连续系统的频域分析
第三章傅立叶变换
时域分析：f(t) y f(t)=h(t)*f(t)
↓分解↑
基本信号δ(t)→LTI →h(t)
频域分析： f(t) ye jωt =h(t)* H(jω)Fe jωt
↓分解↑
基本信号 sinωt
→LTI →H(jω)e jωt
e jωt
H(jω)：系统的频域响应函数，是信号角频率ω的函数，与t无关.
主要内容：
一、信号的分解为正交函数。
二、周期信号的频域分析?付里叶级数（求和），频谱的特点。信号
三、非周期信号的频域分析?付里叶变换（积分），性质。分析
四、LTI系统的频域分析：频域响应H(jω)；y(jω)= H(jω)?F(jω). (系统分析)
五、抽样定理：连续信号→离散信号.
§3.1 信号分解为正交函数
一、正交：
两个函数满足φ1(t)φ2(t)dt=0,称φi(t),φj(t)在区间(t1 ,t2)正交。
二、正交函数集：几个函数φi(t)φi(t)dt= 0 当i≠j;
K i 当i=j.
三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外，
不存在ψ(t)满足ψ (t)φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n).
例、三角函数集:{1,cosΩt,cos2Ωt,… ,cosmΩt,…,sinΩt,
sin2Ωt,…sin(nΩt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/Ω为周期.
满足： cosmΩtcosnΩtdt= 0 m≠n
T/2 m=n≠0
T m=n=0
sin（mΩt）sin(nΩt)dt= 0 m≠n
T/2 m=n≠0
sin(mΩt)cos(nΩt)dt= 0. 所有的m和n.
结论:三角函数集是完备正交集。
推导： cosmΩtcosnΩtdt
=(1/2) [cos(m+n) Ωt+cos(m-n) Ωt]dt
=(1/2)sin(m+n)Ωt +(1/2)sin(m-n)Ωt
=(1/2)[sin(m+n) Ω(t0+T)-sin(m+n)Ωt0]
+(1/2)[sin(m-n) Ω(t0+T)-sin(m-n)Ωt0]
=0 当m≠n时.
m=n≠0，原式=(1/2) [ cos(m+n)Ωt+1]dt=(1/2)?t =T/2 m=n=0 , 原式=(1/2) [1+1]dt=T.
4、复函数的正交函数集：
几个复函数集{φi(t)}，φi(t)φi*(t)dt= 0 i≠j
k i i=j
例：复函数集{ e jnΩt}(n=0,±1,±2…)
区间(t0,t0+T）,T=2π/Ω为周期。
满足 e jm Ωt(e jnΩt)*dt= e j(m-n)Ωt dt
=[1/(j(m-n)Ω)] e j(m-n)Ωt dt =0 m≠n
= 1dt=T m=n.
结论：{ e jnΩt}是完备正交集。(n=0,±1,±2…)
二、信号分解为正交函数集。
1、分解：二维 A=c1v x + c2y y { v x，v}y二维正交矢量集
三维 A= c1v x +c2v y +c3v z { v x，v y，v z }三维正交矢量集
n维：{φ1(t)…φn(t)}在(t1 ,t2)构成正交函数集。
f(t)≈c1φ1 (t)+ c2φ2(t)+…c nφn(t)+(t)= c jφj(t)
任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。
2、系数c j的选择。
方均误差定义：=[1/(t2-t1)] [f(t)- c jφj(t)]2dt
使最小，对第i个系数c i来说，应使/c i =0.
∴c j= [ f(t)φj(t)dt]/ ( [φj(t)]2dt)
=(1/K j) f(t)φj(t)dt
最佳近似条件下的方均误差：
=[1/(t2-t1)]( [f(t)]2 dt - c j2K j).
∵≥0,n↑, ↓;
∴n→∞,→0. 则 [f(t)]2 dt= c j2K j→称帕斯瓦尔方程。 f(t)= c jφj(t).
即函数f(t)在区间(t1 ,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。
§3.2付里叶级数
一、付里叶级数：（三角形式）
f(t)=(a0/2)·1+a1cosΩt+a2cos2Ωt+…+b 1sinΩt+b 2sin2Ωt+…
= a0/2+ a n cos(nΩt)+ b n sin(nΩt).
积分区间：t 0 t0+T, 0T, -T/2T/2
K i= (cos(nΩt))2 dt=T/2.
a n=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt
b n=(2/T)f(t)sin(nΩt)dt
形制：a-n=a n是偶函数
b-n=-b n时奇函数 (其中n=0,1,2…).
2、三角形式二：同频率项合并。
f(t)=a0/2+A1cos(Ωt+φ1)+A2cos(2Ωt+φ2) +…
= a0/2+ A n cos(nΩt+φn).
A0=a0 a n=b n =-arctg(b n / a n).
由性质可知：a0= A0 a n=An cosφn b n= b n sinφn
3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。
f(t)= a0/2+A1cos(Ωt+φ1)+A2cos(2Ωt+φ2) +…+A n cos(Ωt+φn)+…
例3.2-1 f(t)为方波，分解为付里叶级数。
周期：T 频率：1/T 角频率：Ω=2π/T. 区间：(-T/2,T/2)
(1)f(t)= a0/2+ a n cos(nΩt)+ b n sin(nΩt)
a n=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt =0
b n=(2/T) f(t)sin(nΩt)dt= 0 n=2,4,6…
. 4/(nπ) n=1,3,5…
∴f(t)=(4/π)[sinΩt+(1/3)sin(3Ωt)+…+ (1/n)sin(nΩt)+…]
结论：方波只含有1，3，5等奇次谐波分量，无直流分量。
（2）方均误差（有限项逼近）
=[1/(t2-t1)][ f2(t)dt- c2
]
j K j
=(1/T)[ 1dt-(T/2) （b j）2]=1-(1/2) （b j）2
只取基波：=1-(1/2)(4/π)2=0.189.
