2012条件概率,乘法公式
Ch2
条件概率与乘法公式
有二个箱子,分别编号为 号箱装有1个红球 有二个箱子 分别编号为1,2. 1号箱装有 个红球 分别编号为 号箱装有 个红球4 个白球,2号箱装有 号箱装有2红 白球 某人从1号箱中任取一 白球. 个白球 号箱装有 红3白球 某人从 号箱中任取一 球放入2号箱 再从2号箱中任意摸出一球 号箱,再从 号箱中任意摸出一球, 球放入 号箱 再从 号箱中任意摸出一球 求已知从1号箱取出白球的条件下从 号箱取出白球的条件下从2号箱取得红球 求已知从 号箱取出白球的条件下从 号箱取得红球 的概率. 的概率 号箱取得白球}, 记 A={从1号箱取得白球 从 号箱取得白球 B ={从2号箱取得红球 号箱取得红球} 从 号箱取得红球
Ch2
随机取一个球， 随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 回罐中，并且再加进 个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球 r个红球 个白球, 个红球 个白球 解 设 Wi={第i次取出是白球 i=1,2,3,4 次取出是白球}, 第 次取出是白球 Rj={第j次取出是红球 ， j=1,2,3,4 次取出是红球}， 第 次取出是红球 于是W 表示事件“连续取四个球，第一、 于是 1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. 第二个是白球，第三、四个是红球 ”
1) P ( A) = 10 ; 2) P ( AB ) = P( A) P ( B A) = × = ; 10 9 30 6 4 4 3) P ( AB ) = P ( A) P( B A) = × = ; 10 9 15 4 3 2 1 4) P ( ABC ) = P ( A) P ( B A) P (C AB) = × × = . 10 9 8 30
波里亚罐子(传染病） 波里亚罐子 传染病）模型 传染病
b个白球 r个红球 个白球, 个红球 个白球 一个罐子中包含b个白球和 个红球 随机地抽取 一个罐子中包含 个白球和r个红球 个白球和 个红球. 一个球，观看颜色后放回罐中， 一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 与所抽出的球具有相同颜色的球 试求第一、二次取到白球且第三、 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率. 红球的概率
Ch2
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b b+c r r +c = b + r b + r + c b + r + 2c b + r + 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 也取到同色球的概率 这是一个传染病模型 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率. 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率
则Ai = {透镜第 i 次落下未打破 ,i = 1,2,3 , }
P ( A A2 A3 ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 1
3 7 9 1 . = 1 − 1 − 1 − = 2 10 10 200
Ch2
Ch2
条件概率与乘法公式
问题的提出： 问题的提出：
3 1) 共n张彩票，有3张中彩 张彩票， 张中彩. 张彩票 张中彩 个人中彩的概率为多少？ 问： 第2个人中彩的概率为多少？ n 个人中彩的概率为多少 2) 共n张彩票，有3张中彩 张彩票， 张中彩 张中彩. 张彩票 问：已知第l个人摸中，则 已知第 个人摸中， 个人摸中 个人中彩的概率为多少？ 第2个人中彩的概率为多少？ 2 个人中彩的概率为多少 n −1
A1
Ch2
1 P A2 A = 1 2
（1）
(
)
Ch2
某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 例2 某种动物由出生算起活 岁以上的概率为 0.8, 活到 岁以上的概率为 活到25岁以上的概率为 岁以上的概率为0.4, 如果现在有一只 20岁的这种动物 问它能活到 岁以上的概率是 岁的这种动物, 岁的这种动物 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 多少 解：设 A = {活 20 岁以上 ， 岁以上} 活 B = {活 25 岁以上 岁以上} 活 P ( AB ) P . 则有 ( B A) = P ( A) 因为 P ( A) = 0.8, P ( B ) = 0.4,
解 令 Ai ={第 i 次取到一等品 第 次取到一等品}
（1） C3C2 （也可直接按古典概型算 1 1 )
3 2 3 (1)P( A A2 ) = P( A )P( A2 A ) = ⋅ = 1 1 1 5 4 10 1 1
C5C4
(2)P( A A2 A ) = P A P A2 A P A A A2 1 3 1 1 3 1
(2)
( ) (
3 5
) (
Ch2
)
2 1 3 1 = 3⋅ ⋅ = 5 10 3 10 4 =1− = 0.5
Ch2
例4 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时
1 打破的概率为 ,若第一次落下未打破,第二次落下 2 7 打破的概率是 ,若前两次未打破, 第三次落下打 9 10 破的概率是 , 试求透镜落下三次未打破的概率. 10 解 设 Ai = {透镜第 i 次落下打破} ,i =1,2,3 ,
P ( AB ) 2) 用定义： P ( B A ) = 用定义： P ( A)
Ch2
条件概率P( B
A)与概率（AB) P 有何不同 有何不同?
