2012届高考数学(文)一轮复习课件21三角函数的性质(人教A版)
高考数学(文通用)一轮复习课件：第三章第5讲三角函数的图象与性质
第三章三角函数、解三角形第5讲三角函数的图象与性质教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知识梳理Aj=sinxJ =COSXj=tanxJT2k盘 ----2JJI2k Jt H—,L 23Ji"2— H——2」仇wz)为减[2 吃7T, 2航+兀]仗WZ)为减;\2kn—n92kn\(k^Z)为（一-于,仇GZ）为增2.学会求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为j=Asin(ft>x+ (p)的形式，通过分析亦+卩的范围，结合图象写出函数的值域;(2)换元法：把sin x(cos劝看作一个整体，化为二次函数来解决.双基自测1. （2015•高考四川卷）下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是（A.j=sin(2x+—B.j=cos^2r+~C.y= sin 2x+ cos 2xD.y= sin x+ cos xC 项，y=sin 2x+cos 2x=\/2sin^2x+—为非奇非偶函数，不符合题意；ink+于)最小正周期为2兀， 为非奇非偶函数，不符合题意.( JIj=sin|2x+- 为偶函数，不符合题意；解析：A 项,= cos 2x,最小正周期为n ,且y= cos^2r+_j= —sin 2x,最小正周期为 函数，符合题意；B 项, 1=/兀，且为奇，最小正周期为皿,D 项，j=sin x+ cos兀B. x=——33 x=-兀4解析：由题意得 f(x)= 2cos 2^x+~J= 2sin 2x= 1— cos 2x,函 数图象的对称轴方程为尸竺kEZ,故选D.2A • x~—4 C. 71故函数/（对=$中一了丿在区间［o,于］±的最小值为一申.3・函数/(x) = sin上的最小值为A. -1B. -申C 誓 D. 0解析：由已知xG 0, 兀 8二討得加-2兀 -eJI2在区间o,兀4所以14.（必修4 P40 练习1X2）改编）函数/（x） = 4-2cos -x, xE32,取得最小值时，X的取值集合为R的最小值是—{x\x=6kn9 kEL}（JT JI \5.（必修4 P44例6改编）函数j=tan|^-x—yJ的最小正周期是—，单调增区间是G+"扌+2”（疋牛典例剖析▼考点突破*名师导悟以例说法考点一三角函数的定义域和值域^§例1 (1)函数y= lg(2sin x—1)+*\/1 —2cosx的定义域是" 兀5兀、2k Ji +—, 2k 乳—]9 ZL 3 6 丿______ .3(2)函数j=cos 2x+ 2sin x的最大值为—132'［解析］⑴要使函数丿=lg(2sinx —1)+^/1—2cos 兀有意义,sin ,■ “Ji 5 n解得 2k Ji +_^x<2^ Ji +飞-，kEL.即函数的定义域为卜—+专，2—+寻)kE 乙3i 3所以当/=扌时，函数取得最大值字2sinx —1>0, 即1—2cosx^0, cosxWq.+WWl),(2)y=cos 2x+2sin x= —2sin 2x+2sin x+1,设 f=sin x(—12Q互动探光本例(2)变为函数y = cos 2x+ 4sin5的最大值为 _________解析：j=cos 2x+4sin x= — 2sin2x+ 4sin 兀+1,设t=sin中冬怎*),则原函数可以化为y=~li +4(+1= —2(1—1『+3,所以当1=扌时，函数取得最大值丰.⑴三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求.②把所给的三角函数式变换成y=Asin(cox+^的形式求值域.③把sin兀或cos兀看作一个整体，转换成二次函数求值域・④利用sin兀土cos兀和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.壘踪i噬1・(1)函数y= /2+logjx + \/tanx的定义域为r i V 2jxIOVxV亍或Ji WxW4 »____________________________ ■7(2)函数y= (4— 3sin x)(4— 3cos兀)的最小值为xIOVxV 亍或 n4j.解析：⑴要使函数有意义, 厂2+10即亠0,2JIx^kn T —, I 2—o -------- o ——0 ?利用数轴可得函数的定义域是x>0, tan x^O, k 兀 WxVkii T 扌WZ)・-<—e---------(2)j = 16— 12(sin x+ cos x)+ 9sin xcos x,令Z=sinx+cosx,贝!1[—\[29 ^2],且sinxcosx=-------------------2『一1 ]所以y=16- 12Z+9X --------- =一(9,一24/+23)・2 2• 4 7故当时，Jmin = --考点二三角函数的奇偶性、周期性及对称性典例2 (1)(2014-高考课标全国卷I )在函数®j= cos 12x1,®y = Icos xl, (3)j=cos^x, (4)j= tan(2x—^中，最小正周期为n的所有函数为(C )A.