取基三次谐波：=1-(1/2)[(4/π)2+(4/3π)2=0.0994.
基“+”3，”+”5次: =1-(1/2)[(4/π)2+(4/3π)2+(4/5π)2]=0.0669 （3）方波分解的特点
1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方误差越小。
2、当合成波所含基波次数n→∞，在间断点仍有约9%偏差，在间断点出尖峰下的面积非常小以致趋近于零。
二、奇偶函数的付里叶系数的特点:
1、为偶函数：f(-t)=f(t),关于纵坐标对称。
a n=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt
=(2/T)f(t) cos(nΩt)dt +(2/T)f(t) cos(nΩt)dt
∴a n=(4/T)f(t) cos(nΩt)dt
b n=(2/T) f(t)sin(nΩt)dt+(2/T)f(t)sin(nΩt)dt
∴ b n= 0.
当f(t)为偶函数时
a n=(4/T)f(t) cos(nΩt)dt A n= |a n|
b n/ a n=0
b n= 0 ?n= mπ arctgb n/a n角度为0，π
2、f(t)为奇函数。F(-t)=-f(t),波形关于原点对称。
当f(t)为奇函数时：
= |b n|
a
b n=(4/T)f(t)sin(nΩt)dt ?n= (2m+1)π/2. b n/a n→∞.
∴奇函数只有正弦项。
★任意函数
f(t)=f od(t)+f ev(t) → f od(t)=(f(t)-f(-t))/2. f(-t)= f od(-t)+f ev(-t)= -f od(t)+f ev(t) f ev(t)=(f(t)+f(-t))/2.
3、f(t)为奇谐函数。（半波对称函数）
f(t)=- f(t±T/2),移动T/2后，关于横轴对称。
付里叶级数只含奇次谐波，不含偶次谐波。
a0= a2= a4= a6=? b0= b2= b4=?=0
例3.2-2 把锯齿波信号展为付里叶级数。
解：
方法1：f(t)=t/T既不是偶函数也不是奇函数，
直接在[0,T]区间上求a n，b n .
方法二：把分为奇偶两部分。
f ev(t)=(1/2)[f(t)-f(-t)]=(1/2)[t/T+(-t+T)/T]=1/2.
f od(t)=(1/2)[f(t)+f(-t)]=(1/2)[t/T-(-t+T)/T]=t/T-1/2=(t-T/2)/T. 奇函数部分分解为：a n
b n =(4/T)[t/T-1/2]sin(nΩt)dt
=(4/T2)[sin(nΩt)-nΩcos(nΩt)]/(nΩ)2
+(2/T)[cos(nΩt)]/(nΩ)]=-1/nπ. n=1,2,3…
b n sin(nΩt)
∴f(t)= f ev(t)+f od(t)=1/2+
=1/2-(1/π)[sinΩt+(1/2)sin(2Ωt)+(1/3) sin(3Ωt)+…].
锯齿波含直流分量和各次谐波分量。
三、周期信号分解为指数形付里叶级数。
1、定义式：（由三角形式推导）
f(t)=A0/2+
A n cos(nΩt+φn)
= A0/2+ (A n/2)[e j(nΩt+φn)+e -j(nΩt+φn)]。
∴ f(t)= Fne jnΩt
2、确定付里叶系数Fn
Fn=(1/2) A n e jφn+(1/2)[A n cosφn)+jA n sinφn]=(1/2)(a n-jb n)
=(1/2)(2/T) f(t)cos(nΩt)dt
-j(1/2)(2/T) f(t)sin(nΩt)dt
=(1/T)f(t)[cos(nΩt)-jsin(nΩt)]dt
∴ Fn=(1/T) f(t)e-jnΩt dt. n=0,±1,±2…
3、物理意义：周期信号可分解为许多不同频率(nΩ)的虚指数信号(e jnΩt)之和。
每个分量的大小用Fn来表示，分为幅度和相位。
★各三角函数型和指数型付里叶级数及其系数，以及各系数间的关系见表4-1。
§3.3 周期信号的频谱
一、频谱的概念：
频谱分为
?幅度频谱：以频率ω（或角频率Ω）为横坐标，An/｜Fn｜为纵坐标。
?相位频谱：以频率ω（或角频率Ω）为横坐标，φn为纵坐标。
f(t)=A0/2+
A n cos(nΩt+φn)
A0为直流分量幅度；A n为n次谐波的振幅；φn为n次谐波的初相角。
周期信号的频谱是离散的。
结论：正如波形是信号在时域的表示一样，频谱则是信号在频域的表示。
描述了一个信号的频谱就等于描述了这个信号。
信号分解：从已知信号绘制其频谱图。
合成：根据其频谱图反过来和成原有的信号。
波形f(t)
频谱
Fn与An比较：
An：每条谱线代表一个完整的谐波分量的幅度，物理意义明确。
Fn：从数学上将cosnΩt分成e jnΩt和e-jnΩt，有负频率，没有物理意义。变化趋势一致都可进行信号的频谱分析。｜Fn｜=(1/2)An.
3、周期信号频谱的特点：离散性；谐波性（是基波频率的整数倍）。
二、周期矩形脉冲的频谱。
f(t)幅度为1，脉冲宽度为τ;周期为T.
1、求频谱：f(t)= ne jnΩt
Fn=(1/T)f(t) e-jnΩt dt=(1/T) e-jnΩt dt
=(τ/T)[sin(nΩτ)/(nΩ)]=(τ/T)[sin(nΩτ/2)/(nΩτ/2)]
= (τ/T)Sa(nΩτ/2)
或Ω=2π/T. n=(τ/T)[sin(n2πτ/2T)/(n2πτ/2T)]
=(τ/T)Sa(nπτ/2). N=0,±1,±2? (1)
∴ f(t)= (τ/T)Sa(nπτ/2) e jnΩt是指数形式的付里叶级数展开式。由（1）式画出矩形脉冲信号频谱图。设T=4τ
Fn=(τ/4τ)Sa(nπτ/4τ)=(1/4)[sin(nπτ/4)/(nπ/4)]
= sin(nπ)/(nπ) n=0,±1,±2?
n=0 F0 =1/4=0.25 [∵Sa(x)=1,当x→0时]
n=1 F1= sin(π/4)/π=0.225.
n=2 F2= sin(π/2)/2π=0.16 n=3 F3= sin(3π/4)/3π=0.075. n=4 F4= sin(π)/4π=0. n=5 F5= sin(5π/4)/5π=-0.045. n=6 F6= sin(3π/2)/6π=-0.053. n=7 F7= sin(7π/4)/7π=-0.032. n=8 F8= sin(2π)/8π=0.
