★人教版高中数学选修2-2学案第一章复习小结

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2018-2019学年人教A版选修2-2 第一章导数及其应用小结与复习学案

第一章导数及其应用--小结与复习------------ 学案一、学习目标1、进一步理导数的概念，掌握导数在研究函数单调性及极值和最值中的应用，完善学生对数的认识。

2、理解导数和定积分中体现的数学思想“以直代曲”；二、自主学习（1）.知识框图（2）课前小测1．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( ) A ．b ≤0 B ．b <2 C ．b ≥2 D ．b >2答案 A2．已知y ＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有极值，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ＝233D ．a ＝0 答案 B3．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．－239 D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)．当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：所以当x ＝33时，4.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )答案 D解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．5．若f (x )在(a ，b )内存在导数，则“f ′(x )<0”是“f (x )在(a ，b )内单调递减”的条件．答案充分不必要解析对于导数存在的函数f (x )，若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内单调递减，反过来，函数f (x )在(a ，b )内单调递减，不一定恒有f ′(x )<0，如f (x )＝－x 3在R 上是单调递减的，但f ′(x )≤0. 三、合作探究题型一函数与其导函数之间的关系例1 对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a nn ＋1}的前n 项和的公式是．答案 2n ＋1－2解析由k ＝y ′|x ＝2＝－2n －1(n ＋2)，得切线方程为y ＋2n ＝－2n －1(n ＋2)(x －2)，令x ＝0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为y 0＝(n ＋1)2n ，所以a nn ＋1＝2n ，则数列{a nn ＋1}的前n 项和S n ＝－2n 1－2＝2n ＋1－2.反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键．跟踪训练1 如图，曲线y ＝f (x )上任一点P 的切线PQ 交x 轴于Q ，过P 作PT 垂直于x 轴于T ，若△PTQ的面积为12，则y 与y ′的关系满足( )A ．y ＝y ′B ．y ＝－y ′C ．y ＝y ′2D ．y 2＝y ′ 答案 D解析 S △PTQ ＝12×y ×|QT |＝12，∴|QT |＝1y ，Q (x －1y ，0)，根据导数的几何意义，k PQ ＝y －0x －x －1y＝y ′∴y 2＝y ′.故选D.题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋48(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间及极值； (3)当x ∈[1,5]时，求函数的最值．解 ∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，得－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ，于是2(a －1)x ＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0b ＝0，解得a ＝1，b ＝0；(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4，令f ′(x )<0，得－4<x <4，令f ′(x )>0，得x <－4或x >4. ∴f (x )的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f (x )极大＝f (－4)＝128，f (x )极小＝f (4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f (4)＝－128，f (1)＝－47，f (5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f ′(x )>0得增区间，解f ′(x )<0得减区间． (2)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练2 已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3.(1)求a ，b 的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,1]的最值．解 y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，a ＝－6，b ＝9.(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ＝－18x 2＋18x ，令y ＝0，得x ＝0，或x ＝1， ∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.(3)由(1)知，函数y ＝f (x )＝－6x 3＋9x 2，又f (－1)＝15，f (0)＝0，f (1)＝3，所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．解 (1)f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立．即3x 2－a ≥0在R 上恒成立．即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0. 当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意．所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2，又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3，所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上单调递减，即a ＝3符合题意，所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞)．反思与感悟在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f ′(x )能恒等于0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－12，12，则实数a 的值是多少？ (2)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎡⎦⎤－12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？解 (1)f ′(x )＝12x 2－a ，∵f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－12，12， ∴x ＝±12为f ′(x )＝0的两个根，∴a ＝3.(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上为单调增函数，则f ′(x )≥0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，即12x 2－a ≥0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≤12x 2在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≤(12x 2)min ＝0. 当a ＝0时，f ′(x )＝12x 2≥0恒成立(只有x ＝0时f ′(x )＝0)．∴a ＝0符合题意．若f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上为单调减函数，则f ′(x )≤0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，即12x 2－a ≤0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立， ∴a ≥12x 2在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≥(12x 2)max ＝3. 当a ＝3时，f ′(x )＝12x 2－3＝3(4x 2－1)≤0恒成立(且只有x ＝±12时f ′(x )＝0)．因此，a 的取值范围为a ≤0或a ≥3. 四、自主小测1．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )3．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( ) A ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )4．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是．参考答案 1答案 C解析若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，只需y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即Δ＝4－12m ≤0， ∴m ≥13.2答案 D解析若函数在给定区间上是增函数，则y ＝f ′(x )>0，若函数在给定区间上是减函数，则y ＝f ′(x )<0. 3答案 C解析由条件，得⎝⎛⎭⎫f x g x ′＝fx gx －f x gx [g x 2<0.∴f xg x 在(a ，b )上是减函数．∴f b g b <f x g x <f ag a，∴f (x )g (b )>f (b )g (x )． 4答案 (7，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1.可判断求得f (x )max ＝f (2)＝7.∴f (x )<m 恒成立时，m >7.。