②④C.①②③B.①③④D.①③（2）（2016-河北省五校联盟质量监测）下列函数中最小正周期为兀且图象关于直线兀=£■对称的函数是（B）［解析］⑴①yKOsMFOslx, 1- •②由图象知，函数的周期r= 31・③*兀・兀④丁=亍综上可知，最小正周期为询所有函数为①②③.⑵由函数的最小正周期为兀，可排除C •由函数图象关于直JT线*=〒对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对选B.（i ）三角函数的奇偶性的判断技巧于 A,因为 sin^2Xy+确・对于D, sinl2X ---------33 f) ( Tl JI 、 对于 B, sin|2X-——J=_：. =sin Ji =0,所以选项A 不正 =si 可羊所以D 不正确, 兀=sinT =h所以选项B 正确，故首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象进行判断.（2）求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义.②利用公式：y=Asin（cox+（p）和y =Acos（cyx+°）的最小正周2兀JT期为面，y=tan（cox+（/））.③利用图象.(3)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.［注意］判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称.MISS] 2.(1)(2016-西安地区八校联考)若函数j = cos(ex+〒j(cyEN*)图象的一个对称中心是匕，0J,则co 的最小值为(A. 1B. 2C. 4D.（2）（2016•揭阳模拟）当心了时，函数/（gin（十）取得最小值，则函数)A.是奇函数且图象关于点仔，0）对称B.是偶函数且图象关于点（兀，0）对称C.是奇函数且图象关于直线兀=于对称D.是偶函数且图象关于直线兀=兀对称，■一JI 6； JI JI解析：(1 --------- 1=kJi ---------- (k £ Z)=>(o = 6k+ 2(kE：Z)=>(o6 6 2min =2Jl⑵因为当x=丁时，函数几兀)取得最小值，4所以sin&+J = —1,所以0=2反兀一普"(kEZ).所以/(x)=sin(+2“ 一冷9=sin|x J(k W Z).所以y=^~~x.=sin(—x)= —sin x.e 兀、JI 所以尸x)是奇函数，且图象关于直线兀=亍对称•考点三三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题.高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；⑵已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值);(4)利用三角函数的单调性比较大小.⑴求心）的最小正周期和最大值;⑵讨论心）在［十，牛］ 上的单调性.• sin （2015•高考重庆卷）已知函数几兀）=os 2x.［解］(l)Ax)=sin 仔一Jsin x —A /§C =cos xsinx — 2 (H~cos 2x)1・，© o 並=-sm 2x — cos 2x —因此冷）的最小正周期为兀，最大值为2苫.os 2x（2）当兀丘［于，牛］时'0W2x —于W 兀，从而当弓^加一7~Wn,即弓时，/（兀）单调递减. Z Q 丄/ J调递减•J fl _ 7 y \ TL1 lz\ A A J KX& M n I y-Z z 产〒 r^Q^i 0« h P <Jlu tz 二\ J nf r/7 J? ryj n r^z^C 77 f r三角函数单调性问题解题策略.兀 兀 当0»亍亏, JI 5 JT . 即訐Tr 时' 的单调递增, 综上可知，几r ）在单调递增; 刊上单(1)已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律"同增异减”：②求形如j=Asin(ft)x+^)或y=Acos(ov +卩)(其中少＞0)的单调区间时，要视“ov+卩”为一个整体, 通过解不等式求解.但如果evO,那么一定先借助诱导公式将少化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.⑶利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如j=Asin(ft>x +°)+〃或可化为y=4sin@v+°)+〃的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.通关练习3.(1)已知函数/(x)=2sinC+亍) ，则a9 b9 c的大小关系是(BB. c<a<bD. b<c<aA. a<c<bC. b<a<c减，则 少的取值范围是（A54-(2)已知 ft»O,函数 f(x)=sirA. 12-D. (0, 2]10 —n 21兀因为j=sinx 在0,—上递增,——= 2sin 解：⑴选Ra兀= 2sin所以c<a<b.6>>0,JlJTJIH < 3X ---- < 3 兀 H - ,44 4G JI 3131〒+亡'313 JI3 JI H —W —4 2又 j=sinx所以6) JI3 31"T解得詳。