条件概率P(B|A) 中，A与B地位不同，且已知 地位不同， 条件概率 与 地位不同 且已知A 已发生作为条件。在概率P(AB）中，A，B同时 已发生作为条件。在概率 ） ， 同时 发生，地位相同。 发生，地位相同。在应用时必须区别是 P(B A)还是（AB) P 例如从6个正品 个次品的袋中 无放回抽取2 例如从 个正品2个次品的袋中，无放回抽取 个正品 个次品的袋中， 次，一次取一个。A={第一次为正品 ，B={第 一次取一个。 第一次为正品}， 第 第一次为正品 二次为次品}， 二次为次品 ， 发生的概率。 求（1）已知第一次取到正品，B发生的概率。 ）已知第一次取到正品， 发生的概率 （2）第二次才取到次品的概率 ）
Ch2
练习 10个考签中有 个难签，3人参加抽签（不放 个考签中有4个难签 人参加抽签（ 个考签中有 个难签， 人参加抽签 ），甲先 乙次、丙最后。 甲先、 回），甲先、乙次、丙最后。求1）甲抽到难签 ） 的概率； ） 乙都抽到难签的概率； ） 的概率；2）甲、乙都抽到难签的概率；3）甲 没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； ） 没有抽到难签，而乙抽到难签的概率；4）甲乙 丙都抽到难签的概率. 丙都抽到难签的概率 设事件A、 、 分别表示甲 分别表示甲、 解：设事件 、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难 签 4 4 3 4
P ( AB ) = P ( B ),
P ( AB ) 0.4 1 所以 P ( B A) = = = . P ( A) 0.8 2
Ch2
乘法公式
利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； ， ； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). ， (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 ， − P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1) − 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率. 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率
Ch2
乘法公式应用举例 波里亚罐子模型
b个白球 r个红球 个白球, 个红球 个白球 一个罐子中包含b个白球和 个红球 随机地 一个罐子中包含 个白球和r个红球 个白球和 个红球. 抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行 个与所抽出的球具有相同颜色的球 试求第一、二次取到白球且第三、 四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取 到红球的概率. 到红球的概率
1
2
Ch2
定义
设 A, B 是两个事件 , 且 P ( A ) > 0, 称 P ( AB ) P ( B A) = P ( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率， 发生的条件下事件 发生的概率， 简称B对 的条件概率 的条件概率. 简称 对A的条件概率 P( AB) 同理可得
P( A B) =
(5) P[(B1 − B2） ] = P[(B1 B2） ] = P(B1 A) − P(B1B2 A); A A
盒中装有5个产品 其中3个一等品 个产品, 个一等品， 个 例1 盒中装有 个产品 其中 个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个 二等品 从中不放回地取产品 每次 个, 已知 第一次取得一等品， 第一次取得一等品，求第二次取得的是二等 品的概率. 品的概率 ={第 i次取到一等品 次取到一等品}， 解 令 Ai={第 i次取到一等品}，
Ch2
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b b+c r r +c = b + r b + r + c b + r + 2c b + r + 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 也取到同色球的概率 这是一个传染病模型 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率. 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率
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2012条件概率,乘法公式
Ch2
条件概率P(B|A) 中，A与B地位不同，且已知A 已发生作为条件。在概率P(AB）中，A，B同时 发生，地位相同。在应用时必须区别是
P ( B A ) 还 是 P AB) （
例如从6个正品2个次品的袋中，无放回抽取2 次，一次取一个。A={第一次为正品}，B={第 二次为次品}， 求（1）已知第一次取到正品，B发生的概率。 （2）第二次才取到次品的概率
Ch2
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r r c
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
为事件 B 发生的条件下事件 A发生的概率， 简称A对B的条件概率.