人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.2第二课时导数的运算法则

第二课时导数的运算法例预习课本P15～ 18，思虑并达成以下问题(1)导数的四则运算法例是什么？在使用运算法例时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法例又是什么？[新知初探 ]1．导数的四则运算法例(1)条件： f(x)， g(x)是可导的．(2)结论：① [f(x) ±g(x)] ＝′f′(x)±g′(x)．② [f (x)g(x)] ＝′ f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)．③f x′＝f xg x － f x g x(g(x) ≠ 0)．g x2[g x[点睛 ]应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推行到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零 )必可导．(3)若两个函数不行导，则它们的和、差、积、商不必定不行导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适合的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 y＝ f(g( x))．②可分解为 y＝ f(u)与 u＝ g(x)，此中 u 称为中间变量．(2)求导法例：复合函数y＝ f (g(x))的导数和函数y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为：y x′＝ y u′·u x′.[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) f′(x)＝2x，则 f(x)＝ x2 .()(2)函数 f(x)＝ xe x的导数是 f′(x)＝e x(x＋ 1)． ()(3)函数 f(x)＝ sin(－ x)的导数为 f′(x)＝ cos x． ()答案： (1) × (2) √ (3) ×2．函数 y ＝ sin x ·cos xA ． y ′＝ cos 2x ＋ sin 2xC ． y ′＝ 2cos x ·sin x答案： B的导数是()B ． y ′＝ cos 2xD ． y ′＝ cos x ·sin x3．函数 y ＝ xcos x － sin x 的导数为 ________．答案：－ xsin x4．若 f(x)＝ (2x ＋ a)2，且 f ′(2)＝ 20，则 a ＝ ________.答案： 1利用导数四则运算法例求导[典例 ] 求以下函数的导数：2＋ log 3x ； (2)y ＝ x 3 x(3)y ＝ cos x(1) y ＝ x ·e ；x .解 ′＝ 2＋ log ＝′ 2 ) ′＋ (log′ [ ] (1) y (x 3x)(x 3x) ＝ 2x ＋ 1.xln 33 x 3x3 x′′＝ · ) ′＝ ( x) ′·e＋x· )(2) y(x e(e＝ 3x 2·e x ＋x 3 ·e x ＝ e x (x 3＋ 3x 2)． (3) y ′＝ cos x ′＝ xx － cos x x2xx － x ·sin x － cos x xsin x ＋ cos x＝ 2 ＝－ 2. xx求函数的导数的策略(1)先划分函数的运算特色，即函数的和、差、积、商，再依据导数的运算法例求导数．(2) 对于三个以上函数的积、商的导数，挨次转变为“两个 ”函数的积、商的导数计算．[活学活用 ]求以下函数的导数：x(1) y ＝ sin x － 2x 2； (2)y ＝cos x ·ln x ； (3) y ＝ sin ex .解： (1)y ′＝ (sin x － 2x 2) ′＝ (sin x) ′－ (2x 2) ′＝ cos x － 4x. (2) y ′＝ (cos x ·ln x) ′＝ (cos x) ′·x ＋ln cos x ·(ln x) ′＝－ sin x ·ln x ＋ cos xx.e xxx － e x x(3) y ′＝ sin x ′＝sin 2x ＝ e x ·sin x － e x ·cos x e x x － cosx2 ＝2sin xsin x复合函数的导数运算[典例 ] 求以下函数的导数：(1) y ＝ 1 2； (2)y ＝ e sin(ax ＋b)；1－ 2x(3) y ＝ sin 2 2x ＋π3 ； (4)y ＝ 5log 2(2x ＋ 1)．[解 ] (1)设 y ＝u － 1， u ＝ 1－ 2x 2，2则 y ′＝ (u －12) ′ －(12x2) ′＝－21u － 32 ·(－ 4x)＝－1 23 23.(1－ 2x )－2(－ 4x)＝ 2x(1－ 2x )－ 22(2) 设 y ＝ e u ， u ＝ sin v ， v ＝ ax ＋ b ，则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ e u ·cos v ·asin(ax ＋b) ．