斐波那契数列的若干证明
斐波那契数列公式证明
斐波那契数列公式证明斐波那契数列，这名字听起来是不是有点高大上？其实啊，它在我们的数学世界里可是相当有趣的存在。
咱先来说说啥是斐波那契数列。
简单来讲，就是从 0 和 1 开始，后面每一项都是前两项的和。
就像 0、1、1、2、3、5、8、13、21……这样一直往后排。
那为啥要研究它的公式证明呢？这可大有学问。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这玩意儿有啥用啊？”我笑着跟他说：“你看，大自然里好多东西都遵循着斐波那契数列的规律呢。
”比如向日葵的种子排列，菠萝表面的鳞片分布，好多好多。
要证明斐波那契数列的公式，咱们得先搞清楚它的通项公式。
斐波那契数列的通项公式是：\[ F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 -\sqrt{5}}{2})^n] \]证明这个公式可不是一件容易的事儿，得用上一些数学知识和技巧。
咱先设斐波那契数列的第 n 项为 \( F(n) \) ，那么就有 \( F(0) = 0 \) ，\( F(1) = 1 \) ，而且 \( F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \) （ \( n \geq 2 \) ）。
接下来，咱们可以用数学归纳法来证明这个通项公式。
当 \( n = 0 \) 时， \( F(0) = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 +\sqrt{5}}{2})^0 - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^0] = 0 \) ，成立。
当 \( n = 1 \) 时， \( F(1) = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 +\sqrt{5}}{2})^1 - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^1] = 1 \) ，也成立。
假设当 \( n = k \) （ \( k \geq 1 \) ）时，通项公式成立，即 \( F(k) = \frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^k - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^k] \) 。
Fibonacci数列(斐波那契数列)
1 5 1 5 f n C1 C 2 2 2
n
n
3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f 2 1 ,可能确定常数
c1 , c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
4.自然界中的斐波那契数列
现代科学研究表明，0.618在养生中起重要作 用。注意了这些黄金分割点，对养生健体大 有好处。现在发现此比值和医学保健、健康 长寿有着千丝万缕的联系，亦可称为健康的 黄金分割律。在人体结构上，0.618更是无处 不在。脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度 与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均 近似于0.618。
4.自然界中的斐波那契数列
另外，也确实因为它具有悦目的性质，所以 有时人们在时间中并非注意到这个比例，而 特意去运用它，但往往就不自觉中，进入了 这个法则之中。这也说明了，黄金分割的本 身就存在有美的性质。
5.练习
借助计算机，求解下列线性差分方程（即求 出数列的通项公式）。
an2 2an1 2an a1 3, a2 8
得到
fn2 fn1 fn n2 n 1 n
3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有
解得
1
斐波那契数列
斐波那契数列一、简介斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学得发展。
故斐波那契数列又称“兔子数列”。
斐波那契数列指这样得数列:1,１,2,３,5,8,13,……,前两个数得与等于后面一个数字。
这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列得第i项为F i,则F i=F i—1+F i-2、兔子繁殖问题指设有一对新生得兔子,从第三个月开始她们每个月都生一对兔子,新生得兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。
按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子?这道题目通过找规律发现答案就就是斐波那契数列,第ｎ个月兔子得数量就是斐波那契数列得第n项。
二、性质如果要了解斐波那契数列得性质,必然要先知道它得通项公式才能更简单得推导出一些定理。
那么下面我们就通过初等代数得待定系数法计算出通项公式。
令常数p,ｑ满足F n－pF n—１=ｑ(Ｆn－1-pFｎ—2)。
则可得:Fｎ—ｐFｎ—1=q(Ｆn—１—pF n—2)=q2(F n-2-pＦn—3。