高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第二节三角函数的图象与性质课件文新人教A版
答案
左
π 3
高考AB卷
学法大视野
知识点三 求三角函数的解析式
1.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－2 m， b＝M＋2 m. (2)求 ω，确定函数的周期 T，则可得 ω＝2Tπ . (3)求 φ，常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω ，b 已知) 或代入曲线与直线 y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升 区间上还是在下降区间上).
高考AB卷
学法大视野
②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点 为突破口.具体方法如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时，ω x＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)时，ω x＋φ＝π2 ； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时，ω x＋φ＝π ；
“第四点”(即图象的“谷点”)时，ω x＋φ＝3π2 ； “第五点”时，ω x＋φ＝2π .
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 .
(3)函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 及函数 y＝Acos(ωx＋φ)， x∈R(其中 A、ω、φ 为常数，且 A≠0，ω ＞0)的周期
高考AB卷
学法大视野
知识点二 五点法作图与图象变换
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π ]的图象中，五个关键点是：
(0，0)，π2 ，1，(π ，0)，
3π 2
,
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第21讲三角函数的性质
答案：A
4．已知函数 f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则 f(x)是( A．最小正周期为 π 的奇函数 π B．最小正周期为 的奇函数 2 C．最小正周期为 π 的偶函数 π D．最小正周期为 的偶函数 2
)
1 2 解 析 ： ∵ f(x) ＝ (1 ＋ cos2x)sin x ＝ 2cos xsin x ＝ sin 2x ＝ 2
2
1 ∴y≤ 或 y≥1. 3 1 cosx 的值域为(－∞， ]∪[1，＋∞)． 故 y＝ 3 2cosx＋1
2sinx(1－sin2x) (2)y＝ ， 1＋sinx ∵－1＜sinx≤1 时，
1 2 1 y＝2sinx(1－sinx)＝－2sinx－ ＋ . 2 2
1 ∴－4＜y≤ . 2 2sinxcos2x 1 故函数 y＝ 的值域为(－4， ]． 2 1＋sinx
1 sinx＞ 2 tanx≤－1 ⇒x π π 2＋8≠kπ＋ 2(k∈Z) π x≠kπ＋ (k∈Z) 2
如图(甲)利用单位圆得
π 5π 2kπ＋ 6＜x＜2kπ＋ 6 ， π 3π kπ＋ ＜x≤kπ＋ ， 2 4 x≠2kπ＋ 3π， 4
【典例 1】
lg(2sinx－1)＋ －tanx－1 (1)求函数 y＝ 的定义域； x π cos2＋8
2sinx－1＞0， －tanx－1≥0 x π [解析] (1)要使函数有意义，则cos ＋ ≠0 2 8 π x≠kπ＋ (k∈Z) 2
【典例 3】
判断下列函数的奇偶性．
(1)y＝ 2sin2x；(2)y＝ sinx－1； (3)y＝ cosx－1＋ 1－cosx；
1 2k＋1 x＋ (4)f(x)＝sin π (k∈Z)． 2 5
【人教A版】2012高三数学理全套解析一轮复习课件3-3三角函数的图象与性质
4．设函数 f(x)＝A＋Bsinx，若 B<0 时，f(x)的最大值是32，最
小值是－12，则 A＝________，B＝________.
