2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，0，1，，，则为A. B. C. D.2.已知复数，则复数z的共轭复数是A. B. C. D.3.设m，n为实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数在上的图象大致是A.B.C.D.5.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的单位：升，则器中米k应为A. 2升B. 3升C. 4升D. 6升6.数列和数列满足：，，，则A. B. C. D.7.若，则A. B. C. D.8.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为参考数据：A. 米B. 米C. 米D. 米9.“爱护地球节约用水”是我们每个公民的义务与责任．某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准．为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了n个家庭某年的用水量单位：立方米，统计结果如表所示．分组频数频率25505则估计全市家庭年用水量的中位数是A. 立方米B. 立方米C. 立方米D. 立方米10.点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与该双曲线交于两点P，Q，则A. B. 4 C. D. 211.已知在四面体中，，，，平面PBC，则四面体的外接球的表面积是A. B. C. D.12.已知函数的图象在点处的切线斜率是4，则的最大值是A. B. C. D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线被圆E：截得的弦长是______．14.设函数若，则______．15.已知圆锥的顶点为A，过母线AB、AC的截面面积是若AB、AC的夹角是，且AC与圆锥底面所成的角是，则该圆锥的表面积为______．16.在中，O为其外心，，且，则边AC的长是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2015年7月31日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会简称冬奥会在北京和张家口两个城市举办．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了25名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图．成绩在平均分以上含平均分的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下不含平均分的学生所在组别定义为乙组．Ⅰ在这25名学生中，甲组学生中有男生6人，乙组学生中有女生11人，试问有没有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？Ⅱ如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附表及公式：，其中k18.设数列是一个公差为的等差数列，其前n项和为，，且三项、、成等比数列．Ⅰ求公差d的值；Ⅱ设数列的前n项和为，求使不等式成立的最小正整数n．19.正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起其中P在边AB上，Q在AC边上，使平面平面，E分别是PQ，BC的中点．Ⅰ证明：平面ADE；Ⅱ若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥的体积．20.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点的椭圆C经过点，其右焦点与抛物线的焦点重合．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ设点为长轴上的一个动点，过点M作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21.已知函数的极小值为1，其中，e为自然对数的底数．Ⅰ求a的值；Ⅱ若函数无零点，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；Ⅱ若直线l与曲线C交于A，B两点，，且，求的值．23.已知，，且．Ⅰ若对于任意的正数a，b，不等式恒成立，求实数x的取值范围；Ⅱ证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由题设解得，且，，故选AB为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．本题考查集合的基本运算，属容易题．2.答案：D解析：解：，．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：，但不能推出，因为m，n可以为负数．由可以得到．故“”是“”的必要不充分条件．故选：B．利用，但不能推出，即可判断出关系．本题考查了指数函数与对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：函数在上是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除选项A，D；当时，，所以，排除选项C．故选：B．根据函数在上是奇函数，排除选项A，D；再根据时，排除选项C．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.答案：D解析：解：由得，，；由得，，；由得，，．故选：D．根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环．本题考查算法框图与数学文化，程序框图，属于基础题．6.答案：C解析：解：，．于是．故选：C．直接根据递推关系式得到数列是个等比数列，求出其通项即可求得结论．本题主要考查了递推公式的应用以及等比数列的通项公式，属于基础题．7.答案：A解析：解：，，，故选：A．由题意利用三角恒等变换，化简所要求的式子，可得结果．本题主要考查三角函数的化简与计算，属于基础题．8.答案：B解析：解：根据题意作出下图，弧AD的长为，，所以．故选：B．由已知结合弧长公式可求弧AD，进而可求．本题主要考查圆与数学文化，属于基础试题．9.答案：D解析：解：用水量在内的频数是50，频率是，用水量在内的频数是25，则，用水量在内的频率是，用水量在内的频率是，设中位数为x立方米．则，解得．故选：D．求出，从而用水量在内的频率是，用水量在内的频率是，由此能求出中位数．本题主要考查频率分布表、频率分布直方图、中位数的求法．考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：双曲线的右焦点是，直线经过点，P，Q两点在右支上，于是．故选：B．求出双曲线的右焦点是，直线经过点，P，Q两点在右支上．转化求解即可．本题主要考查直线与双曲线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．11.答案：C解析：解：，，又平面PBC，，．四面体的外接球半径为．于是四面体的外接球的表面积是．故选：C．根据题意可知四面体由两两垂直的三条边，可嵌入到长方体中，求其外接球．本题考查四面体的外接球，注意是否是特殊的四面体，有没有通用的方法，属于中档题．12.答案：C解析：解：因为，所以，．因此．于是．当，即时，；当，即时，．所以当时，取得最大值．故选：C．先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求m，结合导数与单调性的关系即可求解．本题主要考查三角函数的最值与导数几何意义的应用，属于基础试题．13.答案：解析：解：根据题意，圆的标准方程为，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，则直线被圆E：截得的弦长为；故答案为：．根据题意，将圆的一般方程变形为圆的标准方程，分析可得圆心的坐标以及半径，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，结合勾股定理分析可得的弦长为，计算即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长公式的应用，注意利用点到直线的距离公式计算．14.答案：解析：解：．，，则故答案为：由已知可得，代入即可求解．本题主要考查了利用奇偶性求解函数值，属于基础试题．15.答案：解析：解：如图所示，、AC的夹角是，，是等边三角形，，解得．与圆锥底面所成的角是，．则该圆锥的表面积．故答案为：．如图所示，根据等边三角形的面积计算公式可得由AC与圆锥底面所成的角是，可得底面半径即可得出该圆锥的表面积．本题考查了等边三角形的面积计算公式、线面角、圆锥的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：，，，，在中，O为其外心，．又，代入式，可得，．故答案为：．本题根据O为的外心，代入已知式子中，消去，求得，通过平面向量的线性运算和模长公式求得边AC的长．本题考查了平面向量与三角形外心的综合应用，涉及向量线性运算、数量积和模长公式，属综合考查类题目．17.答案：解：Ⅰ由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人．作出列联表如下：甲组乙组合计男生6410女生41115合计101525将列联表数据代入公式计算得，．所以有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关．Ⅱ由分层抽样知，甲组应抽2人记为A、，乙组应抽3人记为a，b，．从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种．其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc．故至少有1人在甲组的概率是．解析：Ⅰ由茎叶图数据计算得，平均分为80，得到甲组，乙组人数．作出列联表，求出，即可判断是否与性别有关．Ⅱ由分层抽样知，甲组应抽2人记为A、，乙组应抽3人记为a，b，从这5人中抽取2人共有10种．至少有一人在甲组的种数是7种，然后求解至少有1人在甲组的概率．本题考查了独立性检验的应用问题，古典概型概率的求法，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．18.答案：解：Ⅰ、、成等比数列，，而是等差数列，，．于是，即，解得．由知，，解得．Ⅱ由Ⅰ知，得，．．由，解得．故使不等式成立的最小正整数n为2020．解析：Ⅰ由、、成等比数列，得，结合是等差数列，得关于首项与公差的关系式，再由列式求得．Ⅱ由Ⅰ知，得，可得，利用裂项相消法求得，再求解不等式可得使不等式成立的最小正整数n．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.答案：证明：连接AD，DE，AE，在中，，D是PQ的中点，所以．又因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以．而，所以平面ADE．解：因为平面平面BPQC，，所以平面PBCQ，连结BD，则．设，为BC的中点，于是．，当时，．此时四棱锥的体积为．解析：连接AD，DE，AE，可证，，从而可证平面ADE．设，为BC的中点，则计算可得，从而可得d何时最小并能求得此时四棱锥的体积．线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线．立体几何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到目标函数，最后根据函数的性质得到最值．20.答案：解：Ⅰ由题意知椭圆C的两个焦点．设椭圆由解得，．故椭圆C的标准方程是．Ⅱ由题意可设直线l的方程为．联立消去y得，．因为，所以．因为点为椭圆C长轴上的一个动点，所以．此时设，，则．于是．故为定值13．解析：Ⅰ由题意知椭圆C的两个焦点设椭圆利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆C的标准方程．Ⅱ由题意可设直线l的方程为联立椭圆方程，消去y得，设，，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ已知函数，所以当时，恒成立，则在R上单调递增，所以函数无极值，不符合题意．当时，令，得，．当，；当，．所以在内单调递减，在内单调递增．因此在处取得极小值，且极小值为，解得．故a的值为1．Ⅱ当时，，则．函数无零点，等价于方程在R上没有实数解，即关于x的方程：在R上没有实数解．当时，方程为，易知方程没有实数解．当时，方程化为．令，则由得，是的极小值，也是最小值，，．所以当时，方程无实数解，解得．综上可知，实数k的取值范围是．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数取得极小值的条件，结合已知可求；函数无零点，等价于方程在R上没有实数解，即关于x的方程：在R上没有实数解，然后结合k的范围及函数的性质可求．本题主要考查了函数继续存在条件的应用及利用导数求解函数的零点，考查了运算求解能力，属于中档试题．22.答案：解；Ⅰ由直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为，将，代入，得曲线C的普通方程为．Ⅱ设A，B对应的参数为，将代入，得，所以，．由于直线l过，且，所以，．于是，故．解析：Ⅰ相切参数方程中的t，即可得到直线l的普通方程和，利用，代入，即可化简曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；Ⅱ利用直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，化简求解的值．本题考查极坐标方程，参数方程的的应用，直线参数方程的几何意义，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ因为，所以即，当且仅当时取等号，因此的最小值是4．于是，所以．故实数x的取值范围是．Ⅱ证明：，当且仅当时取等号．故．解析：Ⅰ利用基本不等式转化求解的最小值，然后转化求解不等式，即可实数x的取值范围；Ⅱ：展开，通过构造法，结合基本不等式求解不等式的最小值，即可证明不等式．本题考查考生对绝对值不等式的理解和转化以及对绝对值函数的运算求解能力，考查绝对值不等式的性质，考查利用平均不等式证明相关不等式的方法．。
2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(文)试题 PDF版
一、 选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合要求的
题号 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A D
B
B
D
C
A
B
D
B
CC
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上．
13. 2 5
（Ⅰ）在这 25 名学生中，甲组学生中有男生 6 人，乙组学生中有女生 11 人，试问有没有 90%的把握认 为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，求至少有 1 人在 甲组的概率.
