基本不等式导学案
高中数学 3.4.1基本不等式导学案 人教A版必修5
3.4.1 基本不等式【学习目标】１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识．【重点难点】基本不等式的证明与应用．【学习过程】一、自主学习：如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、合作探究归纳展示(一)．命题的探究图3．4-1-1观察图3-4-1-1思考：（1）上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_______ ___；（教材P97）（3）假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；（4）综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________（5）如果 a >0且 b >0 用 a 和b 代替不等式中的a 、b 上不等式可变形为 _____ _____； （*）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：______________________________．对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。
基本不等式导学案
基本不等式导学案一、 教学目标1、 通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地通过配凑、变形及“1”的恒等变换利用基本不等式解决实际问题;2、 理解用不等式a+b 2≥√ab 求最值的条件，并能灵活地求实际问题的最大值或最小值；3、 通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、配凑、转化等数学意识与数学能力.二、 课前准备1、基础预测（1）不等式a+b 2≥√ab 中的a,b 的取值范围是_____，等号成立的条件是______。
（2）不等式22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 中的a,b 的取值范围是______，等号成立的条件是______ 2、基本不等式的理解：1、x,y∈R +，x+y 2为x,y 的算术平均数，√xy 为x,y 的几何平均数，算术平均数不小于几何平均数.2、结构特点：左边为和式，右边为积式.3、如果x,y ∈ℝ+，x +y =p 为定值时，它们的积xy 有最_____值； 如果x,y ∈ℝ+，xy =s 为定值时，它们的和x +y 有最_____值.三、 自我测验练习1、设a >0,b >0,给出下列不等式 (1)a +1a ≥2, (2)(a +1a )(b +1b )≥4,(3)(a +b )(1a +1b )≥4, (4)a 2+2+1a 2+2≥2,其中成立的是_____等号能成立的是_____练习2、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=x5+5x(x∈ℝ，x≠0) B、y=lgx+1lgx（1<x<10）C、y=3x+3−x(x∈R)D、y=sinx+1sinx (0<x<π2)四、学以致用例1、求函数y=1x−3+x(x>3)的最小值例2、已知：0<x<13,求函数y=x(1-3x)的最大值例3、已知正数x、y，求(x+y)(1x+1y)的最小值思考：已知正数x,y满足2x+y=1,求1x+1y的最小值。
高中数学《不等式的基本性质》导学案
1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ； 推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法： 与 ．三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )． 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。
《基本不等式》 导学案
《基本不等式》导学案一、学习目标1、理解基本不等式的内容及其证明过程。
2、掌握基本不等式的应用，能运用基本不等式求最值。
3、通过对基本不等式的学习，培养数学思维能力和应用意识。
二、学习重难点1、重点（1）基本不等式的内容和证明。
（2）运用基本不等式求最值的条件和方法。
2、难点（1）基本不等式的证明。
（2）基本不等式在实际问题中的应用。
三、知识回顾1、重要不等式：对于任意实数 a、b，有＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\），当且仅当＼（a ＝ b\）时，等号成立。
四、新课导入观察以下两个图形：图 1 是一个边长为 a、b 的矩形，其面积为＼（ab\）。
图 2 是一个以 a、b 为直角边的直角三角形，其斜边长为＼（＼sqrt{a^2 ＋ b^2} ＼）。
我们知道直角三角形的斜边大于直角边，所以＼（＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼geq ＼sqrt{2ab} ＼）。
当且仅当＼（a ＝ b\）时，等号成立。
将上式两边平方，得到＼（ a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\），这就是我们前面回顾的重要不等式。
如果我们令＼（ A ＝＼frac{a ＋ b}｛2} ＼），＼（ G ＝＼sqrt{ab} ＼），则有＼（ A ＼geq G ＼），其中＼（ A ＼）称为 a、b 的算术平均数，＼（ G ＼）称为 a、b 的几何平均数。
这就是我们今天要学习的基本不等式：＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab} ＼）（＼（ a ＞ 0\），＼（ b ＞ 0\））五、基本不等式的证明方法一：作差法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ b}｛2} ＼sqrt{ab} ＆＝＼frac{a ＋ b 2\sqrt{ab}｝｛2}＼＼＆＝＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2}＼end{align}＼因为＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），所以＼（＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2} ＼geq 0\），即＼（＼frac{a ＋b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当＼（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即＼（ a ＝ b\）时，等号成立。
基本不等式导学案
基本不等式【学习目标】1.理解基本不等式ab ≤2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。
2.掌握用均值不等式求函数的最值问题.【学习重难点】理解利用基本不等式ab ≤2b a +求函数的最值问题 【类法通解】 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式ab b a ≥+2成立的前提条件，0,0>>b a ； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【合作探究】【探究一】 (1)已知0,>n m ，且16=+n m ，求mn 21的最大值． (2)已知3>x ，求()34-+=x x x f 的最小值； (3)设0,0>>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值．【探究二】 (1)已知2lg lg =+b a ,求b a +的最小值；(2)已知0,0>>y x ，且632=+y x ，求xy 的最大值．(3)已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值．【探究三】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【达标检测】1．已知())0(21<-+=x x x x f ，则()x f 有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．若0>>b a ，则下列不等式成立的是( )A ．ab b a b a >+>>2B ．b ab b a a >>+>2 C ．ab b b a a >>+>2D ．b b a ab a >+>>23．若0,0>>y x ，且14=+y x ，则xy 的最大值为________．4．已知0,0>>y x ，1lg lg =+y x ，则yx z 52+=的最小值为________． 5.若对任意的a x x x x ≤++>13,02恒成立,则a 的取值范围是____________________. 6.已知两正数,4,=+y x y x 且若不等式m yx ≥+41恒成立,则实数m 的取值范围是____. 7.设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z ++++的最小值为________________. 8.若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的取值范围是9.若存在实数[]4,2∈x ,使2250x x m -+-<成立，则m 的取值范围为 10.设y x y x xy y x +=+->则且,1)(,0,的取值范围是___________________.11.设正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 的最小值．。
