第8讲 解一元一次方程--基础班
第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(解析版)
第08讲（4大考点7种解题方法）一、方程和一元一次方程的概念1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值解方程：求方程的解的过程三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。
即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a c b c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子） 例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。
四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程方法：1）合并同类项；2）系数化为1五、移项解一元一次方程（1）移项例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3）2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ）-2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。
第八讲 一元一次方程复习
所以他说此方程无解。你觉得他做得对 吗？为什么？ 那“因为ac=bc，所以a=b‖推理对吗？
6.若
(m 2) x
m 1
5 是一元一次方程，则m
的值是多少？
7、解下列方程
(1)3( x 5) 2( x 2) 5( x 7) 3 2 x (3) [ ( 1) 2] x 2 2 3 4 2 x 1 2(2 x 1) 5(2 x 1) (5) 40 2 3 6 x 1 x2 (2) 2 2 5 x 3 2 x 0.1 (4) 1 0.3 0.2
去分母时，方程右边的-1没有乘3，因 而得方程的解为x=2，试求a 的值，并 正确的解方程.
3 3 已知5( x ) 3 2, 求代数式7 2007( x ) 2006 2006 的值.
解：
3 5( x 2006) 2 3 3 5( x )5 2006 3 x 1 2006
(
a0
)
知识点练习一 1.下列说法中正确的是 （ A ） A.方程是等式 B.等式是方程 C.含有字母的等式是方程 D.不含有字母的方程是等式 ２.若关于x的方程2x2m-3+m=0是一元一次方程， 则m=_____，方程的解是＿＿。 方程的解是指能使方程左右两 边相等的未知数的值。 １.什么是方程的解， 知识点复习二 什么是解方程？ 解方程是指求出方程 的解的 过程。
2、已知 x = y，下列 变形中不一定正确的是 需注意的是“两边都乘， （ D） 不要漏乘”；“同除一 A.x-5=y-5 B.-3x=-3y 个非0的数” x y C.mx=my D. 2 2 c c
知识点复习四、 5.解一元一次方程的一般步骤有哪些？ 它的根据是什么？ 1、去分母：不要漏乘分母为1的项。 2、去括号：注意符号 3、移项：①将含有未知数的项移到等式的 一边； 将常数项 移到另一边；②注意“变号”
初二数学人教版秋季班(学生版版)第8讲 最短路径问题--基础班
第8讲最短路径问题知识点1 将军饮马问题（一）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．解决办法：从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸线相交于C，如下图所示：则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．【典例】1.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．【随堂练习】1．（2018•上虞区模拟）如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC 平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（）A．3B．4C．4D．3知识点2 将军饮马问题（二）【典例】1.如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___________．【随堂练习】1．（2017秋•东城区期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°知识点3 造桥选址问题【典例】【题干】如图（1）A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．（选学）知识点4 几何图形中的最短距离问题【典例】1.（1）问题发现：如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）（2）解决问题：如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）②求这个最短距离．（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为_______（保留作图痕迹，不写作法）综合运用1. 如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=2018．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为___________．2. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2√3cm，E为AB的中点，P 为AD上一点，PE+PB的最小值为_________．3. 如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．4. 如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．5. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）6. 已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，则∠GOH=__________；②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．7. 如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）．（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？。
第8讲一元一次方程的有关概念与等式的性质
