雨中行走问题(数学问题解决)
关于人在雨中行走的数学模型
关于人在雨中行走的数学模型摘要本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
利用MATLAB软件对各个问题进行求解。
对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。
分析表明当行走速度为v时，淋雨量最少。
m对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。
关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨强度问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a =1.5m （颈部以下），宽b =0.5m ，厚c =0.2m .设跑步距离d =1000m ，跑步最大速度m v =5s m /，雨速u =4s m /，降雨量w =2h cm /，记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数θ,,,,,,wa之间的关系，问速度v多大，bucdθ,0ο30时的总淋雨量。
总淋雨量最少。
计算==θ（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数α,dca之间的关系，问速度v多ub,,w,,,大，总淋雨量最少。
雨中奔跑问题数学建模
题目：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。
一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。
主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度w 米，厚度d 米。
淋雨总量用C 升来记。
2）降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。
在这里可视其为一常量。
3）风速保持不变。
4）你一定常的速度v 米/秒跑完全程D 米。
3 模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。
淋雨的面积 )( 222米wd dh wh S ++=雨中行走的时间 )(秒vD t = 降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(s m I I I ==时米时厘米（升）米S I v D S I t C ⨯⨯=⨯⨯⨯=3600/)/(10)(01.0)3600/(3 模型中为变量。
为参数，而v S I D ,,结论，淋雨量与速度成反比。
这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。
米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000======S d w h I D 秒。
分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6=v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。
经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。
人在雨中行走时的淋雨量问题
人在雨中行走时的淋雨量问题人在雨中行走时的淋雨量问题一．模型假设 1.把人看做一个长方体；2.雨滴下落的速度，方向保持不变；3.人行走一段距离的速度，方向保持不变。
4.假设主要淋雨量集中在正面，背面和头部，忽略两侧淋雨量。
即考虑总淋雨量时只考虑（正面+头部）或者（背面+头部）二．符号说明1.V 为雨速（m/s ），方向定义为朝着人正面为正。
2.D 为人在雨中行走距离。
3.R 为人在雨中行走速度3.θ为雨滴下落方向与地平面的所成角，0°≤θ≤90°。
4. h1，h2，h3分别为视人体为一个长方体时人的身高(m)、身宽(m)、厚度(m)；5.总淋雨量为W （R)单位为m 3。
三．模型建立本模型是在上诉理想条件下分析人在行走时的淋雨量的大小，而淋雨量的大小取决与降雨量的大小，方向，还有人行走的速度，行走的路程。
我们的目标是求出使得人在雨中行走时淋雨量最小的条件。
即最佳行走速度。
以人为Z 轴，人行走的方向为X 轴，左边为y 轴建立空间坐标系。
则雨的降落速度可以按这个坐标系分解到x 轴，y 轴，z 轴。
得到θθθsin ,cos ,cos V Vz V Vy V Vx ===。
进一步得到θcos V R V +=相.人的头部，正面或背面的淋雨面积为h1h2，h2h3，淋雨时间为D/V.则可得到人正面或背面的淋雨量为θcos 21V R h h R D +；人头部淋雨量为θsin 32V h h RD ；进一步得总淋雨量W(R ）=()θθsin 33cos 21V h h V R h h RD ++。
分析：1）当雨从人正面降落，即V 方向取正，V>0,由此得到}sin 32)cos (21{)(θθV h h V R h h R D R W ++=；对W （R)进行单调性分析可知，其一阶导数0)(<'R W 。
所以W(V)单调递减。
无最小值。
2）当雨从人后面降落，即V 方向取负，V<0，由此得到()θθsin 33cos 21)(V h h V R h h RD R W ++= =21)cos 21sin 32(h Dh RV h h V h h D --θθ，θcos 0V R -<<----------------① =θθθcos ,21)sin 32cos 21(V R h Dh RV h h V h h D -≥++；------------------② 分别讨论上诉两种情况下的一阶导数可得：2)cos 21sin 32()(R V h h V h h D R W θθ+-=' 下面对其进行极值分析：其 a ）当θcos 0R R -<<时，当θθcos 21sin 32V h h V h h +>0时，。