＝ acos(ax ＋ b) ·e(3) 设 y ＝ uπ2， u ＝ sin v ， v ＝2x ＋，3则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ 2u ·cos v ·22π＝ 4sin vcos v ＝ 2sin 2v ＝ 2sin 4x ＋ 3 .(4) 设 y ＝ 5log 2 u ， u ＝ 2x ＋ 1，则 y ′＝ 5(log 2u) ′·x ＋(21) ′＝ 10 ＝ 10 .uln 2 x ＋1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1) 内、外层函数往常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．[活学活用 ]求以下函数的导数：(1) y ＝ (3x － 2)2 ； (2) y ＝ ln(6x ＋ 4)；(3) y ＝ e 2x ＋1；(4)y ＝ 2x － 1；π； (6)y ＝ cos 2x.解： (1)y ′＝ 2(3x － 2) ·(3x －2) ′＝ 18x － 12；13；(2) y ′＝ 6x ＋ 4·(6x ＋ 4) ＝′3x ＋ 2(3) y ′＝ e 2x ＋ 1·(2x ＋ 1) ′＝2e 2x ＋1；(4) y ′＝ 1 ′＝1. ·(2x － 1) 2x － 1 2 2x － 1π ππ(5) y ′＝ cos 3x － 4 ·3x － 4 ′＝3cos 3x － 4 .(6) y ′＝ 2cos x ·(cos x) ′＝－ 2cos x ·sin x ＝－ sin 2x.与切线相关的综合问题2π[典例 ]处的切线斜率为 ________．(1) 函数 y ＝ 2cos x 在 x ＝12(2) 已知函数 f(x)＝ ax 2＋ ln x 的导数为 f ′(x)，①求 f(1)＋ f ′(1)．②若曲线 y ＝ f (x)存在垂直于 y 轴的切线，务实数a 的取值范围．[分析 ] (1) 由函数 y ＝ 2cos 2x ＝ 1＋ cos 2x ，得 y ′＝ (1＋ cos 2x) ′＝－ 2sin 2x ，所以函数在π 2sinπ＝处的切线斜率为－2 × ＝－1.x1212答案：－1(2) 解： ①由题意，函数的定义域为(0，＋ ∞)，由 f( x)＝ ax 2＋ ln x ，得 f ′(x)＝ 2ax ＋ 1，x 所以 f(1)＋ f ′(1)＝ 3a ＋ 1.② 因为曲线 y ＝ f(x)存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转变为在 x ∈ (0，＋∞)内导函数f ′(x)＝ 2ax ＋ 1存在零点，x即 f ′(x)＝ 0?2ax ＋ 1x ＝ 0 有正实数解，(5) y ＝ sin 3x － 4即 2ax 2＝－ 1 有正实数解，故有 a<0 ，所以实数 a 的取值范围是 (－∞， 0)．对于函数导数的应用及其解决方法(1) 应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及波及切线问题的综合应用．(2) 方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再依据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用 ]若存在过点 (1,0) 的直线与曲线y ＝ x 3 和 y ＝ ax 2＋15都相切，则 a 的值为 ()4 x － 92521A ．－ 1 或－ 64B ．－ 1 或 4C ．－ 7或－ 25D ．－7或 74 644分析：选A 设过点 (1,0)的直线与曲线 y ＝ x 3 相切于点 (x 0， x 03)，则切线方程为y － x 03＝ 3x 02(x － x 0)，即 y ＝ 3x 02x － 2x 03.又点 (1,0)在切线上，代入以上方程得 3x 0＝ 0 或 x 0＝ .2当 x 0＝ 0 时，直线方程为 y ＝ 0.21525由 y ＝ 0 与 y ＝ ax ＋4 x － 9 相切可得 a ＝－ 64.当 x 0＝ 3时，直线方程为 y ＝ 27x － 27.24 42727215由 y ＝ 4 x － 4 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切可得 a ＝－ 1.层级一学业水平达标1．已知函数 f (x)＝ ax 2 ＋c ，且 f ′(1)＝ 2，则 a 的值为 ()A ． 1B. 2C ．－ 1D ． 0分析：选A∵ f(x)＝ ax 2＋ c ，∴ f ′(x)＝ 2ax ，又∵ f ′(1)＝ 2a ，∴ 2a ＝ 2，∴ a ＝ 1.2．