3(19)第七章1-2节

练习运用简便法求内力
第 7章 章
拉伸和压缩
§7 — 1 横截面上的应力 §7 — 2 拉压杆的强度计算 §7 — 3 斜截面正应力 §7 —4 拉（压）杆的变形和位移 §7 —5 拉（压）杆内的应变能 § 7—6 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能 简单的拉， §7 —7 简单的拉，压超静定问题 § 7—8 拉（压）杆接头的计算
§7 — 2 拉压杆的强度计算
为使杆件在外力作用下不致发生断裂或明显的塑性变形， 为使杆件在外力作用下不致发生断裂或明显的塑性变形，即不致 发生强度破坏， 发生强度破坏，杆件内的最大工作应力 σmax 不能超过杆件材料的 强度破坏 而且要有一定安全储备。 极限应力 σu ，而且要有一定安全储备。 强度条件为
1
2 40KN 10KN
3 20KN
B A a D a a
C
解：作轴力图
1 2 40KN 10KN 3 20KN
B A a
30KN
C a
D a
+ 10KN 20KN
段进行强度计算。 只需分别对 AD 段和 BC 段进行强度计算。
AD 段：
1
2 40KN 10KN
3 20KN
≥ F N1 = 1.87×10−4 m2 A1 [σ ]
二、拉压杆横截面上的正应力 实验：等直杆受力前， 实验：等直杆受力前，在它的外表面上相距 l 的两横截面 A 和 B 间画出横向周线。 间画出横向周线。 观察: 杆受拉伸时, 观察 杆受拉伸时 梁横向周线相对平行移动 , 但每一条周线仍位 于一个平面内。 于一个平面内。
A B
l
F
F
l+ ∆l
A
B
−4 2
1
2 40KN 10KN
3 20KN
计算截面尺寸 AD段： 段
2 2.50×10−4 m2 = h1b1 =1.4b1
B A a
30KN
C a
D a
b1 = 13.4mm h1 = 1.4b1 = 18.7mm
+ 10KN 20KN
同理 BC段： 段
b3 = 9.5mm h3 = 1.4b3 = 13.3mm
F
例题：一横截面为正方形的砖柱分上、 例题：一横截面为正方形的砖柱分上、 A
F F
1
下两段，其受力情况、 下两段，其受力情况、各段长度及
B
横截面面积如图所示。 横截面面积如图所示。已知 F= 50KN， ，
2
C
试求荷载引起的最大工作应力。 试求荷载引起的最大工作应力。
240
F
解：先作轴力图 A
50KN
m
∆ FN
∆A
F
F
m
m – m截面上某一点处的正应力 截面上某一点处的正应力 围绕该点取微元面积 ∆A ,其上法向分布内力的合力为 ∆FN 其上法向分布内力的合力为 上的平均正应力 ∆FN / ∆A 是∆A上的平均正应力 上的平均 该点的正应力为
σ = lim ∆F N = dF N
∆A→0
∆A
dA
F N1 = −F = −50KN F N 2 = −3F = −150KN
F
1
F
B
2
C
150KN
240
F
50KN
FN1 −50000 σ1 = = A 0.24× 0.24 1 = −0.87 ×106 N / m2 = −0.87MPa
FN 2 −150000 σ2 = = A2 0.37 × 0.37 = −1.1×106 N / m2 = −1.1MPa
BC 段：
A a
30KN
B D a a
C
≥ F N3 = 1.25×10−4 m2 A3 [σ ]
已知 A1: A3 = 2 : 1
+ 应取
10KN
20KN
A1 = 2×1.25×10−4 = 2.50×10−4 m2 A3 = 1.25×10−4 m2
A1 = 2×1.25×10−4 = 2.50×10−4 m2 A3 = 1.25×10 m
≤ σu σ max n
n 是个大于 1 的因数，称为安全因数。 的因数，称为安全因数 安全因数。
[σ ] = σ u n
[σ] 称为材料安全工作的许用应力。 σ 称为材料安全工作的许用应力。
强度条件为
= F N max ≤ [σ ] σ max A
三种类型的强度计算 （1） 强度校核 ）
F N max ≤ [σ ] A
简易起重设备中， 杆由两根 × 例题 ： 简易起重设备中，AC杆由两根 80×80 ×7 等边角钢 组成， 杆由两根 号工字钢组成 材料为Q235钢，许用应力 号工字钢组成。 组成，AB杆由两根 10号工字钢组成。材料为 钢 [σ]=170MPa 。求许可荷载 [F]。 σ 。
C
300
A F
B
FN1
利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的 外力已知， 外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项 写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法。 写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法 简便法。