雨中行走问题模型
数学建模之雨中行走问题模型摘要：由于降雨方向的变化，在跑步过程中尽力快跑不一定是最好的策略。
就淋雨量与跑步快慢这个问题，我们通过建立数学模型来探讨在雨中如何行走才能使淋雨量最少。
在不考虑雨的方向时，当然是跑的越快淋得越少；考虑雨的方向时，那么再分情况讨论，若雨是迎着你前进的方向落下，这时以最大的速度向前跑可使淋雨量最少；若雨是从你的背后落下，那么你应控制在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
关键词：淋雨量，数学模型，降雨的方向。
正文1.问题的提出要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方形，高a=1.5（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步估计跑完全程的淋雨量；（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，问跑步速度v 为多大时可使淋雨量最少。
（3）雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）2.问题的分析总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。
每个面上的淋雨量等于单位面积、单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。
面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。
再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。
淋雨量（V ）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S ）×淋浴时间（t ） ①时间（t ）=跑步距离（d ）÷人跑步速度（v ） ②由①② 得： 淋雨量（V ）=ω×S ×d/v3.合理假设3.1模型的假设（1）人身体的表面非常复杂，为了使问题简单化，假设将人视为一个长方体，并设其高1.5m(颈部以下)，宽0.5m,厚0.2m.其前、侧、顶的面积之比为1:b:c, （2）假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3）此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；（5）设雨速为常速且方向不变，选择适当的空间直角坐标系，使人行走的速度为(u,0,0）设雨的速度为(,,)x y z v v v v =,人行走的距离为d=100米。
淋雨问题数学建模
s1 bc, s2 ab
淋雨时间：
雨速垂直分量：
分别计算其淋雨量如下：
d t v
u cos
雨速水平分量：
u sin
顶部淋雨量： 迎面淋雨量：
Q1 s1tw cos bc
d w cos v
v d u sin v Q2 s2tw ab w u v u
所以总的淋雨量为：
符号说明
三、模型的建立
人在雨中行走时可能出现以下三种情形： 情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋 遍全身
淋雨的面积
雨中行走的时间 降雨强度
S 2wh 2dh wd (米2 )
D t (秒) v
I (厘米/时) 0.01I (米/时) (0.01/ 3600 ) I (m / s )
s3 bc, s4 ab
d 淋雨时间： t v
雨速垂直分量：
，分别计算其淋雨量如下：
u cos
方向与v相同，故相对雨速
雨速水平分量：u sin 故相对雨速v= u sin v
cos 顶部淋雨量： Q3 s3tw cos bcdw v
v abdw | u sin v | 背面的淋雨量： Q4 s4tw u uv
a b
（3）
由（1）式知总淋雨量
Q stw (2ab 2ac bc)
d w v
易知 v越大，Q值越小，故此时跑得越快，所淋到的 v vm时， Q 最小； 雨量越少。即：当 对（2）式关于v求导可得 ：
Q bdw cu cos au sin 0 2 v u v
时，Q最小
2 v u sin
四、结果分析
微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
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2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
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可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt
雨中行走问题的研究
雨中行走问题的研究
人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想到，走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进,雨的速度(大小和方向)已知，问行人走的速度多大才能使淋雨量最少。
参与这问题的因素：
降雨的大小；风(降雨)的方向；路程的远近和人跑的快慢。
分析：
淋雨量在数学上如何表示？
假设
1. 人行走的路线为直线，行走距离为L
选择适当的直角坐标系，使人行走速度为：v1=(u,0,0),则行走的时间为L/u.
