2018年秋新课堂高中数学北师大版选修2-2第2章变化率与导数 (9)
高中数学 第二章 《变化率与导数 综合》课件 北师大版选修2-2
结论：
当t0时,vhh(2t)h(2)4.9t13.1
t
t
一个稳定值13.1
lim h lim h(2 t) h(2)
用右式表示t0 t t0
t
lim(4.9t 13.1) t 0
13.1 v ( 2 )
h
l i m h 体现了什么数学思想？
t
t 0 t
逼近思想
从平均速度vhh(2t)h(2)过渡到
结论: V一定时, r逐渐变小，即
半径的增量 r rV2rV1逐渐减小
体积的增量 V V2 V1
r rV2rV1就是气球的平均膨胀率。
V V2 V1
问题2 高台跳水运动中，
运动员相对于水面的高度是
h(t)4.9t26.5t10
求 0 0 .5 秒 的 平 均 速 度
h0.5h0
v
4.05
0.50
问题：
1、运动员在0 ~0.5秒这段时间是静止的吗？
2、你认为用平均速度描述运动员状态有什么 问题吗？ 3、你能求出t=2时的速度吗？
h(t)4.9t26.5t10
能否从平均速度这个角度出发去求瞬时速度
vhh(2t)h(2)
t
t
Δt
（Δt<0）
-0.01 -0.001 -0.0001
-0.00001
f
(x0
)
lim
x0
x
．
例1、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
x h 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第
时，原油的温度（单位：℃）为
f(x ) x 2 7 x 1 5(0 x 8 ).
计算第2 h原油温度的瞬时变化率， 并说明它们的意义。
北师大版高中数学选修2-2：第二章 变化率与导数 复习课件
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
当点Q沿着曲线无限接点
P即Δx→0时,割线PQ如果有一
个极限位置PT。则我们把直线
y
PT称为曲线在点P处的切线。
设切线的倾斜角为α,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜 率。
P o
即: k切线
f
' ( x0 )
lim
x0
y x
练习3：求下列函数的导数。
12 y
x x2
y 1 4 x2 x3
x y
1 x2
y 1 x2
1 x2 2
y tan x
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值， 再利用导数的运算法则(3)来计算。
y
1 cos2
x
练习4：求曲线
y
9 x
在点M(3，3)处的切线
x)－f(x0)，若极限
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
存在，
则此极限称为f(x)在点 x x0 处的导数，记为
f ’(x0)，或 y |xx0 。
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，
就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每
y 3x2 2
练习2：求下列函数的导数。
y x3 sin x cos x y 3 x 2 cos x sin x
y 2sin x cos x 2x2 1 y co s x 4 x
2018年高中数学 第二章 变化率与导数 2.3 计算导数课件4 北师大版选修2-2
f () 32 4
24
练习 求函数 y 2x ln x 的导数。
y ' 2x ln 2 ln x 2x x
练习
求函数 y
x 3 的导数 x2 3
y' x2 6x 3 ( x 2 3)2
例1 已知 f(x) 的导数 f(x)=3x2-2x+4, 且 f(0)=2, 求 f(x). 解: ∵f(x)=3x2-2x+4,
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数运算法则
∴
y0 x0
=x02-3x0+2.
又 y=3x2-6x+2,
∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y|x=x0.
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.
整理得 2x02-3x0=0.
这时
y0=-
3 8
,
k=-
1 4
.
解得
x0=
3 2
(∵x00).
∴直线 l 的方程为
y=-
1 4
x,
切点坐标是 (
3 2
,
-
3 8
).
1.2导数的计算(2)
复习
导函数的定义
f(x ) y lim y lim f(x x ) f(x )
高中数学选修2-2 北师大版 变化的快慢与变化率 课件 (18张)
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s), 那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( ) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析:������ = -4.8 m/s. 答案:A
Δ��� )-������(������1 ) .我们用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 ������2 -������1
温馨提示
1.
������ ������
=
������(������2 )-������(������1 ) ������2 -������1 ������ ������
第二章
变化率与导数
§2.1
变化的快慢与变化率
学习目标 思维脉络 1.理解函数在某点的平 均变化率的概念与意义. 2.理解运动物体在某时刻的 瞬时变化率(瞬时速度). 3.会求函数在某点的平均变 化率. 4.能正确地理解平均变化率 与瞬时变化率的区别与联 系.