函数2y ＝ (x ＋ 1) (x － 1)在x ＝ 1 处的导数等于()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：选 D y ′＝ [(x ＋ 1) 2] ′(x － 1)＋ (x ＋ 1) 22＝ 3x 2＋ 2x(x － 1) ′＝ 2(x ＋ 1) ·(x － 1) ＋ (x ＋ 1) － 1，∴ y ′|＝＝ 4.x 13．曲线 f(x)＝ xln x 在点 x ＝ 1 处的切线方程为 ( )A ． y ＝ 2x ＋ 2B ． y ＝ 2x － 2C ． y ＝ x － 1D ． y ＝ x ＋ 1分析：选C∵ f ′(x)＝ ln x ＋ 1，∴ f ′(1)＝ 1，又 f(1) ＝0，∴在点 x ＝ 1 处曲线 f(x)的切线方程为 y ＝ x － 1.4. 已知物体的运动方程为s ＝ t 2＋ 3(t 是时间， s 是位移 )，则物体在时辰 t ＝ 2 时的速度t为 ()19 17 A. 4B. 415 13C. 4D. 4分析：选D33 13∵ s ′＝ 2t －t ，∴ s ′|t2＝ 4－4＝4＝5．设曲线 y ＝ ax － ln(x ＋ 1)在点 (0,0) 处的切线方程为 y ＝ 2x ，则 a ＝ ()A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析：选Dy ′＝ a － 1，由题意得 y ′|x ＝0＝ 2，即 a － 1＝ 2，所以 a ＝3.x ＋ 13－ x ＋ 3 在点 (1,3)处的切线方程为 ________．6．曲线 y ＝ x22分析：∵ y ′＝ 3x － 1，∴ y ′x1＝ 3×1 － 1＝ 2.＝∴切线方程为 y － 3＝ 2(x －1) ，即 2x － y ＋ 1＝ 0.答案： 2x － y ＋ 1＝ 07．已知曲线y 1＝ 2－ 1与 y 2＝ x 3－ x 2＋ 2x 在 x ＝x 0 处切线的斜率的乘积为3，则 x 0＝x ________.分析：由题知 y ′＝12处切线的斜率分别为12＝ 3x － 2x ＋ 2，所以两曲线在 x ＝ x2，1x ， y ′2x 02－2x 0＋ 2，所以3x 02－ 2x 0＋ 23x 02＝ 3，所以 x 0＝ 1.x 0答案： 1ππ8．已知函数 f (x)＝ f ′4 cos x ＋ sin x ，则 f 4 的值为 ________．π分析： ∵ f ′(x)＝－ f ′4 sin x ＋ cos x ，ππ 2 2∴ f ′4 ＝－ f ′4 ×2 ＋ 2 ，π得 f ′4 ＝ 2－ 1.∴ f( x)＝ ( 2－ 1)cos x ＋ sin x.π∴ f 4 ＝ 1. 答案： 19．求以下函数的导数：2e x ＋ 1x；(1) y ＝ xsin x ； (2)y ＝ e － 1x ＋ cos x(3) y ＝ x ＋ sin x ； (4)y ＝ cos x ·sin 3x.22解： (1)y ′＝ (x) ′sinx ＋ x(sin x) ′＝ sin 2 x ＋ x ·2sin x ·(sin x) ′＝sin 2x ＋ xsin 2x.(2) y ′＝ e x ＋ 1 ′ e x － 1－ e x ＋ 1e x － 1 ′x 1 2e －－ 2e x .＝x－ 12ex ＋ cos x ′ x ＋ sin x － x ＋ cos xx ＋ sin x ′(3) y ′＝x ＋ sin x2＝1－ sin xx ＋ sin x －x ＋ cos x1＋ cos xx ＋ sin x 2－ xcos x －xsin x ＋ sin x － cos x － 1 ＝ x ＋ sin x 2.(4) y ′＝ (cos x ·sin 3x) ′＝ (cos x) ′sinx3＋ cos x(sin 3x) ′＝－ sin xsin 3x ＋ 3cos xcos 3x＝ 3cos xcos 3x － sin xsin 3x.10．偶函数 f(x)＝ ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e 的图象过点 P(0,1)，且在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝x － 2，求 f(x)的分析式．解： ∵ f(x)的图象过点 P(0,1)，∴ e ＝ 1.又∵ f( x)为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)．故 ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e ＝ ax 4－ bx 3＋ cx 2－ dx ＋ e.∴ b ＝ 0， d ＝ 0.∴ f(x)＝ ax 4＋ cx 2＋ 1. ∵函数 f(x)在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝ x － 2，∴切点为 (1，－ 1)．∴ a ＋ c ＋ 1＝－ 1.∵f′(x)|x＝1＝ 4a＋ 2c，∴ 4a＋ 2c＝ 1.∴a＝5， c＝－9.225492∴函数 f(x)的分析式为 f (x)＝x－ x ＋ 1.22层级二应试能力达标1．