2. 雨的速度不变，记为：v2=(vx,vy,vz)
相对速度：v= v2- v1 =(vx-u,vy,vz)
3. 人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c
单位时间内的淋雨量: | vx －u|＋| vy |b＋| vz |c
从而总淋雨量:
R(u)=(| vx －u|＋| vy |b＋| vz |c)T (行走的时间为L/u)
=(| vx －u| +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c >0)
于是雨中行走问题抽象成如下数学问题：
已知L,Vx,a,求u为何值时R(u)最小？
1. Vx > 0
vx >a的情形（有最小值）vx a时, u=vx才使取最小值Rmin=La/Vx
当vx a>0时，取u=Vx可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。
简单优化模型10雨中行走
雨中行走问题提出：人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想知道：走多快才会少淋雨呢？模型假设：1.只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进；2.视人体为一个长方体，其身高为h 米，身宽为w 米，厚度为d 米；3.人在雨中行走的速度为v 米/秒，行走距离为D 米；4.雨以速度r 米/秒，沿降雨角度θ（雨滴下落方向与人行走方向的角度）下落；5.降雨强度系数（单位时间内的降雨深度占竖直降雨速度的比例）为ρ，因而降雨强度（单位时间内单位面积上的降雨量，即单位时间内的降雨深度）为：⋅ρ竖直降雨速度.问题分析：如果不考虑降雨角度的影响，即人在行走过程中身体的前后、左右、上方都被雨水淋到，那么，淋雨面积为wd hd hw S ++=22，又淋雨时间为vD t =，故总淋雨量为v wd hd hw rD t S r C )22(++=⋅⋅=. 此式表明，淋雨量与行进速度成反比. 因此，人应尽可能快跑以能减少淋雨量.这种情形过于简单，下面来讨论考虑降雨角度影响的情形.模型建立： 分情况讨论：淋雨时间为v D t =1.20πθ≤<（0=θ不合乎实际）此时，雨迎面而来，人的头部和前部被淋（见下图）.头部的淋雨量：头部的面积为dw ，雨在竖直方向上的分速度为θsin r ，降雨强度为θρsin r ⋅，故淋雨量为θρθρsin sin 1dr vwD v D dw r C =⋅⋅=. 前部的淋雨量：前部的面积为wh ，雨在水平方向上的分速度为θcos r ，相对于人的速度为v r +θcos ，降雨强度为)cos (v r +⋅θρ，故淋雨量为)cos ()cos (2v r h vwD v D wh v r C +=⋅⋅+=θρθρ. 于是，总淋雨量为 [])cos (sin )cos (sin 21v r h dr vwD v r h v wD dr v wD C C C ++=++=+=θθρθρθρ. 特别地，当2πθ=（雨竖直下落）时，总淋雨量为)(hv dr vwD C +=ρ. 2.πθπ<<2（πθ=不合乎实际）此时，雨从背后落下，人的头部、后部（或前部）被淋（见下图）.v令απθ+=2，则20πα<<.头部的淋雨量：头部的面积为dw ，雨在竖直方向上的分速度为αcos r ，降雨强度为αρcos r ⋅，故淋雨量为αραρcos cos 1dr vwD v D dw r C =⋅⋅=. 水平方向上的淋雨量：后部（或前部）的面积为wh ，雨在水平方向上的分速度为αsin r ，相对于人的速度为|sin |v r -α，降雨强度为|sin |v r -⋅αρ，故淋雨量为|sin ||sin |2v r h vwD v D wh v r C -=⋅⋅-=αραρ. 于是，总淋雨量为 []|sin |cos |sin |cos 21v r h dr v wDv r h v wDdr v wDC C C -+=-+=+=ααραραρ.Case （1）：αsin r v ≤此时，人的行进速度不快于雨在水平方向上的分速度（雨从后方赶上人），头部和后部被淋，总淋雨量为[])sin (cos v r h dr v wDC -+=ααρ.特别地，当αsin r v =时，人的行进速度恰好等于雨在水平方向上的分速度（人刚好跟着雨向前走），仅头部被淋，总淋雨量为αρcos dr v wDC =. Case （2）：αsin r v >此时，人的行进速度快于雨在水平方向上的分速度（人赶上前方的雨），头部和前部被淋，总淋雨量为[])sin (cos ααρr v h dr v wDC -+=.综上，总淋雨量为[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-+≤<<-+≤<++=απθπααραπθπααρπθθθρsin ,2,)sin (cos sin ,2,)sin (cos 20,)cos (sin r v r v h dr vwD r v v r h dr vwD v r h dr v wD C 由απθ+=2得[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><<++-≤<<+-≤<++=θπθπθθρθπθπθθρπθθθρcos ,2,)cos (sin cos ,2,)cos (sin 20,)cos (sin r v r v h dr v wD r v v r h dr vwD v r h dr v wD C 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><<++-≤<<--≤<++=θπθπρθθρθπθπρθθρπθρθθρcos ,2,)cos sin (cos ,2,)cos sin (20,)cos sin ()(r v wDh v h d wDr r v wDh v h d wDr wDh v h d wDr v C 模型求解： 当20πθ≤<和θπθπcos ,2r v -≤<<时，)(v C 均为v 的减函数，故为使)(v C 最小，应使v 尽可能大；当θπθπcos ,2r v -><<时，)(v C 的单调性取决于θθcos sin h d +的正负，应视情况来判断.