不等式导学案
高中数学《不等式的基本性质》导学案
1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ； 推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法： 与 ．三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )． 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。
高中数学《不等关系与不等式》导学案
第三章不等式§3.1 不等关系与不等式一、学习目标1.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.2.掌握常用不等式的基本性质.3会用不等式的性质证明简单的不等式.【重点、难点】教学重点：不等式的意义及不等式的基本性质。
教学难点：不等式的意义及不等式基本性质的应用。
二、学习过程【情景创设】咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y 杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?【导入新课】1 .上述情景中的x,y满足的不等式分别为. . .x≥0,y≥02．作差法比较大小的依据是什么?(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.3．作商法比较大小的依据是什么?设a,b∈R,且a>0,b>0(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.4．不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;(4)a>b,c>d⇒a+c b+d;(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;(6)a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(7)a>b,c<0⇒ac bc;(8)乘方性:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥2);(9)开方性:a>b>0⇒错误!未找到引用源。
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(n∈N,n≥2);(10)a>b,ab>0⇒错误!未找到引用源。
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高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案
【学习要求】
1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质．
不等关系与不等式
如果 a－b 是正数，那么 ；
如果 a－b 是负数，那么
；
【学法指导】
1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成 “数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即 可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻 底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．
如果 a－b 等于零，那么
.
【知识要点】
1．不等式：用数学符号<，≤，>，≥或≠表示 式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 的
至多 ≤
至少 ≥
不少于 ≥
不多于 ≤ ，那么 a<b，
3．比较实数 a，b 大小的依据 （1）文字叙述：如果 a－b 是 ，那么 a>b；如果 a－b 等于 ，那么 a＝b；如果 a－b 是 反过来也对． （2）符号表示:a－b>0⇔ ;a－b＝0⇔ ;a－b<0⇔ . 4．常用的不等式的基本性质 （1）a>b⇔b a(对称性)； （2）a>b，b>c⇒ a c(传递性)； （3）a>b⇒ a＋c b＋c(可加性)； （4）a>b，c>0⇒ ac bc；a>b，c<0⇒ ac bc； （5）a>b，c>d⇒ a＋c b＋d； （6）a>b>0，c>d>0⇒ ac bd； （7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ an bn； （8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a n b.
不等式导学案1
