工程力学第9章
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工程力学C-第9章 扭转
T 1000 0.04 3 Wp (1 0.54 )
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
工程力学第九章杆件变形及结构的位移计算
应的（直线图形）的竖标，再除以杆的弯曲刚度。 应用图乘法计算时，应注意以下几点：
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
（1）竖标要在直线段弯矩图上取得； （2）每一个面积只对应一条直线段的弯矩图。
当与在杆的同一侧时，两者乘积取正号，反之取 负号。
§9–4 图乘法
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
§9–4 图乘法
例1:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
(
1 2
l 2
1 2
2 3
Pl 4
B l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl) 2 22 4 2223 4
l/2
l/2
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
取 yc的图形必
须是直线,不能是曲
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
线或折线.
§9–4 图乘法
q
A
B
1
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
§9–4图乘法
例2. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
§9–4 图乘法
解:
yc
EI
1 ( 1 Pl l 2 l Pl l l)
ql3 ( 24 EI
)
工程力学高斌第九章答案
2 2
15kN . m
5kN . m
15kN . m
-
Q qa/2 +
-
qa/2 + x
qa/2
M q a 2/8 +
-
x
q a 2/8
5. 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。 (a)
4kN q=1kN/m
3kN
Q
3kN
2kN
3kN
1kN
A
B
1kN
C
D
x
5
3kN 2m 2m 4m
3
2
⎡ 50 × 2003 ⎤ 150 × 503 Iz = ⎢ + 50 × 200 × 53.62 + + 50 × 150 × 71.4 2 ⎥ mm 4 12 ⎣ 12 ⎦ = 10180 cm 4
根据弯曲正应力强度条件
M
0.8p
σ max
M = ymax ≤ [σ ] , M≤[σ].Iz/ymax Iz
解：梁的弯矩图如图， 弯矩的两个极值分别为
µ1 = 0.8P , MA =2P×1.4 - P×2= 0.8P µ2 = 0.6 P , MC = -0.6 P
截面对形心轴的惯性矩为
8
(Iz =bh /12 + Ah1 , h1 腹 = 153.6–100=53.6mm ,h1 翼 =200-153.6+25 =71.4mm )
实心圆截面梁的最大应力
σ max =
空心圆截面最大应力
′ = σ max
空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了
′ σ max − σ max 159 − 93.6 = = 41.1% σ max 159
15kN . m
5kN . m
15kN . m
-
Q qa/2 +
-
qa/2 + x
qa/2
M q a 2/8 +
-
x
q a 2/8
5. 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。 (a)
4kN q=1kN/m
3kN
Q
3kN
2kN
3kN
1kN
A
B
1kN
C
D
x
5
3kN 2m 2m 4m
3
2