1
2
1.函数的平均变化率 对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变 为 f(x2),它的平均变化率为
与 Δx 是相对应的“增量”,即当
Δx=x2-x1 时,Δy=f(x2)-f(x1).
1
2
做一做 1
一物体的运动方程是 s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速 度为( ) A.0.41 解析:������ = 答案:D
2018版数学北师大版选修2-2学案：第二章 变化率与导数
1 变化率与导数1．变化率函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢的量．式中Δx ，Δy 的值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy 的值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．例1 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t 0]内的平均速度哪个大？解 比较在相同的时间段[0，t 0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果． 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0.所以在时间段[0，t 0]内乙的平均速度比甲的大．点评 比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小．2．导数的概念及其几何意义函数y ＝f (x )在x 0点的导数即为函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率，即当Δx 趋于0时，函数值y 关于x 的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的极限值；Δx 趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．函数y ＝f (x )在x 0点处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即f ′(x 0)＝k ＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．例2 如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f [f (0)]＝________；lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝________.(用数字作答)解析 由A (0，4)，B (2,0)可得线段AB 的方程为f (x )＝－2x ＋4(0≤x ≤2)． 同理线段BC 的方程为f (x )＝x －2(2<x ≤6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6，所以f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2，lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝－2.答案 2 －2例3 函数f (x )的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析 根据导数的几何意义，考查函数在点B (2，f (2))及A (3，f (3))处的切线的斜率．由图可见，过点B 的切线的斜率大于过点A 的切线的斜率，则有0<f ′(3)<f ′(2)． 另一方面，这两点的平均变化率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，其几何意义为割线AB 的斜率．由图，可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)． 答案 C点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫．2 导数计算中的策略1．活用定义例1 已知函数f (x )＝3x 4－2x 3＋5，则lim Δx→f (1＋2Δx )－f (1)Δx ＝________.分析 在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪种增量形式，相应的Δy 也应选择对应的形式，本题中Δy 中x 的增量为2Δx ，则分母也应为2Δx . 解析 因为f ′(x )＝12x 3－6x 2， 所以原式＝lim Δx→f (1＋2Δx )－f (1)2Δx ·2＝2f ′(1)＝12.答案 12 2．整体构造例2 若函数f (x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2013)，求f ′(2013)的值．分析 本题的待求值让人有点“无所适从”，造成这种情况的主要原因是没有找到解决问题的入手点．若仔细观察分析，把前面的(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2012)看成一个整体，然后利用积的求导法则，则问题便可迎刃而解．解 令φ(x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2012)，则f (x )＝(x －2013)φ(x )， 故f ′(x )＝φ(x )＋(x －2013)φ′(x )，于是有 f ′(2013)＝φ(2013)＝1×2×3×…×2012. 3．化繁为简例3 求f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x 的导函数． 分析 对此题，若直接求导，则需要按照乘积的求导运算法则来求导，计算量显然较大．如果求解此题时将求导的多项式展开，再利用公式求导，那么此题的求解就会非常简单． 解 因为f (x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x， 所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x ′＝－12x －12－12x －32.点评 在导数的运算中，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运算失误．3 巧用导数的几何意义解题1．求参数例1 设曲线y ＝f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.解析 根据导数的定义，Δy Δx ＝a (1＋Δx )2－a Δx ＝2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝2a ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋a Δx 无限趋近于2a ， 即f ′(1)＝2a .又由曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，得2a ＝2，即a ＝1. 答案 1 2．求倾斜角例2 求曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角．分析 要求切线的倾斜角α，先要求切线的斜率k ，再根据斜率k ＝tan α，求出倾斜角α. 解 设曲线y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为α.f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－⎝⎛⎭⎫13－1＋5Δx＝13(Δx )3－Δx Δx ＝13(Δx )2－1，当Δx 无限趋近于0时，13(Δx )2－1无限趋近于－1，即tan α＝f ′(1)＝－1.因为α∈[0，π)，所以α＝3π4.故切线的倾斜角为3π4.点评 切线的倾斜角α能通过求切线的斜率得到，在解题过程中，一定要注意切线的倾斜角α的取值范围． 3．求曲线的切线例3 求在点P ⎝⎛⎭⎫2，83处与曲线y ＝13x 3相切的切线方程． 分析 要求直线在点P 处的切线方程，需求得过点P 的切线的斜率k ，然后根据点斜式可求得切线方程．解 因为点P ⎝⎛⎭⎫2，83在曲线y ＝13x 3上， Δy ＝13(2＋Δx )3－13×23＝4Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3，所以Δy Δx ＝4＋2Δx ＋13(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，即k ＝4.