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组§2.1 不等关系一、学习目标1. 感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义；2. 理解实数范围内代数式的不等关系，能够根据具体的事例列出不等关系式；3．初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一，训练分析判断能力和逻辑推理能力．二、学习重点根据具体的事例列出不等关系式.三、学习过程【课前预习自主学习】3、用不等式表示：（1）x的一半与5的差小于1；（2）x与6的和大于9；（3）8与y的2倍的和是正数；（4）x与8的差不大于0.【合作探究课堂导学】一般地，式子叫做不等式．【例1】用不等式表示:（1）a是正数；（2）a是负数；（3）a与6的和小于5；（4）x与2的差小于－1；【互助释疑精讲点拨】【例2】如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各围成正方形和圆．（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？（4）由（3）你能发现什么？改变L 的取值再试一试．在上面的问题中，所围谓成的正方形的面积可以表示为（L /4）²，圆的面积可以表示为π（L /2π）² ．（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是 （L /4）²≤25， 即 L ²/16≤25． （2）要使原的面积大于100㎝²，就是 π（L /2π）²＞100， 即 L ²/4π＞100．（3）当L =8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为8²/4π≈5.1，4＜5.1 此时圆的面积大． 当L =12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为12²/4π≈11.5，9＜11.5 此时还是圆的面积大． （4）由（3）可以发现，无论绳长L 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 L ²/4π＞L ²/16． 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？162l ≤25 π42l >100 π42l ＞162l 3x+5＞240，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知：结论：用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）,“≠”连接的式子叫做不等式. 【巩固练习 达标测评】1. 下列式子中，是不等式的有① x+y, ② 3x ﹥7, ③ 2x+3=5, ④ -2>0, ⑤ x≠3,⑥ x+3≤y+1, ⑦ x 2+ xy -2y ≥52．“x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差”用不等式表示为（ ）A.321)4(2-<+x x B.32124-≤⨯+x x C.321)4(2-≤+x x D.)3(21)4(2-≤+x x 3．下列各数：0.5，0，－1，π，1.5，2，其中使不等式x ＋1＞2成立的是（ ）A. 0.5，0，－1B. 0，－1，πC. －1，π，1.5D. π，1.5，2 4．根据下列数量关系列不等式：（1）a 是正数； （2）a 的绝对值是非负数； （3）x 的3倍与1的差大5； （4）x 的一半不小于3； （5）x 的31与x 的2倍的和是非负数； （6）a 与b 两数和的平方不超过3； （7）a 的4倍大于a 的3倍与7的差； （8）x 的3倍与8的和比x 的5倍大 ； （9）a 的3倍与b 的和不大于0；（10）直角三角形斜边c 比它的两直角边a ，b 都长. 【学后反思】知识： 方法： 【拓展延伸】a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：（1）a______b; （2）|a|______|b|; （3）a+b_________0;（4）a －b_______0; （5）a+b_______a －b; （6）ab______a.§2.2 不等关系式的基本性质一、学习目标1．探索并掌握不等式的基本性质； 2. 理解不等式与等式性质的联系与区别. 二、学习重点归纳并运用不等式的基本性质． 三、学习过程【课前预习 自主学习】1．阅读教材：我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变. 如： ∵3＜5 ∴3+2＜5+2 ； 3－2＜5－2；2．回答问题：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，那么结果会怎样？ 如： 3+a ＜5+a ； 3－a ＜5－a 是否成立？3．完成填空： 2＜3， 2×5 3×5；2＜3， 212⨯ 213⨯；2＜3， 2×（-1） 3×（-1）； 2＜3， 2×（-5） 3×（-5）； 2＜3， 2×（21-） 3×（21-）.4. 不等式的基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向 ； 不等式的基本性质2： 在不等式的两边同乘以（或除以）一个正数时，不等号的方向 ； 不等式的基本性质3： 在不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向 .【互助释疑 精讲点拨】（1）若a ＞b ，则2a+1 2b+1; （2）若y 45-＜10，则y -8； （3）若a ＜b ，且c ＞0，则ac+c bc+c ； （4）若a ＞0，b ＜0， c ＜0，（a-b ）c 0. 【例2】将下列不等式化成“a x >”或“a x <”的形式：（1）15->-x （2）32>-x【例3】由（m-1）x>m-1得到x<1，则m 的取值范围是 .【巩固练习 达标测评】1.（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由.① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）； ③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则① b a + c b + ② b a - c b - ③ ac c bc (＞0） ④c a cb（c ＜0） 2.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －2＜3; （2）6x ＜5x －1; （3）－4x ＞3.3.判断正误. 若a ＞b .则（1）a －3＜b －3; （ ） （2）2a ＞2b; （ ） （3）－4a ＞－4b ;（ ） （4）5a ＜5b ;（ ） （5）ac>bc ；（ ） （6） a 2c >b 2c ；（ ） （7）2a > 2b ；（ ） （8）2c a >2c b；（ ） （9） 3-a>3-b .（ ） 【学后反思】知识： 方法： 【拓展延伸】 1.判断正误（1）若x-y>x ,则y>0（ ） (2) 若a 2c >b 2c ，则a ＞b （ ） 2. 如果10<<x ，则下列不等式成立的（ ） A 、 x x x 12<< B 、x x x 12<< C 、21x x x << D 、x x x<<213. a 是任意有理数，试比较5a 与3a 的大小.§2.3 不等式的解集一、学习目标1. 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.2. 理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.3. 会在数轴上表示不等式的解集. 二、学习重点了解不等式的解、解集的含义，会在数轴上表示解集. 三、学习过程【课前预习 自主学习】1. 还记得怎么解一元一次方程、二元一次方程吗？还记得它们的解的含义吗？想一想：（1）x =5,6,8能使不等式x ＞5成立吗？（2）是否还能找出一些使不等式x ＞5成立的x 的值？2. 类比方程，阅读教材，归纳结论：(1)能使不等式 ，叫做不等式的解.不等式的解有时有 个，有时有有限个，有时 .(2)一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的 ，求不等式的 的过程叫做解不等式.【合作探究 课堂导学】1. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m 以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s ，人离开的速度为4 m/s ，那么导火线的长度应为多少厘米？分析：人转移到安全区域需要的时间最少为 秒，导火线燃烧的时间 为 秒，要使人转移到安全地带，必须有： ＞ . 解：设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得2. 尝试在数轴上表示出下列不等式的解集：（1）x ＞-1； （2）1-≥x ； （3）x ＜-1； （4）1-≤x注意：数轴上表示不等式的解集遵循（1）大于向右走，小于向左走 （2）有“ = ”用实心小圆点,没有“ = ”用空心圈. 【互助释疑 精讲点拨】【例1】判断下列说法是否正确：（1）2=x 是不等式3+x ＜4的解；（ ） （2）2=x 是不等式x 3＜7的解集；（ ） （3）不等式x 3＜7的解是2=x ；（ ） （4）3=x 是不等式93≥x 的解.（ ） 【例2】在数轴上表示下列不等式的解集.（1）x>3; (2) x<﹣2; (3) x≥121; (4) ﹣3 < x ≤ 1.【巩固练习 达标测评】 备选答案： 1．（1）不等式43-≤x 的解集是（ ），解集是图（ ）； A.25-≤x B.x ＜0 （2）不等式324x x ->的解集是（ ），解集是图（ ）； C.34-≤x D. x ＞0 （3）不等式x 53-＞0的解集是（ ），解集是图（ ）； （4）不等式52≥-x 的解集是（ ），解集是图（ ）.2．求不等式3+x ＜6的正整数解.3．在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( )A 、x ＜8B 、x ＞8C 、x ＜－8或x ＞8D 、－8＜x ＜8 【学后反思】知识： 方法： 【拓展延伸】 已知关于x 的方程4152435-=-m m x 的解为非负数，求m 的取值范围，并在数轴上表示出来.§2.4.1 一元一次不等式（一）一、学习目标1. 了解什么是一元一次不等式；2. 会解一元一次不等式；3．培养学生运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识． 二、学习重点解一元一次不等式. 三、学习过程【课前预习 自主学习】 观察下列不等式：(1)2x-2.5≥1.5 (2)x≤8.75 (3)x<4 (4)5+3x>240这些不等式有哪些共同点？结论：左右两边都是 ，只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元一次不等式.【合作探究 课堂导学】【例1】解下列不等式，写出详细步骤，并把它的解集表示在数轴上（1） 3-x < 2x +6 （2） 22-x ≥3x-7归纳：解一元一次不等式的步骤：【例2】 已知关于x 的不等式32125+>-+ax x 的解集为21<x 求a 的值【巩固练习 达标测评】1. 下列不等式是一元一次不等式吗？（1）2x －2.5≥15; （2） 5+3x =240; （3） x >－4; （4）x1＞1. （5） x （x+3）>-2 （6） xy -3>0 2. 