特点：1、是离散的，仅含有ω=nΩ的各分量。(n取整数)。
2、谱线间隔为Ω（Ω=2π/T） T↑间隔小，密
T↓间隔大，疏
3、第一零点在2π/τ处，与τ有关τ↑主瓣宽
τ↓主瓣窄。
τ/T↓
2、脉冲宽度与频谱的关系：τ↓直流分量F
频带宽度?F=1/τ↑
∴保持第一零点内能量不变。
脉冲宽度(τ) 频谱幅度(F0=τ/T) 第一零点?F=1/τ
τ=T/4 F0=1/4 2π/τ=8π/T 4/T
τ=T/8 F0=1/8 2π/τ=16π/T 8/T
τ=T/16 F0=1/16 2π/τ=32π/T 16/T
3、周期与频谱的关系。谱线间隔保持第一零点内能量不变
F0=τ/4 Ω=2π/T
T=4τ F0=1/4 Ω=2π/4τ
T=8τ F0=1/8 Ω=2π/8τ
T=16τ F0=1/16 Ω=2π/16τ
T→∞，频谱趋于一个脉冲。
三、周期信号的功率
p= (1/T)f2(t)dt=(1/T)[ A0/2+ A n cos(nΩt+φn)]2dt
= (A0/2)2 + (A n)2/2.
P=(1/T)f2(t)dt= ｜F0｜2+2 ｜F n｜2
=｜F-n｜2+｜F0｜2+ ｜F n｜2=｜F n｜2
例3.3-1 T=1,τ=0.2
解：p= (1/T)f2(t)dt=(1) 2dt=0.2
F n = (τ/T)Sa(nπτ/T)=0.2·Sa(0.2πτ) n=0,1,2,3,4,5.
确定第一个零点：2π/τ= 2π/0.2=10π, Ω= 2π/T= 2π,n= 10π/2π=5.
P10π=(0.2)2+2(0.2)2[Sa2(0.2π)+Sa2(0.4π)+Sa2(0.6π)+Sa2(0.8π)+
Sa2(π)]=0.1806。
P10π/p=0.1806/0.2=90.3%.
4、=H(jnΩ) n =（1/）Sa(0.2nπ)e-jarctg0.5n
y(t)= e jnΩt= [Sa(0.2nπ)/] e-jarctg0.5n .
输出波形与时域分析相同。
§3.4 非周期信号的频谱?付里叶变换
信号分析；
?周期信号：可展开为付里叶级数，频谱n是离散的，求和形式，满足狄里赫利条件。
?非周期信号：存在付里叶变换，频谱密度F(jω)是连续的，积分形式，
｜f(t)｜dt<∞
一、付里叶变换。
由周期信号非周期信号，推导出付里叶变换的定义。
1、频谱密度函数
定义：F(jω)=n/(1/T)= n·T称为频谱密度函数。
n/f表示单位频率的频谱，类似于单位体积的质量，定义为物体的密度。
T→∞,即为非周期。
2、付里叶变换的定义：
周期信号n·T=f(t) e-jnΩt dt (1)
f(t)= n·T·e jnΩt·(1/T)
= [f(t)e-jnΩt dt]·e jnΩt·Ω/2π. (2)
非周期信号:
F(jω)= n·T def f(t) e-jωt dt
f(t)= [f(t)e-jωt dt]e jωt dω/2πdef=(1/2π)f(jω)e jωt dω
F(jω)=[f(t)] f(t)=[F(jω)] f(t)? F(jω)
F(jω)与n一样，也是一复函数，讨论时可分开写为:
F(jω)=｜F(jω)｜e j?(ω)=R（ω)+jX(ω)
=｜F(jω)｜cos [?(ω)]+j｜F(jω)｜sin [?(ω)].
3、复里叶变换的物理意义
三角形式：
f(t)= (1/2π) F(jω)e jωt dω=(1/2π)｜F(jω)｜e j[ωt + ?(ω)]dω
=(1/2π)｜F(jω)｜cos[ωt+?(ωt)]dω
+j(1/2π)｜F(jω)｜sin [ωt+?(ωt)]dω
=(1/π)｜F(jω)｜cos [ωt+?(ωt)]dω
定义:非周期信号可看作是由不同频率的各余弦“分量”组成，它包含了频率从
零到无限大的一切频率“分量”。
三要素：1、它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”，且是连续的。
2、各分量的振幅为：(1/π)｜F(jω)｜dω它是无穷小量。
3、相位为?(ω)。
4、付里叶变换的条件：
充分条件：
f(t)在无限区间内绝对可积，即f(t) e-jωt dt<∞，但这并非必要条件。
在引入δ(t)函数后，可将条件放宽，使许多不满足绝对可积条件的函数也能进行付里叶变换。
例3.4-3：双边指数函数（α>0，衰减）
e-α｜t｜? (2α)/(α2+ω2) 实函数。
例3.4-4：
f 2(t)= - e-αt t<0
e-αt t>0 (α>0)满足绝对可积条件。
F2(jω)=- eαt·e-jωt dt+ e-αt·e-jωt dt
=-1/(α-jω)+1/(α+jω)=-j2ω/(α2+ω2)。
F2(jω)= R2(ω)+jX2(ω)
5、典型常用信号的付里叶变换。
①门函数gτ (t)，幅度为1,宽度为τ.