结论：要使淋雨量最小，（1）若雨迎面而来，则人应以最大可能的速度向前行进；（2）若雨从背后落下，则人应控制行进速度为雨在水平方向上的分速度.模型讨论：如果视人体为一圆柱，如何？。
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科目：数学问题解决摘要：雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅有一公里，况且事情紧急，你不准备花时间翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
假设刚刚出发雨就大了，但你也不打算再回去了。
一路上，你将被大雨淋湿。
一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。
通过建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度，分别从雨与人的方向以及是否在同一平面等情况找出如何在雨中行走才能淋雨最少。
一．问题的提出对于雨中行走这个实际的问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步讨论。
我们的问题是：要在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低。
显然它可以按确定性模型处理。
分析参与这一问题的因素，主要有：①降雨的大小；②风（降雨）的方向；③路程的远近与你跑的快慢。
二、模型假设1、降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）保持不变；2、你以定常的速度跑完全程；3、风速始终保持不变；4、把人体看成一个长方体的物体；三、模型的建立与求解1、不考虑降雨的角度的影响即在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水。
参数与变量：:d雨中行走的距离；:t雨中行走的时间；:v雨中行走的速度；:a你的身高；:b你的宽度;:c你的厚度；:q你身上被淋的雨水的总量；:w降水强度（降雨的大小，即单位时间平面上降下雨水的厚度，厘米/时）行走距离d，身体尺寸不变，从而身体被雨淋的面积22s ba ca bc=++是不变的，可认为是问题的参数。
雨中行走的速度v，从而在雨中行走的时间/t d v=及降雨强度的大小在问题中是可以调节、分析的，是问题中的变量。
考虑到各参数取值单位的一致性，可得在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水的总量是：()3(/3600)0.01()/(/3600)10() q t w S d v w S=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅米升模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。
模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。
设d=1000米,h=1.5米,b=0.5米,c=0.2米,可得S=2.2米2,再假设降雨强度w=2厘米/小时,v是模型中的变量。
模型表明：被淋在身上的雨水的总量与你在雨中行走的速度成反比。
若你在雨中以可能快的速度v=5米/秒向前跑，于是你在雨中将行走t=200秒。
由此，可得你身上被淋的雨水的总量为q=200×(2/3600)×2.2×10=2.44(升)仔细分析，这是一个荒唐的结果，你在雨中只跑了200秒的时间，身体上却被淋了2.44升的雨水（大约有四酒瓶的水量），这是不可思议的。
因此这表明，我们得到的这个模型用来描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的。
按照建模的程序，需要回到对问题所作的假设，推敲这些假设是否恰当。
这时我们发现不考虑降雨的角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了。
2、考虑降雨角度的影响此时降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了。
设雨滴下落的速度为 u （米/秒），降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）为θ，显然，降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度。
假设用P 来度量雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据空间的比例数。
于是有w p u =⋅，显然1p ≤，当1p =时意味着大雨倾盆，有如河流向下的倾泻一般。
在这个情形下要估计你被雨水淋湿的程度，关键是考虑到你在雨中的行走方向之后雨滴相对的下落方向，这个方向由下图给出。