已知不等式x ﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知点M （1﹣2m ，m ﹣1）关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示应是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.(1) x-4≥2(x+2) （2） －3x +12≤0; （3）21-x ＜354-x ; （4）27+x －1＜223+x .【学后反思】知识： 方法： 【拓展延伸】若关于x 的不等式x <2x +a 与2x >4的解集相同，求a 的值.§2.4.2 一元一次不等式（二）一、学习目标1.进一步熟练掌握解一元一次不等式；2.会利用一元一次不等式解决简单的实际问题. 二、学习重点用一元一次不等式解决简单的实际问题. 三、学习过程【课前预习 自主学习】温故知新：解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上 （1）132<-x x （2）2235-+≥x x【合作探究 课堂导学】【例1】一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？【例2】小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？小结：解一元一次不等式应用题的步骤：点评：解决这类问题的关键是理解题意，抓住“超过”、“不足”、“以上”、“最多”、“最少”、“至少”等关键词语，将其转化为不等式，并结合实际意义寻求最后的答案。
基本不等式导学案
基本不等式导学案基本不等式导学案均值不等式【使用说明】1.自学课本P69—P71,仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本；AA完成所有题目，BB完成除（**）外所有题目，CC完成不带（*）题目。
加?为重点内容，加△为次重点内容。
2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。
4.必须掌握的方法：运用均值不等式求函数的最值；数学思想：整体代换思想，数形结合思想.一、学习目标：1.熟练掌握均值不等式，提高运用均值不等式解题的能力；2.自主学习，合作交流，探究均值不等式应用的规律及方法；3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。
二、问题导学：问题1：均值定理是如何叙述的？你会证明吗。
思考1：均值定理的适用范围是什么？成立的条件是什么？思考2：“当且仅当”的含义是什么？思考3：什么是算术平均值？什么是几何平均值？思考4：均值不等式有几个变形？思考5：“任意两个同号的数的算术平均值不小于它们的几何平均值”的说法是否正确？为什么？△问题2：重要不等式a2b2?2ab与均值不等式的区别与联系？三、合作探究探究一、运用均值定理证明不等式例1. 已知a,b同号，求证：ab?12，并说明等号成立的条件。
拓展：已知a,b?R?,求证：(a?1a)(b?1b)?4，并说明等号成立的条件。
探究二、利用均值不等式解决实际问题例2. （1）一个矩形的.面积为64m2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m .问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？小结：已知x、y都是正数，(1)若积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值_________;(2)若和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy 有最大值_________即求用均值不等式求函数的最值时要注意成立条件：①____________②_________③_______探究三、求函数的最值例3. 求函数f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最小值，以及此时x的值。
人教七年级数学下册《不等式》导学案
（3）若2a>2b，则a____b；（4）若－2a>－2b，则a___b．
五、点拨提高
（1）已知a＞0，试比较2a与3a的大小.（2）已知a＜0，试比较2a与3a的大小.
（3）试比较2a与3a的大小.
六、课堂小结:通过今天的学习我的收获是
（2）若6＞2 ， 则6×52×5 ； 若 -2＞-3 ，则（-2）÷5-3÷5
若7＜9， 则 ； 若-3＜1，则
观察（2）得到的规律:当不等式两边乘时，不等号的方向；
用符号语言表示为：如果 ＞ ， ＞0，那么 （或 ）.
如果 ＜ ， ＞0，那么 （或 ）
不等式的性质2：.
（3）若6＞2，则6×（-5)2×（-5）；若3＞2，则
1.知识收获了：
2.我们用到的数学方法有：
3.体现了的数学思想.
课题
§9.1.2 不等式的性质（1）《检测案》
1.设a<b，用“<”或“>”填空．
（1）a－1____b－1；（2）a+1_____b+1；
（3）2a____2b；（4）－2a_____－2b；
（5）－ _____－ ；（6）____b＋c或a－c___b－c.
等式性质2：在等式的两边都______或_____同一个___(除数不为0)，等式仍然成立．
可用符号表示为：若a＝b，则a×c_____b×c， _____ (c≠0)．
思考：不等式的性质与等式的性质有何异同?