附表及公式：
18．（本小题满分 12 分）
第页
4
（Ⅱ）若折叠后，A、B 两点间的距离为 d ，求 d 最小时，四棱锥 A PBCQ 的体积.
20. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，中心在原点的椭圆
C
经过点
3
3 2
,1
，其右焦点与抛物线
y2
4
5x
的焦点重合.
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）设点 M m,0为长轴上的一个动点，过点 M 作斜率为 2 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点，试判
在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长
度单位.已知曲线 C
的极坐标方程为
4sin
0
，直线 l
的参数方程为
安徽省安庆市2020届高三数学第二次模拟考试试题文
1．已知全集U Z ， M {1,0,1,2} ， N { x R | x2 = x } ，则 M ∩（ CU N ）=
A． 1,2
B． 1,0
C． 0,1
D． 1,2
2.
复数 z
2
i
i
i是虚数单位的共轭复数是
A．
1 5
2 5
i
B.
1 5
2 5
i
C.
1 5
2 5
i
3. 设 m, n 为实数，则“ 2m 2n ”是“ log1 m log1 n ”的
y2 8
1的左、右焦点，直线 4x
y 12 0 与该双曲线交
于两点 P,Q ,则 F1P F1Q PQ
A. 4 2
B. 4
C. 2 2
D. 2
11. 已知在四面体 P ABC 中， PA 4, BC 2 6, PB PC 2 3, PA 平面PBC ,
则四面体 P ABC 的外接球的表面积是
称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办. 某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育
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运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛. 随机抽取了 25 名学生的成绩，绘成如图所示的 茎叶图. 成绩在平均分以上（含平均分）的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下 （不含平均分）的学生所在组别定义为乙组.
（Ⅰ）在这 25 名学生中，甲组学生中有男生 6 人，乙组学生中有女生 11 人，试问有没 有 90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人， 求至少有 1 人在甲组的概率.
高考数学二模试卷(文科)含答案解析
安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．设集合M={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N={x∈R|x2+3x＜0}，则M∩N=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣3，﹣2，﹣1}D．{﹣2，﹣1}2．设i为虚数单位，复数z满足=1﹣i，则复数z=（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i3．角A是△ABC的一个内角，若命题p：A＜，命题q：sinA＜，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．32C．64D．10246．在等比数列{a n}中，a2a3a4=27，a7=27，则首项a1=（）A．B．±1C．D．17．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32B．32C．D．8．已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．9．若函数y=ae x+3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）10．函数y=xsinx+ln（x2+1）在[﹣π，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．11．设函数y=sinωx（ω＞0）的最小正周期是T，将其图象向左平移T后，得到的图象如图所示，则函数y=sinωx（ω＞0）的单增区间是（）A．[﹣， +]（k∈Z）B．[﹣， +]（k ∈Z）C．[﹣， +]（k∈Z）D．[+， +]（k ∈Z）12．已知实数x，y满足条件，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]二、填空题13．若抛物线y2=8x的准线和圆x2+y2+6x+m=0相切，则实数m的值是．14．已知向量||=，||=2，且•（﹣）=0，则﹣的模等于．15．设A、B是球O的球面上两点，且∠AOB=90°，若点C为该球面上的动点，三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为立方米，则球O的表面积是平方米．=a 16．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且S2n﹣1（n∈N*），若不等式++…+≤nlogλ对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值是．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且满足2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求△ABC面积的最大值．18．在矩形ABCD中，将△ABC沿其对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面ACD上的射影O恰好落在边AD上（如图所示）．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面B1CD；（Ⅰ）若AB=1，BC=，求三棱锥B1﹣ABC的体积．19．为响应阳光体育运动的号召，某县中学生足球活动正如火如荼的开展，该县为了解本县中学生的足球运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全县24000名中学生（其中男生14000人，女生10000人）中抽取120名，统计他们平均每天足球运动的时间，如表：（平均每天足球运动的时间单位为小时，该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0，3]）男生平均每天足球运动的时间分布情况：平均每天[0，[0.5，[1，[1.5，[2，[2.5，足球运动的时间0.5）1） 1.5）2） 2.5）3]人数23282210x 女生平均每天足球运动的时间分布情况：平均每天足球运动的时间[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3]人数51218103y（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到0.1）；（Ⅰ）若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”．低于2小时的学生为“非足球健将”．①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断，能否有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关？足球健将非足球健将总计男生女生总计②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况，求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率是，F1、F2是椭圆的左、右焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，且S=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅰ）若直线l过右焦点F2且交椭圆E于P、Q两点，点M是直线x=2上的任意一点，直线MP、MF2、MQ的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在常数λ，使得k1+k3=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）在[﹣1，3]上的零点个数；（Ⅰ）若对于任意的a∈[﹣3，0]，任意的x1，x2∈[0，2]，不等式m﹣am2≥|f （x1）﹣f（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P 是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅰ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．[选修4-5:不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅰ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合M={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N={x∈R|x2+3x＜0}，则M∩N=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣3，﹣2，﹣1}D．{﹣2，﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N={x∈R|x2+3x＜0}={x|﹣3＜x＜0}，∴M∩N={﹣2，﹣1}．故选：D．2．设i为虚数单位，复数z满足=1﹣i，则复数z=（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：=1﹣i，则复数z====i．故选：C．3．角A是△ABC的一个内角，若命题p：A＜，命题q：sinA＜，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质和充分条件和必要条件的定义即可判断【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，π），若命题p：A＜，命题q：sinA＜成立，反之当sinA＜，则A=满足，故p是q的充分不必要条件，故选：A4．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有36种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率列举出所有基本事件为：（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1）（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），（1，5），（5，1），（2，6），（6，2），（1，6），（6，1），共计36个．记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，事件B包含的基本事件为：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1），共计16个．∴P==，∴“甲乙心有灵犀”的概率为．故选D．5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．32C．64D．1024【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=4时不满足条件n≤3，退出循环，输出S的值为64．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=0，S=1，n=1满足条件n≤3，S=2，n=2满足条件n≤3，S=8，n=3满足条件n≤3，S=64，n=4，不满足条件n≤3，退出循环，输出S的值为64．6．在等比数列{a n}中，a2a3a4=27，a7=27，则首项a1=（）A．B．±1C．D．1【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4=27，a7=27，∴=27，=27，∴=1，a1＞0，解得a1=1．故选：D．7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．32B．32C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个直三棱柱，其中高为4，底面为一个等腰三角形，底边长为4，底边上的高为4．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个直三棱柱，其中高为4，底面为一个等腰三角形，底边长为4，底边上的高为4．∴该几何体的体积V=×4=32．8．已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设虚轴的一个端点M（0，b），结合焦点F1、F2的坐标和∠F1MF2=120°，得到c=b，再用平方关系化简得c=a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线，可得虚轴的一个端点M（0，b），F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），设∠F1MF2=120°，得c=b，平方得c2=3b2=3（c2﹣a2），可得3a2=2c2，即c=a，得离心率e==．故选：B．9．若函数y=ae x+3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知：则y′=ae x+3=0有负根，则e x=﹣在y轴的右侧有交点，由函数的性质即可求得实数a的取值范围．【解答】解：y=ae x+3x，求导，y′=ae x+3，由若函数y=ae x+3x在R上有小于零的极值点，则y′=ae x+3=0有负根，则a≠0，则e x=﹣在y轴的左侧有交点，∴0＜﹣＜1，解得：a＜﹣3，实数a的取值范围（﹣∞，﹣3）故选B．10．函数y=xsinx+ln（x2+1）在[﹣π，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数值的特点即可判断．【解答】解：当0＜x≤π时，xsinx≥0，ln（x2+1）＞0，∴y＞0，故排除B，C，D，故选：A11．设函数y=sinωx（ω＞0）的最小正周期是T，将其图象向左平移T后，得到的图象如图所示，则函数y=sinωx（ω＞0）的单增区间是（）A．[﹣， +]（k∈Z）B．[﹣， +]（k ∈Z）C．[﹣， +]（k∈Z）D．[+， +]（k ∈Z）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，由整体思想和正弦函数的单调性求出递增区间．【解答】解：由图象得，T=，则T=，由得，ω=，所以y=sin x，由得，，所以函数的递增区间是，故选：A．12．已知实数x，y满足条件，则的取值范围是（）A．