⎡ 50 × 2003 ⎤ 150 × 503 Iz = ⎢ + 50 × 200 × 53.62 + + 50 × 150 × 71.4 2 ⎥ mm 4 12 ⎣ 12 ⎦ = 10180 cm 4
根据弯曲正应力强度条件
M
0.8p
σ max
M = ymax ≤ [σ ] , M≤[σ].Iz/ymax Iz
解：梁的弯矩图如图， 弯矩的两个极值分别为
µ1 = 0.8P , MA =2P×1.4 - P×2= 0.8P µ2 = 0.6 P , MC = -0.6 P
截面对形心轴的惯性矩为
8
(Iz =bh /12 + Ah1 , h1 腹 = 153.6–100=53.6mm ,h1 翼 =200-153.6+25 =71.4mm )
实心圆截面梁的最大应力
σ max =
空心圆截面最大应力
′ = σ max
空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了
′ σ max − σ max 159 − 93.6 = = 41.1% σ max 159
工程力学第九章
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。
一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
挠曲线
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
工程力学(基础力学、材料力学)14(30)第九章6节
158.4 106 170
158.4kNm
930 103 ( m m3 )
查表选36c型号 I z 17310 cm 4 ; d 14 mm ; I z
3、切应力校核 max
4、结论：选36c型号
F
s max z
S Fs max 112.5 10 27( MPa) I z d 29.9 1014 Izd S z
q B l/2 17 KN 12 KN 12KN.m
F C l/2 D
检查此梁是否安全。
解：（1）作内力图
Fs图
13KN
max
M max Wz
M图
max
Fs max S zmax I zb
39KN.m
（2）计算几何性质
查表得
W z 309cm 3 0.309 103 m 3 Iz S z , max 18.9cm 0.189m
max [ ]
对于等直梁
F
S ,max
S
b
* z max
I
[ ]
z
b 为中性轴处的宽度。
对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩
又有剪力。 梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远 的各点处 。 而梁上最大的切应力发生在剪力 最大的横截面上中性轴上 的各点处 。
梁除满足正应力强度条件外，还需满足切应力强度条件。
z
b 120(m m) F max 1.5 h 180(m m) bh b=140mm；h=210mm
lx Fs ( x) F x 0; Fs max F l x Fs1 ( x) F x l ; Fs1max F l
工程力学(第七版)(作者：蒙晓影)习题参考答案 (9)[4页]
![工程力学(第七版)(作者：蒙晓影)习题参考答案 (9)[4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/2f8288fcf18583d0486459a7.png)
第9章 压杆稳定9-1解：求柔度值查表得Q235钢：a=304MPa, b=1.12MPa 3.99==p p Eσπλ 57=-=b a s s σλ （2）求各杆的临界压力P cr1杆：p l d l i l λμλ>=⨯==12541111 644d I π= KN l EI P cr 2540)(221==∴μπ 2杆： 5.6222==i l l μλ p l s λλλ<<2 MPa b a cr 2342=-=∴λσKN A P cr cr 470522==σ3杆：s l i l λμλ<==25.3133 KN A P s cr 47253==∴σ9-2解：查表得I=158cm 