内 容 提 要
• §7 — 1 横截面上的应力 • §7 — 2 拉压杆的强度计算
§7—1 横截面上的应力
一、应力的概念 应力的概念
F
F
FN
{
F
轴向杆横截面上的内力为轴力 轴向杆横截面上的内力为轴力 FN。 是横截面上法向分布内力的合力 轴力 FN 是横截面上法向分布内力的合力。
F
F
FN
{
F
判断杆件是否会发生断裂等强度破坏， 判断杆件是否会发生断裂等强度破坏，还必须联系杆件横截面的 几何尺寸，分布内力 变化规律，找出分布内力在各点处的集度。 几何尺寸，分布内力的变化规律，找出分布内力在各点处的集度。 分布内力在各点处的集度称为应力。 分布内力在各点处的集度称为应力。 应力 杆件截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力。 杆件截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力。 正应力 表示。 正应力以符号 σ 表示。
(l ⋅ d dθ ) 2
ds =
d dθ 2
y
p
O σ
dθ θ θ
σ
FN
FN
d (l ⋅ dθ ) 2 d p ⋅ (l ⋅ dθ ) ⋅ sinθ 微圆柱面上的压力在竖直方向的投影 2
任意微 任意微圆柱面面积
y
p
O σ
dθ θ θ
σ
FN
FN
微圆柱面上的压力在竖直方向的投影 平衡方程
d p ⋅ (l ⋅ dθ ) ⋅ sinθ 2
∑ F y = 0,
d ∫0 ( pl dθ ) sinθ − 2F N = 0 2
π
y
p
O σ
dθ θ θ
σ
pld FN = 2
FN
FN
因壁厚 δ 远小于缸套内径 d ，可近似的认为缸壁径向截面上 与法向拉力 FN 相应的正应力 σ 沿壁厚均匀分布. 沿壁厚均匀分布
F N = pld 2 = pd σ= A δl 2δ
等截面直杆，如果各横截面上的轴力不同， 等截面直杆，如果各横截面上的轴力不同，最大正应力 σmax 将出 现在轴力最大( 的横截面上。 现在轴力最大 FNmax )的横截面上。 的横截面上
= F N max σ max A
等截面轴向拉、压杆，最大轴力所在的横截面是危险截面。 等截面轴向拉、压杆，最大轴力所在的横截面是危险截面。 危险截面 就是最大的工作应力 最大的工作应力。 危险截面上的正应力 就是最大的工作应力。
l
F
F
l+ ∆l
平面假设： 在杆受拉伸时仍为平面， 平面假设：原为平面的横截面 A 和 B ，在杆受拉伸时仍为平面， 且仍与杆的轴线垂直。 且仍与杆的轴线垂直。
A
B
l
F
F
l+ ∆l
结论： 结论：杆受轴向拉伸时两横截面间的所有纵向线段其绝对伸长 相同，伸长变形的程度也相同。 相同，伸长变形的程度也相同。 工程力学中假设材料是均匀、连续、各向同性的。 工程力学中假设材料是均匀、连续、各向同性的。
左下右上” 的错动为 剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左下右上” 的错动为负。
FS FS
dx
考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为 有逆时针转动趋势的剪力为负 或使 考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。
（2）弯矩符号 ） 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉， 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。 上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉
σmax 在柱的下段，其值为 在柱的下段， 1.1MPa，是压应力。 ，是压应力。
A
F
1
F
B
2
C
150KN
240
例题：内燃机气缸套筒受沿半径方向的内压力作用。 例题：内燃机气缸套筒受沿半径方向的内压力作用。缸套内径 d = 70 mm，壁厚 δ = 2.5 mm，燃气作用于筒壁的压强 p = ， ， 3.5MPa 。试求径向截面上的正压力。 试求径向截面上的正压力 径向截面上的正压力。
p
d
δ
l
p
d
δ
l
解：在任何纵截面（径向截面）作用有相同的法向拉力 FN。 在任何纵截面（径向截面） 将缸套假想地用径向截面切开，取上部为研究对象。 将缸套假想地用径向截面切开，取上部为研究对象。
y
p
O σ
dθ θ θ
σ
FN
FN
取圆心角为 dθ 的微元面积，其弧长为ds θ 的微元面积，其弧长 任意微 任意微圆柱面面积