解析：根据题意，由AA＋－BB＝＝－32，12.
可得A＝12， B＝－1.
答案：12，－1
5．比较大小：sin(－1π8)________sin(－1π0)． 解析：因为 y＝sinx 在[－π2，0]上为增函数且－1π8>－1π0，故 sin(－1π8)>sin(－1π0)． 答案：>
提醒：换元后注意新元的范围．
[例 2] (1)求函数 y＝acosx＋b 的最大值和最小值； (2)求函数 y＝2sin(2x＋π3)(－π6<x<π6)的值域； (3)求函数 y＝2cos2x＋5sinx－4 的值域．
[思路探究] (1)由 cosx∈[－1,1]，分 a≥0 和 a<0 讨论． (2) －π6<x<π6 → 2x的范围 → 2x＋3π的范围 → sin(2x＋π3)的范围 → 2sin(2x＋π3)的范围 (3)设 sinx＝t∈[－1,1]，转化为二次函数在[－1,1]上的值域问 题．
[例 3] (1)若三角函数 y＝1－(sinx＋cosx)2，则该三角函数是
最 小 正 周 期 为 ________ 的 ________ 函 数 ( 第 二 个 空 填 “ 奇 ” 或
“偶”)．
(2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)满足 f(1)＝0，则
下列选项中正确的是( )
在(－π2＋kπ，π2＋
在[π2＋2kπ，32π＋ 在[2kπ，(2k＋1)π] kπ)上递增，k∈Z
高考数学一轮复习 34课时 三角函数的性质
上是增函数
B.
在区间
，
2
上是减函数
不会学会，会的做对.
243 千教万教，教人求真！千学万学，学做真人！
C.
在区间
8
， 4
上是增函数
D.
在区间
3
，5 6
上是减函数
Go the distance
16. （ 07 上海）函数 y sin x π sin x π 的最小正周期T 3 2
3. （ 08 全国Ⅰ文） y (sin x cos x)2 1是
A. 最小正周期为 2π 的偶函数 C. 最小正周期为 π 的偶函数
B. 最小正周期为 2π 的奇函数 D. 最小正周期为 π 的奇函数
4.（ 05 江西）设函数 f (x) sin 3x sin 3x ，则 f (x) 为
A. 周期函数，最小正周期为 2 3
2
2
(A 0, 0) 的单调增区间可由 2k x 2k 解出，单调减区间可由
2k x 2k 解出.
典例分析：
考点一 求三角函数的定义域、值域
问题1． 求下列函数的定义域:
1 求函数 y lg(2sin x 2) 1 2 cos x 的定义域； 2 f (x) 3 tan x .
C. 1
D. 1
14.
（
06
全国Ⅰ）函数
f
x
tan
x
4
的单调增区间为
A.
k
2
,
k
2
,
k
Z
B. k ,k 1 , k Z
C.
k
3 4
,
k
4
,
k
Z
D.
k
4
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 4三角函数的图象与性质课件
( ×)
（2）常数函数 = 是周期函数，它没有最小正周期.
( √ )
（3） = sin 是偶函数. ( √ )
（4）已知 = sin + 1， ∈ ，则的最大值为 + 1.
（5） = tan 的对称中心是 π, 0 ∈ .
所以函数的定义域为[−4, −π] ∪ [0, π].故选D.
)
D.[−4, −π] ∪ [0, π]
√
（2）【多选题】下列函数中，最大值满足 ≥ 1的是(
A. = 2sin 2 − 1
√
)
B. = 2sin − cos
√
C. = −sin2 + 4sin − 3
D. = cos tan
（3）若是函数 的一个周期，则( ∈ 且 ≠ 0)也是 的周期.