我的疑惑
课题
§9.1.2不等式的性质 (1) 《学习案》
2.用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集：
等式性质与不等式性质(第1课时)导学案(原卷版)
2.1等式性质与不等式性质（第1课时）导学案【学习目标】1. 了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2. 会用作差法比较两个代数式的大小关系.（重点）3. 掌握并会应用重要不等式.（重难点）【自主学习】一．基本事实：两个实数a ，b ，其大小关系有三种可能，即a >b ，a ＝b ，a <b .注意：符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p ⇔q ”的含义是：p 可以推出q ，q 也可以推出p ，即p 与q 可以互推．二．重要不等式∀a ，b ∈R ，有a 2＋b 22ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 【当堂达标基础练】1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h (单位：m)从地面算起不能超过4 m ；(2)a 与b 的和是非负实数；(3)如图，在一个面积小于350m 2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L (单位：m)大于宽W (单位：m)的4倍.2.比较(x +2)(x +3)和(x +1)(x +4)的大3.比较(x ＋3)(x ＋7)和(x ＋4)(x ＋6)的大小.【当堂达标提升练】5.如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．6.商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？点睛：根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x 表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．7.比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 均为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．8.已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，比较m 和n 的大小． 9．用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ，靠墙的一边长为xm.（1）若要求菜园的面积不小于110m 2，试用不等式组表示其中的不等关系;（2）若矩形的长、宽都不能超过11m ，试求x 满足的不等关系. 【当堂达标素养练】10．（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考期中）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.若在ABC 中a 、13．比较下列各组数的大小()a b ≠. （1）2a b +与211a b+，(0,0)a b >>； （2）44a b -与()34a a b -.。
高中数学选修4《基本不等式》导学案
1 §1.1.2基本不等式一、学习目标1．理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题．【重点、难点】教学重点：均值不等式定理的证明及应用。
教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
二、学习过程【情景创设】1.我们已经学过重要不等式()R b a ab b a ∈≥+,222，该不等式是怎么推导的？ 2.根据1中重要不等式推导b a ab b a ++,,22),(+∈R b a 的不等关系.并思考它们如何应用.【导入新课】自学探究：（阅读课本第5-7页，完成下面知识点的梳理）1.定理1：如果R b a ∈,，那么 ，当且仅当 时，等号成立.2.定理2（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2，当且仅当 时，等号成立. 说明：1. 基本不等式ab ≤a ＋b 2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数．2. 应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。
“积定和最小；和定积最大”。
三 、典例分析例1.(1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值.例2.(1)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；2例3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【变式拓展】变式1：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。
变式2：若26x y +=，求24x y +的最小值四、总结反思1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，这三个条件缺一不可。