第8讲一元一次方程的有关概念与等式的性质进门测易1.下列各组中的两个单项式，不是同类项的是（）A．2x2y与﹣2x2y B．10与﹣8C．﹣3ab2c3与c3b2a D．x3与2x【解答】解：A、2x2y与﹣2x2y是同类项，故本选项错误；B、10与﹣8是同类项，故本选项错误；C、﹣3ab2c3与c3b2a是同类项，故本选项错误；D、x3与2x所含字母的指数不同，不是同类项，故本选项正确；故选：D．2.计算3x2+2x2的结果（）A．5 B．5x2C．5x4D．6x2【解答】解：3x2+2x2，＝（3+2）x2，＝5x2．故选：B．3.下列变形中，不正确的是（）A．a﹣（b﹣c+d）＝a﹣b+c﹣d B．a﹣b﹣（c﹣d）＝a﹣b﹣c﹣dC．a+b﹣（﹣c﹣d）＝a+b+c+d D．a+（b+c﹣d）＝a+b+c﹣d【解答】解：A、原式＝a﹣b+c﹣d，计算正确，故本选项错误；B、原式＝a﹣b﹣c+d，计算错误，故本选项正确；C、原式＝a+b+c+d，计算正确，故本选项错误；D、原式＝a+b+c﹣d，计算正确，故本选项错误；故选：B．4.已知a+b＝3，b﹣c＝12，则a+2b﹣c的值为（）A．15 B．9 C．﹣15 D．﹣9【解答】解：∵a+b＝3，b﹣c＝12，∴原式＝a+b+b﹣c＝3+12＝15，故选：A．5.先化简，再求值：2（a2b﹣3a）+3（ab2+2a）﹣2a2b，其中a＝2，b＝﹣．【解答】解：原式＝2a2b﹣6a+3ab2+6a﹣2a2b＝3ab2，当a＝2，b＝﹣时，原式＝3×2×＝．中1.如果单项式x2y m+2与是x n y同类项，则m、n的值是（）A．m＝2，n＝2 B．m＝﹣1，n＝2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝﹣1 【解答】解：∵单项式x2y m+2与是x n y同类项，∴n＝2，m+2＝1，解得：m＝﹣1，故选：B．2.若单项式a m+4b2与的和是单项式，则m n的值是（）A．3 B．6 C．8 D．4【解答】解：∵单项式a m+4b2与的和是单项式，∴单项式a m+4b2与是同类项，则m+4＝2，n＝2，解得m＝﹣2，n＝2，∴m n＝（﹣2）2＝4，故选：D．3.去括号后结果错误的是（）A．2（a+2b）＝2a+4b B．3（2m﹣n）＝6m﹣3nC．﹣[c﹣（a﹣b）]＝﹣c﹣a+b D．﹣（x﹣y+z）＝﹣x+y﹣z【解答】解：A、2（a+2b）＝2a+4b，正确，不合题意；B、3（2m﹣n）＝6m﹣3n，正确，不合题意；C、﹣[c﹣（a﹣b）]＝﹣c+a﹣b，故原式错误，符合题意；D、﹣（x﹣y+z）＝﹣x+y﹣z，正确，不合题意；故选：C．4.如图，两个三角形的面积分别为16，9，若两阴影部分的面积分别为a、b（a＞b），则（a﹣b）等于（）A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：设空白部分的面积为x，则x+a＝16，x+b＝9，所以（x+a）﹣（x+b）＝a﹣b＝7，故选：B．5.对于有理数a、b，定义运算：“★”，当a≥b时，a★b＝2a﹣3b，当a＜b时，a★b＝．（1）计算：（x+2）★（x+1）的值；（2）若（x+1）★（2x﹣1）＝﹣1，求x的值．【解答】解：（1）（x+2）★（x+1）＝2（x+2）﹣3（x+1）＝2x+4﹣3x﹣3＝﹣x+1；（2）当x+1≥2x﹣1时，2（x+1）﹣3（2x﹣1）＝﹣1，2x+2﹣6x+3＝﹣1，2x﹣6x＝﹣1﹣2﹣3，﹣4x＝﹣6，x＝1.5，此时x+1＝1.5+1＝2.5，2x﹣1＝3﹣1＝2，2.5＞2，符合题意；当x+1＜2x﹣1时，+＝﹣1，3（x+1）+2（2x﹣1）＝﹣6，3x+3+4x﹣2＝﹣6，3x+4x＝﹣6﹣3+2，7x＝﹣7，x＝﹣1，此时x+1＝﹣1+1＝0，2x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，0＞3，不符合题意．故x的值为1.5．难1.如果单项式2mx a y与﹣5nx2a﹣3y是关于x，y的单项式，且它们是同类项．求（7a﹣22）2015的值．【解答】解：∵单项式2mx a y与﹣5nx2a﹣3y是关于x，y的单项式，且它们是同类项，∴a＝2a﹣3，解得：a＝3，则原式＝﹣1．2.先去括号，再合并同类项：6a2﹣2ab﹣2（3a2﹣ab）；2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]；9a3﹣[﹣6a2+2（a3﹣a2）]；2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）．【解答】解：6a2﹣2ab﹣2（3a2﹣ab）＝6a2﹣2ab﹣6a2+ab＝﹣ab；2（2a﹣b）﹣[4b﹣（﹣2a+b）]＝4a﹣2b﹣4b﹣2a+b＝2a﹣5b；9a3﹣[﹣6a2+2（a3﹣a2）]＝9a3+6a2﹣2a3+a2＝7a3+a2；2t﹣[t﹣（t2﹣t﹣3）﹣2]+（2t2﹣3t+1）＝2t﹣t+t2﹣t﹣3+2+2t2﹣3t+1＝3t2﹣3t．3.若代数式（2x2+3ax﹣y）﹣2（bx2﹣3x+2y﹣1）的值与字母x的取值无关，求代数式（a﹣b）﹣（a+b）的值．【解答】解：（2x2+3ax﹣y）﹣2（bx2﹣3x+2y﹣1）＝2x2+3ax﹣y﹣2bx2+6x﹣4y+2＝2（1﹣b）x2+（3a+6）x﹣5y+2，∵代数式的值与字母x的取值无关，∴1﹣b＝0，3a+6＝0，解得b＝1，a＝2．∴（a﹣b）﹣（a+b）＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b＝﹣2．4.实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|b+c|﹣|b+a|+|a+c|．【解答】解：|b+c|﹣|b+a|+|a+c|＝﹣（b+c）﹣（﹣b﹣a）+（a+c）＝﹣b﹣c+b+a+a+c＝2a．5.老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式，形式如下﹣（a2+4ab+4b2）＝a2﹣4b2（1）求所捂的多项式；（2）当a＝﹣1，b＝2时，求所捂的多项式的值．【解答】解：（1）所捂的多项式为：（a2﹣4b2）+（a2+4ab+4b2）＝a2﹣4b2+a2+4ab+4b2＝2a2+4ab；（2）当a＝﹣1，b＝2时，2a2+4ab＝2×（﹣1）2+4×（﹣1）×2＝2﹣8＝﹣6．一元一次方程的有关概念知识讲解1.（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．（2）列方程的步骤：①设出字母所表示的未知数；②找出问题中的相等关系；③列出含有未知数的等式----方程．2.（1）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．（2）规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．3.（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．4. 