F(jω)= f(t)e-jωt dt= 1 e-jωt dt
= (e-jωτ/2-e-jωτ/2)/(-jω)=2[sin(ωτ/2)]/ω=τ·Sa(ωτ)/2
零点幅值：F(0)=τ
第一零点位置在ωτ/2=π,ω=2π/τ处。
信号的宽度?F=1/τ , τ↓?F↑
②单边指数函数f(t)= e-αt·ε(t),(α>0)，满足绝对可积条件。
F(jω)= f(t)e-jωt dt= e-αt·e-jωt dt
=[ -1/(α+jω)]·e-(α+jω)t=[0-1]/[-( α+jω)]
= 1/(α+jω).α>0.
复函数| F(jω)|=1/ . 偶函数
?(ω)=-arctg(ω/α). 奇函数
F(jω)= f(t)e-jωt dt= f(t)cos(ωt)dt-j f(t)sin(ωt) dt.
特点：若f(t)是t的偶函数→F(jω)是的实函数
若f(t)是t的奇函数→ F(jω)是的虚函数。
若f(t)非奇非偶→ F(jω)为复函数，用幅度和相位才能表示。
二、奇异函数的付里叶变换。
1、δ(t)的频谱
①由定义[δ(t)]= δ(t)e-jωt dt=1
其频谱密度在-∞<ω<∞区间处处相等。
②由极限概念[(1/τ)gτ(t)]= (1/τ)?τ?Sa(ωτ/2)
[δ(t)]= Sa(ωτ/2)=1.
2、单位直流信号的频谱：
f(t)=1, -∞ 只有极限概念得到：引入δ()函数后，条件放宽。 双边指数： f1(t)=e-α?t?α→0 f1(t)=1. F 1(jω)=2α/(α2+ω2) α→0 2α/(α2+ω2)= 0 ω≠0 2/αω=0 是一个以ω为位自变量的冲激函数，强度有冲激函数定义求出。 强度：2α/(α2+ω2)dω=2α/[1+(ω/α)2]d(ω/α) =2arctg(ω/α) = 2[arctg(∞)-arctg(-∞)]=2[π/2-(-π/2)]=2π. ∴[1]=2πδ(ω). 3、符号函数 sgn(t)= -1 t<0 0 t=0 1 t>0 不满足决度可积条件，不能用定义。用极限 f 2(t)= -e-αt t<0 α→0 Sgn(t)= -1 t<0 eαt t>0 1 t>0 α→0 F 2(jω)=-2jω/(α2+ω2) -2jω/(α2+ω2)= -2j/ω=2/jωω≠0 0 ω=0 F2(jω)是的奇函数，在ω=0处时值为0. 4、ε(t)的频谱 v(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求. v(t)=1/2+(1/2)Sgn(t). [ε (t)]=(1/2)[1]+(1/2)[Sgn(t)]=πδ(ω)+1/jω. 5、δ(t)的频谱 [δ'(t)]=δ'(t)e-jωt dt= jω. 同理：[δ(n)(t)]=(jω)(n). § 3.5 付里叶变换的性质 连续时间信号有两种描述方法: 时域描述 f(t) 频域描述 F(jω) 一、线性 a1f1(t)+ a2f2(t) ? a1F1(jω)+ a2F2(jω) 利用该性质，可将所求信号表示成已知频谱信号的线性组合，用间接方式求出频谱函数。 二、奇偶性 大前提，f(t)是实函数；f(t)与F(jω)奇偶虚实关系: 推导：F(jω)=f(t)e-jωt dt=f(t)cosωtdt-j f(t)sinωtdt F(jω)=R(ω)+jX(ω)=?F(jω)?e j?(ω) ?F(jω)?= ,? (ω)=arctg[X(ω)]/[R(ω)]. 1、实部是偶函数R(ω)=R(-ω)，虚部是奇函数X(ω)=-X(-ω). 模是偶函数，?F(jω)?=?F(-jω)?,相角是奇函数? (ω)=-? (-ω)。 2、若f(t)是偶函数f(t)=f(-t), 则X(ω)=0, F(jω)=R(ω)是实函数，也是偶函数 若f(t)是奇函数f(t)=-f(-t), 则R(ω)=0, F(jω)=jX(ω)是虚函数，也是奇函数 偶：∵f(t)sinωt是的奇函数，虚部积分为0，∴只有实部。 奇：∵f(t)cosωt是的奇函数，实部积分为0，∴只有虚部。 3、f(-t)? F(-jω)= F*(jω)。 推导：[f(-t)] = f(t)e-jωt dtτ=-t f(τ)e jωτd(-τ) = f(τ)e-j(-ω)τd(τ)=F(-jω). F(-jω)= R(-ω)+jX(-ω)=R(ω)-jX(ω)=F*(jω). 三、对称性 若f(t) ? F(jω) 则F(jt) ?2πf(-ω) 当f(t)为偶函数时： f(t) ? R(ω),R(t) ?2πf(ω). 推出：F(jω)=f(t)e-jωt dt f(t)=(1/2π) F(jω)e jωt dω 令t=-t,f(-t)= (1/2π) F(jω)e-jωt dω 令t=ω/ ω=t ，f(-ω)= (1/2π) F(jt)e-jωt dt ? (2π) f(-ω)= F(jt)e-jωt dt. 定义：时间函数F(jt) [与F(jω)形式相同]的付里叶变换是(2π)f(ω). 例：δ(t)? 1 1?(2π)δ(ω)利用对称性，可以很方便地求出一些函数的付里叶变换。例:4.5-1 Sa(t)=sint/t. 门函数gτ(t) ?τ Sa(ωτ/2)令τ/2=1.则τ=2. ∴(1/2)?gτ(t) ?2?(1/2)?Sa(ω)=Sa(ω). ? 由对称性知：Sa(t) ? 2π?(1/2)?g2(ω)= πg2(ω) ? 例：f(t)=t ∵δ'(t) ? jω. jt?2π?δ'(-ω)=-2π?δ'(ω) ∴ t?+j2π?δ'(ω). 例：f(t)=1/t. 已知：sgn(t)?2/jω则2/(jt)? 2πsgn(ω). ∴1/t ?jπsgn(-ω)=-jπsgn(ω). 四、尺度变换（时域展缩） 若 f(t) ? F(jω) 则f(at) ? (1/?a?) F(jω/a) 北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析 实验5连续时间系统的复频域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为 (s)(t)e st X x dt +∞ --∞ = ? （1） 拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ -∞ =? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F) L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 () F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。 (,) F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。 的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 110 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++= +++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析 系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下： r=roots(c)，c 为多项式的系数向量，返回值r 为多项式的根向量。 求取零极点以及绘制系统函数的零极点分布图可以采用pzmap 函数，调用格式如下： pzmap(sys)绘出由系统模型sys 描述的系统的零极点分布图。 [p,z]=pzmap(sys)这种调用方式返回极点与零点，不绘出零极点分布图。 还有两个专用函数tf2zp 和zp2tf 可实现系统的传递函数模型和零极点增益模型的转换。调用格 《机电系统控制基础》大作业一 基于MATLAB的机电控制系统响应分析 哈尔滨工业大学 2013年11月4日 1 作业题目 1. 用MATLAB 绘制系统2 ()25()() 425 C s s R s s s Φ== ++的单位阶跃响应曲线、单位斜坡响应曲线。 2. 用MATLAB 求系统2 ()25 ()()425 C s s R s s s Φ==++的单位阶跃响应性能指标：上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。 3. 数控直线运动工作平台位置控制示意图如下： X i 伺服电机原理图如下： L R (1)假定电动机转子轴上的转动惯量为J 1，减速器输出轴上的转动惯量为J 2，减速器减速比为i ，滚珠丝杠的螺距为P ，试计算折算到电机主轴上的总的转动惯量J ； (2)假定工作台质量m ，给定环节的传递函数为K a ，放大环节的传递函数为K b ，包括检测装置在内的反馈环节传递函数为K c ，电动机的反电势常数为K d ，电动机的电磁力矩常数为K m ，试建立该数控直线工作平台的数学模型，画出其控制系统框图； (3)忽略电感L 时，令参数K a =K c =K d =R=J=1，K m =10，P/i =4π，利用MATLAB 分析kb 的取值对于系统的性能的影响。 