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七年级数学）第九章不等式与不等式组（一）—不等式的性质学习目标：明确什么是不等式，不等式的解及解集，能列出简单的不等式；理解不等式的性质，能用不等式的性质解简单的不等式。
学习过程：环节（一）复习引入：1、比较下列各数的大小，用“＜”或“＞”填空：① 3______－6 ②－1______0 ③______2、用式子表示：① x的3倍大于5：② y与2的差小于－1：③ x不大于1：④a不等于0；小结：像上面这样，用不等号（<、>、≤、≥、≠等）表示不相等关系的式子，叫做不等式。
3、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
例如：下列数值中： -4，，0， 4.5，不等式的解有哪些？解：当-4时，=，所以-4是不等式的解；当0时，= ，所以0是不等式的解；当 4.5时，= ，所以4是不等式的解；所以，不等式的解有。
环节（二）探索不等式的性质：1、试一试：（通过计算比较结果，在横线上用“<”、“>”填空）第一部分 3 -2 4 7两边同时加上一个数 3+1 -2+1 4+（-1） 7+（-1）3+（-3） -2+（-3） 4+3 7+3两边同时减去一个数 3-2 -2-2 4-（-2） 7-（-2）3-（-4） -2-（-4） 4-3 7-3观察以上各式，我们发现：不等式两边都，不等号方向；第二部分 9 6 -4 8两边同时乘一个正数两边同时除以一个正数 9÷3 6÷3 ÷÷9÷2 6÷2 ÷4 ÷4观察以上各式，我们发现：不等式两边都，不等号方向；第三部分 9 6 -4 8两边同时乘一个负数两边同时除以一个负数 9÷（-3） 6÷（-3）÷（-）÷（-）9÷（-2） 6÷（-2）÷（-4）÷（-4）观察以上各式，我们发现：不等式两边都，不等号方向；2、想一想：你能用式子表示不等式的三条性质吗？不等式的性质1：如果，那么不等式的性质2：如果，，那么（或）不等式的性质3：如果，，那么（或）3、思考：①如果不等式两边同时乘以0，不等式会有什么变化？②不等式两边能同时除以0吗，为什么？环节（三）运用不等式的基本性质解不等式例题：利用不等式的性质解下列不等式①解：根据不等式的性质，不等式两边都，不等号方向得：②解：根据不等式的性质，不等式两边都，不等号方向得：总结：解不等式就是将不等式化成或等形式。
环节（四）巩固练习 A组1、判断下列数值：-2，3， 6，哪些是不等式的解？解：当时，= ，所以不等式的解；当3时，= ，所以 3 不等式的解；当6时，= ，所以 6 不等式的解；所以，不等式的解是：。
2、设，用“”或“”填空：①②③④3、判断题（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）①如果，则（）②如果，则（）③如果，则（）④如果，则（）4、填空①若，不等式两边都，不等号方向，得；②若，不等式两边都，不等号方向，得；③若，不等式两边都，不等号方向，得；④若，不等式两边都，不等号方向，得；B组:5、用不等式表示：①的2倍与4的差是正数：②与的和小于3：③的与的和是非负数：④与的差不大于－1：⑤y与4的差不小于零：⑥x与y的和是负数：6、下列不等式变形中正确的是（）（A）由得（B）由得（C）由得（D）由得7、利用不等式的性质解下列不等式：（1）（2）C组8、判断：（1）如果，则（）（2）（）（3）（）9．试比较与的大小。
（七年级数学）第九章不等式与不等式组（二）—不等式的解法学习目标：通过类比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法。
会求某一元一次不等式的特殊解；学习过程：环节一复习回顾练习1：已知，用“”或“”填空。
（1）（2）（3）（4）练习2：利用不等式的性质解不等式环节二创设情景，引出问题某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要等于80分，他要答对多少道题？小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？分析：设小明答对道题，每题得分题数得分答对答错或不答环节三引入新概念1、方程我们称为：；类似地，我们把不等式：称为：。
2．请写出两个一元一次不等式：环节四探索和体会1、对照下列解一元一次方程的过程，尝试解一元一次不等式：（1）（2）解：移项，得解：移项，得合并同类项，得合并同类项，得系数化为1，得系数化为1，得x = x2、讨论：比较以上过程，解一元一次不等式与解一元一次方程步骤的有哪些异同？3．例题：解不等式环节五练习A组1、解下列一元一次不等式。
（1）（2）（3）（4）B组2．求不等式的正整数解：3、解下列一元一次不等式。
（1）（2）解：去分母，得解：C组4、a取什么值时，式子表示下列数？（1）正数；（2）小于-2的数；（3）0。
5．在方程组中，若未知数满足求的取值范围。
（七年级数学）第九章不等式与不等式组（三）—不等式的解法2学习目标：1、熟练掌握一元一次不等式的解法；2、会用数轴表示不等式的解集。
学习环节环节一复习引入不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集。
例1：求不等式的解集。
这个解集在数轴上表示为：例2：求不等式的解集。