一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．典型例题1.下列选项中哪个是方程（）A．5x2+5 B．2x+3y＝5 C．2x+3≠﹣5 D．4x+3＞1 【解答】解：A、5x2+5不是等式，不能属于方程，错误；B、2x+3y＝5符号方程的定义，正确；C、2x+3≠﹣5不是等式，不能属于方程，错误；D、4x+3＞1不是等式，不能属于方程，错误；故选：B．2.若x＝1是ax+2x＝3方程的解，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【解答】解：根据题意，将x＝1代入方程ax+2x＝3，得：a+2＝3，得：a＝1．故选：B．3.下列方程中为一元一次方程的是（）A．2x+3＝0 B．2x+y＝3 C．x2+x＝3 D．x﹣＝3 【解答】解：根据题意得：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，即A项正确，B．属于二元一次方程，不符合一元一次方程的定义，即B项错误，C．属于一元二次方程，不符合一元一次方程的定义，即C项错误，D．属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，即D项错误，故选：A．4.如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m的值是（）A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 【解答】解：把x＝﹣1，代入方程关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）得：﹣1﹣m+2＝0，解得：m＝1，故选：C．5.已知关于x的一元一次方程（a+3）x|a|﹣2+6＝0，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2【解答】解：∵方程（a+3）x|a|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，∴，解得a＝3．故选：A．变式练习1.已知式子：①3﹣4＝﹣1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0，其中是等式的有，是方程的有．【解答】解：①3﹣4＝﹣1是等式；③1+2x＝0即是等式也是方程；④6x+4y＝2即是等式也是方程；⑤3x2﹣2x+1＝0即是等式也是方程，故答案为：①③④⑤；③④⑤．2.小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1﹣，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是．【解答】解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1﹣，解得：a＝1．故答案是：1．3.已知（m﹣3）x|m|﹣2+4＝18是关于x的一元一次方程，则（）A．m＝1 B．m＝3 C．m＝﹣3 D．m＝±3【解答】解：由题意得，|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，解得，m＝﹣3，故选：C．4.已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（）A．36 B．10 C．8 D．4【解答】解：ax﹣14＝x+7，移项得：ax﹣x＝7+14，合并同类项得：（a﹣1）x＝21，若a＝1，则原方程可整理得：﹣14＝7，（无意义，舍去），若a≠1，则x＝，∵解为整数，∴x＝1或﹣1或3或﹣3或7或﹣7或21或﹣21，则a﹣1＝21或﹣21或7或﹣7或3或﹣3或1或﹣1，解得：a＝22或﹣20或8或﹣6或4或﹣2或2或0，又∵a为正整数，∴a＝22或8或4或2，22+8+4+2＝36，故选：A．等式的性质知识讲解1. 等式的性质性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．2. 利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．典型例题1.下列方程的变形正确的有（）A．3x﹣6＝0，变形为3x＝6 B．x+5＝3﹣3x，变形为4x＝2C．x﹣1＝2，变形为2x﹣3＝2 D．2x＝1，变形为x＝2【解答】解：A.3x﹣6＝0，等式的两边同时加上6得：3x＝6，即A项正确，B．x+5＝3﹣3x，等式的两边同时加上3x﹣5得：4x＝﹣2，即B项错误，C.x﹣1＝2，等式的两边同时乘以3得：2x﹣3＝6，即C项错误，D.2x＝1，等式的两边同时乘以得：x＝，即D项错误，故选：A．2.下列运用等式的性质变形错误的是（）A．若a＝b，则a+6＝b+6 B．若﹣3x＝﹣3y，则x＝yC．若n+3＝m+3，则m＝n D．若x＝y，则＝【解答】解：A、若a＝b，则a+6＝b+6，正确，不合题意；B、若﹣3x＝﹣3y，则x＝y，正确，不合题意；C、若n+3＝m+3，则m＝n，正确，不合题意；D、若x＝y，则≠，故此选项错误，符合题意．故选：D．3.说出下列各等式变形的根据：（1）由4x﹣3＝0，得x＝；（2）由﹣＝0，得4＝y；（3）由m﹣2＝m，得m＝﹣4．【解答】解：（1）4x﹣3＝0等式两边同时加3，得4x＝3两边同时除以4，得x＝；（2）﹣＝0，两边同时加，得，两边同时乘3，得4＝；（3）m﹣2＝m，移项及合并同类项，得两边同时乘以﹣2，得m＝4．4.小强在解方程2x＝5x时，方程两边都除以x，得到2＝5，他的解法是否有错？请说明理由．【解答】解：此题中的x＝0，∵方程两边都除以0，∴解法错误．变式练习1.下列方程的变形正确的是（）A．由3+x＝5，得x＝5+3 B．由x＝0，得x＝2C．由7x＝﹣4，得x＝﹣D．由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3【解答】解：（A）由3+x＝5，得x＝5﹣3，故A错误；（B）由x＝0，得x＝0，故B错误；（D）由3＝x﹣2，得x＝3+2，故D错误；故选：C．2.下列说法错误的是（）A．若a＝b，则ac＝bcB．若b＝1，则ab＝aC．若，则a＝bD．若（a﹣1）c＝（b﹣1）c，则a＝b【解答】解：（D）当c＝0时，则a不一定等于b，故D错误；故选：D．3.如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体．已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡．如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：根据图示可得，2×〇＝△+□①，〇+□＝△②，由①、②可得，〇＝2□，△＝3□，∴〇+△＝2□+3□＝5□，故选：C．出门测易1.下列式子是方程的是（）A．6x+3 B．6m+m=14 C．5a﹣2＜53 D．3﹣2=1 【解答】解：A、不是等式，错误；B、是一元一次方程，正确；C、不是等式，错误；D、不含未知数，错误；故选：B．