[0，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出的范围，把化为求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=，则t的最小值为0，联立，解得B（2，2），∴t的最大值为1，∴==∈[，]．故选：C．二、填空题13．若抛物线y2=8x的准线和圆x2+y2+6x+m=0相切，则实数m的值是8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，由方程组只有一解⇒m．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，由方程组只有一解⇒m=8，故答案为：814．已知向量||=，||=2，且•（﹣）=0，则﹣的模等于1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算与模长公式，求出•=3，再求的值，即可得出|﹣|的值．【解答】解：向量||=，||=2，且•（﹣）=0，∴﹣•=3﹣•=0，∴•=3；∴=﹣2•+=3﹣2×3+22=1，∴|﹣|=1．故答案为：1．15．设A、B是球O的球面上两点，且∠AOB=90°，若点C为该球面上的动点，三棱锥O﹣ABC的体积的最大值为立方米，则球O的表面积是36平方米．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，由此求出球O的半径，进而能求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时=，解得R=，∴球O的表面积为S=4πR2=4π×=36．故答案为：36．16．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且S2n=a﹣1（n∈N*），若不等式++…+≤nlogλ对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值是．【考点】数列与不等式的综合．【分析】数列{a n}是各项均不为零的等差数列，设公差为d，又S2n﹣1=a（n∈N*），n=1时，，解得a1．n=2时，S3=，解得d．可得a n=2n﹣1．利用“裂项求和”方法可得： ++…+=．代入不等式+ +…+≤nlogλ，化简利用数列的单调性、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是各项均不为零的等差数列，设公差为d，又S2n﹣1=a （n∈N*），∴n=1时，，解得a1=1．n=2时，S3=，即3+3d=（1+d）2，解得d=2或d=﹣1（舍去）．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴==．∴++…+=+…+==．不等式++…+≤nlogλ，即：≤nlogλ，化为：logλ≥．不等式++…+≤nlogλ对任意n∈N*恒成立，∴logλ≥，∴0＜λ≤=．则实数λ的最大值是．故答案为：．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且满足2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）用正弦定理化简已知等式，整理后再用余弦定理变形，求出cosC 的值，从而求出C的度数；（Ⅰ）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，用三角形的面积公式列出关系式，用正弦定理化简后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦函数的图象与性质求出最大值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，其外接圆的半径是1，∴===2R=2，∴sinA=，sinB=，sinC=；又2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴2（﹣）=（a﹣b）•，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==；又C∈（0，π），∴C=；（Ⅰ））∵C=，∴A+B=，即B=﹣A，∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，=absinC=2sinAsinBsin∴S△ABC=sinAsinB=sinAsin（﹣A）=sinA（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+（1﹣cos2A）=（sin2A﹣cos2A）+=sin（2A﹣）+，当2A﹣=，即A=时，△ABC的面积取得最大值为+．18．在矩形ABCD中，将△ABC沿其对角线AC折起来得到△AB1C，且顶点B1在平面ACD上的射影O恰好落在边AD上（如图所示）．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面B1CD；（Ⅰ）若AB=1，BC=，求三棱锥B1﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明AB1⊥CD，又AB1⊥B1C，且B1C∩CD=C，【分析】可得AB1⊥平面B1CD；（Ⅰ）根据体积公式，由已知求得△ABC的面积，而高即为B1O，又易证△AB1D 为直角△，则斜边AD上的高B1O可求，则三棱锥B1﹣ABC的体积可求．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC，则AB1⊥B1C，在三棱锥B1﹣ACD中，∵B1O⊥面ACD，∴B1O⊥CD，又CD⊥AD，且AD∩B1O=O，∴CD⊥平面AB1O，则CD⊥AB1，又B1C∩CD=C，∴AB1⊥平面B1CD；（Ⅰ）解：由于AB1⊥平面B1CD，B1D⊂平面ABCD，∴AB1⊥B1D，在Rt△AB1D中，，又由B1O•AD=AB1•B1D，得=，∴S△ABC•B1O=×1××=．19．为响应阳光体育运动的号召，某县中学生足球活动正如火如荼的开展，该县为了解本县中学生的足球运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全县24000名中学生（其中男生14000人，女生10000人）中抽取120名，统计他们平均每天足球运动的时间，如表：（平均每天足球运动的时间单位为小时，该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0，3]）男生平均每天足球运动的时间分布情况：平均每天足球运动的时间[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3]人数23282210x 女生平均每天足球运动的时间分布情况：平均每天足球运动[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3]的时间人数51218103y（Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到0.1）；（Ⅰ）若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”．低于2小时的学生为“非足球健将”．①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断，能否有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关？足球健将非足球健将总计男生女生总计②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况，求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用；频率分布表．【分析】（Ⅰ）先求出x，y的值，再计算该校男生平均每天足球运动的时间；（Ⅰ）①求出K2，与临界值比较，即可得出结论；②确定基本事件的公式，即可求出概率．【解答】解：（Ⅰ）由分层抽样得，男生抽取的人数为=70人，女生抽取人数为120﹣70=50，∴x=5，y=2，∴该校男生平均每天足球运动的时间=≈1.6小时；（Ⅰ）①由表格可知足球健将 非足球健将总 计 男 生 15 55 70 女 生 5 45 50 总 计 20100120∴K 2=≈2.743＜2.706，∴能有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关；②记不足半小时的两人为a ，b ，足球运动时间在[0.5，1）内的3人为1，2，3，则总的基本事件有10个，取值2名代表足球运动时间不足半小时的是（ab ），故概率为．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0）的离心率是，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的上顶点，且S =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）若直线l 过右焦点F 2且交椭圆E 于P 、Q 两点，点M 是直线x=2上的任意一点，直线MP 、MF 2、MQ 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问是否存在常数λ，使得k 1+k 3=λk 2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求利用三角形的面积公式（a +c ）b=，根据椭圆的离心率及a，b和c的关系，求得a与b的值，求得椭圆方程；（Ⅰ）当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知k1+k3=+，代入即可求得k1+k3=2t，则k2==t，即可求得λ的值．【解答】解：（Ⅰ）由F1（﹣c，0），A（a，0），B（0，b），则S=（a+c）b=，则（a+c）b=+1，即（a+c）=+1，由e==，a=c，则（c+c）=+1，解得：c=1，则a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅰ）由（Ⅰ）可知：F2的坐标为F2（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（2，t），当直线l的斜率不为0时，设l的方程为x=my+1，，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则k1+k3=+ = • = =，=，==2t，由k2==t，则k1+k3=2k2，当直线l的斜率为0时，显然k1+k3=+=2t=2k2，k1+k3=2k2，成立，综上可知：存在λ=2，使得k1+k3=λk2成立．21．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）在[﹣1，3]上的零点个数；（Ⅰ）若对于任意的a∈[﹣3，0]，任意的x1，x2∈[0，2]，不等式m﹣am2≥|f （x1）﹣f（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数f′（x）的解析式，通过讨论a的范围，求出方程f′（x）=0的零点个数即可；（Ⅰ）对于任意的x1，x2∈[0，2]，不等式m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，等价于m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|max，由（I）易求f（x）的最大值、最小值，从而可得|f（x1）﹣f（x2）|max，进而问题转化为对于任意的a∈[﹣3，0]，m﹣am2≥5﹣3a恒成立，构造关于a的一次函数g（a）=（m2﹣3）a﹣m+5，a∈[﹣3，0]，只需，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a），a＜﹣1时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点，﹣1≤a＜1时，令f′（x）=0，解得：x=a，1，f′（x）2个零点，a=1时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点，1＜a≤3时，令f′（x）=0，解得：x=a，1，f′（x）2个零点，a＞3时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点；（Ⅰ）对于任意的x1，x2∈[0，2]，不等式m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，等价于m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|max，f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a），当a≤0时，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜a，∴f（x）的增区间为（﹣∞，a），（1，+∞），减区间为（a，1）；故f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f（0）=0，f（2）=4，∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（2）﹣f（1）=5﹣3a，则问题转化为对于任意的a∈[﹣3，0]，m﹣am2≥5﹣3a恒成立，即对于任意的a∈[﹣3，0]，（m2﹣3）a﹣m+5≤0恒成立．构造g（a）=（m2﹣3）a﹣m+5，a∈[﹣3，0]，只需，解得m∈[5，+∞），∴实数m的取值范围是[5，+∞）．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P 是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅰ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的直角坐标方程．（Ⅰ）由题意P（），从而点P到直线l的距离d==，由此能求出点P到直线l的距离的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，∴，∴ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0．（Ⅰ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，∴P（），点P到直线l的距离d==，∴点P到直线l的距离的最大值d max=，点P到直线l的距离的最小值d min==．[选修4-5:不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅰ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a2，由此求得实数a的取值的集合T；（2）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可证明结论．【解答】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．4月5日。
最新2020年安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(文)试题(含答案)
A. 4 2
B.