（4）周期函数的定义域是无限集.
2.关于奇偶性的常用结论
π
2
（1） = sin + ≠ 0 ,则 为偶函数⇔ = + π ∈ .
（2） = sin + ≠ 0 ,则 为奇函数⇔ = π ∈ .
该函数的最小正周期为 =
2π
2
.
=π .
（3）由图象变换规则，知 = sin −
1
2
π
3
周期的一半，即 = × 2π = π .
π
3
的最小正周期是 = sin −
π
3
的最小正
【点拨】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义.②利用公式
= sin + 和 = cos + 的最小正周期为
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件第4章第5节 函数y=Asin(ω+φ)的图象及三角函数的应用
知条件转化为三角函数解析式和图象,然后再根据数形结合思想研究函数
的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性).
1
上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)后,可得
2
π
再向左平移6 个单位长度得到
故 D 错误.
故选 A.
y=cos 4 +
π
6
=cos 4 +
2π
3
y=cos 4x,
≠sin +
π
3
,
(2)逆向考虑:y=sin
π
- 4
y=sin
y=sin +
的图象
2
+
π
12
的图象.
π
12
的图象
π
2
的部分
)
π
B.f(x)的图象关于点 , 0 对称
4
5π
π
C.f(x)在区间 − 12 , − 6 上是增函数
π
D.将 y=sin 2x 的图象向右平移3 个单位长度可以得到 f(x)的图象
π
π
(2)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) > 0, − ≤ ≤ 的图象上的一个最高点和
2
2
1
π
解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .
6
数据补充完整如下表
ωx+φ
0
12
x
Asin(ωx+φ)
2
3
0
π
7
12
5
函数解析式为 f(x)=5sin 2 −
0
π
6
3
2
2012届高考数学复习第33课时第四章三角函数-三角函数的性质(一)名师精品教案新人教A版
（3） y 1 sin x ． 3 cosx
解：由题意 1 sin x 0 ，
∴ y 2sin x(1 sin 2 x) 2sin x(1 sin x) 1 sin x
2(sin x 1 )2 1 ， 22
∵1
sin x
1 ，∴ sin x
1
时，
2
y max
1 ，但 sin x
2
1，∴ y
4，
∴原函数的值域为
3 ，∴ k
xk 2
(k Z)． 3
∴ f (x) 的定义域为 (k
,k
]( k Z ) ．
2
3
（2）∵
2
1 sin x 1 ，∴ x R ．即 f ( x) 的定义域为 R ． 2
1
2cos x 1 0
cos x
2
lg(tan x 1) 0
tan x 0
（3）由已知 tan x 1 0
，得
tan x 1
0 ）．
y Af ( x ) （其中 f ( x) 为三角函数，
（三）例题分析： 例 1．求下列函数的定义域：
（1） f ( x)
3 tan x ；（ 2） f (x) tan(sin x) ；（ 3） f ( x)
2cos x 1
．
tan x 1
解：（ 1）由 3 tan x 0 ，得 tan x
四．教学过程：
（一）主要知识：
三角函数的定义域、值域及周期如下表：
函数
定义域
值域
周期
y sin x
R
[ 1,1]
2
y cosx
R
[ 1,1]
2
y tan x
高考数学一轮复习 三角函数的性质学案课件 新人教A版
考点突破
考纲解读
真题再现
考向预测
误区警示
考点 一
考点 二
考点 三
考点 四
课前热身
规律探究
即时巩固
课后拔高
2
考纲解读
3 返回
考向预测
4 返回
课前热身
5 返回
6 返回
7 返回
考点突破 考点 一
8 返回
9 返回
10 返回
11 返回
12 返回
13 返回
考点 二
60 返回
14 返回
15 返回
16 返回
17 返回
18 返回
考点 三
19 返回
20 返回
21 返回
22 返回
23 返回
考点 四
24 返回
28 返回
真题再现
29 返回
30 返回
31 返回
32 返回
误区警示
33 返回
规律探究
34 返回
即时巩固
35 返回
36 返回
37 返回
38 返回
39 返回
课后拔高
40 返回
41 返回
42 返回
43 返回
44 返回
45 返回
46 返回
47 返回
48 返回
49 返回
50 返回
51 返回
52 返回
53 返回
54 返回
55 返回
56 返回
57 返回
58 返回
59 返回
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
tanx,则一定有x≠kπ+
,k∈Z. 2
②求三角函数的定义域通常使用三角函数线､三角函数图象 或单位圆.