2.下列方程中，解为x＝1的是（）A．x﹣1＝﹣1 B．﹣2x＝C．x＝﹣2 D．2x﹣1＝1 【解答】解：A、方程解得：x＝0，不符合题意；B、方程系数化为1，得x＝﹣，不符合题意；C、方程系数化为1，得x＝﹣4，不符合题意；D、方程移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，符合题意，3.下列各方程中，是一元一次方程的为（）A．2x+3＝0 B．x+3y＝1 C．x2﹣1＝0 D．【解答】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，即A项正确，B．属于二元一次方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，即B项错误，C．属于一元二次方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，即C项错误，D．属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，即D项错误，故选：A．4.若x＝是关于x的方程7x+m＝0的解，则m的值为（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：把x＝代入方程7x+m＝0得：3+m＝0，解得：m＝﹣3，故选：A．5.下列等式变形：①如果x＝y，那么ax＝ay；②如果x＝y，那么＝；③如果ax＝ay，那么x＝y；④若果＝，那么x＝y．其中正确的是（）A．①④B．③④C．①②D．②③【解答】解：①x＝y，等式两边同时乘以a得：ax＝ay，即①正确，②x＝y，若a＝0，则和无意义，即②错误，③ax＝ay，若a＝0，则x不一定等于y，即③错误，④＝，等式两边同时乘以a得：x＝y，即④正确，即正确的是①④，中1.对|x﹣1|+4＝5，下列说法正确的是（）A．不是方程B．是方程，其解为0C．是方程，其解为4 D．是方程，其解为0、2【解答】解：对|x﹣1|+4＝5是方程，其解为0、2，故选：D．2.在①2+1＝3，②4+x＝1，③y2﹣2y＝3x，④x2﹣2x+1中，方程有（填序号）【解答】解：∵①不含未知数，①不是方程；∵②、③含有未知数的等式，②、③是方程；④不是等式，④不是方程，故答案为：②、③．3.方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，解得：★＝1，即★处的数字是1，故选：A．4.若（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．任何数【解答】解：∵（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，∴|2m﹣3|＝1，m﹣1≠0，解得：m＝2．5.某书上有一道解方程的题：+1＝x，（）处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知道这个方程的解是x＝2，那么（）处的数应该是（）A．7 B．5 C．1 D．﹣2【解答】解：把x＝2代入+1＝x得：+1＝2，解这个方程得：（）＝1．故选：C．6.已知3a＝5b，则通过正确的等式变形能得到的是（）A．＝B．2a＝5b﹣a C．3a+5b＝0 D．＝【解答】解：A、∵3a＝5b，∴＝，故此选项错误；B、∵3a＝5b，∴2a＝5b﹣a，正确；C、∵3a＝5b，∴3a﹣5b＝0，故此选项错误；D、∵3a＝5b，∴＝，故此选项错误．故选：B．难1.下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④+2＝0；⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：（1）根据方程的定义可得①③④⑥⑦⑧是方程；（2）②2x＞3是不等式，不是方程；（3）⑤3x﹣2不是等式，就不是方程．故有6个式子是方程．故选：D．2.x＝﹣4是关于x的方程ax﹣1＝7的解，则a＝﹣．【解答】解：根据题意将x＝﹣4代入方程可得：﹣4a﹣1＝7解得：a＝﹣2故填：﹣2．3.已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求：（1）m的值；（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．【解答】解：（1）依题意有|m|﹣4＝1且m+5≠0，解之得m＝5，故m＝5；（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）＝12m﹣3﹣6m﹣4＝6m﹣7，当m＝5时，原式＝6×5﹣7＝23．4.已知数组：，，，…记第一个数为a1，第二个数为a2，第n个数为a n，若a n是方程＝1的解，则n等于．【解答】解：＝1，两边同乘以6得：3+9x﹣2x+2＝6，解得：x＝，∴a n＝，分析数列如下：（分母为1时，1个数），，（分母为2时，3个数）以此类推，分母为3时，有5个数，分母为4时，有7个数，分母为5时，有9个数，分母为6时，有11个数，前面所有分数个数为1+3+5+7+9+11＝36，分母为7时，有13个数，第37个数和49个数都是．故n＝37或49．故答案为：37或49．5.下列运用等式的性质，变形正确的是（）A．若x2＝6x，则x＝6 B．若2x＝2a﹣b，则x＝a﹣bC．若a＝b，则ac＝bc D．若3x＝2，则【解答】解：A、x＝0时，两边都除以x无意义，故A错误；B、两边都除以2，得x＝a﹣，故B错误；C、两边都乘以c，得ac＝bc，故C正确；D、两边都除以3，得x＝，故D错误；故选：C．课后巩固易1.下列方程中为一元一次方程的是（）A．2x+3＝0 B．2x+y＝3 C．x2+x＝3 D．x﹣＝3【解答】解：根据题意得：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，即A项正确，B．属于二元一次方程，不符合一元一次方程的定义，即B项错误，C．属于一元二次方程，不符合一元一次方程的定义，即C项错误，D．属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，即D项错误，故选：A．2.已知x＝是方程6（2x+m）＝3m+2的解，则m为．【解答】解：把x＝代入方程得：6（1+m）＝3m+2，去括号得：6+6m＝3m+2，解得：m＝﹣，故答案为：﹣3.下列所给条件，不能列出方程的是（）A．某数比它的平方小6B．某数加上3，再乘以2等于14C．某数与它的的差D．某数的3倍与7的和等于29【解答】解：设某数为x，A、x2﹣x＝6，是方程，故本选项错误；B、2（x+3）＝14，是方程，故本选项错误；C、x﹣x，不是方程，故本选项正确；D、3x+7＝29，是方程，故本选项错误．故选：C．4.根据等式的基本性质，下列结论正确的是（）A．若x＝y，则B．若2x＝y，则6x＝yC．若ax＝2，则x＝D．若x＝y，则x﹣z＝y﹣z【解答】解：A、当z＝0时，等式不成立，故本选项错误．