4
C.
22
D.
2
11. 已知在四面体 P ABC 中， PA 4, BC 2 6, PB PC 2 3, PA 平面 PBC , 则四面体
P ABC 的外接球的表面积是
A. 160
B.
128
C.
40
D.
32
12. 已知函数 f ( x) msin x sin 2x( m R) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线斜率是 4 ，则 f (x) 的最大值
（Ⅱ）由分层抽样知 , 甲组应抽 2 人（记为 A、 B），乙组应抽 3 人（记为 a, b,c ） .
………………… 9 分
从这 5 人中抽取 2 人的情况分别是 AB, Aa, Ab, Ac, Ba, Bb, Bc,ab, ac, bc，共有 10 种 .
其中至少有一人在甲组的种数是 7 种，分别是 AB , Aa, Ab, Ac, Ba, Bb, Bc.
a2
解得，
a2 b2 5
b2
9 .
4
x2 y2
故椭圆 C的标准方程是
1.
94
（Ⅱ）由题意可设直线 l 的方程为 y 2 x m . 3
y 2x m
联立
3
消去 y得, 2 x2 2mx m2 9 0.
x2 y2
1
94
……………… 4 分 …………………… 6 分
因为
2m 2 8 m2 9 0, 所以 m 3 2 ,3 2 .
.
15. 已知圆锥的顶点为 A ，过母线 AB 、 AC 的截面面积是 2 3 . 若 AB 、 AC 的夹角是 60 ，且 AC 与
圆锥底面所成的角是 30 ，则该圆锥的表面积为 __________ ．
2020年安徽省安庆市示范高中高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含解析)
2020年安徽省安庆市示范高中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−2,0，1，3}，B ={x|−52<x <32}，则集合A ∩B 的子集个数为( )A. 4B. 8C. 16D. 322. 已知复数z 满足zi =−2+i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量a ⃗ =(−1,2),b ⃗ =(1,−1)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =( )A. 4B. −4C. 8D. 54. 某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为( )A. 15.5B. 15.6C. 15.7D. 165. 如果一个项数是偶数项的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项是1，且中间两项的和为96，则此等比数列的项数是 ( )A. 12B. 10C. 8D. 66. 《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( )A. 13B. 23C. 14D. 347. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≤0log 2x,x >0，则不等式|f(x)|≥1的解集为( )A. (−∞,12] B. (−∞,0]∪[2,+∞) C. [0,12]∪[2,+∞)D. (−∞,12]∪[2,+∞)8.我国古代数学专著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与古老的算法“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”.当输入a=1081，b=805时，输出的a=()A. 7B. 11C. 23D. 479.已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为4π，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为A. [4kπ−3π2,4kπ+π2](k∈Z) B. [2kπ−3π2,2kπ+π2](k∈Z)C. [4kπ−3π4,4kπ+π4](k∈Z) D. [2kπ−3π4,2kπ+π4](k∈Z)10.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√311.设双曲线x24−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点，则|AF1|+|BF2|的最小值为()A. 16B. 12C. 11D. 19212.下列命题中，真命题是()A. ∃x∈R,sinx+cosx=1.5B. ∀x∈(0,π),sinx>cosxC. ∃x∈R,x2+x=−1D. ∀x∈(0,+∞)，e x>1+x二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=2e x的图象在点(0,f(0))处的切线方程为__________14.若实数x，y满足约束条件{x+y−1≥0x−3y+3≥0x≤3，则z=2x−y的最大值为______．15.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1,−1)，则椭圆E的方程为_________．16.如图，∠ACB=90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD=AB=2，则三棱锥D−AEF体积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为415．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．下面是临界值表供参考18.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为且a，b，c，且√3cosA =csinC．(1)求角A的大小；(2)若a=6，b=2c，求△ABC的面积．19.在底面为正方形的四棱锥S−ABCD中，SD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点，(Ⅰ)求证：BE//平面SDF；(Ⅱ)若AB=5，求点E到平面SDF的距离．t．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点A(t,3)到焦点F的距离等于134(1)求t的值以及抛物线C的方程；(2)已知直线l与抛物线C相交于不同的M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=9，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．421.已知函数f(x)=2e x−ax−2(x∈R,a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)当x ≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知f(x)=|ax +1|，a ∈R ．(1)若关于x 的不等式f(x)≤3的解集为{x|−2≤x ≤1}，求实数a 的值； (2)若x ∈(0,12)时，不等式f(x)≤2−|2x −1|恒成立．求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A∩B={−2,0，1}，由此能求出集合A∩B的子集个数．解：∵集合A={−2,0，1，3}，B={x|−52<x<32}，∴集合A∩B={−2,0，1}，∴集合A∩B的子集个数为23=8．故选：B．2.答案：A解析：解：由zi=−2+i，得z=−2+ii =(−2+i)(−i)−i2=1+2i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,−1)，则(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=(−2,3)⋅(−1,2)=2+6=8．故选：C．通过向量的坐标运算，结合向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．4.答案：B。
安徽省安庆市2020届高三第二次模拟考试 数学(文)试题 参考答案
将列联表数据代入公式计算得, K 2 = 25 × (6 ×11 − 4 × 4)2 ≈ 2.778 > 2.706.
10 ×15 ×10 ×15
所以有 90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.……………………8 分
（Ⅱ）由分层抽样知, 甲组应抽 2 人（记为 A、B），乙组应抽 3 人（记为 a, b, c ）.
11. 解析：本题主要考查四面体的外接球.
Q PB2 + PC 2 = 12 +12 = 24 = BC 2,∴ PB ⊥ PC, 又PA ⊥ 平面PBC,∴ PA ⊥ PB, PA ⊥ PC
∴四面体
P
−
ABC
的外接球半径为
1 2+12 +16 =
10.
2020 年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（文）参考答案
一、 选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合要求的
题号 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A D
B
B
D
C
A
B
D
B
CC
1.解析：本题主要考查集合的运算.
因为 N = { x | x2 = x } = {0,1}，所以 M ∩ (CU N ) = {− 1,2}.故选A.
由 解得， 故选 0.025(x − 20) = 0.5 − 0.315
x = 27.40 .
D.
10.解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系.