若函数 f(x)＝ ax4＋ bx2＋ c 知足 f′(1)＝ 2，则 f′(－1)等于 ()A．－ 1B．－ 2C． 2D． 0分析：选B∵ f′(x)＝ 4ax3＋ 2bx 为奇函数，∴ f′(－1)＝－ f′(1)＝－ 2. 2．曲线 y＝ xe x－1在点 (1,1)处切线的斜率等于 ()A． 2e B． eC． 2D． 1分析：选C函数的导数为 f′(x)＝ e x－1＋ xe x－1＝ (1＋ x)e x－1，当 x＝ 1 时， f′(1)＝ 2，即曲线x－1在点 (1,1)处切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，应选 C. y＝ xe3．已知函数 f (x)的导函数为 f′(x)，且知足 f(x)＝ 2xf ′ (e)＋ ln x，则 f′ (e)＝ ()－ 1B．－ 1A． e－ 1D．－ eC．－ e分析：选C∵ f(x)＝ 2xf′(e)＋ ln x，∴f′(x)＝ 2f′(e)＋1 x，∴f′(e)＝ 2f′(e)＋1，解得 f′(e)＝－1，应选 C.e e4．若 f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，则 f′(x)＞ 0的解集为 ()A． (0，＋∞ )B． (－ 1,0)∪ (2，＋∞) C． (2，＋∞ )D． (－ 1,0)分析：选C∵ f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，∴f′(x)＝ 2x－ 2－4x＞ 0，x＋x－或 x＞ 2，整理得＞ 0，解得－ 1＜ x＜ 0x又因为 f(x)的定义域为 (0，＋∞)，所以 x＞ 2.5．已知直线y＝ 2x－ 1 与曲线 y＝ ln(x＋ a)相切，则a 的值为 ________________．1分析：∵ y＝ ln(x＋ a)，∴ y′＝，设切点为(x0，y0)，1则 y0＝ 2x0－ 1， y0＝ ln(x0＋ a)，且x0＋a＝ 2，解之得 a＝1ln 2. 2答案：1ln 22x在点 (1,1)的切 l， l 上的点到x2＋ y2＋ 4x＋ 3＝ 0 上的点的6．曲 y＝2x－1近来距离是 ____________．分析： y′＝－1|y－ 1＝－ (x－ 1)，即 x＋ y－ 2 2， y′x＝1＝－ 1，∴切方程＝ 0，心 (－ 2,0)到直的距离d＝ 2 2，的半径 r＝ 1，∴所求近来距离 2 2－ 1.答案： 2 2－17．已知曲 f (x)＝ x3＋ ax＋ b 在点P(2，－ 6)的切方程是13x－ y－ 32＝ 0.(1) 求a， b 的；1(2)假如曲 y＝ f(x)的某全部与直 l：y＝－4x＋ 3 垂直，求切点坐与切的方程．解： (1)∵ f(x)＝ x3＋ ax＋ b 的数 f′(x)＝ 3x2＋ a，由意可得f′(2)＝ 12＋ a＝13， f(2)＝ 8＋ 2a＋ b＝－ 6，解得 a＝ 1， b＝－ 16.1(2)∵切与直 y＝－4x＋ 3 垂直，∴切的斜率k＝ 4.切点的坐(x0， y0)，2f′(x0)＝ 3x0＋ 1＝ 4，∴ x0＝±1.由 f( x)＝ x3＋x－ 16，可得 y0＝ 1＋ 1－ 16＝－ 14，或 y0＝－ 1－ 1－ 16＝－ 18.切方程y＝ 4(x－ 1)－ 14 或 y＝ 4(x＋ 1)－ 18.即 y＝ 4x－ 18 或 y＝ 4x－ 14.8． f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1， x≥0， n∈ N， n≥2.(1) 求 f n′ (2)；明：在 0，2内有且有一个零点(a，且＜12n(2)f n(x)n)a n－＜n＋13023.解： (1)由 f n′(x)＝ 1＋ 2x＋⋯＋ nx n－1.所以 f n′ (2)＝ 1＋ 2×2＋⋯＋ (n－ 1)2n－2＋n·2n－1，①2f n′ (2)＝ 2＋ 2×22＋⋯＋ (n－ 1)2n－1＋ n·2n，②①－②得，－ f n′ (2)＝ 1＋ 2＋ 22＋⋯＋ 2n－1－ n·2n＝1－ 2n n n－ n·2＝ (1－ n) ·2－ 1，1－ 2所以 f n′ (2)＝ (n－1)n ·2＋1.(2)因 f(0)＝－ 1＜ 0，22nn 231－3－ 1＝1－2×2n2×22＞ 0，f3＝23≥ －3 1－13因 x≥0， n≥2.所以 f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1 增函数，所以 f n(x)在 0，2内增，3所以 f n在 0，2内有且有一个零点 a n(x)3.n＋ 1x－ x因为 f n(x)＝－1，n＋1所以 0＝ f n(a n) ＝a n－ a n－ 1，1－ a n由此可得11n＋ 11，故12 a n＝＋a n＞2＜ a n＜ .22231 1 n＋112 n＋1n所以 0＜ a n－22＝2a n＜2×3＝3n＋ 1.。