故所求的切线方程为y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.点评 求在点P 处与曲线相切的切线方程时，可求出切线的斜率，然后再根据点斜式求切线方程． 4．求切点的坐标例4 若曲线y ＝f (x )＝x 3＋1在点P 处的切线的斜率为3，求点P 的坐标．分析 要求点P 的坐标，可设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，然后由切线的斜率为3，解方程求得．解 设点P 的坐标为(x 0，x 30＋1)，因为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝3x 20·Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，上式无限趋近于3x 20，所以3x 20＝3，解得x 0＝±1. 故点P 的坐标是(1,2)或(－1,0)．点评 值得注意的是切点P 的坐标有两个，部分同学误认为只有一个而出错.4 剖析导数运算中的常见错误1．对f ′(x 0)与f ′(x )理解有误例1 已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)的值为( ) A ．0 B ．－4 C ．－2D ．2错解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得f (0)＝0. 所以f ′(0)＝0.故选A.错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f ′(1)是常数． 正解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，得 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)． 所以f ′(1)＝－2.从而f ′(x )＝2x －4. 所以f ′(0)＝－4.故选B. 2．切点位置的确定有误例2 求过点P (1，0)且与曲线f (x )＝x 3－x 相切的直线的方程． 错解 由题意知点P (1，0)在曲线上． 因为f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(1)＝2.所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.错因分析 点P (1，0)虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P (1，0)当作切点显然是错误的．求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”：(1)曲线在点P 处的切线方程(一定是以点P 为切点)；(2)曲线过点P 的切线方程(无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点)．正解 设切点为(x 0，x 30－x 0)， 则过该点的切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)．由切线过点P (1，0)，得0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0.即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0. 3．对切线定义的理解有误例3 已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43，曲线C 在点P (2，4)处的切线方程为y ＝4x －4，试分析该切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线y ＝4x －4与曲线C 相切，因此除切点P (2，4)外没有其他的公共点． 错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4y ＝13x 3＋43消去y 整理，得x 3－12x ＋16＝0，即(x －2)(x 2＋2x －8)＝0. 所以(x －2)2(x ＋4)＝0，解得x ＝2或x ＝－4. 所以交点的坐标为(2，4)，(－4，－20)，所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．。
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数
②切点坐标满足对应切线的方程；
③切线的斜率是函数在此切点处的导数值.
跟踪训练2
设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，
若f′(x)是偶函数，求曲线y＝f(x)在原点处的切线方程. 解 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f′(x)是偶函数，
2a ∴－ ＝0，∴a＝0， 2×3
解 y′＝(x2＋log3x)′
＝(x2)′＋(log3x)′
1 ＝2x＋ . xln 3
解答
(3)y＝4cos x＋3sin x；
解 y′＝(4cos x＋3sin x)′
＝(4cos x)′＋(3sin x)′
＝－4sin x＋3cos x.
解答
(4)y＝x2＋tan x. 解 y′＝(x2＋tan x)′
1
2
345来自解析答案5.已知函数 y ＝ f(x) ＝－ x3 ＋ ax2 ＋ b(a ， b∈R) 图像上任意一点处的切线的
1 2 3 4 5
解析
答案
4.曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程 3x－y－11＝0 为______________. 解析 ∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2) ＝3(x＋1)2＋3≥3， ∴当x＝－1时，斜率最小，切点坐标为(－1，－14)， ∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
解答
类型二 导数的加法与减法法则的应用 例2
方程. 解 f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
已知函数f(x)＝x3＋x－16，求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线
∵点(2，－6)在曲线y＝f(x)上， ∴切线斜率k＝f′(2)＝13， ∴切线方程为y＋6＝13(x－2)， 即13x－y－32＝0.
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数
与函数图像的切线有关.解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，
再利用导数的几何意义准确计算.
跟踪训练3
已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，
O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求
一点P，使△ABP的面积最大.
解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1，1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大， 故P(1，1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
答案 f′(2)＝2，f′(1)＝1，f′(－2)＝－2.
答案
思考2
对思考1中的函数f(x)，试求f′(x0).
1 1 2 2 fx0＋Δx－fx0 2x0＋Δx －2x0 f′(x0)＝ lim ＝ lim ＝ x 0. Δx Δx Δx→0 Δx→0
答案
答案
思考3
对思考 2 中的 x0 可以取任意实数吗？当 x0 变化时， f′(x0) 的值变
π (6)y＝cos( －x). 2 π 解 ∵y＝cos( －x)＝sin x， 2
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
解答
反思与感悟
若给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化 简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.