B、2x＝y的两边同时乘以3，等式才成立，即6x＝3y，故本选项错误．C、ax＝2的两边同时除以a，等式仍成立，即x＝，故本选项错误．D、x＝y的两边同时减去z，等式仍成立，即x﹣z＝y﹣z，故本选项正确．故选：D．5.已知关于x方程x﹣2（x﹣a）＝3的解为x＝﹣1，则a的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：把x＝﹣1代入方程x﹣2（x﹣a）＝3得：﹣1﹣2（﹣1﹣a）＝3，去括号得：﹣1+2+2a＝3，移项得：2a＝3+1﹣2，合并同类项得：2a＝2，系数化为1得：a＝1，故选：A．6.写出一个解为x＝3的方程：．【解答】解：∵方程的解为x＝3，∴方程为x﹣3＝0，故答案为：x﹣3＝0（答案不唯一）．7.下列方程中，解是x＝4的是（）A．3x+1＝11 B．﹣2x﹣4＝0 C．3x﹣8＝4 D．4x＝1【解答】解：解是x＝4的方程是3x﹣8＝4，故选：C．8.下列方程中是一元一次方程的是（）A．x﹣2y＝0 B．C．x2﹣4x＝3 D．x﹣2＝【解答】解：A．属于二元一次方程，不符合一元一次方程的定义，即A项错误，B．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，即B项正确，C．属于一元二次方程，不符合一元一次方程的定义，即C项错误，D．属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，即D项错误，故选：B．中1.下列各式中，是方程的是（）A．7x﹣4＝3x B．4x﹣6 C．4+3＝7 D．2x＜5【解答】解：A、7x﹣4＝3x是方程；B、4x﹣6不是等式，不是方程；C、4+3＝7没有未知数，不是方程；D、2x＜5不是等式，不是方程；故选：A．2.在①2x﹣1；②2x+1＝3x；③|π﹣3|＝π﹣3；④t+1＝3中，等式有，方程有．（填入式子的序号）【解答】解：等式有②③④，方程有②④．故答案为：②③④，②④．3.整式mx+2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣mx﹣2n＝2的解为（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．无法计算【解答】解：∵﹣mx﹣2n＝2，∴mx+2n＝﹣2，根据表可以得到当x＝0时，mx+2n＝﹣2，即﹣mx﹣2n＝2．故选：C．4.若x＝1是方程ax+3x＝2的解，则a的值是（）A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5【解答】解：把x＝1代入原方程得：a+3＝2解得：a＝﹣1故选：A．5.一列方程如下排列：＝1的解是x＝2，＝1的解是x＝3，＝1的解是x＝4，…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：．【解答】解：由一列方程如下排列：＝1的解是x＝2，＝1的解是x＝3，＝1的解是x＝4，得第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，解是x＝2017的方程：+＝1，故答案为：+＝1．6.已知等式3m＝2n+5，则下列等式中不成立的是（）A．3m﹣5＝2n B．3m+1＝2n+6 C．3m+2＝2n+2 D．3m﹣10＝2n﹣5【解答】解：A．方程两边都减去5即可得3m﹣5＝2n，此选项正确；B．方程两边都加上1可得3m+1＝2n+6，此选项正确；C．方程两边都加上2得3m+2＝2n+7，此选项错误；D．方程两边都减去10可得3m﹣10＝2n﹣5，此选项正确；故选：C．7.若3a＝2b，下列各式进行的变形中，不正确的是（）A．3a+1＝2b+1 B．3a﹣1＝2b﹣1 C．9a＝4b D．﹣＝﹣【解答】解：A、∵3a＝2b，∴3a+1＝2b+1，正确，不合题意；B、∵3a＝2b，∴3a﹣1＝2b﹣1，正确，不合题意；C、∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；D、∵3a＝2b，∴﹣＝﹣，正确，不合题意；故选：C．难1.下列方程的根是x＝1的是（）A．B．C．﹣5x＝5 D．2（x+1）＝0【解答】解：（法一）把x＝1代入各个方程，只有选项A的左边等于右边．故选：A法（二）因为，去分母，得x﹣1＝0解得x＝1所以x＝1是A中方程的根；因为＝﹣1，解得x＝﹣1所以x＝1不是选项B中方程的根；因为﹣5x＝﹣5，解得x＝﹣1所以x＝1不是选项C中方程的根；因为2（x+1）＝0，解得x＝﹣1所以x＝1不是选项D中方程的根．故选：A．2.已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是；…，小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．（1）关于x的方程的两个解是x1＝和x2＝；（2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？【解答】解：（1）根据猜想的结论，则x1＝11，x2＝；（2）原方程可以变形为x﹣1+＝11+，则x﹣1＝11，x﹣1＝．则x1＝12，x2＝．3.用等式的性质解方程：①﹣x＝4②2x＝5x﹣6．【解答】解：①﹣x＝4，x＝﹣8；②2x＝5x﹣6，2x﹣5x＝﹣6，﹣3x＝﹣6，x＝2．4.如果﹣5x+6＝1﹣6x，那么x＝，根据．【解答】解：根据等式的基本性质1，﹣5x+6＝1﹣6x两边同加6x，得x+6＝1，根据等式性质1，等式两边同减去6，可得x＝﹣5．5.方程（a﹣4）x|a﹣2|+x﹣4＝0是关于x的一元一次方程，则a＝．【解答】解：∵方程（a﹣4）x|a﹣2|+x﹣4＝0是关于x的一元一次方程，当|a﹣2|＝1时，方程可整理为（a﹣3）x﹣4＝0，所以|a﹣2|＝1且a﹣3≠0解得a＝1．当a﹣4＝0即a＝4时，方程（a﹣4）x|a﹣2|+x﹣4＝0为x﹣4＝0是关于x的一元一次方程；当a＝2时，方程（a﹣4）x|a﹣2|+x﹣4＝0为x﹣6＝0是关于x的一元一次方程．故答案为：1或2或46.已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【解答】解：（1）依题意有|m+4|＝1且m+3≠0，解之得m＝﹣5，故m＝﹣5；（2）当m＝﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）＝﹣6m+7＝﹣6×（﹣5）+7＝37．7.已知关于x的一元一次方程3kx+k＝8的解是x＝1，求k的值．【解答】解：把x＝1代入原方程得：3k+k＝8解得：k＝2．∴k的值为2．8.如果y＝3是方程2+（m﹣y）＝2y的解，那么关于x的方程2mx＝（m+1）（3x﹣5）的解是多少？【解答】解：当y＝3时，2+m﹣3＝6，解得：m＝7，将m＝7代入方程2mx＝（m+1）（3x﹣5）得：14x＝8（3x﹣5）即14x＝24x﹣40，解得：x＝4．。
(完整版)一元一次方程的解法PPT课件
2345 + 12x = 5129.