4,A=35.578cm 2μ=1 KN l EI P cr 5.19741015810200)(28922=⨯⨯⨯⨯==-πμπMPa A P cr cr5.5510578.35105.19743=⨯⨯==-σ9-3 解：473108200120121mm I y ⨯=⨯⨯=，463108.28120200121mm I z ⨯=⨯⨯=112115120200108.284000146=>=⨯⨯⨯==p mmi lλμλa cr MP E 4.7115101023222=⨯⨯==πλπσ9-4解：i=d/4=13mm查表得μ=2，则 λ=μl/i=76.9查表得45号钢 λp=100, λs=60 所以为中长杆查表11-2得，a=578Mpa, b=3.744 Mpaσcr = a-b λ=290.08MPa Pcr=σcr A=639.41KNn w = Pcr/P=4.19-5解：（1）受力分析以梁AC 为研究对象，由静力平衡方程可求得 N BD =106.7KN（2）BD 压杆的柔度查型钢表，20号槽钢： A=32.837cm 2 i y =2.09cm I y =14.1cm 4μ=1，l=1.5/cos30=1.732m 87.82==y i lμλ ∴ p s λλλ<<BD 杆为中长杆（3）计算临界压力KNA b a A P cr cr 5.693)(=-==λσ（4）稳定性校核0.5][5.6=>==w BDcr n N P n 满足稳定要求。
工程力学第九章刚度设计新
的影响。
刚度设计在实际工程中的应用前景
航空航天领域
刚度设计在航空航天领域 具有广泛应用，如飞机机 身、机翼等结构的刚度设 计，以确保飞行安全。
汽车工业
汽车工业中，刚度设计对 于提高车辆性能、降低噪 音和振动等方面具有重要 作用。
建筑行业
在建筑行业中，刚度设计 有助于提高结构的稳定性 和安全性，保障人民生命 财产安全。
机械零件的刚度设计
总结词
确保机械零件的稳定性和精度
详细描述
机械零件的刚度设计对于确保机械系统的稳定性和精度至关重要。在设计中，应考虑零件的形状、尺 寸、材料等因素，以及其在机械系统中的作用和所受载荷的类型和大小，以确保零件具有足够的刚度 ，防止在使用过程中发生变形或振动，从而影响机械系统的性能和精度。
可持续性原则
刚度设计应考虑材料的可再生性和 环保性，尽量减少对环境的负面影 响。
03
新型刚度设计方法
基于有限元的刚度设计方法
优点
可以处理复杂的几何形状和边界 条件，精度高，可以模拟各种复 杂的应力分布和变形情况。
缺点
计算量大，需要较高的计算机技 术和较长的计算时间。
基于仿生的刚度设计方法
优点
可以借鉴生物经过亿万年进化的优秀 结构和功能，具有很高的鲁棒性和适 应性。
总结词
考虑多种因素
详细描述
桥梁结构的刚度设计需要综合考虑多种因素，包括桥梁跨度、载荷类型和大小、 材料特性、环境条件等。在设计中，应确保桥梁结构在承受载荷时具有足够的刚 度，以避免过度的变形和振动，同时还要考虑施工的可行性和经济性。
建筑结构的刚度设计
总结词
满足建筑功能和安全性要求
详细描述
建筑结构的刚度设计必须满足建筑功能和安全性要求。在设计中，应考虑建筑物的使用功能、结构形式、材料选 择等因素，以确保结构在承受载荷时具有足够的刚度和稳定性，同时还要考虑建筑物的抗震、抗风等性能要求。
刚度设计在实际工程中的应用前景
航空航天领域
刚度设计在航空航天领域 具有广泛应用，如飞机机 身、机翼等结构的刚度设 计，以确保飞行安全。
汽车工业
汽车工业中，刚度设计对 于提高车辆性能、降低噪 音和振动等方面具有重要 作用。
建筑行业
在建筑行业中，刚度设计 有助于提高结构的稳定性 和安全性，保障人民生命 财产安全。
机械零件的刚度设计
总结词
确保机械零件的稳定性和精度
详细描述
机械零件的刚度设计对于确保机械系统的稳定性和精度至关重要。在设计中，应考虑零件的形状、尺 寸、材料等因素，以及其在机械系统中的作用和所受载荷的类型和大小，以确保零件具有足够的刚度 ，防止在使用过程中发生变形或振动，从而影响机械系统的性能和精度。
可持续性原则
刚度设计应考虑材料的可再生性和 环保性，尽量减少对环境的负面影 响。
03
新型刚度设计方法
基于有限元的刚度设计方法
优点