跟踪训练1 (1)下列结论：
①(sin x)′＝cos x； ②( x )＝x ；
解 1 ∵y＝(1－ x)(1＋ )＋ x x
1－x 1 1 － ＝ ＋ x＝ ＝ x 2， x x
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数
x＋3 ，－1≤x≤1， 2 由函数 f(x)的图像知，f(x)＝ x＋1，1<x≤3.
3 f2－f0 3－2 3 所以函数 f(x)在区间[0,2] 上的平均变化率为 ＝ 2 ＝4. 2－0 解析
答案
类型二 求瞬时速度 例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)
题型探究
类型一 函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率 Δy； Δx
解答
Δy ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率 . Δx
解
当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
y(℃)
39
38.7 38.5
38
37.6 37.3 36.9
思考1
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？
答案 不相同．
答案
思考2
哪段时间体温变化较快？ 答案 从20分钟到30分钟变化最快．
答案
思考3
如何刻画体温变化的快慢？ 答案 用体温的平均变化率．
答案
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δs ∴当 Δt 趋于 0 时， Δt 趋于 1，
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.
解答
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
Δs st0＋Δt－st0 又 ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. Δt Δt
的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案
北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案§1变化的快慢与变化率第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。
二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。
教学难点：对平均速度的数学意义的认识三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：变化率与导数问题小结
变化率与导数问题小结一、求割线的斜率例1 过曲线3()f x x =上两点(11)P ，和(11)Q x y +∆+∆，作曲线的割线，求当0.1x ∆=时割线的斜率．分析：割线PQ 的斜率即为函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率y x ∆∆．解：3(1)(1)(1)1y f x f x ∆=+∆-=+∆-2333()()x x x =∆+∆+∆，∴割线PQ 的斜率为322()3()3()33y x x x x x x x ∆∆+∆+∆==∆+∆+∆∆．∴当0.1x ∆=时，设割线PQ 的斜率为k ， 则2(0.1)30.13 3.31y k x ∆==+⨯+=∆． 评注：一般地，设曲线C 是函数()y f x =的图象，00()P x y ，是曲线上的定点，点00()Q x x y y +∆+∆，是C 上与点P 邻近的点，有00()y f x =，00()y y f x x +∆=+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，割线PQ 的斜率为00()()f x x f x y k x x +∆-∆==∆∆．二、求平均速度 例2 自由落体的运动方程班车212s gt =，计算t 从3s 到3．1s ，3．01s ，3．001s 各段内的平均速度（位移s 的单位为m ）分析：要求平均速度，就是求s t ∆∆的值．解：设在[33.1]，内的平均速度为1v ，则1 3.130.1t ∆=-=（s ），22111(3.1)(3) 3.130.30522s s s g g g ∆=-=⨯-⨯=（m ）．1110.305 3.050.1s g v g t ∴===（m/s ）；同理，得2 3.005v g =（m/s ）；33.05v g =（m/s ）．评注：当t ∆的值越小时，其平均速度就越近于一个定值．三、求瞬时速度 例3 以初速度00(0)v v >作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为201()2s t v t gt =-，求物体在时刻0t 处的瞬时速度． 分析：先求出s ∆，再求出s t ∆∆，当0t ∆→时，s t∆∆的极限即为所求． 解：2200000011()()22s v t t g t t v t gt ∆=+∆-+∆-+ 2001()2v gt t g t =-∆-∆， 0012s v gt g t t ∆∴=--∆∆． 当0t ∆→时，00s v gt t∆→-∆．∴物体在时刻0t 处的瞬时速度为00v gt -．评注：求瞬时速度的实质就是求位置增量()s ∆与时间增量()t ∆比的极限．四、利用定义求导数例4 已知y =y '及y 在1x =处的导数．分析：按求导数的步骤求解，但要注意变形的技巧．解：y x ∆=y x x ∆∴===∆∆．0lim lim x x y y x ∆→∆→'∴===．y ∴在1x =4=． 评注：函数的导数与在点0x 处的导数不是同一概念，在点0x 处的导数是函数的导数在0x x =处的函数值，分子有理化是解该类题重要的变形技巧之一．五、创新应用问题例5 已知2()f x x =，3()g x x =求适合()2()f x g x ''+=的x 值． 分析：要求x 的值，需利用导数的定义求出()()f x g x ''，，然后解方程． 解：由导数公式，易得()2f x x '=，2()3g x x '=，∵()2()f x g x ''+=，∴2223x x +=，即23220x x --=，解得x =x = 评注：本题将求导数与解方程结合起来考查，新颖别致．。
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学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若函数f(x)＝3cos，则f 2等于( )
A.－3
B.3
C.－6
D.6
【解析】 f 2(x)＝－6sin，
∴f 2＝－6sin＝6sin ＝3.