2 题目1 单位脉冲响应曲线 单位阶跃响应曲线 源代码 t=[0:0.01:1.6]; %仿真时间区段和输入 nC=[25]; dR=[1,4,25]; fi=tf(nC,dR); %求系统模型 [y1,T]=impulse(fi,t); [y2,T]=step(fi,t); %系统响应 plot(T,y1); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; plot(T,y2); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; %生成图形 3 题目2 借助Matlab，可得： ans = 0.4330 0.6860 25.3826 1.0000 即 实验名称： 控制系统的频域分析 实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求 用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。 二、实验内容和原理 （一）实验原理 1．Bode(波特)图 设已知系统的传递函数模型： 1 1211121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1211121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。 反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MATLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图 根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。 （二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50)(-++=s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++=s s s s s G 其结构如图所示 试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。 （三）实验要求 实验三 连续时间LTI 系统的频域分析 一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。 基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。 二、实验原理及方法 1 连续时间LTI 系统的频率响应 所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。 上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： )()()(ωωωj H j X j Y = 3.1 或者： ) () ()(ωωωj X j Y j H = 3.2 )(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 ? ∞ ∞ --= dt e t h j H t j ωω)()( 3.3 由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说 是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数， 实验报告 实验项目名称：运用Matlab进行连续时间信号卷积运算 （所属课程：信号与系统） 学院：电子信息与电气工程学院 专业： 10电气工程及其自动化 姓名： xx 学号： 201002040077 指导老师： xxx 一、实验目的 1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性。 2、掌握相关函数的调用。 二、实验原理 1、一个连续LTI 系统的数学模型通常用常系数线性微分方程描述，即 )()()()()()(01 )(01)(t e b t e b t e b t r a t r a t r a m m n n +'++=+'++ (1) 对上式两边取傅里叶变换，并根据FT 的时域微分性质可得： )(])([)(])([0101ωωωωωωE b j b j b R a j a j a m m n n +++=+++ 101)()()()()(a j a j a b j b j b j E j R j H n n m m ++++++==ωωωωωωω H ( j ω )称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。一般H ( j ω )是复函数，可表示为： )()()(ω?ωωj e j H j H = 其中， )(ωj H 称为系统的幅频响应特性，简称为幅频响应或幅频特性；)(ω?称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性。H ( j ω )描述了系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换间的关系。H ( j ω )只与系统本身的特性有关，与激励无关，因此它是表征系统特性的一个重要参数。 MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解，其语句格式为：H=freqs(b,a,w)其中，b 和a 表示H ( j ω )的分子和分母多项式的系数向量；w 为系统频率响应的频率范围，其一般形式为w1:p:w2，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值，p 为频率取值间隔。 H 返回w 所定义的频率点上系统频率响应的样值。注意，H 返回的样值可能为包含实部和虚部的复数。因此，如果想得到系统的幅频特性和相频特性，还需要利用abs 和angle 函数来分别求得。 理工大学信号与系统实验报告连续时间系统的 复频域分析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 实验5连续时间系统的复频域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为(s)(t)e st X x dt +∞ --∞ =? （1） 拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ - ∞ = ? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F)L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 ()F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量 为t 的结果表达式。 (,)F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。 拉氏变换还可采用部分分式法，当(s)X 为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比： 110 1 10 ...(s)(s)(s)...M M M M N N N N b s b s b N X D a s a s a ----+++==+++ （3） 上式可以采用部分分式法展成以下形式 1212(s)...N N r r r X s p s p s p = +++--- （4） 再通过查找常用拉氏变换对易得反变换。 利用residue 函数可将X(s)展成（4）式形式，调用格式为： [r,p,k]residue(b,a)=其中b 、a 为分子和分母多项式系数向量，r 、p 、k 分 别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。 2.连续时间系统的系统函数 连续时间系统的系统函数是指系统单位冲激响应的拉氏变换 (s)(t)e st H h dt +∞ --∞ = ? （5） 连续时间系统的系统函数还可以由系统输入与输出信号的拉氏变换之比得到。 (s)(s)/X(s)H Y = （6） 单位冲激响应(t)h 反映了系统的固有性质，而(s)H 从复频域反映了系统的固有性质。由（6）描述的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 1 10 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++=+++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析 系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下： 实验4：连续系统的频域分析 一、实验目的 （1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。 （2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。 二、实验原理 1.周期信号的分解 根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为 ()f t 的傅里叶级数。在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。 例如一个方波信号可以分解为： 11114111 ()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ?? = ++++ ??? 合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布 斯现象（Gibbs ）。 2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式： ()()lim ()j t j n n F j f t e dt f n e ωωττωττ∞ ∞ ---∞ →=-∞ ==∑ ? 当 ()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N ，则有： ()(),0k N j n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N π ωτ = 3.系统的频率特性 连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为 () ()() Y H X ωωω= 三、实验内容与方法 1.周期信号的分解 【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。 MATLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9 plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; end title(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9; 学生实验报告实验课程:信号与 系统E D A 实验地点:东1教 414 学院: 专业: 学号 : 姓名 : 2．信号卷积,根据PPT 中的实验2、2与2、3内容完成课堂练习,写出程序及运行结果。 用Matlab 实现卷积运算)(*)(t h t f ,其中 )()()],2()([2)(t e t h t t t f t εεε-=--=,)2 ()(2t h t h =;对比说明信号)( t f 分别输入系统)(和)(2t h t h 时的输出有什么区别并分析原因。 >> p=0、01; nf=0:p:4; f=2*(heaviside(nf)-heaviside(nf-2)); nh=0:p:6; h=exp(-nh)、*(nh>0); y=conv(f,h); t=0:length(y)-1; subplot(3,1,1),stairs(nf,f);title('f(t)');axis([0 6 0 2、1]); subplot(3,1,2),plot(nh,h);title('h(t)');axis([0 6 0 1、1]); subplot(3,1,3),plot(0、01*t,y); title('y(t)=f(t)*h(t)'); >> p=0、01; nf=0:p:4; f=2*(heaviside(nf)-heaviside(nf-2)); nh=0:p:6; h=exp(-2*nh)、*(2*nh>0); y=conv(f,h); t=0:length(y)-1; subplot(3,1,1),stairs(nf,f);title('f(t)');axis([0 6 0 2、1]); 自动调节系统频域分析 班级11081801 学号1108180135 姓名王佳炜 日期2014.1.5 线性系统的频域分析 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w) bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w) -100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2 +-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(22++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解: 程序如下 奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100); nyquist(num1,den1,w) 系统频域分析课程设计 报告 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 《综合仿真》课程设计报告 姓名 学号 同组成员 指导教师 时间 11周至14周 系统的频域分析 【目的】 (1) 加深对系统频域分析基本原理和方法的理解。 (2) 加深对信号幅度调制与解调基本原理和方法的理解。 (3) 锻炼学生综合利用所学理论和技术，分析与解决工程实际 问题的能力。 【研讨内容】 题目1．幅度调制和连续信号的Fourier 变换 本题研究莫尔斯码的幅度调制与解调。本题中信号的形式为 )π2sin()()π2sin()()π2cos()()(132211t f t m t f t m t f t m t x ++= 其中信号x (t )由文件定义，可用命令Load ctftmod 将文件定义的变量装入系统内存。运行命令Load ctftmod 后，装入系统的变量有 af bf dash dot f1 f2 t x 其中 bf af ： 定义了一个连续系统H (s )的分子多项式和分母多项式。可利用freqs(bf,af,w)求出该系统的频率响应，也可用sys=tf(bf,af)得到系统的模型，从而用lsim 求出信号通过该系统的响应。 dash dot ： 给出了莫尔斯码中的基本信号dash 和dot 的波形 f1 f2： 载波频率 t: 信号x (t )的抽样点 x: 信号x (t )的在抽样点上的值 信号x (t )含有一段简单的消息。Agend 007的最后一句话是 The future of technology lies in ··· 还未说出最后一个字，Agend 007就昏倒了。你(Agend 008)目前的任务就是要破解Agend 007的最后一个字。该字的信息包含在信号x (t )中。信号x (t )具有式(1)的形式。式中的调制频率分别由变量f1和f2给出，信号m 1(t )，m 2(t )和m 3(t )对应于字母表中的单个字母，这个字母表已用国际莫尔斯码进行编码，如下表所示： (1)字母B 可用莫尔斯码表示为b=[dash dot dot dot]，画出字母B 莫尔 斯码波形； (2) 用freqs(bf,af,w)画出系统的幅度响应； (3) 利用lsim 求出信号dash 通过由sys=tf(bf,af)定义的系统响应，解释你所获得的结果； (4)用解析法推导出下列信号的Fourier 变换 )π2cos()π2cos()(21t f t f t m )π2sin()π2cos()(21t f t f t m 第5章 用MATLAB 进行控制系统频域分析 一、基于MATLAB 的线性系统的频域分析基本知识 （１）频率特性函数)(ωj G 。 设线性系统传递函数为： n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s G ++???++++???++=---1101110)( 则频率特性函数为： n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++=---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根 GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w) 其中（num ，den ）为系统的传递函数模型。而w 为频率点构成的向量，点右除（./）运算符表示操作元素点对点的运算。从数值运算的角度来看，上述算法在系统的极点附近精度不会很理想，甚至出现无穷大值，运算结果是一系列复数返回到变量GW 中。 （２）用MATLAB 作奈魁斯特图。 控制系统工具箱中提供了一个MATLAB 函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为： nyquist(num,den) nyquist(num,den,w) 或者 nyquist(G) nyquist(G,w) 该命令将画出下列开环系统传递函数的奈氏曲线： ) () ()(s den s num s G = 如果用户给出频率向量w,则w 包含了要分析的以弧度/秒表示的诸频率点。在这些频率点上，将对系统的频率响应进行计算，若没有指定的w 向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。 