这个解集在数轴上表示为：环节二探索与体会1、用数轴表示不等式的解集：例如 x≤－2可表示为：可表示为：2、试一试，在数轴上表示下列解集：（1）（2）环节三练习 A组1、下图数轴上x的取值范围用不等式用表示（1）（2）2、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）（2）（3）（4）3．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）（2）（3）（4）B组4、用不等式表示下列语句，并写出不等式的解集：（1）的是负数：，解集是：（2）与 5的和是非正数：，解集是：（3）与3的和不小于6：，解集是：5、已知，若，则；若，则。
6、若，则一定满足（）A. B. C. D.7．列不等式解应用题：（1）一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？（2）长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100时他以4/的速度向终点冲刺，在他身后10的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？6．求不等式的非正整数解。
C组7．某长方体形状的容器长5，宽3，高10。
容器内原有水的高度为3，现准备向它继续注水。
用V（单位：）表示新注入的体积，写出V的取值范围。
（七年级数学）第九章不等式与不等式组（四）—不等式的解法练习A 组1、下列各数中：，－1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7是不等式＞5的解有：。
2、用不等式表示：（1）的2倍与4的差是非正数：。
（2）的与1的和是非负数：。
（3）x的与3的差不大于2：。
（4）与2的差是正数：。
3、根据不等式的性质求下列不等式的解集：（1）两边都，不等号方向，得x 。
（2）两边都，不等号方向，得x 。
（3）两边都，不等号方向，得x 。
（4）两边都，不等号方向，得x 。
3、设，比较下列各题中两个式子的大小（在横线上填写“〈”、“〉”或“=”）（1）（2）（3）-5 -5 （4）4、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：（1）（2）（3）（4）（5）（6）B组5、不等式的解集是；它的负整数解是；6、不等式3x―2≤4x+1的解集是；它的最小整数解是________. 7．根据下列条件求正整数（1）（2）8、当x或y满足什么条件时，下列关系成立？（1）2（x+1）大于或等于1；（2）y与1的差不大于2y与3的差。
9．列不等式解应用题：某工程队计划在10天内修路6，施工前2天修完1.2后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少千米？10、已知关于x的方程的解是非正数，求k的取值范围。
C组11、若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.12、若不等式的解集是，则m的值为（）A、4B、2C、1.5D、0.513、已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如下图，求关于x的不等式的解集。
（七年级数学）第九章不等式与不等式组（五）—不等式组的解法1学习目标：1、明确什么是一元一次不等式组，什么是一元一次不等式组的解集。
2、会求简单的一元一次不等式组的解集，并会把解集在数轴上表示出来。
学习环节环节一问题引入现有两根木条和，长为10，长为3，如果要再找一根木条，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条的长度有什么要求？ 解：设木条的长度为，根据三角形的两边之和大于第三边，可得 ； 根据三角形的两边之差小于第三边，可得 。
将上面所得两个不等式的解集在数轴上表示出来：环节二 探索与体会1、观察以上数轴，请用式子将两个解集的公共部分表示出来： 。
2、把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
这几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做不等式组的解集。
例如：把以上两个不等式合在一起得到不等式组：这个不等式组的解集为： 。
3、试一试：利用数轴表示不等式组的解集，并写出下列不等式组的解集 （1）（2）∴不等式组的解集是： ； ∴不等式组的解集是： ；（3）12x x >⎧⎨<⎩ （4）12x x <⎧⎨>⎩∴不等式组的解集是： ； ∴不等式组的解集是： 。
3、例：解一元一次不等式组： ⎩⎨⎧≤++->-)2(423)1(235x x x x解：解不等式（1），得： 解不等式（2），得：-221-1-3-221-1在数轴上表示：所以不等式组的解集是： 。
思考：（1）解一元一次不等式组的一般步骤： （2）不等式组与方程组的区别：环节三 练习 A 组 1、写出下列数轴所表示的不等式组的解集（1）（2） （3）2、不等式组⎩⎨⎧-<>32x x 的解集为_________________3、不等式组⎩⎨⎧-≥<+301x x 的解集为（ ）A 、31-≤≤-xB 、13-≤<-xC 、13-<<-xD 、13-<≤-x 4、解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。
<1><2> ⎩⎨⎧<+≤-05403x x<3> 23331x xx x >-⎧⎨+<-⎩ <4> 512324x x x x ->+⎧⎨+≥⎩_________不等式组的解集_________不等式组的解集_________不等式组的解集210,40.x x ->⎧⎨->⎩B 组5、解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。