Ch2
条件概率 P(B|A) 的计算
1) 缩减样本空间： 将 缩减为A=A， 采用古典概型来计算. 2) 用定义： P ( B
A) P ( AB ) P ( A)
条件概率P ( B
A )与 概 率 P A B ) （
有何不同?ຫໍສະໝຸດ 1 1（1） C 3C 2 （也可直接按古典概型算 1 1 ) C 5C 4
(2) P( A1 A2 A3 ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
(2)
Ch2
2 1 3 1 3 5 10 3 10 4 1 0.5
3 5
Ch2
例4 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
条件概率乘法公式
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行 的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小.
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小， 即P(A|B)仍是概率.
设B={零件是乙厂生产}
300个 300个
乙厂生产
A={是标准件} 所求为P(AB).
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件} 所求为P(AB) .
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机 地选出一个处决 , 而把另外两个释放. 囚犯 甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁 将获得自由.
丙 乙 甲
因为我已经知道他们两人中 至少有一人要获得自由，所 以你泄露这点消息是无妨的.
NO！
如果你知道了你的同伙中谁将获释， 那么，你自己被处决的概率就由 1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的 两个囚犯中的一个了.
(5) 可列可加性 :设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件,则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P ( AB) P ( A | B) , P(B)>0 P ( B) 掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行 的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小.
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小， 即P(A|B)仍是概率.
设B={零件是乙厂生产}
300个 300个
乙厂生产
A={是标准件} 所求为P(AB).
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件} 所求为P(AB) .
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机 地选出一个处决 , 而把另外两个释放. 囚犯 甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁 将获得自由.
丙 乙 甲
因为我已经知道他们两人中 至少有一人要获得自由，所 以你泄露这点消息是无妨的.
NO！
如果你知道了你的同伙中谁将获释， 那么，你自己被处决的概率就由 1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的 两个囚犯中的一个了.
(5) 可列可加性 :设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件,则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P ( AB) P ( A | B) , P(B)>0 P ( B) 掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
条件概率和乘法公式
机器学习算法
朴素贝叶斯分类器
01
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的分类算法，它利用
条件概率和乘法公式来计算给定特征下类别的概率。
隐马尔可夫模型
02
隐马尔可夫模型是一种用于序列标注和预测的模型，它利用条
件概率和乘法公式来计算状态转移和观测的概率。
条件随机场
03
条件随机场是一种用于自然语言处理的模型，它利用条件概率
03
在学习和应用概率论的过程中，我们需要注重培养自己的逻辑思维和分析能力 。通过深入思考和探究概率论中的问题，我们可以提高自己的数学素养和解决 问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
THANKS
感谢观看
• 在学习条件概率和乘法公式的过程中，我们需要掌握相关的概念和公式，并能 够灵活运用它们解决实际问题。同时，我们还需要了解条件概率和乘法公式的 局限性和假设条件，以避免在实际应用中出现错误。
• 除了条件概率和乘法公式，概率论中还有许多其他重要的概念和公式，例如全 概率公式、贝叶斯公式、独立性等。这些概念和公式之间有着密切的联系和相 互影响，我们需要系统地学习和理解它们，以建立完整的概率论知识体系。
02
乘法公式及其应用
乘法公式的推导
01
定义
乘法公式描述了两个事件A和B同时发生的概率与事件A发生的概率和事
件B发生的概率之间的关系。
02 03
推导
乘法公式基于概率的独立性假设，即事件A的发生不影响事件B的发生， 反之亦然。因此，事件A和事件B同时发生的概率等于各自发生的概率 的乘积。
公式
$P(A cap B) = P(A) times P(B)$
展望Βιβλιοθήκη 01随着科技的不断发展，概率论在各个领域的应用越来越广泛。未来，条件概率 和乘法公式等概率论知识将更加受到重视和应用。
概率论第4章
19 2012-6-28
例5 甲,乙各自同时向一敌机射击, 已知 甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的 概率为0.5. 求敌机被击中的概率.
20 2012-6-28
解 设A为事件"甲击中敌机", B为事件"乙 击中敌机", C为事件"敌机被击中", 由广 义加法定理知 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 根据题意可认为A,B事件相互独立, 因此 有 P(AB)=P(A)P(B)=0.60.5=0.3 于是 P(C)=0.6+0.5-0.3=0.8
P( B | A) r m r/n m/n P( AB) P( A)
5 2012-6-28
.
