其应用于相关领域的研究和实践中。
大学物理自感和互感PPT课件
12
d12
dt
M
dI2 dt
第十章 电磁感应
21
d 21
dt
M
dI1 dt
说明
•互感系数和两回路的几何形状、尺寸，它们 的相对位置，以及周围介质的磁导率有关。
•互感系数的大小反映了两个线圈磁场的相互 影响程度。
16
10 - 4 自感和互感
第十章 电磁感应
例. 如图,在磁导率为的均匀磁介质中,一长直导线与
在断路时，自感电动势可产生一个瞬时高
压，对有些场合（如日光灯的启动和感应圈 的升压）有用。
构成RC\RCL谐振电路,滤波器等
10
10 - 4 自感和互感
第十章 电磁感应
思考题1：自感系数的公式为
L
I
能否说明通过线圈中的电流强度越小，自
感系数越大？
答： 自感系数由线圈形状尺寸等有关，与 线圈中有无通电、电流强度多大等无关。
Ψ自 LI
L
d自 dt
d( LI ) dt
L dI I dL dt dt
若回路几何形状、 尺寸不变，周围介
dL 0
L
L
dI dt
质的磁导率不变
dt
负号表示自感电动势
自感系数描述线圈
总是要阻碍线圈回路
电磁惯性的大小
本身电流的变化。
单位：亨利，1H=1Wb/A
辅助单位： 1mH 103 H 1H 106 H 4
自感 L .
解 两圆筒之间 B I
2πr
如图在两圆筒间取一长
R1 Q R
为 l 的面 PQRS, 并将其分 I I r
大学物理-6自感和互感
（弛豫时间）
t= 时
i i0 (1 e1 ) 0.63i0
0.63i0
o 初态
大
t
暂态 稳态
初态由初始条件决定 稳态由电路的物理条件决定
暂态按指数变化，快慢由
决定
2、R-L电路断开时：
LR
开关由12，电路断开：=0
L
d dt
L di dt
K
1
2
电路断开时瞬时电流 i 所满
足的微分方程
L di iR 0 dt
dt 时间点电荷移动 dl = vdt ，I=q/dt
q v
r Idl
r qv
dl
r B
0 4
r Idl
rr
r3
0 4
qvv rv r3
Idl r
毕奥-萨伐尔定律是从电流实验总结的，其中运动 P
电荷的速度较低，如何得出任意速度的运动电荷产 生的磁场？
一、磁场与电场的关系
已有任意速度的匀速运动点电荷的电场分布的公式，找 到任意速度的匀速运动点电荷磁场与电场的关系即可。
r
q(1 v2 / c2 )
r
E
4 0r 3 (1
v2 c2
sin2
)3/ 2
Байду номын сангаас
r
匀速直线运动的点电荷的磁场分布：
r
q
(1 v 2 / c2 )
rr
B
4 0c2r 3
(1
v2 c2
sin2 )3 / 2
(v
r)
三、匀速运动点电荷的磁场的特点 磁感应线是在与电荷运动方向垂直的平面内的同心圆 圆心就在电荷运动的轨迹上 磁感应线绕行方向与电荷的运动方向成右手螺旋关系
t= 时
i i0 (1 e1 ) 0.63i0
0.63i0
o 初态
大
t
暂态 稳态
初态由初始条件决定 稳态由电路的物理条件决定
暂态按指数变化，快慢由
决定
2、R-L电路断开时：
LR
开关由12，电路断开：=0
L
d dt
L di dt
K
1
2
电路断开时瞬时电流 i 所满
足的微分方程
L di iR 0 dt
dt 时间点电荷移动 dl = vdt ，I=q/dt
q v
r Idl
r qv
dl
r B
0 4
r Idl
rr
r3
0 4
qvv rv r3
Idl r
毕奥-萨伐尔定律是从电流实验总结的，其中运动 P
电荷的速度较低，如何得出任意速度的运动电荷产 生的磁场？
一、磁场与电场的关系
已有任意速度的匀速运动点电荷的电场分布的公式，找 到任意速度的匀速运动点电荷磁场与电场的关系即可。
r
q(1 v2 / c2 )
r
E
4 0r 3 (1
v2 c2
sin2
)3/ 2
Байду номын сангаас
r
匀速直线运动的点电荷的磁场分布：
r
q
(1 v 2 / c2 )
rr
B
4 0c2r 3
(1
v2 c2
sin2 )3 / 2
(v
r)
三、匀速运动点电荷的磁场的特点 磁感应线是在与电荷运动方向垂直的平面内的同心圆 圆心就在电荷运动的轨迹上 磁感应线绕行方向与电荷的运动方向成右手螺旋关系
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L1Байду номын сангаас
L2
(2) 线圈之间的连接 —— 自感与互感的关系
•
线圈的顺接
线圈顺接的等效总自感
dI dI 1 L1 M dt dt dI dI 1 2 ( L1 L2 2M ) L dt dt dI dI 2 L2 M dt dt
L L1 L2 2M
L1
L2
• 线圈的反接
L L1 L2 2M
互感现象
L1
L2
磁棒
放 大 器
电路符号： M L1 L2
这种由磁链交连的电路称为 互感耦合电路或互感电路
Il
l
b2 b2
得
M 0
例3：真空中有一半径为r的圆形导体环，放在半径为R的大圆 形导线环中，两环同心共面，且r＜＜R。当小环中通有电流 （k为未知常数）时，测得大环中的感应电动势为 ，I小 、 的 方向如图所示，求常数k。
解：大环中的感生电动势为
R
O
r
I小
dI 小 大 M Mk dt 假设大环中有电流I大，则I大在大环中 心位置的磁感应强度可视为均匀的
Ψ 21 N221 M 21I1
同理穿过线圈 1 的磁通量正比于 线圈2 中电流 I
Ψ12 N112 M12 I 2
Φ21 Φ12 2.互感系数 M 12 M 21 M （理论可证明） I1 I2
注意
互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对位置 以及周围的磁介质有关（无铁磁质时为常量）.