可以处理复杂的几何形状和边界 条件，精度高，可以模拟各种复 杂的应力分布和变形情况。
缺点
计算量大，需要较高的计算机技 术和较长的计算时间。
基于仿生的刚度设计方法
优点
可以借鉴生物经过亿万年进化的优秀 结构和功能，具有很高的鲁棒性和适 应性。
总结词
考虑多种因素
详细描述
桥梁结构的刚度设计需要综合考虑多种因素，包括桥梁跨度、载荷类型和大小、 材料特性、环境条件等。在设计中，应确保桥梁结构在承受载荷时具有足够的刚 度，以避免过度的变形和振动，同时还要考虑施工的可行性和经济性。
建筑结构的刚度设计
总结词
满足建筑功能和安全性要求
详细描述
建筑结构的刚度设计必须满足建筑功能和安全性要求。在设计中，应考虑建筑物的使用功能、结构形式、材料选 择等因素，以确保结构在承受载荷时具有足够的刚度和稳定性，同时还要考虑建筑物的抗震、抗风等性能要求。
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规定的稳定安全系数［nw］的确定是一个既复杂又重要的问题，它涉及的因素很 多。［nw］的值，在有关设计规范中都有明确的规定，一般情况下，［nw］可采用如下 数值： 金属结构中的钢制压杆［nw］=1.8～3.0
矿山设备中的钢制压杆［nw］=4.0～8.0
金属结构中的铸铁压杆［nw］=4.5～5.5 木结构中的木制压杆 ［nw］=2.5～3.5
如图1－2(b)所示，则当压杆的原有轴线为直线时，压杆达到平衡，
把这种平衡称为稳定平衡。
第9章
9.1 压杆稳定的概念
图9－2
图9－3
第9章
9.2.1 压杆的临界力
9.2 压杆的临界力和临界应力
（1）临界力的欧拉公式 细长杆的临界力Pcr是压杆发生弯曲而失去稳定平衡的最小压力值。在杆的应变不 大、杆内压应力不超过材料比例极限的情况下，根据弯曲变形理论，可以推导出临界力
图10－6
第9章
9.2 压杆的临界力和临界应力
9.2.2 非细长杆临界应力的经验公式
解：（1）求最小惯性半径imin
hb3 40 203 Iy 26667 mm4 12 12 3 3 4 I bh 20 40 106667 mm z 12 12
2 E 3.142 200103 MPa cr 2 346.42
≈16.434 MPa
（4ห้องสมุดไป่ตู้计算临界力Pcr
Pcr= 13.1 kN
第9章
9.3 压杆的稳定性计算
1.压杆的稳定条件为
nw Pcr [nw ] P
nw
cr [ nw ]
(9－7)
式中，［nw］为规定的稳定安全系数。
第9章
9.3 压杆的稳定性计算
按式（9－7）进行稳定计算的方法，称为安全系数法。利 用该式可解决压杆的三类稳定性问题：
(1)校核压杆的稳定性；
(2)设计压杆的截面尺寸； (3)确定作用在压杆上的最大许可载荷。
第9章
9.3 压杆的稳定性计算
例9－2 如图9－4（a）所示的螺旋千斤顶，螺杆旋出的最大长度 400 mm，螺纹直径d=40 mm，最大起重量P=80 kN，螺杆材料为45号钢， =100， =60，［nw］=4.0，试校核螺杆的稳定性。
长、截面形状及尺寸等因素对临界应力的影响。所以，柔度是压杆稳定性计算中的一 个重要参数。
第9章
9.2 压杆的临界力和临界应力
9.2.1 压杆的临界力
(3)欧拉公式的适用范围
欧拉公式是压杆处于弹性范围内推导出的，亦即只有在材料服从虎
克定律的条件下才成立。因此只有当压杆的临界应力不超过材料的比例 极限时，欧拉公式才能适用。
第9章
压杆稳定
训教 重点
压杆稳定的应力分析
压杆稳定的强度计算
第9章
压杆稳定
利用压杆稳定条件分析工程中的失稳问题。
能力 目标
解决实际工程中的压杆稳定问题。
第9章
9.1 压杆稳定的概念
1.失稳
细长压杆丧失工作能力并非杆件本身强度不足，而是由于其轴线在轴 向压力作用下不能维持原有的直线形状——称为压杆丧失稳定，简称失稳。 如图10－1所示。 2.稳定平衡
2E cr 2 p
p
E
p
p
第9章
9.2 压杆的临界力和临界应力
9.2.2非细长杆临界应力的经验公式
cr a b
例10－1 有一矩形截面的压杆 如图10－6所示，下端固定，上端
自由。已知b=20 mm，h=40 mm， l