①
利用等式的性质，在方程①两边都减去2345，
得
2345+12x-2345= 5129-2345，
即
12x=2784.
②
方程②两边都除以12，得x=232 .
因此，热气球在后12h飞行的平均速度为232 km/h.
我们把求方程的解的过程叫做解方程. 在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程① 两边都减去2345，相当于作了如下变形：
-22334455 + 12x = 5129
从变形前后的两个方程可以看出，这种变形， 就是把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边 移到另一边，我们把这种变形叫做移项.
必须牢记：移项要变号.
在解方程时，我们通过移项，把方程中含未知 数的项移到等号的一边，把不含未知数的项移到等 号的另一边．
例1 解下列方程：
解方程
应改为 4 x +6 =2+x 2(2x+3)=2+x
解 去括号，得 4x+3=2+x 应改为 4 x – x = 2-6
移项，得 4x +x = 2-3
化简，得
5x = -1
应改为 3x =-4
方程两边都除以5 ，得
方程两边都除以3，得
x
=
-
1 5
应改为
x
=
-4 3
2. 解下列方程.
（1） (4y+8)+2(3y-7)= 0 ； （2） 2(2x -1)-2(4x+3)= 7； （3） 3(x -4)= 4x-1.
y
；
（2）
5
+3x 2
c1第八讲一元一次不等式的解法
第八讲：一元一次不等式的解法1、 回头望月（1）不等式的性质（2）在数轴上表示解集例1、当a 时，(2)2a x ->的解为12x <-例2、不等式027≥-x 的正整数解有（ ）A 、１个B 、２个C 、３个D 、无数个例3、若x x -=-44，则x 的取值范围是（ ）A 、4x <B 、4≤xC 、4x >D 、4≥x例4、例2将下列不等式的解集在数轴上表示出来：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（ ）2、一元一次不等式（1）定义（2）解法例5、 （2009年长春）不等式260x -<的解集是（ ）A ．3x >B ．3x <C ．3x >-D ．3x <- 例6、（2009年北京市） 不等式325x +≥的解集是________例7（2009年吉林省）解不等式23x x >-；并把解集表示在数轴上例8、（2009年莆田）一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为__________克．例9、不等式3x +15>-5x -9的非正数解例10、（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 例11、解不等式--412x 1625-≤+x例12、0.40.210.20.5x x +->-例13、若不等式的解集为，则的取值范围是__________。
（3）一元一次方程与一元一次不等式的解法对比3、典型练习（1）如果关于x 的方程2435x ax b++=的解不是负数，那么a 与b 的关系是（）A 、35a b >B 、35b a ≥ C 、53a b = D 、53a b >（2）已知方程组21321x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足0xy +<，求m 的取值范围（3）x 取什么值时，代数式134x --的值不小于3(1)28x ++的值（4）已知关于x 的方程2233x m x x ---=的解是非负数。
解一元一次方程课件PPT
难度适中原则
根据学生实际水平，设置不同难 度的例题，以满足不同层次学生
的需求。
循序渐进原则
按照知识点难易程度，逐步增加 例题的复杂性和难度，帮助学生
逐步提升解题能力。
学生自主解答环节设计
独立思考
鼓励学生独立思考，自主分析问题，寻找解题思 路。
小组讨论
组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路和方 法，拓展思维。
确定未知数的系数、将系数化为1、 求解化简后的方程。
03 实际应用问题建模
实际问题背景引入
商品打折销售
商店进行打折活动，原价与折扣 后价格的关系。
路程时间速度
物体运动中路程、时间和速度之间 的关系。
配套问题
不同物品之间的数量关系，如螺钉 和螺母等。
建立数学模型过程展示
定义变量
根据实际问题，选择合适 的未知数表示相关量。
下节课预告
提前预告下节课的教学内容，使学生 对学习有持续性和预见性。
作业布置
针对本节课的知识点，布置适当的练 习题，帮助学生巩固所学知识。
1.谢谢聆 听
方程解的应用
总结方程解在实际问题中的应用，如速度、时间、距离等问 题，强化方程解的实际意义。
学生自我评价报告收集
学生对本节课的掌握情况
收集学生对本节课知识点掌握情况的自我评价报告，便于教师了解学生的学习状况。
学生遇到的困难与问题
征集学生在学习过程中遇到的困难和问题，为下节课的教学提供参考。
下节课预告及作业布置
步骤
选定要移动的项、改变移 动项的符号、求解移动后 的方程。
示例
对于方程5x - 3 = 7，将3移至等号右侧得5x = 7 + 3，解得x = 2。
第三章第7-8课时 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
____________1_6_x_=_7_______________． 系数__化__为__1_，__得___x__1_76________________．
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变式练习
3．解方程: 3x 2 1 2x 1 2x 1
2
4
5
提示：10(3x+2)-20=5(2x-1)-4(2x+1) x 9 28
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变式练习
1．某中学组织团员到校外参加义务植树活动， 一部分团员骑自行车先走，速度为 9 km/h，40 分钟后其余团员乘汽车出发，速度为 45 km/h， 结果他们同时到达目的地，则目的地距学校多 少千米？ 解：设目的地距学校x km.