w 包含了用户要分析的以弧度/秒表示的诸频率点,MATLAB 会自动计算这些点的频率响应。 当命令中包含了左端的返回变量时，即: [re,im,w]=nyquist(G) 或 第三章傅立叶变换 时域分析：f(t) y f(t)=h(t)*f(t) ↓分解↑ 基本信号δ(t)→LTI →h(t) 频域分析： f(t) ye jωt =h(t)* H(jω)Fe jωt ↓分解↑ 基本信号 sinωt →LTI →H(jω)e jωt e jωt H(jω)：系统的频域响应函数，是信号角频率ω的函数，与t无关. 主要内容： 一、信号的分解为正交函数。 二、周期信号的频域分析?付里叶级数（求和），频谱的特点。信号 三、非周期信号的频域分析?付里叶变换（积分），性质。分析 四、LTI系统的频域分析：频域响应H(jω)；y(jω)= H(jω)?F(jω). (系统分析) 五、抽样定理：连续信号→离散信号. §3.1 信号分解为正交函数 一、正交： 两个函数满足φ1(t)φ2(t)dt=0,称φi(t),φj(t)在区间(t1 ,t2)正交。 二、正交函数集：几个函数φi(t)φi(t)dt= 0 当i≠j; K i 当i=j. 三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外， 不存在ψ(t)满足ψ (t)φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n). 例、三角函数集:{1,cosΩt,cos2Ωt,… ,cosmΩt,…,sinΩt, sin2Ωt,…sin(nΩt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/Ω为周期. 满足： cosmΩtcosnΩtdt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 T m=n=0 sin（mΩt）sin(nΩt)dt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 sin(mΩt)cos(nΩt)dt= 0. 所有的m和n. 结论:三角函数集是完备正交集。 推导： cosmΩtcosnΩtdt =(1/2) [cos(m+n) Ωt+cos(m-n) Ωt]dt =(1/2)sin(m+n)Ωt +(1/2)sin(m-n)Ωt =(1/2)[sin(m+n) Ω(t0+T)-sin(m+n)Ωt0] +(1/2)[sin(m-n) Ω(t0+T)-sin(m-n)Ωt0] =0 当m≠n时. 实验三·线性系统的频域分析 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1.典型二阶系统 2 22 ()2n n n G s s s ωζωω=++ 绘制出6n ω=，0.1ζ =，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 2.系统的开环传递函数为 210 ()(51)(5)G s s s s =-+ 228(1) ()(15)(610) s G s s s s s += +++ 4(/31) ()(0.021)(0.051)(0.11) s G s s s s s += +++ 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 3.已知系统的开环传递函数为21()(0.11) s G s s s += +。求系统的开环截止频率 穿越频率、幅值裕度和相位裕度。应用频率稳定判据判定系统的稳定性。 三、实验内容及分析 1. 系统1：2 22 ()2n n n G s s s ωζωω=++中6n ω=，（1）0.1ζ=时 Matlab 文本如下： num=[36 0 0]; den=[1 1.2 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den,w) Grid 得到图像： 同理，得到其他值情况下的波特图：ξ=0.3时 ξ=0.5时 ξ=0.8时 ξ=2时 从上面的图像中可以看出：随着ξ的不断增大，波特图中震荡的部分变得越来越平滑。而且，对幅频特性曲线来说，其上升的斜率越来越慢；对相频特性曲线来说，下降的幅度也在变缓。 2. 开环传递函数1：210 ()(51)(5) G s s s s = -+ 奈奎斯特图函数及图像如下： num=[0 10]; den=[conv([5,-1],[1,5]),0,0]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); p 实验三 连续时间LTI 系统的频域分析 一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。 基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。 二、实验原理及方法 1 连续时间LTI 系统的频率响应 所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。 x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： )()()(ωωωj H j X j Y = 3.1 或者： ) ()()(ωωωj X j Y j H = 3.2 )(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 ?∞ ∞--= dt e t h j H t j ωω)()( 3.3 由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式： )()()(ω?ωωj e j H j H = 3.4 上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ω?称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。)(ωj H 和)(ω?都是频率ω的函数。 对于一个系统，其频率响应为H(j ω)，其幅度响应和相位响应分别为)(ωj H 和)(ω?，如果作用于系统的信号为t j e t x 0 )(ω=，则其响应信号为 t j e j H t y 0)()(0ωω= t j j e e j H 00)(0)(ωω?ω=))((000)(ω?ωω+=t j e j H 3.5 若输入信号为正弦信号，即x(t) = sin(ω0t)，则系统响应为 ))(sin(|)(|)sin()()(00000ω?ωωωω+==t j H t j H t y 3.6 可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被)(ωj H 加权，二是信号的相位要被)(ω?移相。 由于)(ωj H 和)(ω?都是频率ω的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。 控制系统时域与频域性能指标的联系 经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。 如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。 在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。 系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。 一、系统的时域性能指标 延迟时间t d 阶跃响应第一次达到终值h (∞)的50%所需的时间 上升时间 t r 阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系 统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间 峰值时间t p 阶跃响应越过终值h (∞)达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值h (∞)的±5%误差带内所需的最短时间 超调量%σ 峰值h( t p )超出终值h (∞)的百分比，即 %σ= () ()() ∞∞-h h h t p ?100% 二、系统频率特性的性能指标 采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。 