【原创】人教A版选修2-2：第一章章末小结与测评

第一章导数及其应用
(3)检验 f′(x)＝0 的根的两侧 f′(x)的符号：若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值．即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求 f(x)在(a，b)内的极值． (2)将(1)求得的极值与 f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
(2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝ax＋x＋2 12＝ax2＋x2xa＋＋122x＋a. 当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当 a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12xx＋－1122≤0，函数 f(x) 在(0，＋∞)上单调递减．
f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a
－1，＋∞)上为增函数．依题意当 x∈(1,4)时，f′(x)<0，当
x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.故 4≤a－1≤6，即 5≤a≤7.因此
a 的取值范围是[5,7]．
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
[对点训练]
Hale Waihona Puke 一章导数及其应用③当 0<1a<e 时，令 g′(x)<0⇒0<x<1a，所以 g(x)在0，1a上单调递减，在1a，e上单调递增．所以 g(x)min＝g1a＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件．综上，存在实数 a＝e2，使得当 x∈(0，e]时，g(x)有最小值 3.

高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a =(4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x =(8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bb aakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：第一章本章小结

第一章本章小结一、求函数的导数及导数的几何意义利用导数求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程时，应注意：(1)判断点P (x 0，y 0)是否在曲线y ＝f (x )上；(2)1°若点P (x 0，y 0)为切点，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率为f ′(x 0)，切线的方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2°若点P (x 0，y 0)不是切点，则设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，①又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值．即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．【例1】求函数y ＝ln 1－sin x 1＋sin x的导数．【分析】采用先化简后求导的方法来求解．【解】 ∵y ＝12[ln(1－sin x )－ln(1＋sin x )]，∴y ′＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－sin x (1－sin x )′－11＋sin x (1＋sin x )′ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 1－sin x －cos x 1＋sin x ＝12·－cos x (1＋sin x ＋1－sin x )1－sin 2x＝－sec x . 【例2】已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．【分析】直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．【解】(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，又f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．因为直线m恒过定点(0,9)，先求过点(0,9)与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又g′(x0)＝6x0＋6.∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，∴3x20－3＝0，∴x0＝±1，当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：由(1)得f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，∴f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1，当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9.所以y＝9是公切线．综上所述当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．二、函数的单调性利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．【例3】已知x＝3是函数f(x)＝a ln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．【解】(1)因为f′(x)＝a1＋x＋2x－10，x＝3是极值点，所以f′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a＝16.(2)由(1)知，f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，x∈(－1，＋∞)，f′(x)＝2(x2－4x＋3)1＋x，当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1,3)时，f′(x)<0.所以f(x)的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)内单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21，因此f(16)＝16ln17＋162－10×16>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)，所以在f(x)的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y＝b 和y＝f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)，因此，b的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9)．三、函数的极值与最值1．利用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．【例4】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．【解】(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：f(x)min＝f(2)＝－2.f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.所以f(x)max＝f(0)＝2.(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x∈[1,2)时，g′(x)<0；在x∈(2,3]时，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g(1)≥0g(2)<0g(3)≥0，解得－2<c≤0.四、微积分的应用【例5】求定积分．【例6】某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2 (0≤t ≤10)4t ＋60 (10≤t ≤20)140 (20≤t ≤60)，某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，则这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？【解】不能．由已知可得s ＝⎠⎛ 010t 2d t ＋⎠⎛ 1020(4t ＋60)d t ＋⎠⎛ 2060140d t ＝13t 3|100＋(2t 2＋60t )|2010＋140t|6020＝7 13313(m)<7 673(m)，∴这家生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．【评析】物体做变速直线运动经过的路程s 等于其速度函数v＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝⎠⎜⎛ab v (t )d t .。

人教A版选修2-2第1章章末总结.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末总结知识点一导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①又y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．例1已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．知识点二导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2＋sin x；(2)f(x)＝x(x－a)2.知识点三导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .知识点四导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．例5 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．知识点五定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意找清被积函数和积分上下限．例6 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成图形的面积．例7在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，如图所示，试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．答案重点解读例1 解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 例2 解 (1)函数的定义域是R ， f ′(x )＝12＋cos x ，令12＋cos x >0，解得2k π－2π3<x <2k π＋2π3 (k ∈Z )，令12＋cos x <0，解得2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )，因此，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，单调减区间是⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a .a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. a ＝0时，函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．例3 解令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )－1－32a ＋bb－a 32＋b1－32a ＋b 从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1. 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故a ＝63，b ＝1. 例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0， ∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7，因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，需f (x )max <m ，即m >7.所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)．例6 解所求面积 S ＝542ππ-⎰|sin x |d x＝-2π-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －54ππ⎰ sin x d x＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22.例7 解面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形的面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.面积S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为 t 2， (1－t )，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分面积S 为： S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13 (0≤t ≤1)，由S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0，或t ＝12.由于当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t <1时，S ′(t )>0，所以S (t )在0<t <12上单调递减，在12<t <1上单调递增．1所以当t＝2时，S最小，即图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．。

