自控原理9(第九章398-417)

线性：一个松弛系统当且仅当对于任何输入 u1 和 u2 以及 任何实数 均有：
H(u1+u2)=Hu1+Hu2
H( u1) = H(u1)
(9-2)
(9-3)
则该系统称为线性的，否则称为非线性的。式(9-2)称为可加 性，式(9-3)称为齐次性。若松弛系统具有这两种特性，则称 该系统满足叠加原理。
第一章
线性系统的状态空间 分析与综合（1）
在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系 统理论以及用其设计控制系统的方法。经典线性系统理论 对于单输入单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效 的，但其显著的缺点是只能揭示输入 输出间的外部特性， 难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入多 输出系统。 在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后 开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个 重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理 论中来。现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的 基础上发展起来的。
对于一个松弛系统，其输入输出描述为： y=Hu 式中 H 为某一算子，例如传递函数就是一种算子。 因果性：若系统在 t 时刻的输出仅取决于在 t 时刻和 t 之前 的输入，而与 t 时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性或 因果关系。 本书中所研究的实际物理系统均具有因果性，并称为因 果系统。 若系统在 t 时刻的输出尚与 t 时刻之后的输入有关，则称 系统不具有因果性。不具有因果性的系统能够预测 t 时刻之后 的输入并施加于系统而影响其输出。 (9-1)
l. 系统数学描述的两种基本类型
系统是指由一些相互制约的部分所构成的整体，它可能
是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对
象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端， 如图9-1所示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统 的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出，二者分 别用向量 u =[u1, u2, …, up]T 和 y =[y1, y2, …, yq]T 表示，它们均为 系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的变量为 系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2, …, xn]T 表示。
3. 系统状态空间描述常用的基本概念
下面所介绍的是在系统状态空间描述中常用的一些基本 概念。
状态和状态变量：系统在时间域中的行为或运动信息的 集合称为状态。确定系统状态的一组独立(数目最小)的变量 称为状态变量。 一个用n阶微分方程描述的系统，当n个初始条件 (t0 ) ,„,x(n-1)(t0) 及 t≥t0 的输入 u(t) 给定时，可惟一确 x(t0), x (t ) ,„,x(n-1)(t) 这 定方程的解，即系统将来的状态。故 x(t), x n个独立变量可选作状态变量。n阶系统状态变量所含独立变 量的个数为n。
4. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种：
一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式；
二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
(1) 根据系统机理建立状态空间表达式 下面我们通过例题来介绍根据系统机理建立线性定常 连续系统状态空间表达式的方法。 [ 例 9-1] 试列写如图 9-4 所示 RLC 网络的电路方程，选择几 组状态变量并建立相应的状态空间表达式，并就所选状态 变量间的关系进行讨论。
图9-4 RLC网络
[解] 根据电路定律可列写如下方程：
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究 和发展，已形成较为完整成熟的理论。现代控制理论中的许 多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控 制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统 理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论 的概念、方法和结果的影响和推动。 现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输 入状态输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入 输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既 适用于单输入单输出系统叉适用于多输入多输出系统，既 可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综 合方法。
图9-2 线性连续时间系统结构图
图9-3 线性离散时间系统结构图
状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量 描述系统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化 数学描述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了 解系统内部状态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连 续、离散、随机、多变量等各类系统，便于应用现代设计方 法实现最优控制、自适应控制等。