双曲线 x2
−
y2 8
= 1的右焦点是 F（2 3,0），直线 4x
2020年安徽省安庆市示范高中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（解析版）
2020年安徽省安庆市⽰范⾼中⾼考数学模拟试卷（⽂科）（5⽉份）（解析版）2020年⾼考（⽂科）数学（5⽉份）模拟试卷⼀、选择题（共12⼩题）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，B＝{x|2x＜1}，则集合A∩B的⼦集个数为（）A．1B．2C．3D．42．若复数z＝（i是虚数单位），则z在复平⾯内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第⼆象限D．第⼀象限3．若平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则?＝（）A．3+B．2C．1﹣D．24．某单位统计了本单位的职⼯⼀天⾏⾛步数（单位：百步）得到如图频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值为代表）（）A．125B．125.6C．124D．1265．已知项数为奇数的等⽐数列{a n}的⾸项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等⽐数列的项数为（）A．5B．7C．9D．116．古代《冰糖葫芦》算法题：⼀个⼩摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，⼀种是5个⼭楂；另⼀种是2个⼭楂、3个⼩桔⼦．若⼩摊上⼭楂共640个，⼩桔⼦共360个，现从⼩摊上随机选取⼀个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.67．已知函数f（x）＝2|x|+|x|﹣3，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8．我国古代数学专著《九章算术》⽤“更相减损术”求两个正整数的最⼤公约数是⼀个伟⼤创举，这个伟⼤创举与古⽼的算法“辗转相除法”实质⼀样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”．当输⼊a＝1081，b＝805时，输出的a＝（）A．7B．11C．23D．479．已知函数f（x）＝2cos（sin（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为（）A．B．πC．3D．3π10．COVID﹣19是⼀种新型冠状病毒（因其表⾯有类似王冠上的突起⽽得名），感染者在潜伏期便已具备传染能⼒．为⽅便病⼈的转移及隔离，某企业设计了⼀种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所⽰（单位：m），其中正视图的上半部分是⼀段圆弧，则该隔离舱的表⾯积为（）A．3B．3C．D．11．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右⽀交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内⼼，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．412．下列命题为真命题的是（）①1nπ＞1n2 ②π＞e③sin3＜sin4 ④sin1＞A．①④B．②④C．②③D．①②④⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线⽅程为．14．已知变量x，y满⾜不等式组则z＝x+3y的最⼤值为．15．已知椭圆E：＝1（m＞0）的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆E的⽅程为．16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AF⊥平⾯ABCD，且AF＝3，E为线段DC 上⼀点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值是．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．（⼀）必考题：共60分．17．在3+1+2的新⾼考模式下，某学校计划在⾼⼀下学期开设“物理”和“历史”两个选修科⽬．为了了解学⽣对这两个科⽬的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从⾼⼀年级500名学⽣（其中男⽣200⼈，⼥⽣300⼈）中，采⽤分层抽样的⽅法从中抽取部分学⽣进⾏调查．其中，⼥⽣⽐男⽣多抽取20⼈．（1）请问总共抽取了多少名学⽣进⾏调查；（2）新⾼考模式要求每名学⽣在“物理”和“历史”这两个科⽬中必须选择⼀个科⽬且只能选择⼀个科⽬，下表是根据调查结果得到的⼀个不完整的列联表，请将下⾯的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关？选择“物理”选择“历史”总计男⽣⼥⽣25总计55附：．P（K2≥k e）0.050.010.0050.001k e 3.841 6.6357.87910.82818．在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）当cos B＝时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，且△ACD的⾯积为，求△ABC的周长．19．如图，已知AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，△ACD 是边长为2的正三⾓形，F是CD的中点，且BC＝BE＝．（1）求证：AF∥平⾯BCE；（2）求点D到平⾯BCE的距离．20．已知抛物线C：y2＝2px上⼀点M（，y0）到其焦点F的距离等于．（1）求抛物线C的标准⽅程；（2）若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜⾓互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．已知函数f（x）＝e2x+2ae x+2ax，其中a＜0．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线⽅程；（2）若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x）≥0恒成⽴，求实数a的取值范围．（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22、23两题中任选⼀题作答．如果多做，则按所做的第⼀题计分．（本⼩题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在平⾯直⾓坐标系xOy中，直线l的参数⽅程是，（t是参数，，曲线C1的参数⽅程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴且取相同的单位长度建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程是ρ＝4b sinθ．（1）求直线l及曲线C1的极坐标⽅程；（2）若，l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求|OM||ON|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（本⼩题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+m|﹣2m（m∈R）．（1）当m＝﹣1时，求不等式f（x）＜10的解集；（2）若?x∈R，f（x）+3|x﹣1|≥5恒成⽴，求实数m的取值范围．参考答案⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，B＝{x|2x＜1}，则集合A∩B的⼦集个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】求出集合A，B，从⽽求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的⼦集个数．解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|2x＜1}＝{x|x＜0}，∴集合A∩B＝{﹣1}，∴集合A∩B的⼦集个数为2．故选：B．2．若复数z＝（i是虚数单位），则z在复平⾯内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第⼆象限D．第⼀象限【分析】利⽤复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z在复平⾯内对应的点的坐标为（），在第⼆象限．故选：C．3．若平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则?＝（）A．3+B．2C．1﹣D．2【分析】利⽤已知条件求出，然后求解向量的数量积即可．解：平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），可得＝（1，），所以?＝（2，0）?（1，）＝2．故选：B．4．某单位统计了本单位的职⼯⼀天⾏⾛步数（单位：百步）得到如图频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值为代表）（）A．125B．125.6C．124D．126【分析】由频率分布直⽅图能估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值．解：由频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为：＝60×0.002×20+80×0.006×20+100×0.008×20+120×0.012×20+140×0.010×20+160×0.008×20+180×0.002×20+200×0.002×20＝125.6．故选：B．5．已知项数为奇数的等⽐数列{a n}的⾸项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等⽐数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【分析】根据题意，设a n＝a1?q n﹣1＝q n﹣1，由等⽐数列的前n项和公式可得q的值，进⽽求得结论．解：根据题意，数列{a n}为等⽐数列，设a n＝a1?q n﹣1＝q n﹣1，⼜由数列{a n}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q＝＝2，故s n＝21+10＝?2n﹣1＝31?n＝5；故选：A．6．古代《冰糖葫芦》算法题：⼀个⼩摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，⼀种是5个⼭楂；另⼀种是2个⼭楂、3个⼩桔⼦．若⼩摊上⼭楂共640个，⼩桔⼦共360个，现从⼩摊上随机选取⼀个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【分析】设5个⼭楂的“冰糖葫芦”有x个，2个⼭楂、3个⼩桔⼦的“冰糖葫芦”有y 个，列出⽅程组求出x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80+120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂包含的基本事件个数m＝80，由此能求出这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率．解：设5个⼭楂的“冰糖葫芦”有x个，2个⼭楂、3个⼩桔⼦的“冰糖葫芦”有y个，则，解得x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80+120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂包含的基本事件个数m＝80，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为P＝．故选：B．7．已知函数f（x）＝2|x|+|x|﹣3，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】由f（x）＝2|x|+|x|﹣3＞0，得2|x|＞﹣|x|+3，作出函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象，数形结合得答案．解：由f（x）＝2|x|+|x|﹣3＞0，得2|x|＞﹣|x|+3，作出函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象如图，当x＞0时，由2|x|＞﹣|x|+3，得2x＞﹣x+3，再令g（x）＝2x+x﹣3，当x＞0时，该函数为增函数，⽽g（1）＝0，∴x＞0时，函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象的交点的横坐标为1，由对称性可得，x＜0时，函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象的交点的横坐标为﹣1，由图可知，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．8．我国古代数学专著《九章算术》⽤“更相减损术”求两个正整数的最⼤公约数是⼀个伟⼤创举，这个伟⼤创举与古⽼的算法“辗转相除法”实质⼀样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”．当输⼊a＝1081，b＝805时，输出的a＝（）A．7B．11C．23D．47【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序框图的运⾏过程，如下；a＝1081，b＝805，执⾏循环体，r＝276，a＝805，b＝276，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝253，a＝276，b＝253，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝23，a＝253，b＝23，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝0，a＝23，b＝0，此时，满⾜退出循环的条件r＝0，退出循环，输出a的值为23．故选：C．9．