在一般情形下, 如果P(A)>0, 也定义事件 A出现下事件B的条件概率为
P( B | A) P( AB) P( A) , ( P( A) 0)
乘法定理 两事件的积事件的概率等于其 中一事件的概率与另一事件在前一事件出 现下的条件概率的乘积:
正品数 第一台车床加工的零件数 第二台车床加工的零件数 总计 35 50 85 次品数 5 10 15 总计 40 60 100
从这100个零件中任取一个零件, 则"取得的 零件为正品"(设为事件B)的概率为
P( B) 85 100 0.85
3 2012-6-28
正品数 第一台车床加工的零件数 第二台车床加工的零件数 总计 35 50 85
乘法定理可以推广到有限多个事件的情 形. 例如, 对于A,B,C三个事件, 有 P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB) =P(A)P(B|A)P(C|AB), (P(AB)>0)
概率公式条件概率的乘法公式
概率公式条件概率的乘法公式概率公式——条件概率的乘法公式概率是概率论中的基本概念，在许多实际问题中具有广泛的应用。
了解和掌握概率公式对于解决概率问题至关重要。
其中，条件概率的乘法公式是一个核心概念，帮助我们计算复杂的概率事件。
本文将详细介绍条件概率的乘法公式及其应用。
概率公式是通过计算事件发生的频率，来确定事件发生的可能性大小的一种数学工具。
概率公式有多种形式，而条件概率的乘法公式是其中一种重要形式。
条件概率表示在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
设两个事件A、B，且事件B的概率非零。
事件A在事件B发生的条件下发生的概率可以用P(A|B)表示，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。
条件概率的乘法公式可以表达为：P(A∩B) = P(A|B) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的乘法公式可以通过一个具体例子来进一步理解。
假设有一包含许多球的袋子，袋子里有红球和蓝球。
袋子中有6个红球和4个蓝球。
现在，我们从袋子中随机抽出一个球，并将抽出的球放回袋子中。
接着，我们再抽出一个球。
现在，我们来计算两次抽球均为红球的概率。
首先，我们设事件A为第一次抽球为红球，事件B为第二次抽球为红球。
根据条件概率的乘法公式，我们可以得到：P(A∩B) = P(A|B) * P(B)现在来计算概率。
事件A：第一次抽球为红球的概率为P(A) = 6/10 = 0.6事件B：在第一次抽球为红球的条件下，第二次抽球为红球的概率为P(B|A) = 5/10 = 0.5事件A与事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = 0.6 * 0.5 = 0.3所以，两次抽球均为红球的概率为0.3。
通过这个例子，我们可以看到条件概率的乘法公式的应用。
通过将一个复杂问题分解为多个条件概率的乘法，我们可以更方便地计算概率。
条件概率与概率的乘法公式
B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3Байду номын сангаас
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
B A1 A2 A3
则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
条件概率和概率的乘法公式
一、全概率公式
例
一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回 地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球 的概率 A={第一次取到白球} ，且ＡＢ与 A B
解
因为 Ｂ＝ＡＢ∪ A B
互不相容，所以
P ( B ) P ( A B ) P ( A B )
P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A )
P ( A B ) P ( B ) ( B A ) 0 . 8 所求概率为 P P ( A ) P ( A )
甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过
不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4
个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求
1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没
B 1 =“第一个是男孩”
于是得
B
1
={(男, 男) , (男 , 女) }
3 1 P B BA P A P 4 4 1 1 P B1 P B P A 1A 2 4
乘法法则
P(AB) P(A)P(B A) P(B)P(A B)
P( AB) P(B A) P( A) P( AB) P( A B) P(B)
解
设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四 等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构 成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含 有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：
4 i 1
P ( B ) P ( A P ( BA i) i)
＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05 ＝0.4825
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
概率论公式
n
注：如果有 n 个变量服从同一个 0-1 分布， Xi ~ b(1, p) ，则其和 X Xi 服从二项 i
分布 X ~ b(n, p)
11. Poisson 分布
X ~ P() P( X k) k e , k 0,1,...