人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末小结

【金版教案】2015-2016高中数学第一章导数及其应用章末小结新人教 A 版选修 2-2知识点一导数的观点与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种状况(1)求点P(x0， y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k＝ y′|x＝x0.(2)求过点P(x1， y1)的切线方程，此点在切线上不必定是切点，需设出切点(x0， y0)，求出切线斜率k＝ y′ |x＝ x0，利用点斜式方程写出切线方程，再依据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数 y＝ x3－ x，求函数图象(1)在点 (1， 0)处的切线方程；(2)过点 (1， 0)的切线方程．分析： (1)函数 y＝ x3－ x 的图象在点 (1， 0)处的切线斜率为k＝ y′|＝＝ (3x2－ 1)| ＝＝ 2，x 1x 1所以函数的图象在点(1， 0)处的切线方程为y＝ 2x－ 2.(2)设函数 y＝ x3－x 图象上切点的坐标为P(x0， x03－ x0)，则切线斜率为 k＝y′|x＝ x0＝ 3x02－1，切线方程为 y－ (x03－ x0)＝ (3x02－ 1)(x－x0)，因为切线经过点 (1，0)，32所以 0－ (x0－x0)＝(3x0－ 1)(1－ x0)，3232整理，得 2x0－ 3x0＋ 1＝0，即 2(x0－ 1)－ 3(x0－ 1)＝ 0，所以 (x0－ 1)2(2 x0＋ 1)＝ 0，1解得 x0＝ 1 或 x0＝－2.所以 P(1， 0)或 P －12，38，1 1所以切线方程为 y＝ 2x－ 2 或 y＝－ x＋4.4知识点二导数与函数的单一性求函数 f(x)的单一区间的方法步骤(1)确立函数 f(x)的定义域；(2)计算函数 f(x)的导数 f ′(x)；(3)解不等式 f ′(x)>0 ，获取函数 f(x)的递加区间；解不等式 f ′(x)<0 ，获取函数 f(x)的递减区间．提示：求函数单一区间必定要先确立函数定义域，常常因忽略函数定义域而致使错误．(2014 ·高考纲领卷 )函数 f(x)＝ ax 3＋ 3x 2＋ 3x(a ≠0)．(1)议论函数 f(x)的单一性；(2)若函数 f(x)在区间 (1， 2)是增函数，求 a 的取值范围．分析： (1)因为函数 f(x) ＝ax 3＋ 3x 2＋ 3x ，所以 f ′(x)＝ 3ax 2＋6x ＋ 3.令 f ′(x)＝ 0，即 3ax 2＋ 6x ＋ 3＝ 0，则＝ 36(1 － a)。

人教A版选修2-2第一章专题复习学案导数概念、几何意义及运算无答案

专题：导数概念、几何意义及运算※知识梳理一、导数的概念及几何意义1．平均变化率：已知函数y ＝f (x )||，如果自变量x 在x 0处有改变量Δx ||，那么函数y 相应地有改变量Δy ＝____________||，比值就叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 2．导数定义：函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数||，并记作 ||，即______________________________．3．几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点的____________．二、导函数的概念及运算 1．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ||，b )内每一点都是可导的||，就说f (x )在开区间(a ||，b )内可导||，其导数也是开区间(a ||，b )内的函数||，又称作f (x )的导函数||，记作_______= ． 2．基本初等函数的导数公式表记f (x )=u ||，g (x )=v ||，y ＝f (g (x ))||，则有： (1)和差导数：(u ±v )’＝______________；(2)积的导数：(C u )’＝；(uv )’= ； (3)商的导数：(uv )’＝ (v ≠0)；(4)复合导数：f ’(g (x ))＝． ※题型讲练【例1】用定义法求下列函数的导数：(1)f (x )＝x 2在x =1处的导数； (2)若f (x )＝1x||，求f ′(1)；变式训练1：1．已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm||，时间单位：s)||，则质点M 在t =2时的瞬时速度为____________．【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x －3； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln xx 2＋1(4)y ＝ln x 2＋1 变式训练1：1．求下列各函数的导数：(1)y ＝tan x (2)y ＝11－x ＋11＋x(3)y ＝3－x ＋e 2x (4)y ＝lg(2x 3－1)【例3】已知f (x )=x 3+x 2f ’(1)－x ||，求f (2)和f ′(2)．变式训练3：1．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)||，则f ′(3)+f (3)= ．2．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ||，则f (π4)＝．【例4】已知曲线C ：y ＝13x 3＋43．(1)求斜率为1的曲线C 的切线方程； (2)求曲线在点P (2||，4)处的切线方程．变式训练4：1．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0||，－2)处的切线方程为________．2．求曲线C ：y ＝13x 3＋43过点P (2||，4)的切线方程；【例5】设函数f (x )＝ax －bx||，曲线y ＝f (x )在点(2||，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值||，并求此定值．变式训练5：1．已知f (x )＝x 3+x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1||，则点P 坐标为；2．已知函数f (x )在点M (1||，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2||，则f (1)＋f ′(1)= ．3．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上||，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角||，则α的取值范围为． ※课后训练1．已知f (x )＝2ln(3x )＋8x ||，则li m Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为( ) A ．10 B ．－10 C ．－20 D ．20 2．已知f (x )＝x (2 014＋ln x )||，f ′(x 0)＝2 015||，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e3．函数f (x )＝e x cos x 在点(0||，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0B ．π4C ．1D ．π24．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2||，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行||，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．25．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1||，3)||，则原函数导函数f (x )＝C (C 为常数)f ′(x )＝ f (x )＝x n f ′(x )＝ f (x )＝sin x f ′(x )＝ f (x )＝cos x f ′(x )＝f (x )＝a x (a >0||，a ≠1)f ′(x )＝ f (x )＝e xf ′(x )＝ f (x )＝log a x (a >0||，a ≠1)f ′(x )＝ f (x )＝ln xf ′(x )＝2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－26．若函数f (x )＝ln x －f ′(1)x 2＋3x －4||，则f ′(1)+f (1)＝______． 7．一质点沿直线运动||，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ||，那么速度为零的时刻是__________． 8．与y ＝x 4相切||，与x ＋4y －8＝0垂直的直线方程为_______．9．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点||，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 10．求下列各函数的导数：(1)y ＝x 3e x －log 2x (2)y ＝sin xx (3)y ＝ln( x 2+3)·2x11．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2||，－6)处的切线的方程； (2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线||，且经过原点||，求直线l 的方程及切点坐标．12．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ||，直线l ：y ＝kx ||，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0||，y 0)(x 0≠0)||，求直线l 的方程及切点坐标．。