系统的数学描述通常有两种基本类型：
1）一种是系统的外部描述，即输入输出描述。这种描 述将系统看成为一个“黑箱”，只是反映系统外部变量间即 输入输出间的因果关系，而不去表征系统的内部结构和内部 变量。如第一章至第六章所研究的单输入单输出线性定常连 续系统，其外部数学描述就是一个n阶微分表示方程及对应的 传递函数。
(9-9)
或： (9-10) 输出方程表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统 输出变化，它是一个变换过程。
状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空 间表达式，又称动态方程，其一般形式为：
(9-11) 或： (9-12)
自治系统：若在系统的状态空间表达式中，函数 f 和 g均 不显含时间 t 或 tk，则称该系统为自治系统，其状态空间表达 式的一般形式为： (9-13) 或：
时不变性 ( 定常性)：一个松弛系统当且仅当对于任何输 入 u 和任何实数 ，均有：
(9-4) 则该系统称为时不变的或定常的，否则称为时变的。式中Q 为位移算子，Qu 表示对于所有 t 均有： (9-5) 式(9-4)可写为： (9-6) 线性时不变(定常)系统数学方程中各项的系数必为常数，只 要有一项的系数是时间的函数，则系统是时变的。
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一 阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间 系统)称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所 引起的内部状态变化，其一般形式为
(9-7) 或 (9-8) 输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变 量之间函数关系的代数方程称为输出方程．其一般形式为：
当输出方程中D≡0时，系统称为绝对固有系统，否则称为 固有系统。为书写方便，常把固有系统 (9-17) 或 (9-18) 简记为 系统(A，B，C，D)或系统(G，H，C，D)，而记相应的绝对固 有系统为系统 (A，B，C )或系统(G，H，C)。
线性系统的结构图：线性系统的状态空间表达式常用结 构图表示。线性连续时间系统 (9-17) 的结构图如图 9-2 所示， 线性离散时间系统(9-18)的结构图如图9-3所示。 结构图中 I 为 (n×n) 单位矩阵，s 是拉普拉斯算子，z 1为 单位延时算子，s 和 z 均为标量。每一方块的输入输出关系 规定为： 输出向量 =(方块所示矩阵)×(输入向量) 应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意 颠倒。
2）另一种类型是内部描述，即状态空间描述。这种描述 是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学 方程组成。 一个是反映系统内部变量 x =[x1, x2, „, xn]T 和输入变量 u = [u1, u2, „, up]T 间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或 差分方程的形式，称为状态方程。另一个是表征系统内部变 量x = [x1, x2, „, xn]T 及输入变量 u = [u1, u2, „, up]T和输出变量 y=[y1, y2, „, yq]T 间转换关系的数学表达式，具有代数方程的 形式，称为输出方程。 外部描述仅描述系统的外部特性，不能反映系统的内部 结构特性，是对系统的一种不完全描述。内部描述则是对系 统的一种完全描述，它能完全表征系统的所有动力学特征。
电路输出量为：
1 1）设状态变量 x1= i， x2 idt，则状态方程为： C
输出方程为：y = x2
其向量-矩阵形式为：
简记为：
式中，
2）设状态变量 x1=i，
x2 ，则有： idt
1 1 3）设状态变量 x1 idt Ri ， x2 idt，则： C C
通常，若状态 x、输入 u、输出 y 的维数分别为 n、p、g，
则称 n×n 矩阵 A(t) 及 G(k) 为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵，
称 n×p 矩阵 B(t) 及 H(k) 为控制矩阵或输入矩阵，称 g×n 矩阵 C(t) 及 C(k) 为观测矩阵或输出矩阵，称 q×p 矩阵 D(t) 及 D(k)为
前馈矩阵或输入输出矩阵。
线性定常系统：在线性系统的状态空间表达式中，若系数 矩阵 A(t)，B(t)，C(t)，D(t) 或 G(k)，H(k)，C(k)，D(k)的各元素 都是常数，则称该系统为线性定常系统，否则称为线性时变系 统。线性定常系统状态空间表达式的一般形式为： (9-17)
或
(9-18)
状态向量：把描述系统状态的n个状态变量 x1(t), x2(t),„, xn(t) 看作向量 x(t) 的分量，即： x(t)=[x1(t), x2(t), „, xn(t)]T 则向量 x(t)称为 n 维状态向量。给定 t=t0时的初始状态向量 x(t0) 及 t≥t0 的输入向量 u(t)，则 t≥t0 的状态由状态向量 x(t)惟一确定。 状态空间：以 n 个状态变量作为基底所组成的 n 维空间称 为状态空间。 状态轨线：系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点 来表示。随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间中 描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化 的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。