已知函数f（x）＝2cos（sin（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为（）A．B．πC．3D．3π【分析】由题意利⽤三⾓恒等变换化简f（x）的解析式，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，结合正弦函数的周期性和零点，求出函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值．解：∵函数f（x）＝2cos（sin＝sinωx+cosωx+1＝sin （ωx+）+1（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ωx+∈（﹣ω2+，ω2+），∴﹣ω2+≥﹣，ω2+≤，求得ω≤．⼜函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，∴ω2+＝kπ+，即ω＝，∴ω＝，f（x）＝sin（x+）+1．将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝sin（x++）+1＝sin（x+）+1的图象．令g（x）＝0，求得sin（x+）＝﹣，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为＝?＝，故选：A．10．COVID﹣19是⼀种新型冠状病毒（因其表⾯有类似王冠上的突起⽽得名），感染者在潜伏期便已具备传染能⼒．为⽅便病⼈的转移及隔离，某企业设计了⼀种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所⽰（单位：m），其中正视图的上半部分是⼀段圆弧，则该隔离舱的表⾯积为（）A．3B．3C．D．【分析】⾸先把三视图转换为直观图，进⼀步求出⼏何体的表⾯积．解：根据⼏何体的三视图转换为直观图为：该⼏何体为由圆柱的⼀部分和四棱柱体构成的组合体．如图所⽰：所以侧⾯的弧半径为：r＝，该⼏何体的表⾯积为：S═+2×+＝．故选：C．11．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C 的右⽀交于A，B两点，设点H（x H，yH），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内⼼，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．4【分析】不妨设直线AB的斜率⼤于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，运⽤切线的性质和双曲线的定义，求得G，H的横坐标为a，结合直⾓三⾓形的正切函数的定义和⼆倍⾓公式，计算可得所求值．解：不妨设直线AB的斜率⼤于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直⾓三⾓形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直⾓三⾓形F2FH中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），⼜|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，tanθ＝＝，可得θ＝，所以|HG|＝4|FG|＝4（2﹣）tan＝4，故选：D．12．下列命题为真命题的是（）①1nπ＞1n2 ②π＞e③sin3＜sin4 ④sin1＞A．①④B．②④C．②③D．①②④【分析】构造函数f（x）＝lnx﹣ln2，根据函数单调性判断①，构造函数f（x）＝lnx ﹣，根据函数单调性判断②，根据正弦函数单调性判断③，作差，提公因式，再根据余弦函数单调性判断④．解：（1）令f（x）＝lnx﹣?ln2，则f′（x）＝﹣＝，∴当0＜x＜4时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，4）上单调递增，∴f（π）＜f（4），即lnπ﹣ln2＜0，故lnπ＜ln2，故①错误；（2）令f（x）＝lnx﹣，则f′（x）＝﹣＝，∴当0＜x＜4e时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，4e）上单调递增，∴f（π）＞f（e），即lnπ﹣＞0，即lnπ＞，故π＞e，故②正确；（3）令f（x）＝sin x，则f（x）在（，）上单调递减，⼜＜3＜4＜，∴sin3＞sin4，故③错误；（4）sin1﹣sin＝sin（2cos﹣），∵y＝cos x在（0，）上是减函数，∴cos＞cos＝＞，∴2cos﹣＞0，⼜sin＞0，∴sin1﹣sin＞0，即sin1＞sin，故④正确．故选：B．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线⽅程为y＝3x﹣4．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式⽅程可得所求切线的⽅程．解：函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k＝1+2＝3，⼜f（1）＝﹣1，则切线的⽅程为y+1＝3（x﹣1），即为y＝3x﹣4．故答案为：y＝3x﹣4．14．已知变量x，y满⾜不等式组则z＝x+3y的最⼤值为．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义进⾏求解即可．解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：由z＝x+3y得y＝﹣+，平移直线y＝﹣+，由图象知当直线经过A点时直线的纵截距最⼤，此时z最⼤，由，得A（，），此时z＝+3×＝，即⽬标函数的最⼤值为，故答案为：．15．已知椭圆E：＝1（m＞0）的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆E的⽅程为．【分析】由题意可知，点F（，0），所以直线AB的斜率为，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利⽤点差法可得，＝＝k，从⽽求得m的值，再代⼊椭圆E的⽅程中即可得解．解：由题意可知，点F（，0），所以直线AB的斜率为，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减，整理得，＝，所以＝，解得m＝9，∴椭圆E的⽅程为．故答案为：．16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AF⊥平⾯ABCD，且AF＝3，E为线段DC 上⼀点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值是．【分析】由题意画出图形，可得△BCF的⾯积为定值，求出D′到平⾯BCF的最⼩值，可得M到平⾯BCF的最⼩值，则三棱锥M ﹣BCF的体积的最⼩值可求．解：三棱锥M﹣BCF的底⾯三⾓形BCF是固定的，⼜AF⊥底⾯ABC，BC?平⾯ABC，∴AF⊥BC，⼜在矩形ABCD中，BC⊥AB，AB∩AF＝A，∴BC⊥平⾯ABF，⼜BF?平⾯ABF，∴BF⊥BC．∴＝．要求三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值，只需求点M到平⾯BCF距离的最⼩值h即可．∵M为BD'的中点，∴点M到平⾯BCF的距离等于D′到底⾯BCF距离h′的⼀半．∵E为DC上的动点，且AD′＝1，∴D′的轨迹为以A为球⼼，以为半径的球⾯的⼀部分，作AG⊥BF，交BF于G，当D′为AG与球⾯的交点时，h′最⼩，此时h′＝AG﹣AD′＝，∴V M﹣BCF≥＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．（⼀）必考题：共60分．17．在3+1+2的新⾼考模式下，某学校计划在⾼⼀下学期开设“物理”和“历史”两个选修科⽬．为了了解学⽣对这两个科⽬的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从⾼⼀年级500名学⽣（其中男⽣200⼈，⼥⽣300⼈）中，采⽤分层抽样的⽅法从中抽取部分学⽣进⾏调查．其中，⼥⽣⽐男⽣多抽取20⼈．（1）请问总共抽取了多少名学⽣进⾏调查；（2）新⾼考模式要求每名学⽣在“物理”和“历史”这两个科⽬中必须选择⼀个科⽬且只能选择⼀个科⽬，下表是根据调查结果得到的⼀个不完整的列联表，请将下⾯的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关？选择“物理”选择“历史”总计男⽣⼥⽣25总计55附：．P（K2≥k e）0.050.010.0050.001k e 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）设⼥⽣抽取x⼈，则男⽣抽取（x﹣20）⼈，利⽤抽样⽐例列⽅程求出即可；（2）根据题意补充完整列联表，计算K2，对照数表得出结论．解：（1）设⼥⽣抽取x⼈，则男⽣抽取（x﹣20）⼈，则x：（x﹣20）＝3：2，解得x＝60，所以总共抽取了60+（60﹣20）＝100（⼈）；（2）根据题意补充完整列联表如下；选择“物理”选择“历史”总计男⽣301040⼥⽣253560总计5545100由表中数据，计算K2＝＝≈10.774＜10.828，所以没有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关．18．在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）当cos B＝时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，且△ACD的⾯积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差⾓公式进⾏化简，即可求解．（2）由已知结合三⾓形的⾯积公式可求c，进⽽可求a，b，从⽽可求三⾓形的周长．解：（1）因为，cos B＝，由正弦定理可得，＝1，且sin B＝整理可得，sin B cos A+sin A cos B＝sin A sin B，即sin（A+B）＝sin C＝sin A sin B＝sin A，由正弦定理可得，＝＝；（2）由（1）可得a＝c，B＝，由，且△ACD的⾯积为，可得△ACB的⾯积为2，故＝2，所以c＝2，a＝2，由余弦定理可得，＝4+8＝4，故b＝2，故△ABC的周长为4+2．19．如图，已知AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，△ACD是边长为2的正三⾓形，F是CD的中点，且BC＝BE＝．（1）求证：AF∥平⾯BCE；（2）求点D到平⾯BCE的距离．【分析】（1）取CE的中点G，连接BG，FG．证明四边形ABGF是平⾏四边形可得AF∥BG，故AF∥平⾯BCE；（2）证明BG⊥平⾯CDE，计算三棱锥B﹣CDE的体积，根据V B﹣CDE＝V D﹣BCE计算点D到平⾯BCE的距离．【解答】（1）证明：取CE的中点G，连接BG，FG．∵F，G分别是CD，CE的中点，∴FG∥DE，FG＝DE，∵AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，∴AB∥DE，∵AC＝AD＝2，BC＝BE＝，∴AB＝1，DE＝2或DE＝0（舍），∴AB＝DE，∴FG∥AB，FG＝AB，∴四边形ABGF是平⾏四边形，∴AF∥BG，⼜BG?平⾯BCE，AF?平⾯BCE，∴AF∥平⾯BCE．（2）解：∵DE⊥平⾯ACD，AF?平⾯ACD，∴DE⊥AF，⼜AF∥BG，∴DE⊥BG，∵BC＝BE，G是CE的中点，∴BG⊥CE，⼜CE∩DE＝E，CE?平⾯CDE，DE?平⾯CDE，∴BG⊥平⾯CDE．∵△ACD是边长为2的等边三⾓形，∴BG＝AF＝，∴V B﹣CDE＝＝＝，∵BC＝BE＝，CE＝＝2，∴S△BCE＝×＝，设D到平⾯BCE的距离为h，则V D﹣BCE＝＝＝，∴＝，解得h＝．∴点D到平⾯BCE的距离为．20．已知抛物线C：y2＝2px上⼀点M（，y0）到其焦点F的距离等于．（1）求抛物线C的标准⽅程；（2）若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜⾓互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得p 的值，进⽽求出抛物线的⽅程；（2）设直线l的⽅程，与抛物线的⽅程联⽴求出两根之和及两根之积，进⽽求出直线FA，FB的斜率之和，由题意可得两条直线的斜率值为0，可证得恒过定点．解：（1）由抛物线的⽅程可得抛物线的准线⽅程为：x＝﹣，由M（，y0）到其焦点F的距离等于可得：+＝，解得：p＝1，所以抛物线的⽅程为：y2＝2x；（2）显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的⽅程为x＝my+t，设A（x1，y1），B （x2，y2），联⽴直线与抛物线的⽅程：，整理可得：y2﹣2my﹣2t＝0，△＝4m2+8t＞0，即m2+2t＞0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2t，。
安徽省安庆市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