类型二
三角函数的值域及最值问题
解题准备:三角函数的值域及最值问题,实质上大多是含有三
角函数的复合函数的值域问题,常用的方法有:化为代数函
数的值域或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用 换元､配方等方法求解.
整数ω的最大值是(
)
A.5
答案:B
B.6
C.7
D.8
1 1 3.已知函数f x ( sinx cosx) | sinx cosx |, 则f x 的 2 2 值域是( ) A.[1,1] 2 B. ,1 2
2 2 C. 1, D. 1, 2 2
2 因为 1 sin2 x sinx , 所以x R 又f x lg(sinx 1 sin 2 x )
lg 1 sinx 1 sin 2 x
lg ( sinx 1 sin 2 x ) f ( x) 故此函数是奇函数.
[反思感悟]判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称 是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用.确定定义
5 原函数的单调递减区间为[k , k ](k Z). 12 12
解法二 :由已知函数为y sin 2 x , 欲求函数的单调 3 递减区间, 只需求y sin 2 x 的单调递增区间. 3
5 2k ≤2x ≤2k k Z , 解得k ≤x≤k 2 3 2 12 12 k Z . 5 原函数的单调递减区间为[k , k ](k Z). 12 12
【典例2】求下列函数的值域: (1)y=2cos2x+2cosx;
(2)y=sinx+cosx+sinxcosx. [分析]先将原函数式进行等价变形,利用|sinx|≤1,|cosx|≤1,但 要注意自变量的取值变化.
1 1 [解] 1 y 2cos 2 x 2cosx 2 cosx . 2 2 于是当且仅当cosx 1时得y max 4, 当且仅当 1 1 1 cosx 时得y min , 故函数值域为 , 4 . 2 2 2
三角函数的性质
1.正､余弦曲线的定义 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦
曲线.
2.周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的
每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.
非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所 有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 正弦函数､余弦函数都是周期函数,2kπ,k∈Z都是它们的周期,
答案:C
5 5.函数 y sin 2 x , x∈R是( 2
A.奇函数
)
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
5 解析 : y sin 2 x sin 2 x cos 2 x, 2 2 5 y sin 2 x 为偶函数. 2
性.
4.当函数定义域关于原点对称时,只需分析f(-x)与f(x)的关系 即可.
【典例4】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=|sinx|+cosx
(2)y=lg(sinx+
1 sin2 x )
[分析]先确定定义域,再用函数奇偶性的定义.
[解](1)f(x)的定义域为R, f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),故此函数是偶函数.
[解] 1 解法一 : 欲求函数的单调递减区间, 只需求y sinu 的单调递增区间. 由2k ≤ 2 x ≤2k k Z , 得 2 3 2 5 2k ≤ 2 x≤2k k Z , 6 6 5 k ≤x≤ k k Z , 12 12 5 即k ≤x≤k k Z. 12 12
2
29 3 3 1 8 . 4 2
2
[评析]正､余弦的值域是固定在某一个确定的范围内,在解三 角题时,一定要深入挖掘条件中由正､余弦函数有界性产生
的隐含因素,否则就会扩大解集,造成解题的失误.
错源二
确定单调性时不注意复合规律而致错 【典例2】求函数 y cos 2 x 的单调递增区间.