=1 m，材料为钢材，E=200 GPa， 试计算此压杆的临界力。
第9章
9.4 提高压杆稳定的措施
9.4.1 非细长杆临界应力的经验公式
3.粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服或破坏，故对于塑性材
料，有临界载荷主要取决于材料的屈服极限和杆件的横截面面积。
第9章
9.4 提高压杆稳定的措施
9.4.2 提高压杆承载能力的主要途径
1．尽量减小压杆杆长
2． 增强支承的刚性
第9章
9.2.1 压杆的临界力
9.2 压杆的临界力和临界应力
（2）临界应力的欧拉公式
式中， 称 压杆的柔度，又称为压杆的细长比。
2E cr 2
公式表明： 压杆越细长，其临界应力 越小，压杆越容易失稳。反之， 压杆越
短粗，其临界应力越大，压杆越不易失稳。因此称
为柔度。
是反映压杆细长度的一个综合参数，它集中反映了压杆两端的支承情况、杆
imin
I min 26667 mm4 5.774mm 2 A 40 20mm
（2）求柔度
2 1103 mm 346.4 p 100 i 5.774mm
l
第9章
9.2 压杆的临界力和临界应力
9.2.2 非细长杆临界应力的经验公式
（3）用欧拉公式计算临界应力
大小的计算公式上式称为计算临界力的欧拉公式。
式中I——杆件横截面对中性轴的惯性矩；
2 EI Pcr (l )2
——长度系数，其值见表10－1；
l
—— 杆件的长度；
l ——相当长度，因欧拉公式是按两端铰支的情况推导出来的，当杆件两端铰支
时 =1；对其余支承情况，杆件的长度应按相当长度计算。
故压杆的稳定性是足够的。
图9－4
第9章
9.4 提高压杆稳定的措施
9.4.1 影响压杆承载能力的因素
1.细长杆
影响承载能力的因素较多。临界载荷不仅与材料的弹性模量E有
关，而且与长细比有关。长细比包含了截面形状、几何尺寸以及约束 条件等多种因素。 2.中长杆 影响其承载能力的因素主要是材料常数a和b，以及压杆的长细比， 当然还有压杆的横截面面积。
3．合理选择截面形状
4. 合理选用材料
第9章
小结：
小 结
1．压杆稳定性问题的实质是压杆直线平衡状态是否稳定的问题。 2．临界力是压杆从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的极限载荷值。 3．压杆稳定性计算 （1）计算压杆柔度。 （2）计算临界力。
解：（1）计算柔度
i
I d 4 / 64 d 10m m 2 A d / 4 4
l
i
2.0 400 mm ＝80 10 mm
第9章
（2）计算临界力
Pcr =349 771 N
9.3 压杆的稳定性计算
(3)校核压杆的稳定性
nw
Pcr 350 4.375 [nw ] P 80
矿山设备中的钢制压杆［nw］=4.0～8.0
金属结构中的铸铁压杆［nw］=4.5～5.5 木结构中的木制压杆 ［nw］=2.5～3.5
如图1－2(b)所示，则当压杆的原有轴线为直线时，压杆达到平衡，
把这种平衡称为稳定平衡。
第9章
9.1 压杆稳定的概念
图9－2
图9－3
第9章
9.2.1 压杆的临界力
9.2 压杆的临界力和临界应力
（1）临界力的欧拉公式 细长杆的临界力Pcr是压杆发生弯曲而失去稳定平衡的最小压力值。在杆的应变不 大、杆内压应力不超过材料比例极限的情况下，根据弯曲变形理论，可以推导出临界力
图10－6
第9章
9.2 压杆的临界力和临界应力
9.2.2 非细长杆临界应力的经验公式
解：（1）求最小惯性半径imin
hb3 40 203 Iy 26667 mm4 12 12 3 3 4 I bh 20 40 106667 mm z 12 12
2 E 3.142 200103 MPa cr 2 346.42
≈16.434 MPa
（4ห้องสมุดไป่ตู้计算临界力Pcr
Pcr= 13.1 kN
第9章
9.3 压杆的稳定性计算
1.压杆的稳定条件为
nw Pcr [nw ] P
nw
cr [ nw ]
(9－7)
式中，［nw］为规定的稳定安全系数。
第9章
9.3 压杆的稳定性计算
按式（9－7）进行稳定计算的方法，称为安全系数法。利 用该式可解决压杆的三类稳定性问题：
(1)校核压杆的稳定性；