高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习及答案

解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
求下列函数的导数：（1）y = e3x+2 ；（2）ln(2x − 1)．
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ；（2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程描述：利用导数求函数的切线方程步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ；步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )．例题：求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程．解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
1 ；（4）f (x) = √x． x8
1 ) = (x−8 )′ = −8x−9 ； x8 1 1 1 1 （4）f ′ (x) = (√x )′ = (x 2 )′ = x− 2 = ． 2 2√x
求下列函数的导数：
ex ． x2 解：（1）y ′ = (sin x − cos x)′ = (sin x)′ − (cos x)′ = cos x + sin x；（2）y ′ = (x ln x)′ = x ′ ln x + x(ln x)′ = ln x + 1 ； (e x )′ ⋅ x 2 − e x ⋅ (x 2 )′ ex (x − 2) ex ′ （3）y ′ = ( ． = = ) x2 x3 x4

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第一章复习小结
【学习目标】
1．理解导数的概念和几何意义，熟练掌握导数的运算；
2．能熟练运用导数研究函数的性质；
3．灵活运用导数知识解决实际问题．
【知识结构】
【知识运用】
（一）导数的概念
1．已知点P (1，2)是曲线2
2y x ＝上一点，则P 处的瞬时变化率为．
2．曲线324y x x ＝－＋在点(1， 3)处的切线的倾斜角为．
（二）关于切线
例1．求曲线y ＝与直线24y x ＝－平行的切线的方程．
例2．已知曲线C ：32y x x ＝－＋和点A (1，2)，求曲线在点A 处的切线方程．
变式练习：
求过点A 的切线方程？
（三）导数的计算．
1．用公式法求下列导数：
（1）21)y x ＋；
（2）2e cos x y x ＝；
（3）ln(sin )y x x ＝＋；
（4）23log (1)y x ＝－．
2．已知f (x )＝2x 2
＋3x f ′(1)，则f ′(-1)＝________．
（四）导数的应用
1．函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值，则a 满足（）
A ．0a ＞
B ．0a ≥
C ．0a ＜
D ．0a ≤
2.函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围．
3．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在点x ＝1处有极小值－1，试确定a ，b 的值，并求出)
(x f 的单调区间．
4．已知函数()ln a f x x x
＝－，求：（1）函数)(x f 的单调区间；
（2）若函数在区间上的最小值为
2
3，求实数a 的值．
（五）积分及应用
1.⎠⎛01
(e x ＋2x )d x 等于( )
A ．1
B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1
2.由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m ＞0)围成的图形的面积为83
，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．1 D ．8
3.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．
4.设f (x )＝错误!(e 为自然对数的底数)，则错误!f (x )d x 的值为________．
5.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A ．1＋25ln 5
B ．8＋25ln 113
C ．4＋25ln 5
D ．4＋50ln 2
课时作业
一、选择题
1．函数21ln 2
y x x =-的单调递减区间为（） A ．(]1,1- B ．(]0,1
C ．[)1,+∞
D ．()0,+∞
2．若f ′(x )＝3，则 f （x 0－m ）－f （x 0）3m
等于（） A ．3 B ．13
C ．－1
D ．1
3．若曲线2y x ax b =++在点(1,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（）
A ．1,2a b =-=
B ．1,2a b ==
C ．1,2a b ==-
D ．1,2a b =-=- 4.⎰-+2π
2πd )cos (sin x x x 的值是( )
A ．0 B.π4
C ．2
D ．4
5．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数y ＝(1－x )()f x '的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
6．已知函数()x x f x f cos sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=π，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛4πf =___ __ 7．已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在（0，+∞）上有()x f '>0，若0)1(=-f ，那么关于x 的不等式()0<x xf 的解集是___ _____
8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈ R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，
且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112
，则a 的值为________．
9. 已知函数)(x f ＝x 3－ax 2
＋bx ＋c 的图象为曲线E .
（1）若函数)(x f 可以在x ＝－1和x ＝3时取得极值，求此时a ，b 的值；（2）在满足（1）的条件下，)(x f <2c 在x ∈[－2，6]恒成立，求c 的取值范围.
10. 已知函数6
)(sin )(3
x mx x g x x f -==，（m 为实数）．（1）求曲线)(x f y =在点⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4π4πf P ，处的切线方程；（2）求函数)(x g 的单调减区间；
（3）若1=m ，证明：当0>x 时，6)()(3
x x g x f +<．。