3.1基本不等式 (一)导学案
主备人：李斌 审核：高二备课组 使用日期：2012.10 负责人签字:3.1基本不等式 (一)导学案 班级 小组 姓名 小组评价: 教师评价: 学习目标学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学习重点① 了解基本不等式的证明过程② 会用基本不等式解决简单的最大小值问题 学习难点：基本不等式的应用【使用说明及学法指导】试验、交流、归纳等方法的综合应用.先由学生认真阅读教材P88-90，按照学习目标提出的要求，完成：“自主学习”，再去完成：“合作交流”部分，学习组长做好督导、检查。
【知识链接】1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a b ab +，当且仅当____时，不等式取等号. 称_______为a,b 的算术平均数，_____为a,b 的几何平均数。
基本不等式又称为________.3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.Ⅰ、自主学习探究1：基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立.探究2：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 问：由不等式的性质证明基本不等2a b ab +≤？ 用分析法证明：证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.3）理解基本不等式2a b ab +≤的几何意义 探究3：课本第88页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2a b +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2a b +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.Ⅱ合作交流例1 已知0m >，求证：24624m m+≥.变式1. 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：()()4ab cd ac bd abcd ++≥.变式2. 0x >时，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？Ⅲ 拓展交流1．若正数a 、b 满足ab =a +b +3，分别求ab 与a+b 的取值范围。
基本不等式导学案
3.4.1基本不等式【学习目标】１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识．【学习重点】基本不等式的证明与应用．【学习过程】一、学习准备如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、学习探究1．命题的探究图 3．4-1-1 观察图3-4-1-1思考：（1）．上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）．假设直角三角形直角边分别为a 、b 则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_______ ___；（教材P97）（3）．假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b 时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；（4）．综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________（5）．如果 a >0且 b >0 用 a 和b 代替不等式中的a 、b 上不等式可变形为 _____ _____； （*）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：______________________________．对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。
基本不等式导学案 档
基本不等式及其运用专题复习导学案复习目标：1.熟练掌握不等式及其成立时的条件2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．基础再现：1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a （a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22； 两个变形(1)a 2＋b 22≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．课前热身练习：1.若3x >-，则23x x ++的最小值为 223- 2. .设0x <,则433y x x =--的最小值为____433+______.3．设,,5x y x y ∈+=R 且，则33x y +的最小值是___183__4.若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为___12_ 考点一 利用基本不等式求最值【典例剖析】►(1)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是 4 (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为___1_____． (3) 求的值域.(][),19,-∞⋃+∞考点二 利用基本不等式解决恒成立问题【典例剖析】►1.(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是_____15a ≥___．2.（2009·海门市第一次诊断）已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ()4,2- .3.的最小值为恒成立，则对任意的正实数）已知不等式（)0(,9)1(>≥++a a y x ya x y x 4 .考点三 利用基本不等式解决实际问题【典例剖析】►某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？答案：10年解实际应用题要注意以下几点：（挑战能力.）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?答案 用对号函数反馈练习： 的最小值求满足已知正数yx y x y x 11,12,.1+=+ 322+ . 的最大值求)52(,520.2x x y x -=<< 15. 3.已知03<<-x ，则29x x y -=的最小值是： 92-. 4.若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为_____18___．5.正数a 、b 满足 b a +=1，求 )1)(1(++b a 的最大值 32. 6. (2010·山东卷) 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 3 . 7.(2011·郑州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是___10_____．8..某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ,则有 (B )A.x =21(a+b )B.x ≤21(a +b )C.x >21(a +b )D.x ≥21 (a +b ) 9.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5,则ab 的取值范围是 (C )A.［7+6,+∞)B.［7-6,+∞)C.［7+26,+∞)D.［7-26,+∞)10.求函数最大值)10(log 5log 2)(22<<++=x xx x f 225- . 11.(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？n=8 520万12.（挑战能力）的最大值为恒成立，则且设n ca n cb b a N nc b a -≥-+-∈>>*11, 4 13.（挑战能力）的最大值求满足若正数2221,12,b a b a b a +=+ 324 . 14.（挑战能力）的最小值求2)3(222++=x x y 32。
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基本不等式（一）
【学习目标】（1）学会推导不等式2
a b
ab +≤
，理解不等式的几何意义。
（2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题 【课前预习】
如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。
在北京召开的24届国际数学家大会上
作为会标。
你知道这其中含有哪些数学因素吗？
设小直角三角形的两条直角边为、a b ，
则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。
四个直角三角形的面积和为 。
4正方形三角形S S ⨯<⇒ < 。
思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4正方形三角形S S ⨯=) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立.