)=…=qｎ—2(Ｆ２—pF1)又∵F n—pF n-1=q(Ｆn—1-pF n－2)∴F n-pF n-1＝ｑF n-1－pｑF n—2F n-1+Fｎ—２-pF n—１—ｑＦｎ—１+pqFｎ—2=０(1-p—ｑ)F n—1+(1+pｑ)Ｆn-2=0∴p+q＝１,pｑ=—1就是其中得一种方程组∴Ｆn-ｐFｎ-1=q n-2(F2-ｐＦ１)=q n－2(1—ｐ)＝qｎ—１Fｎ=qｎ—1＋pF n—１＝q n－1+p(qｎ—2+ｐ(q n－３＋…))=ｑn-１＋ｐｑn－2+ｐ2qｎ—3+…+p n—1不难瞧出,上式就是一个以p／q为公比得等比数列。
将它用求与公式求与可以得到:F n=q n−1[(pq)n−1]pq−1=p n−q np−q而上面出现了方程组p+q=１,pq=-1,可以得到ｐ(1—p)=-1,p2—p—1=０,这样就得到了一个标准得一元二次方程,配方得p2－p＋0。
斐波那契数列通项公式的推导过程
斐波那契数列通项公式的推导过程斐波那契数列是数学中一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式的推导过程是一个非常有趣的数学问题，下面我们就来详细讲解一下。
让我们回顾一下斐波那契数列的定义：数列的第一项和第二项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
用数学符号表示，斐波那契数列可以写成如下形式：F(1) = 0，F(2) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n ≥ 3）。
要推导斐波那契数列的通项公式，我们可以使用数学归纳法。
首先，我们假设斐波那契数列的通项公式为Fn = a^n + b^n（n ≥ 1），其中a和b是待定的常数。
接下来，我们需要证明这个假设对所有的n都成立。
首先，我们可以验证当n=1和n=2时，假设成立。
当n=1时，根据我们的假设，有F(1) = a^1 + b^1 = a + b = 0，因此a + b = 0。
当n=2时，根据我们的假设，有F(2) = a^2 + b^2 = a^2 + (-a)^2 = 1，因此a^2 + b^2 = 1。
接下来，我们假设对于任意的k（k ≥ 2），假设成立，即F(k) = a^k + b^k。
我们需要证明对于k+1也成立，即F(k+1) = a^(k+1) + b^(k+1)。
根据斐波那契数列的定义，有F(k+1) = F(k) + F(k-1)。
根据我们的假设，有F(k) = a^k + b^k，F(k-1) = a^(k-1) + b^(k-1)。
将这两个式子代入F(k+1) = F(k) + F(k-1)中，得到：F(k+1) = (a^k + b^k) + (a^(k-1) + b^(k-1))通过整理化简，得到：F(k+1) = a^k * (a + b) + b^k * (a + b)根据我们之前得到的结论a + b = 0，将其代入上式中，得到：F(k+1) = a^k * 0 + b^k * 0 = 0因此，假设对于任意的k成立，那么对于k+1也成立。
斐波那契数列通项公式的证明
斐波那契数列通项公式的证明第一篇：斐波那契数列通项公式的证明斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……它的通项公式为：an=1[(1+5)n-(1-)n]α+β=1解得⎧α⎪证明：令an-αan-1=β(an-1-αan-2)(n≥3)则有⎧⎪⎨⎨⎩αβ=-1⎪β⎪⎩=1+21-=α=或⎪⎪⎨⎪β⎪⎩⎧1-21+=故有(1)an-1+1-51+1-1+1-an-1=(an-1-an-2)或(2)an-an-1=(an-1-an-2)222222an-an-11+an-11+1+51-5，因为n≥3故数列{an-}是以aa-a1为首项，n-12=2221+-an-2(Ⅰ)由（1）得以1+1+1-5n-21-5为公比的等比数列，所以，an-an-1=(a2-a1)•()由a1=a2=1得22221+an-12an-1+1-n-1anan-11 =()两边同除以(1-5)n得：-•=221-n1-1-5n-11-5()()2222即an(1-n)2--1+an-11-1-n-1()2=-anan-11+5移项得1+51+5(n≥3)则由=-221-n1-1-n-1()()221+anan-11+55所以{an得，}是以2+=[+]k==-+51-51-n-15551-n1+1-5n()()()1-2221-a2(1-52)2+1+an为首项为公比的等比数列。
故51-1-(2+)na21+n-2=[+]•()551-521-()2a251+5n-2，由(1+)2=(2)2化简可得得a=(1-5)n{-+[+]•()}n21-52551-21-5()2an=1+5n1-5n)-()](n≥3)(*)验证可得，当n=1、n=2时，a1=a2=1故斐波那契数列中，225[（*对于n∈N，(*)式都成立。
*(Ⅱ)同理，由(2)an-1-an-1=1+(an-1-1-an-2)也可得斐波那契数列中，（*)式对于n∈N都成立222所以，斐波那契数列的通项公式即为：an=1+5n1-5n)-()] 225[（木鱼石整理第二篇：《斐波那契数列》教学反思根据上午说课后其他老师的建议，我做了修改：（一）引入部分简化，斐波那契数列的学习同样也运用了化难为易的思想，在刘**老师的授课《斐波那契数列》中多次提到难易的转化，我们的学生也认真地进行了这节《斐波那契数列》的学习，给我们的学生试课可以这样引入：孩子们，我们在学习《斐波那契数列》时是怎么发现小兔子数量的规律呢？对，化难为易，我们可以用化难为易的方法解决很多问题，那老师请你们来试试连线游戏，在平面上有100个点，这些点能连成多少条线段？学生回答不上来时，教师指导：100个点连线有点多有点难，老子说：“天下难事做于易。