【答案】 B
2.函数y＝x ln(2x＋5)的导数为( )
A.y 2＝ln(2x＋5)－
B.y 2＝ln(2x＋5)＋
C.y 2＝2x ln(2x＋5)
D.y 2＝
【解析】 y 2＝[x ln(2x＋5)] 2＝x 2l n(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)] 2＝ln(2x＋5)＋x··(2x ＋5) 2＝ln(2x＋5)＋.
【答案】 B
3.曲线y＝f(x)＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A.2e
B.e
C.2
D.1
【解析】 y 2＝e x－1＋x e x－1＝(x＋1)e x－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f 2(1)＝2.
【答案】 C
4.函数y＝cos 2x＋sin的导数为( )
A.y 2＝－2sin 2x＋
B.y 2＝2 sin 2x＋
C.y 2＝－2sin 2x＋
D.y 2＝2sin 2x－
【解析】 y 2＝－sin 2x·(2x) 2＋cos ·() 2
＝－2sin 2x＋·cos
＝－2sin 2x＋.
【答案】 A
5.曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
【导学号：94210050】
A.e2
B.4e2
C.2e2
D.e2
【解析】 因为导函数y 2＝e，
所以曲线在点(4，e2)处的切线的斜率为e2.
于是切线方程为y－e2＝e2(x－4).
令x＝0，解得y＝－e2；令y＝0，解得x＝2.
所以S＝e2×2＝e2.
【答案】 D
二、填空题
6.若f(x)＝log3(x－1)，则f 2(2)＝________.
【解析】 f 2(x)＝[log3(x－1)] 2
＝，
∴f 2(2)＝.
【答案】
7.若函数为y＝sin4x－cos4x，则y 2＝________________.
【解析】 ∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，
∴y 2＝(－cos 2x) 2＝－(－sin 2x)·(2x) 2
＝2 sin 2x.
【答案】 2sin 2x
8.若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标
是________.
【解析】 设P(x0，y0)，∵y＝e－x，
∴y 2＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，
∴y0＝e ln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2，2).
【答案】 (－ln 2，2)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f 2(2)＝5，求实数a的值.
【解】 f 2(x)＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2] 2
＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]
＝(1－ax)2－2ax(1－ax).
由f 2(2)＝(1－2a)2－4a(1－2a)
＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.
10.求曲线f(x)＝2sin2x在点P处的切线方程.
【解】 因为f 2(x)＝(2sin2x) 2＝2×2sin x×(sin x) 2＝2×2sin x×cos x＝2sin 2x，
所以f 2＝2sin＝.
所以过点P的切线方程为y－＝，
即x－y＋－＝0.
[能力提升]
1.函数y＝sin 2x－cos 2x的导数是( )
A.y 2＝2 cos
B.y 2＝cos 2x－sin 2x
C.y 2＝sin 2x＋cos 2x
D.y 2＝2cos
【解析】 ∵y 2＝(sin 2x－cos 2x) 2
＝(sin 2x) 2－(cos 2x) 2
＝cos 2x·(2x) 2＋sin 2x·(2x) 2＝2cos 2x＋2sin 2x
＝2＝2cos，
故选A.
【答案】 A
2.已知函数f(x)＝x·ln ax＋b，曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2，
则ab＝( )
A.2＋e2
B.2＋e
C. D.
【解析】 f 2(x)＝ln ax＋1.
由题意即
解得a＝，b＝e＋2，
∴ab＝，故应选C.
【答案】 C
3.曲线y＝f(x)＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为____________________.
【导学号：94210051】【解析】 因为f 2(x)＝e－5x(－5x) 2＝－5e－5x，
所以f 2(0)＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0.
【答案】 5x＋y－3＝0
4.曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程.
【解】 ∵f 2(x)＝(e2x) 2·cos 3x＋e2x·(cos 3x) 2
＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，
∴f 2(0)＝2.
∴经过点(0，1)的切线方程为
y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，
∴b＝6或－4.
∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。