因为雨水是迎面而落下的，由经验可知，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方。
雨中行走模型图因此，淋在你身上的雨水将分两部分计算。
①你的顶部被淋的雨水，顶部的面积是bc ，雨滴的垂直速度的分量是sin u θ。
不难得到，在时间/t d v =内淋在你的顶部的雨水量是 1(/)(sin )q d v bc pu θ=②你的前方表面淋雨的情况，前方的面积是ba ，雨速的分量是cos u v α+，类似地我们有，你的前方表面被淋到的雨水量是： 2(/)[(cos )]q d v ba p u v θ=+因此你在整个的行程中被淋到的雨水总量为12[sin (cos )]Pbd q q q cu a u v v θθ=+=++仍然沿用前面得到的参数值，如果假设落雨的速度是4/u m s =，由降雨强度2/w =厘米小时，可估计出它的强度系数61.3910p -=⨯，把这些参数值代入上式可得：46.9510(0.8sin 6cos 1.5)q v v θθ-⨯=++在这个模型中有关的变量是v 和θ，因为θ是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值，而v 是我们要选择的雨中行走的速度。
于是，我们的问题就变为给定θ，如何选择v ，使得q 是最小的。
四、模型讨论下面分各种情况对模型进行讨论：1. 30θ︒=此时，雨滴垂直落下。
由上述模型可得46.9510(1.50.4/33/)q v v -=⨯++模型表明，q 是v 的减函数，只有当速度取可能的最大值的时候q 达到最小。
假设你以v =5米/秒的速度在雨中猛跑，由模型可得4318.20910 1.821q -=⨯=米升用MATLAB 可以画出30θ=︒时的平面图：2.0θ︒=此时，雨滴将迎面向你身上落下，由上述模型得 46.9510[1.56/]q v -=⨯+同理，它将在5=v 米/秒时取最小:418.76510 1.8765q -=⨯=3米升用MATLAB 可以画出θ在090︒之间的三维图：3.90180θ︒︒<<此时，雨滴将从后面向你身上落下。
令90θα︒=+，则090α︒<<. 46.9510[1.5(0.8cos 6sin )/]q v θα-=⨯+-对于充分大的α，这个表达式可取负值，这当然是不合理的。
因为雨水量是不可能为负值的，主要原因是这个情况超出了我们前面讨论的范围，因此必须回到开始的分析过程对这个情况进行详细的讨论，按照你在雨中行走的速度分两种情况。
雨从背面而来模型图（1）考虑sin v u α≤的情形aθ此情形也就是说你的行走速度慢于雨滴的水平运动速度，这时雨滴将淋在你的背上，淋在背上的雨水的量为(sin )/pbda u v v α-，于是淋在全身的雨水的总量为[cos (sin )]/q pbd cu a u v vαα=+- 再次代入数据，可得46.9510[(0.8cos 6sin )/ 1.5]q v αα-=⨯--它也是速度的减函数，当你以速度sin 4sin v u αα==在雨中行进时，淋雨量的表达式可简化为 46.9510(0.8cos )/(4sin )]q αα-=⨯它表示你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了。
如果雨是以120︒的角度落下，也就是雨滴以30α=︒角从后面落在你的背上，你应该以4sin302/m s ︒=的速度在雨中行走，这时，你身上被淋湿的雨水的总量为436.9510(0.83/2)/20.24q -=⨯=米升实际上，这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以身体前后却没有淋到雨。
如果你的速度低于2/m s ，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加。
用MATLAB 可以画出θ在030︒之间的三维图（2）sin v u α>的情形你在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度2/m s ，这时你将不断地追赶雨滴，雨水将淋你的胸前，被淋的雨量是(sin )pbad v u α-,于是全身被淋的雨水总量为[cos (sin )]/q pbd uc a v u vαα=+- 当5=v米/秒，且30α︒=时，有43米升=⨯+=6.9510 4.5)/50.722q-五、结论综合上面的分析，从这个模型我们得到的结论是：①如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑。
②如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。
六、模型的评价与讨论所得到的这些结果似乎是合理的并且与我们所期望的是一致的。
我们的第二个更详细的模型对第一个模型的改进之处在于建模时考虑了落雨的方向并且更全面地考虑了各种可能发生的情况。
所有的雨水量的结果都比第一个模型得到的2升要小。
同样所得到的结果的数量级也是我们所希望的。
真正使用实际的数值结果来验证这个模型是困难的。
当然如果你不怕全身淋湿的话，也可以尝试在雨中行走来验证我们的模型，即使如此，如何在雨中控制你的行走速度也并非易事。
参考文献[1] 王永波，数学建模及其基础知识详解（第一版）武汉武汉人民大学出版社 2006年5月[2] 赵静，数学建模与数学实验（第二版）北京高等教育出版式社2003年[3] 刘峰，数学建模南京南京大学出版社 2005年[4] 薛毅，数学建模基础北京北京工业大学出版社 2004年4月。