F
(x)
0, 1,
x x
c c
E(X ) c
Var( X ) 0
9. 二项分布
X ~ b(n, p)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk E(X ) np
Var( X ) np(1 p)
10. 二点分布（0-1 分布）
X ~ b(1, p)
P( X x) px (1 p)1x , x 0,1
p(
x)
2
n 2
1 (
n
)
e
x 2
x
n 2
1
,
x
0
2
0, x 0
E(X ) n
Var( X ) 2n
Gamma 分布变为 2 分布：
当 X ~ Ga(,) ，则 2 X ~ Ga(, 1) 2 (2 ) 2
20. 严格单调函数Y g(X )
pY ( y) px[h(x)] | h '(x) |
21. K 阶原点矩和中心矩
k E(X k ) k E( X E( X ))k
中心矩和原点矩关系：
k
k Cik i (i )ki i0
22. 变异系数
Cv
(
X
)
( E(
第一章 第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式
解: 样本空间 S =｛(1,1),(1,2),„,(1,6), (2,1 )„,(2,6)， „，(6,6)｝, B =｛(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)｝, A =｛(1,3)，(2,2)，(3,1)｝, A B =｛(2,2)｝. 于是 P(A|B)= P(AB)/ P(B)=(1/36)/(6/36)=1/6 .
使用全概率公式关键在于寻找另一组形式：
P ( A ) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ).
第一章 第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式
例4
设10 件产品中有 3 件不合格品，从中不放
回地取两次，每次一件，求取出的第二件为
注：若 B 已发生，为使 A 也发生，
则此样本点必属于A B ，
B S AB A
B成为了新的样本空间.
第一章 第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式
容易验证，条件概率满足以下性质： 1、对于事件A，有 0≤P(A|B)≤1；
2、对于必然事件S，有P(S |B) =1；
3、若事件A1，A2 ，„，An ，两两互不相容，则有 P(A1∪A2 ∪ „ ∪ An |B)= P(A1|B)+ P(A2|B )+ „ + P (An |B).
问题的提出： 1) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：第1个人中彩的概率为多少？ 第2个人中彩的概率为多少？ 2) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：已知第1个人没摸中， 第2个人中彩的概率为多少？
第一章 第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式
• 引例 10个产品中有7个正品、3个次品， 从中不放回地抽取两个， 已知第一个取到 次品，求第二个又取到次品的概率.
使用全概率公式关键在于寻找另一组形式：
P ( A ) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ).
第一章 第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式
例4
设10 件产品中有 3 件不合格品，从中不放
回地取两次，每次一件，求取出的第二件为
注：若 B 已发生，为使 A 也发生，
则此样本点必属于A B ，
B S AB A
B成为了新的样本空间.
第一章 第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式
容易验证，条件概率满足以下性质： 1、对于事件A，有 0≤P(A|B)≤1；
2、对于必然事件S，有P(S |B) =1；
3、若事件A1，A2 ，„，An ，两两互不相容，则有 P(A1∪A2 ∪ „ ∪ An |B)= P(A1|B)+ P(A2|B )+ „ + P (An |B).
问题的提出： 1) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：第1个人中彩的概率为多少？ 第2个人中彩的概率为多少？ 2) 10个人摸彩，有3张中彩. 问：已知第1个人没摸中， 第2个人中彩的概率为多少？
第一章 第三讲 条件概率、乘法公式、全概率公式
• 引例 10个产品中有7个正品、3个次品， 从中不放回地抽取两个， 已知第一个取到 次品，求第二个又取到次品的概率.
概率论-条件概率与乘法公式
解：设事件 Ai “抽取的产品是 i 等品 ”， （i=1,2,3,）
则
P( A1|( A1
A2 ))
P( A1( A1 A2 )) P( A1 A2 )
P( A1) P( A1 A2 )
0.6 = 2 0.6+0.3 3
当 P(A) 时0 ， P(B A) P( AB) . P( A)
例(补) 摸球试验
设袋中装有r 只红球、t 只白球.每次自袋中 任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a 只 与所取出的那只球同色的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取 到白球的概率. 解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件“第 i 次取到红球”
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )P( A4 A1 A2 A3 ) r ra t ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
(1)
P( A)
80 100
0.8,
(2)
P( AB) 32 0.32, 100
(3) P(B A) P( AB) 0.32 0.4 P( A) 0.80
或P(B A) 32 0.4. 80
例15.一批产品中一、二、三等品各占 60%，3，0%，10%
抽取一件，求：发现不是三等品时，是一等品的概率？
记A=“取到正品”，B=“取到甲生产的产品”，
写出概率P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B)
解： P( A) 80 , P(B) 60 , P( AB) 50
100
100