16.3 自感与互感
一、 自感电动势
1.自感现象
线圈电流变化
穿过自身磁通变化
在线圈中产生感应电动势 即
I
B
I I (t )
Φ(t ) Φ B dS
S
B B(t )
dΦ —自感电动势遵从法拉第定律 dt
2. 自感系数
根据毕 — 萨定律穿过线圈自身总的磁通量与电流 I 成正比
B
0 I大
2R
则通过小环的磁通量为
小 BS小 B r
2
0 I 大
2R
r2
小 BS小 B r
2
0 I 大
2R
r2
互感系数
M
小
I大
0
2R
r2
则有
2 R k M 0 r 2
讨论 (1) 自感和互感同样反映了电磁惯性 的性质
由自感定义可求出
单位长度的自感为
R2 ln 2 π R1
自感的应用 稳流 , LC 谐振电路, 滤波电路, 感 应圈等 .
二 、互感电动势
1.互感现象
线圈 1 中的电流变化 引起线圈 2 的磁通变化 线圈 2 中产生感应电动势 根据毕 — 萨定律
B1
I
L1 L2
穿过线圈 2 的磁通量正比于 线圈1 中电流 I
—— 电磁惯性
自感具有使回路电流保持不变的性质
自感
L L
dI dt
6
单位：1 亨利 （ H ）= 1 韦伯 / 安培 （1 Wb / A）
1mH 10 H , 1μ H 10 H
3
4.自感的计算方法 例1 如图的长直密绕螺线管,已知 l , S , N , , B
求其自感 L . （忽略边缘效应） 解 先设电流 I 根据安培环路定理求得 H
N1 B1 0 I1 0 n1I1 l
N1 B1 0 I1 0 n1I1 l
则穿过半径为 r2 的线圈 的磁通匝数为
N 2Φ21 N 2 B1 (π r )
2 1
n2lB1 ( πr12 )
代入 B1 计算得 则
N 2Φ21 0 n1n2l (π r12 ) I1
2π x I dΦ B ds l dx 2π x d b I Φ l dx d 2π x
B
I
I
I
b
d
Φ
d b
I
2π x
d
l dx
l
dx
I
o
x
x
bd ln( ) 2π d Φ l bd M ln( ) I 2π d
若导线如左图放置, 根据对 称性可知 Φ 0
自感系数只与装置的几何因素和介质有关
2014-4-15
例 2 有两个同轴圆筒形导体 , 其半径分别为 R1 和 R2 , 通过它们的电流均为 I ,但电流的流向相反. 设在两圆筒间充满磁导率为 的均匀磁介质 , 求其 自感 L . 解 两圆筒之间
B
I
2 πr
R1 Q
R
如图在两圆筒间取一长 为 l 的面 PQRS , 并将其分 成许多小面元.
N 2Φ21 2 0 n1n2l (π r1 ) I1
M 12
例 2 在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中, 一无限长直导线与一宽长分别为 b 和 l 的矩形线圈共 面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为 d . 求二者 的互感系数. 解 设长直导线通电流
I
b
d
l
dx
o
x
x
2014-4-15
Ψ N LI
L
I
自感系数
如果回路周围不存在铁磁质，自感 L 是一个与电流 I 无关， 仅由回路的匝数、几何形状和大小以及周围介质的磁导率 决定的物理量
3. 自感电动势
自感电动势
d( LI ) L dt
dI dL L I dt dt
若自感系数是一不变的常量
讨论
dI L L dt
I
I r
P
R2
l
S
dr
则 dΦ B dS Bldr R 2 I Φ dΦ ldr R1 2 πr
Φ dΦ
即
R2
I
2π r
ldr
R1
R1 Q
R
R2 Φ ln 2π R1 Φ l R2 L ln I 2π R1
Il
I
I r
P
R2
l
S
dr
3.互感电动势
12
dI 2 M dt
互感系数
M
dI1 21 M dt 21 12
dI1 dt dI 2 dt
单位：1 亨利 （ H ）= 1 韦伯 / 安培 （1 Wb / A）
2014-4-15
4.互感的计算方法 例1 两同轴长直密绕螺线管的互感 有两个长 度均为l,半径分别为r1和r2（ r1<r2 ）,匝数分别为N1和 N2的同轴长直密绕螺线管.求它们的互感 M. 解 先设某一线圈中 通以电流 I 求出另一 线圈的磁通量Φ M 设半径为 r1 的线圈中 通有电流 I1, 则
Φ
S
L .
nN l B H nI
l
2014-4-15
NΦ NBS
E
N N IS l
N N IS l 2 N L S I l
S
l
E
n N l V lS
（一般情况可用下式 测量自感）
L n V
2
dI L L dt