(2)设计压杆的截面尺寸； (3)确定作用在压杆上的最大许可载荷。
第9章
9.3 压杆的稳定性计算
例9－2 如图9－4（a）所示的螺旋千斤顶，螺杆旋出的最大长度 400 mm，螺纹直径d=40 mm，最大起重量P=80 kN，螺杆材料为45号钢， =100， =60，［nw］=4.0，试校核螺杆的稳定性。
长、截面形状及尺寸等因素对临界应力的影响。所以，柔度是压杆稳定性计算中的一 个重要参数。
第9章
9.2 压杆的临界力和临界应力
9.2.1 压杆的临界力
(3)欧拉公式的适用范围
欧拉公式是压杆处于弹性范围内推导出的，亦即只有在材料服从虎
克定律的条件下才成立。因此只有当压杆的临界应力不超过材料的比例 极限时，欧拉公式才能适用。
第9章
压杆稳定
训教 重点
压杆稳定的应力分析
压杆稳定的强度计算
第9章
压杆稳定
利用压杆稳定条件分析工程中的失稳问题。
能力 目标
解决实际工程中的压杆稳定问题。
第9章
9.1 压杆稳定的概念
1.失稳
细长压杆丧失工作能力并非杆件本身强度不足，而是由于其轴线在轴 向压力作用下不能维持原有的直线形状——称为压杆丧失稳定，简称失稳。 如图10－1所示。 2.稳定平衡
2E cr 2 p
p
E
p
p
第9章
9.2 压杆的临界力和临界应力
9.2.2非细长杆临界应力的经验公式
cr a b
例10－1 有一矩形截面的压杆 如图10－6所示，下端固定，上端
自由。已知b=20 mm，h=40 mm， l
=1 m，材料为钢材，E=200 GPa， 试计算此压杆的临界力。
第9章
9.4 提高压杆稳定的措施
9.4.1 非细长杆临界应力的经验公式
3.粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服或破坏，故对于塑性材
料，有临界载荷主要取决于材料的屈服极限和杆件的横截面面积。
第9章
9.4 提高压杆稳定的措施
9.4.2 提高压杆承载能力的主要途径
1．尽量减小压杆杆长
2． 增强支承的刚性
第9章
9.2.1 压杆的临界力
9.2 压杆的临界力和临界应力
（2）临界应力的欧拉公式
式中， 称 压杆的柔度，又称为压杆的细长比。
2E cr 2
公式表明： 压杆越细长，其临界应力 越小，压杆越容易失稳。反之， 压杆越
短粗，其临界应力越大，压杆越不易失稳。因此称
为柔度。
是反映压杆细长度的一个综合参数，它集中反映了压杆两端的支承情况、杆
imin
I min 26667 mm4 5.774mm 2 A 40 20mm
（2）求柔度
2 1103 mm 346.4 p 100 i 5.774mm
l
第9章
9.2 压杆的临界力和临界应力
9.2.2 非细长杆临界应力的经验公式
（3）用欧拉公式计算临界应力
大小的计算公式上式称为计算临界力的欧拉公式。
式中I——杆件横截面对中性轴的惯性矩；
2 EI Pcr (l )2
——长度系数，其值见表10－1；
l
—— 杆件的长度；
l ——相当长度，因欧拉公式是按两端铰支的情况推导出来的，当杆件两端铰支
时 =1；对其余支承情况，杆件的长度应按相当长度计算。
故压杆的稳定性是足够的。
图9－4
第9章
9.4 提高压杆稳定的措施
9.4.1 影响压杆承载能力的因素
1.细长杆
影响承载能力的因素较多。临界载荷不仅与材料的弹性模量E有
关，而且与长细比有关。长细比包含了截面形状、几何尺寸以及约束 条件等多种因素。 2.中长杆 影响其承载能力的因素主要是材料常数a和b，以及压杆的长细比， 当然还有压杆的横截面面积。
3．合理选择截面形状
4. 合理选用材料
第9章
小结：
小 结
1．压杆稳定性问题的实质是压杆直线平衡状态是否稳定的问题。 2．临界力是压杆从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的极限载荷值。 3．压杆稳定性计算 （1）计算压杆柔度。 （2）计算临界力。
解：（1）计算柔度
i
I d 4 / 64 d 10m m 2 A d / 4 4
l
i
2.0 400 mm ＝80 10 mm
第9章
（2）计算临界力
Pcr =349 771 N
9.3 压杆的稳定性计算
(3)校核压杆的稳定性
nw
Pcr 350 4.375 [nw ] P 80