武汉工程大学实验报告专业电气自动化班号指导教师 姓名同组者无 M a g n i t u d e (d B ) 10 1010101010P h a s e (d e g )Frequency (rad/sec) 当3.0=ζ时，程序如下： num=[0 0 36];den=[1 3.6 36];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w) grid M a g n i t u d e (d B ) 10 1010101010P h a s e (d e g )Bode Diagram Frequency (rad/sec) 当5.0=ζ时，程序如下： num=[0 0 36];den=[1 6 36];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w) grid M a g n i t u d e (d B ) 10 1010101010P h a s e (d e g )Frequency (rad/sec) 当8.0=ζ时，程序如下： num=[0 0 36];den=[1 9.6 36];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w) grid M a g n i t u d e (d B ) 10 1010101010P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 当2=ζ时，程序如下： num=[0 0 36];den=[1 24 36];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w) grid 第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求 1、掌握周期信号的频谱及其特点； 2、了解周期信号的响应问题； 3、掌握非周期信号的频域描述——傅立叶变换； 4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用； 5、掌握系统的频域特性及响应问题； 6、了解系统的无失真传输和理想滤波。 3.2 本章重点 1、频谱的概念及其特性； 2、傅里叶变换及其基本性质； 3、响应的频域分析方法； 4、系统频率响应的概念。 3.3 知识结构 3.4内容摘要 3.4.1信号的正交分解 两个矢量1V 和2V 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即： o 1212cos900?=?=V V V V 若有一个定义在区间()12,t t 的实函数集{}()(1,2,,)i g t i n =L ，在该集合中所有的函数满足 ?????=≠===??2 1 21,,2,1,0)()(,,2,1)(2t t j i t t i i n j j i dt t g t g n i k dt t g ΛΛ 则称这个函数集为区间()12,t t 上的正交函数集。式中i k 为常数，当1i k =时，称此函数集为归一化正交函数集。 若实函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 是区间()12,t t 内的正交函数集，且除()i g t 之外 {}(),1,2,,i g t i n =L 中不存在()x t 满足下式 2 1 20()t t x t dt <<∞?且2 1 ()()0t i t x t g t dt =? 则称函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 为完备正交函数集。 若在区间()12,t t 上找到了一个完备正交函数集{}(),1,2,,i g t i n =L ，那么，在此区间的信号()x t 可以精确地用它们的线性组合来表示 11221 ()()()()()n n i i i x t C g t C g t C g t C g t ∞ ==++++=∑L L 各分量的标量系数为 2 1 21 2 ()()d ()d t i t i t i t x t g t t C g t t = ?? 系数i C 只与()x t 和()i g t 有关，而且可以互相独立求取。 3.4.2周期信号的傅里叶级数 1、三角形式的傅里叶级数 0001 ()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞ ===++∑ 信号与系统 实验报告 实验五连续系统的复频域分析 实验五连续系统的复频域分析 一、实验目的 1. 深刻理解拉普拉斯变换、逆变换的定义，掌握用MATLAB实现拉普拉斯变换、逆变换的方法。 2会求几种基本信号的拉氏变换。 3 掌握用MATLAB绘制连续系统零、极点的方法。 4 求解系统函数H(s)。 二 1已知连续时间信号f（t）=sin（t）u（t）、求出该信号的拉普拉斯变换，并用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。 syms t; ft=sin(t)*heaviside(t); Fs=Laplace(ft); a=-0.5:0.08:0.5; b=-2:0.08:2; [a,b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b; d=ones(size(a)); c=c.*c; c=c+d; c=1./c; c=abs(c); mesh(a,b,c); surf(a,b,c) axis([-0.5,0.5,-2,2,0,10]) colormap(hsv ) 2求[(1-e^(-at))]/t的拉氏变换。 syms t s a f1=(1-exp(-a*t))/t; F=laplace(f1,t,s) F = log(s+a)-log(s) 3求F（s）=-log（s）+ log（s+a）的拉氏逆变换syms t s a F =log(s+a)-log(s); f1=ilaplace(F,s,t) f1 = (1-exp(-a*t))/t 4已知某连续系统的系统函数为： H（s）=(s^2+3s+2)/(8s^4+2s^3+3s^2+5)试用MATLAB求出该系统的零极点，画出零极点分布图。 b=[1 3 2]; a=[8 2 3 0 5]; zs=roots(b); ps=roots(a); hold on plot(real(zs),imag(zs),'o'); plot(real(ps),imag(ps),'x'); grid axis([-2.5,1,-1,1]) 5已知H(s)=（s+1）/（s^2+s+1）,绘制阶跃响应图形，冲激响应图形，频率激响应图形。 syms t s H=(s+1)/(s^2+s+1); f1=ilaplace(H,s,t); f2=heaviside(t); 实验四 专业 自动化 班号 03班 指导教师 陈艳飞 姓名 胡波 实验名称 线性系统的频域分析 实验日期 第 次实验 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w) bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w) -100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2+-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(22++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解: 程序如下 奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100); nyquist(num1,den1,w) 第三章.连续时间系统的频域分析 一、任意信号在完备正交函数系中的表示法 （§6.3---6.4） 信号分解的目的： ● 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。 ● 简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。 1．正交函数集 任意信号)(t f 可表示为n 维正交函数之和： ∑==++++=n r r r n n r r t g C t g C t g C t g C t g C t f 12211) () ()()()()(ΛΛ& 原函数 ()()()t g t g t g r Λ21,相互正交：???=≠=??n m K n m dt t g t g m t t n m , , 0)()(2 1 ()t g r 称为完备正交函数集的基底。 一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。 2．能量信号和功率和信号（§6.6一） 设()t i 为流过电阻R 的电流，瞬时功率为 R t i t P )()(2 = 一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。 令R = 1Ω，则在整时间域内，实信号()t f 的能量，平均功率为： ? -∞ →=22 2 00)(lim T T T dt t f W ? -∞→=22 20 000)(1 lim T T T dt t f T P 讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： ∞<北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析
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