根据题意，得 x x 40 . 解得x=7.5. 9 45 60
解：设每小时要骑x km. 根据题意，得（10-9）x=7.5×（10-8）. 解得x=15. 答：每小时要骑15 km.
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巩固提高
6．甲列车从A地开往B地，速度是60 km/h，乙 列车同时从B地开往A地，速度是90 km/h．已知 A，B两地相距200 km，两车相遇的地方离A地多 远？
十位与个位上的数的和是这个两位数的 1 , 求 5
这个两位数．
解：设个位上的数字为x,则十位上的数字为(x-1)
列方程，得 x (x 1) 1 10(x 1) x
5
去分母，得5(2x-1)=10(x-1)+x. 去括号，得10x-5=10x-10+x. 移项合并，得x=5. 10(x-1)+x=45. 答：这个两位数为45. Page 10
10
5
解：去分母，得 ____5_(_3_x_+_1_)-_1_0_×__2_=_(3__x-_2_)_-2_(_2_x_+_3_)___．
数学竞赛专题讲座七年级第8讲绝对值与一元一次方程(含答案)
第八讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．例题讲解【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题)思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．链接：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ； (天津市竞赛题)思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如e d c b ax =+++的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如d cx b ax +=+的方程求解．【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．【例6】方程431=-++x x 的整数解有（ ）．A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．基础训练一、基础夯实1.方程3(│x │-1)= ||5x +1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.4.关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C. 23D.不存在 6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m 的值是( ). A.10或25 B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题) 8.若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程│││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值. (“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.答案：1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.提高训练1．若方程32100210021002=-x 的解分别是1x 、2x ，则21x x +=______．（希望杯邀请赛试题）2．方程11213=++--x x x 的解是______． （希望杯邀请赛试题）3．已知：有理数x 、y 、z 满足0<xy ，0>yz ，并且3=x ，2=y ，21=+z ，则z y x ++=______． (北京市迎春杯竞赛题)4．已知13+=x x ，则=++20092)94864(x x ________． （广东省竞赛题）5．方程133=+-x x 的解是_________． （山东省竞赛题）6．满足方程123422-=--x x 的所有解的和为______． (新加坡竞赛题)7．若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程a x x =-++11有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0≥aB ．0>aC ．1≥aD ．2≥a （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、b 0(≠a ，)1≠a ，有a ⊕b =a a b a -+220042003，已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）。
人教版七年级数学讲义 第8节 含字母系数的一元一次方程
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．【例1】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵【巩固】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵； ⑶【例2】（1）x=2是方程2x+a-9=0的解，则a 的值是 。
（2）已知方程2（x+1）=3(x-1)的解为x=a+2,则a 的值是 。
x ax b =xn c m=+y 21y ax -=xm n y-=0ay b c -+=模块一 参数模块二 同解方程含字母系数的一元一次方程知识精讲典型例题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【例3】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同． 解析：法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-.法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解， 把解代入另一个方程．【例4】（1）已知方程3（x-1）=4x-5与关于x 的方程2x+a-9=0的解相同，求a 的值。
（2）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-9=0的解相同，求a 的值（3）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-2=0的解互为相反数，求a 的值知识精讲典型例题（4）已知关于x 的方程3（x-1）=4x-a 的解比方程2x+a-9=0的解大2，求a 的值【例5】若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．⑴当时，，原方程有唯一解； ⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解； ⑶当且时，原方程无解．分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式， 所得结果仍是等式．若，则，． ax b =a b 0a ≠bx a=0a =0b =0a =0b ≠a b =am bm =a bm m=(0)m ≠模块三 解含参的一元一次方程知识精讲能力提升由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。
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第8讲 解一元一次方程
知识点1 解一元一次方程-移项与合并同类项
移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
通过合并同类项，含有未知数的项与常数项分别合并为一项。
【典例】
1.对于类型的一元一次方程，移项与合并同类项得（ ）
A. （a-c ）x=d-b
B. （a-c ）x=b-d
C. （a+c ）x=b+d
D. （a-c ）x=b+d 【方法总结】
一般含未知数的项移到等式的左边，不含未知数的项移到等式的右边；移项时要注意变号。
【随堂练习】
1．（2018•城中区模拟）下列变形中：
①由方程=2去分母，得x ﹣12=10；
②由方程x=两边同除以，得x=1；