斐波那契数列的若干表现
斐波那契数列的若干表现中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭。
因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到了不少当时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。
成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛。
斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。
他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，有利于推动欧洲大数学的发展。
他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。
回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）。
《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家。
继《算经》之后，他又完成了《几何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部着作。
《算经》在当时的影响是相当巨大的。
这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学着作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学着作，在两个多世纪中一直被奉为经典着作。
在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”。
斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌。
他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏。
”在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明。
下面是书中记载的一个有趣的问题：[例1]有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。
关于费波那契数列
关于斐波那契数列1．斐波那契数列斐波那契（Fibonacci）在所著的《算盘书》中，提出了一个著名而有趣的兔子问题。
有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。
月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。
若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。
所以一年内1对兔子能繁殖成233对。
在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。
人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”(Fibonacci Sequence)，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
这个数列可以由下面递推关系来确定：它的第100项；第1000项是什么呢？100354224848179261915075a ；1000434665576869374564356885276750406258025646605173717804024817290895365554179490518904038798400792551692959225930803226347752096896232398733224711 61642996440906533187a 938298969649928516003704476137795166849228875 (209位数)怎样计算的呢？笔算或用计算器计算是不可能的，是用电脑软件来完成的。
斐波那契数列通项公式的推导方法ppt课件
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
5
an
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s 1
5 ,
r
1
5 .
2
2
Fn
1 5
.
1
2
5 n
1
2
5
n
.
注：此通项公式又叫“比内公式”，是用
无理数表示有理数的一个经典范例.
方法二：线性子空间方法
解. (1) 由F0 0, F1 1, Fn1 Fn Fn1(n 1)，
易知对于1、2项为任意值，但满足
Fn1 Fn Fn1, n 1
(1)
的数列的加法与数乘，满足线性空间八个条件, 因此，
构成一个线性空间。
(2)注意到，该空间是一个二维空间。鉴于(1)式的
的递推形式，我们不妨从中取两组等比数列 an,bn
其公比分别为
q1
,
q2
，即 .
an (q1 )n , bn (q2 )n .
方法二：线性子空间方法（续）
另外，根据递推关系 Fn1 Fn Fn1, 可得方程
通过一题多证，发散思维，由浅入深，从不 同的侧面反映数学知识点之间的“内在”联系， 有助于加深学生对相关知识的理解。
谢谢大家！
欢迎指导！！
.