安徽省安庆市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3 B ．2C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据条件将问题转化为ln 11x k x x+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x 的范围，进一步得到k 的最大值. 【详解】()(N )k f x k x+=∈Q ，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==， ∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c kc c+>-恒成立， ln 11x kx x+∴>-，对于1x >恒成立, 设ln 1()1x h x x x +=⋅-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-， 令()2ln q x x x =--，1()10q x x'∴=->在1x >恒成立， (3)32ln30(4)42ln 40q q =--<=-->Q ，，故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=， 当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.000min 00ln ()()1x x x h x h x x +∴==-,将002ln x x -=代入得：000min 000(2)()()1x x x h x h x x x -+∴===-，N k +∈Q ，且min 0()k h x x <=，3k ∴≤故选：A 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 2．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.3．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ）A B ．C ．154D 【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积.【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， 则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==， 在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 60532224ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题. 4．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．274【答案】B 【解析】 【分析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件 件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值． 【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9， 可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ， 使目标函数3z x y =+取得最大值， 将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ． 【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值． 6．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()2f e---==12<=Q2，1()12f ∴-=<.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.7．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A．maxa c-=r rB．maxa c+=r rC．min2a c-=r r D．min2a c+=r r 【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r，(b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r，(b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即2242322x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛-+-= ⎝⎭，则()222a c x y -=-+r r ，则a c -r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，22max333712a c ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴-r r，22min 337312a c ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝-⎭r r ， ()222a c x y +=++r ra c +r r 转化为圆()223314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max3332393a c⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+r r 22m 3339233im a c ⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭+ r r 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.8．已知向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，1a =r ，3b =r ，则a b ⋅=r r ( )A ．3B ．0C ．0或32-D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义表示出向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，再由22a a =r r ，22b b =r r 代入表达式中即可求出a b ⋅r r .【详解】由向量a r 与a b +r r的夹角为60︒，得()2cos 60a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+︒r r r r r r r r r，所以()222211222a ab aa ba a ab b +⋅=+=+⋅+r r r r r r r r r r r ， 又1a =r ，3b =r ，22a a =r r ，22b b =r r ，所以1111232a b a b +⋅=⨯⨯+⋅+r r r r ，解得0a b ⋅=r r.故选：B 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题. 9．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①不正确；对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =，而在Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=，即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立如图所示的直角坐标系；()10,0,0A ， ()13,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， ()3,1,1D；()10,2,2AC =-u u u u r，()3,1,1CD =--u u u r ；异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||AC CD AC CD θ==u u u u r u u u rg u u u ur u u u r ，故90θ=︒．④不正确． 故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．10．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =2AB =O 的表面积为（ ） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =-=，再结合球的性质，求得球的半径32R=，利用表面积公式，即可求解.【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF-底面ABCDEF为正六边形，顶点P在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G，可得此六棱锥为正六棱锥，又由2AB=，所以2AG=，在直角PAG∆中，因为6PA=，所以222PG PA AG=-=，设外接球的半径为R，在AOG∆中，可得222AO AG OG=+，即222(2)(2)R R=-+，解得32R=，所以外接球的表面积为249S Rππ==.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.11．已知数列{}n a满足：11,a=13,21,n nnn na aaa a++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a=( )A．16 B．25 C．28 D．33【答案】C【解析】【分析】依次递推求出6a得解.【详解】n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=. 故选：C 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ）A B ．2CD ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|z i i =-⋅+==，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年安庆市高三模拟考试(二模)数学(文)试题 参考答案
2020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（文）参考答案一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的1.解析：本题主要考查集合的运算.因为=N {x |2x =x }{}1,0=，所以(){}2,1-=⋂N C M U .故选A.2.解析：本题主要考查复数的计算与共轭复数的意义.()()()i z i i i i i i i i z 5251,52515122222--=∴+-=-=+-+=-=Θ. 故选D. 3.解析：本题主要考查简易逻辑.,22n m nm>⇔>但n m >不能推出n m 5151log log <,因为n m ,可以为负数.由n m l 5151log og <可以得到n m >.故“n m 22>”是“n m 5151log log <”的必要不充分条件. 故选B.4.解析：本题主要考查三角函数的图象.显然， )(x f 是奇函数，排除A,D;当π≤≤x 0时，,0sin ≥x 所以sin cos y x x =-,0≤排除C. 故选B.5.解析: 本题主要考查算法框图与数学文化.由5.1=S 得，,45.1SS -=2=S ; 由2=S 得，,32S S -=3=S ; 由3=S 得，,23SS -=6=S .故选D.6.解析：本题主要考查等比数列及其性质..222)1(211211111n n n n n n n n n b b b b a a a a =⋅=⇒=⇒-=-⇒-=-+++于是==⋅2201820172019b b b 20184. 故选C.7.解析：本题主要考查三角函数的化简与计算.原式=()().22sin cos 2cos sin 22sin cos 22-=+-=--αααααα 故选A 8.解析：本题主要考查圆与数学文化.根据题意作出下图，弧AD 的长为,165π ,425.1165ππ==∠AOC所以.768.14sin25.122≈⋅⨯==πAC AB 故选B.9. 解析：本题主要考查频率分布表、频率分布直方图和方图中中位数的求法.用水量在[)20,30内的频数是50，频率是0.025100.25⨯=，则502000.25n ==. 用水量在[)0,10内的频率是250.125200=，用水量在[]50,60内的频率是50.025200=.设中位数为x 立方米. 因为前3组的频率之和为,5.0565.025.019.0125.0>=++而前2组的频率之和为,5.0315.019.0125.0<=+ 所以.3020<<x 由315.05.0)20(025.0-=-x 解得，40.27=x . 故选D.10.解析：本题主要考查直线与双曲线的位置关系.双曲线1822=-y x 的右焦点是）（0,32F ，直线034=--y x 经过点）（0,32F ,Q P ,两 点在右支上.于是.422212111=+=-+-=-+a a Q F Q F P F P F PQ Q F P F 故选B. 11. 解析：本题主要考查四面体的外接球.PCPA PB PA PBC PA PC PB BC PC PB ⊥⊥∴⊥⊥∴==+=+,,,,241212222平面又Θ ∴四面体ABC P -的外接球半径为.101612122121222=++=++PC PB PA 于是四面体ABC P -的外接球的表面积是.40)10(42ππ=故选C.12. 解析：本题主要考查三角函数的最值与导数.因为x x m x f 2cos 2cos )(+='，所以.2,42)0(==+='m m f 因此x x x f 2sin sin 2)(+=.于是)1cos 2)(1(cos 2)1cos 2(2cos 22cos 2cos 2)(2-+=-+=+='x x x x x x x f .当21cos >x ，即3232ππππ+<<-k x k 时，0)(>'x f ；当21cos <x ，即 35232ππππ+<<+k x k 时，0)(<'x f .所以当Z k k x ∈+=,32ππ时，)(x f 取得最大值.233)32(2sin )32sin(2)32(=+++=+ππππππk k k f 故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13. 52 14. 3- 15. π)634(+ 16. 13- 13.解析：本题主要考查直线与圆的位置关系.016222=+-++y x y x 就是.9)3-(122=++y x ）（圆心）（3,1-E 到直线0334=+-y x 的距离是253334=+⨯--. 截得的弦长是.52492=- 14.解析：本题主要考查函数的性质.因为2)()(=+-x f x f ，所以3)2(-=-f15.解析：本题主要考查圆锥的截面和表面积.设圆锥的母线长是l ，则.22,3260sin 212==⋅l l ο 圆锥底面半径是630cos 22=⨯ο.于是该圆锥的表面积为.)634()6(2262212πππ+=⋅+⋅⋅⋅ 16.解析：本题主要是考查平面向量与解三角形.设ABC ∆外接圆的半径是.ROCOC OA OB ++=⋅⇒-=⇒=+⋅+⋅377322223cos cos 32372222=∠⇒∠++=⇒AOC AOC R R R R . 23cos 32=⇒=∠⇒=⋅R AOC R OC OA .于是=2AC ,324cos 2222-=∠-+AOC R R R .13-=AC三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人. …2分 作出22⨯列联表如下：………………………………5分将列联表数据代入公式计算得, ().706.2778.215101510441162522>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 所以有90%的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.