特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得 。
我们通常把上式写成
2
a b
ab +≤
(00a ,b >>) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?
证明过程: 要证 2
a b
ab +≥ ①
只需证 ≥ ② (同时平方)
要证②只需证 ≥0 ③ (右边的项移到左侧)
要证③只需证 2(__________)0-≥ ④
显然④成立.当且仅当a b =时,等号成立. a,b ,
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。
若两个数a,b , 且00a ,b >>,
2
a b
+是a,b 的 ，叫做a,b 的算术平均数，
ab 是叫做a,b 的 ，叫做a,b 的几何平均数，
由基本不等式可得：a,b 的等差中项 a,b 的等比中项（,≥≤），
特别的，当a b =时，a,b 的等差中项等于a,b 的等比中项。
【预习自测】
习题一：若0a >，则1
a a +≥ 若0a
b >，则a b
b a
+≥
习题二：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则xy = ，篱笆的总长度表示为 ，
由
2
a b
ab +≥ 可得x y +≥ ， 当等号成立时，所用篱笆最短，此时___,___.x y ==
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则x y += ，篱笆的面积表示为 ，
由
2
a b
ab +≥可得xy ≤ ， 当等号成立时，面积最大，此时_____,_____.x y ==
总结：两个实数0,0,a b >>
若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。
若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。
练习：1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 设两边分别为,x y 。
则_______xy = x y +
2 用20cm 长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
基本不等式（二）
一、 自主学习
1．已知x ，y 都是整数，
（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得 （2）若xy p =（积为定制），则当x y =时，和x y +取得 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。
2．设x,y 满足440x y +=，且x,y 都是正数，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．40 B ．10 C ．4 D ．2 3．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A.1y x x =+
B. 33x x
y -=+ C. 1lg (110)lg y x x x =+<< D. 1sin (0)sin 2
y x x x π=+<< 4. 若4x >，则函数14
y x x =+-（ ）
A ．有最大值-6． B.有最小值6 C 有最大值-2 D.有最小值2 5．已知lg lg 1x y +=，则
52
x y
+的最小值为__________________ ★利用均值不等式求最值时，应注意的问题
①各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑。
②求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。
③确保等号成立。
以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”。
二、 学习探究
【题型一】利用不等式求函数的最值
已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
变式 已知0<x<1
3
，求函数y=x(1-3x)的最大值。
【题型二】含条件的最值求法
已知整数x,y 满足
81
1x y
+=，求x+2y 的最小值。
变式 ：已知0,0x y >>，满足21x y +=，求
11
x y
+的最小值.
【题型三】利用不等式解应用题
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2
的造价为150元，池
壁每1m 2
的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
知识拓展 1. 基本不等式的变形：
222
()_____2a b a b ++；222()____22a b a b ++；22___
2a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab + 2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥，都有，
1212
n
n n a a a a a a n
++
≥（当且仅当
12n a a a ==
=时取等号）
3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号） 巩固练习
1．设x>0,y>0,x+y=1,则使m x y 恒成立的实数m 的最小值是（ ）
22222．设x,y 满足x+4y=40,且想，且x,y R +
∈，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．40 B 。
10 C 。
4 D 。
2
3．已知正项等差数列{}n a 的前20项和为100，则516a a 的最大值为（ ） A ．100 B 。
75 C 。
50 D 。
25 4．函数()x
f x = （ ） A
25 B 1
2
25． 设x>0,则y=3-3x-
1
x 的最大值是 ；函数f(x)=3x+lgx+ 4lg x
(0<x<1)的最大值为 6． 求2
26()1
x x f x x -+=+（x>-1）的最小值为
8．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？。