方法三：矩阵相似对角化方法
解. 由 F0 0, F1 1, Fn1 Fn Fn1, n 1
F2 F1
A
F1 F0
1
A
0
,
F3 F2
A
F2 F1
A2
F1 F0
A2
1
0
,
其中
Fn1 Fn
A
Fn Fn1
An
F1 F0
An
即从任何两个正整数开始，往后的每一个数
是其前两个数之和，由此构成无穷数列。此即， 二阶递推公式:
L1 Ln
?, L2 Ln1
? Ln2
.
思考：如何求解上述卢卡斯数列的通项？ 上述方法是否皆可通用？
小结
数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得 到同一个结果”的情形是屡见不鲜的。
这反映了客观世界的多样性和统一性，也反 映了数学的统一美。
连分数
股票指数增减的“波浪理论”
跳格游戏
四、斐波那契数列通项公式的若干证明
方法一：初等解法---将三阶递推化为二阶递推
解. 首先将F0 0, F1 1, Fn1 Fn Fn1(n 1)，分解为
Fn rFn1 s(Fn1 rFn2 ) 其中r s 1, rs 1，则n 3时，有
二、自然界中的斐波那契数列
2.1 花瓣数 2.2 花表面排列的螺线
数（5-8） 2.3 树叉数
蝴蝶兰（5）
雏菊（13）
三、斐波那契数列的发展
有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至 比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成 立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。
x
1
1
1 1
1
1
1
1
1
0
,
1 1
A
1
0
.
方法三：矩阵相似对角化方法
将 An 对角化得
1
An
5 1 2
1 5
1
5 2
1
2 0
n
0 1
1
5
5 1
2
2
由
Fn1 Fn
An
1
0
,
可得：
Fn
1 5
1
2
5 n
1
2
5
n
.
1
1
5 1 2
.
方法四：行列式表示法
解. 注意到
x y 1 0
{Fn}是组合数学中应用很广泛的一种离散模 型, 在数学上，斐波那契数列是以递归的方法 来定义：
F0 0, F1 1, Fn Fn1 Fn2 ,(n 1).
历史小贴士：
在西方， Fibonacci 数列最早取自1202年意大利数 学家斐波那契的《算盘》(Liber Abaci)书中的兔子 繁殖问题.
qn qn-1 qn-2 ，经计算可得 q 1 5 , 因此可令
2
an
1
2
5
n
，bn
1
2
5 n .
令Fn k1an k2bn ,(n 1).由 F1 1, F2 1 k2 5 .
即斐波那契数列的表示为
Fn
1 5
1
2
5
n
1
2
5
n
sn1 rsn2 r 2sn3 r n2s r n1 .
方法一：初等解法(续)
这是一个以s (n-1)为首项、以r (n-1)为末项、r/s为
公比的等比数列的各项的和. 因此,
Fn
[sn1
(r n1 )
r]/ s
(1
r) s
(sn
rn)
/
(s r).
而r s 1, rs 1的唯一解:
Dn
xy x y
1
0 xy x y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x y xy
0
0
0
1 x y
由于 Dn (x y)Dn1 xyDn2，所以只需
x y 1, xy 1.
就可用行列式表示Fobonacci数列，从而 通过行列式求得通项公式. （过程略）
应用与推广
推广的斐波那契数列 — 卢卡斯数列 (Lucas，F.E.A. 1824-1891)
教学案例 5
《线性代数与空间解析几何》
斐波那契数列通项公式的 若干证明
(Several Proofs on Fibonacci Series)
2015 年 12 月
姓名： 李厚彪
学校： 电子科技大学
一、斐波那契数列的定义
定义 1.1 Fibonacci 数列：1，1，2，3，5，8，13，
21……
Fn rFn1 s(Fn1 rFn2 )，
Fn1 rFn2 s(Fn2 rFn3 )， Fn rFn1 sn2 (F2 rF1 ).
s
F3 rF2 s(F2 rF1 ).
s 1 r, F1 1, F2 1. 上式可进一步化为：
Fn sn1 rFn1
sn1 rsn2 r 2Fn2