……………………8分 （Ⅱ）由分层抽样知, 甲组应抽2人（记为A 、B ），乙组应抽3人（记为c b a ,,）.…………………9分从这5人中抽取2人的情况分别是，bc ac ab Bc Bb Ba Ac Ab Aa AB ,,,,,,,,,共有10种. 其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是.,,,,,,Bc Bb Ba Ac Ab Aa AB 故至少有1人在甲组的概率是.107………………………………12分 18．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）因为124a a a 、、成等比数列，所以 2214a a a =.而{}n a 是等差数列，所以2141,3a a d a a d =+=+.于是2111()(3)a d a a d +=+，即222111123a a d d a a d ++=+，解得1(0)a d d =≠.…………4分由420S =知,1434202a d ⨯+=，解得2d =. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 12a d ==，易求得21(1)2n n n S na d n n -=+=+， 所以1111(1)1n S n n n n ==-++. 1211111111111=12231+11n n n T S S S n n n n =+++=-+-++-=-++L L . …………9分由20192020n T >解得,2019n >.故使不等式成立的最小正整数n 为2020. …………12分19．(本小题满分12分)解析：（Ⅰ）连接.,,AE DE AD 在APQ ∆中，AQ AP =D 是PQ 的中点， 所以.PQ AD ⊥ …………2分 又因为DE 是等腰梯形BPQC 的对称轴，所以.PQ DE ⊥而,D DE AD =I 所以⊥PQ 平面ADE . …………4分 （Ⅱ）因为平面,APQ BPQC 平面⊥，PQ AD ⊥所以.PBCQ AD 平面⊥ 连结BD ，则.222BD AD d +=设的中点）为BC E x a DE x AD (23,-==，于是2222241)23(a x a BE DE BD +-=+=. 因此+=22x d 222222241)23(a x a x BE DE x BD +-+=++=,85)43(222a a x +-= ……………8分当a x 43=时，.410min a d = 此时四棱锥PBCQ A -的体积为 AD S PBCQ ⨯⨯梯形31.6434343)411(3132a a a =⨯⋅-⨯= …………12分 20. (本小题满分12分)解析：（Ⅰ）由题意知椭圆C 的两个焦点()().0,5,0,521F F -设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C .由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5114272222b a b a 解得，.4922⎪⎩⎪⎨⎧==b a .14922=+y x C 的标准方程是故椭圆 ………………4分（Ⅱ）由题意可设直线l 的方程为()m x y -=32. 联立()0922,149322222=-+-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=m mx x y y x m x y 得消去. ……………………6分 ()()()23,23,098222-∈>---=∆m m m 所以因为.因为点()0,m M 为椭圆C 长轴上的一个动点，所以().3,3-∈m此时.0>∆()().29,,,,,221212211-==+m x x m x x y x B y x A 则设 ……………………8分()()()()()()()[]().13926926291392692691391391322121221221222122212222212122=++--+=++-+=-+-=+-++-=+m x x m x x x x m x x m x x m x m x y m x y m x MB MA 于是故22MB MA +为定值13. …………………………12分 21. (本小题满分12分)解析：（Ⅰ）已知函数()x a f x x e=+，所以()1x a f x e '=-.xx e ae -=. (1) 当a ≤0时，()0f x '>恒成立，则()f x 在R 上单调递增，所以函数()f x 无极值,不符合题意. ………2分(2) 当0a >时，令()0f x '=，得x e a =，ln x a =．当()ln x a ∈-∞，，()0f x '<；当()ln x a ∈+∞，，()0f x '>． 所以()f x 在()ln a -∞，内单调递减，在()ln a +∞，内单调递增.因此()f x 在ln x a =处取得极小值，且极小值为,11ln )(ln =+=a a f 解得.1=a 故a 的值为1. ………5分 （Ⅱ）当1a =时，()1x f x x e =+，则()()1xg x f x kx x kx e =-=+-. 函数()y g x =无零点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解，即关于x 的方程：()11x k x e-=在R 上没有实数解． (1)当1k =时，方程为10x e=，易知方程没有实数解. ………7分(2)当1k ≠时，方程化为11x xe k =-.令,)(xxe x h =则.)1()(xe x x h +='由0)(='x h 得,1x =-.)1(-h 是)(x h 的极小值,也是最小值, ,1)1(e h -=-..1)(⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∈e x h ………9分所以当111k e<--时，方程无实数解，解得1k 1<<-e . 综上可知, 实数k 的取值范围是(]1,1e -. ……………12分请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程解析；（Ⅰ）由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为13+=x y ，……………………2分将x =θρcos ，y =θρsin 代入，0sin 4=-θρ得曲线C 的普通方程为0422=-+y y x ． ……………………5分（Ⅱ）设B A ,对应的参数为21,t t ，将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121代入0422=-+y y x ，得0332=--t t ，所以321-=t t ，.321=+t t ………………7分由于直线l 过)1,0(M ，且MB MA >，所以.0,021<>t t于是11t t MA ==，22t t MB -==.故331111212121-=+=+=-t t t t t t MB MA . ………………10分23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解析: （Ⅰ）因为122=+b a ，所以22222222222))(11(11ba ab b a b a b a ++=++=+≥4即2211ba +≤4，当且仅当22==b a 时取等号，因此2211b a +的最小值是4.…………3分 于是12-x ≤44-⇔≤12-x ≤234-⇔≤x ≤.25故实数x 的取值范围是.25,23⎥⎦⎤⎢⎣⎡-……………………………… 5分 （Ⅱ）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222()2b a a b a b a b=+++- ≥,1)(22)(2222252225=+=-⋅++b a b a b a a b b a 故))(11(55b a ba ++≥1. …………10分或直接运用二维柯西不等式：))(11(55b a b a++≥255)11(b ba a ⋅+⋅ ,1)(222=+=b a 当且仅当22==b a 时取等号. 故))(11(55b a ba ++≥1.。
安徽省安庆市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析
安徽省安庆市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,a r b r 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-r r r 与br 的夹角为150o ,则b r 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==u u u r u u u r r r 则AC DB a b ==-u u u r u u u r r r ，因为a b -r r 与b r 的夹角为150o ，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒r r ，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒r r ，所以02b <≤r ，故选C ．考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．2．若31nx x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A ．85B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】解：31nx x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.3．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4．已知||a =r ||2b =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72-【答案】B 【解析】 【分析】由()a ab ⊥-r r r ，||a =r ||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为()||a b bb +⋅r r rr 化简运算即可【详解】∵()a a b ⊥-r r r ∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r，∴向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题 5．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限.故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.6．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础． 7．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 【答案】B 【解析】 【分析】分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=，然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，在Rt OMN ∆中计算出OM ，再利用勾股定理计算出OA ，即可得出球O 的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形，M 为BD 的中点，AM BD ∴⊥，2CBD π∠=Q，且M 、N 分别为BD 、CD 的中点，所以，//MN BC ，所以，MN BD ⊥，所以二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=， 2AB AD ==Q ，则222BD AB AD =+=，且2BC =，所以，112AM BD ==，112MN BC ==， ABD ∆Q 是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形，所以，ABD ∆的外心为点M ，同理可知，BCD ∆的外心为点N ，分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，则点O 在平面AMN 内，如下图所示，由图形可知，2326OMN AMN AMO πππ∠=∠-∠=-=， 在Rt OMN ∆中，3cos 2MN OMN OM =∠=，233OM ∴==所以，2221OA OM AM =+=， 所以，球O 的半径为213R =，因此，球O 的表面积为222128443R πππ=⨯=⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．8．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin f x x =- D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图根据三角函数图像的对称性可得522662T πππ=-⨯=，利用周期公式可得ω，再根据图像过(,0,36π⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出,A ϕ，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=， 所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23ϕπ=或53π，又()03g =所以sin 3A ϕ=，()0A >， 所以23ϕπ=，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题. 9．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =， 在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．1516【答案】D 【解析】 【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．12．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。