③由方程6x ﹣4=x+4移项，得7x=0；
④由方程2﹣两边同乘以6，得12﹣x ﹣5=3（x+3）．
错误变形的个数是（ ）个．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．（2017秋•南岸区期末）解方程﹣3x+4=x ﹣8，下列移项正确的是（ ）
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
解一元一次方程一元一次方程的解解一元一次方程同解方程
绝对值方程“”ax b cx d +=+
A ．﹣3x ﹣x=﹣8﹣4
B ．﹣3x ﹣x=﹣8+4
C ．﹣3x+x=﹣8﹣4
D ．﹣3x+x=﹣
8+4 3．（2017秋•甘井子区期末）解一元一次方程3x+7=32﹣2x ，移项正确的是（ ）
A ．3x+2x=32﹣7
B ．3x+2x=32+7
C ．3x ﹣2x=32﹣7
D ．3x ﹣2x=32+7
知识点2 解一元一次方程-去括号
1、去括号法则：
（1）如果括号外是“+”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
（2）如果括号外是“﹣”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
2、解一元一次方程的基本思路是：通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程“转化”为（为常数）的形式．
【典例】
1.解方程： 【方法总结】
1、去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
2、一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
3、注意不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
【随堂练习】
1．（2018•武汉模拟）解方程：4（x ﹣2）﹣1=3（x ﹣1）
x a =a 341138143242
x x ⎡⎤⎛⎫--=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
2．（2017秋•延边州期末）解下列方程：2（x ﹣1）﹣3（x+2）=12．
知识点3 解一元一次方程-去分母
去分母是指等式两边同时乘以分母的最小公倍数。
【典例】
1.解方程：
（1） （2） 【方法总结】
1、去分母时，不要漏乘没有分母的项；
2、如果分子是一个多项式要把分子作为一个整体，加上括号
3、当分母是小数时，通常利用“等式的性质”或“把分子和分母扩大相同的倍数”，将小数化为整数
【随堂练习】
1．（2018春•新泰市期末）把方程
的分母化为整数，以下变形正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2017秋•嘉祥县期末）解方程：
（1）
﹣=1 （2）
﹣=0.5
111157523
x x +=
-（）（-）0.30.70.20.310.60.8x x +--=
3．（2017秋•和平区期末）解下列方程：
（1）x+
=6﹣； （2）
﹣=．
知识点4 一元一次方程的解
一元一次方程的解：能够使一元一次方程左右两边相等的未知数的值
【典例】
1.下面是一个被墨水污染过的一元一次方程：2x ﹣=x ﹣，答案显示此方程的解是
，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数为_______ 【方法总结】 一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等。
2.已知为正整数，关于x 的方程的解为整数，则的最小值为______ 【方法总结】
对于整数解问题
1、将一元一次方程转化为（为常数，且）的形式，
2、根据方程解和字母系数的取值范围，分类讨论方程的解和字母系数的个数
3、检验求出的解和字母系数是否符合要求
4、熟练区分正整数、负整数、非负数、非正数、非负整数、非正整数等。
【随堂练习】
1．（2018•富阳区一模）七年级一班的马虎同学在解关于x 的方程3a ﹣x=13时，误将﹣x 看成+x ，得方程的解x=﹣2，则原方程正确的解为（ ）
121253
x =a 344125
x a x -=+a b x a
=a b ，0a ≠
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
2．（2018•龙岩二模）已知k=
，则满足k 为整数的所有整数x 的和是（ ） A ．﹣1 B ．0
C ．1
D ．2
知识点5 同解方程
两个或多个方程的解相同，则可称为同解方程
【典例】
1.若关于的方程与方程的解相同，则的值为___ 【方法总结】
要判断两个方程的解相同，可以先解一下各个方程，然后进行判断．
【随堂练习】
1．（2018春•安岳县期末）若方程3（2x ﹣1）=3x 的解与关于x 的方程6﹣2a=2（x+3）的解相同，则a 的值为（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．1
D ．﹣1
2．（2018春•南关区校级月考）已知方程2﹣
=+3﹣x 与方程4﹣=3k ﹣
的解相同，则k 的值为（ ） A ．0
B ．2
C ．1
D ．﹣1
知识点6 含绝对值符号的一元一次方程
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论。
【典例】
1.关于x 的方程的解为______ x 1236x x -+=-2224334
kx x k +--=-k ||32||4x x -+=
【方法总结】
形如型的绝对值方程的解法：
① 根据绝对值的非负性可知；
② 取绝对值，分类讨论，得到：和；
③ 分别解方程和；
④ 将求得的解代入检验，舍去不合条件的解．
【随堂练习】
1．（2018春•南安市期中）方程|2x+1|=7的解是（ ）
A ．x=3
B ．x=3或x=﹣3
C ．x=3或x=﹣4
D ．x=﹣4
2．（2018春•武昌区期末）如果|x ﹣3|﹣3+x=0，那么x 的取值范围是_____．
3．（2018春•金牛区校级月考）方程|5x+6|=6x ﹣5的解是_____ ．
综合集训
1.下列方程的变形中正确的是________.
① 由x+5=6x ﹣7得x ﹣6x=7﹣5
② 由﹣2（x ﹣1）=3得﹣2x ﹣2=3
③ 由
得 ④ 由得2x=﹣12
2.研究下面解方程的过程 去分母，得 1+4﹙2x ﹣3﹚=5x ﹣1﹣3x ①
()0ax b cx d ac +=+≠0cx d +≥ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+ax b cx d +=+()ax b cx d +=-+0cx d +≥310.7x -=1030107
x -=139322x x +=--12313205420
x x x --+=-
去括号，得 1+8x ﹣12=2x ﹣1 ②
移项，得 8x ﹣2x=﹣1﹣1+12 ③
合并同类项，得6x=10 ④
系数化为1，得
⑤ 对于上面的解法，你认为从第_______步出现错误。
3.已知关于x 的方程的解满足，则的值是________.
4.解方程：
5.小明星期天在家里做作业，不小心将方程中的数字蘸上墨汁，看不清原来的方程，但他知道这两处的数字是相同的，且这个方程的解与方程 也是相同的．你能够知道被墨汁蘸上的数字是多少吗？
6.当为何值时，关于x 的方程的解为正整数？
7.解下列一元一次方程
（1）
； （2）． （3） （4） （5） （6） 53x =22mx m x +=（-）
||1102
x =--m ||2315x =--1432
x x +-=■■--1132x x --=a ()216ax a x =++42152
x x x +--=+0.10.2130.020.5x x -+-=0.40.90.10.50.030.020.50.20.03
x x x +-+-=421323
324x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111246819753x ⎧⎫⎡+⎤⎛⎫+++=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭
11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。