答案:B
类型一
三角函数的定义域
解题准备:求函数定义域的题型,关键是求使式子有意义的x的
取值范围,将问题转化为解不等式,此题是解三角不等式,常
用的方法有:①利用单位圆中的三角函数线;②利用三角函 数的图象;③利用函数单调性,一定要与相应三角函数的周 期联系起来.
例 1 (1)求函数 y＝lg(sinx－cosx)的定义域； (2)求函数 y＝ sinx＋ 16－x2的定义域．
4
[错解]令u
4
2x, 则y cosu, 而函数y cosu在区间[ 2k 1 ,
2k ](k Z)上单调递增, 整体代换得 2k 1 ≤
4
2x≤2k ,
5 (k Z), 解得 k ≤x≤ k (k Z),由于k表示的是 8 8 5 周期的整数倍, 所以可写为k ≤x≤k (k Z), 即所 8 8 5 求的单调递增区间为 k , k (k Z). 8 8
5 4
的最大值.
[错解]配方得
故函数的最大值是ymax=8.
[剖析]上述解法的错误在于把题中函数与通常的二次函数等 同起来了,它们虽有相似之处但也有严格的区分.忽视了-
1≤sinx≤1的隐含条件.
[正解]事实上,二次函数
递增.故原函数当sinx=1时取最大值,即ymax=
3 y 3 t 8在t∈[-1,1]上 2
域是研究函数问题的前提,因此解函数问题的步骤是:①先
研究函数的定义域.②再用相关定义加以判断.
类型五
三角函数的周期
解题准备:三角函数周期的求法有三种:
(1)定义法:即直接利用周期函数的定义求周期;
(2)公式法:三角函数y=sinx,y=cosx和y=tanx的周期分别为 2 T , 函 2π､2π和π.函数y=Asin(ωx+φ)的周期 | | 2 , 函数 数y=Acos(ωx+φ)的周期为 T | | y=Atan(ωx+φ)的周期为 T (A,ω,φ为常数,A≠0);
[反思感悟](1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y= Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不
等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”
视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y=sinx(x∈R)､y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向 相同(反).
【分析】
(1)sinx－cosx>0→sinx>cosx→利用单位圆或函
数图象得 x 的范围
sinx≥0 (2)解不等式组 16－x2≥0
即可．
【解】 (1)由已知得 sinx－cosx>0， 即 sinx>cosx. π 5 在[0,2π]内满足 sinx>cosx 的 x 的集合为( ， π)． 4 4 又正弦、余弦函数的周期为 2π，
2
类型三
三角函数的单调性
解题准备:与三角函数单调性有关的问题
2.如何比较两个三角函数值的大小 比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性转化为
同一单调区间上的两个同名函数值,再利用单调性比较.
【典例3】1 求函数y sin 2 x 的单调递减区间; 3 x 2 求y 3tan 的周期及单调区间. 6 4
[正解]因为y=|sinx|+|cosx|>0,所以函数y的周期与函数 y2=1+|sin2x|的周期相同,而y2=1+|sin2x|的周期为 , 所
以函数y=|sinx|+|cosx|的周期为
. 2
2
[评析]求三角函数的最小正周期主要有三种方法:一是根据定 义,但要注意体现最小;二是利用三角函数的图象;三是公式
类型四
三角函数的奇偶性
解题准备:1.当φ=kπ
时,y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)分别为奇函数
和偶函数(k∈Z). 2.当φ=kπ+ 时,y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)分 2 别为偶函数和奇函数(k∈Z).
3.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件, 因此在判断函数奇偶性时,应首先判断函数定义域的对称
最小正周期是2π.
3.正弦函数､余弦函数的图象和性质如下表
1.函数
A.{x|2kπ,k∈Z} 2 B.{x|2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z} 2 C.{x|2kπ≤x≤2kπ,k∈Z} 2 D.x∈R
≤x≤2kπ+ 2
y cos(sinx)的定义域是(
)
答案:D
2.若
f ( x) 2cos x 的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正 3
8
, k Z, 即该函数的单调递增区间为