4.1.1圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
5.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车 辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米， 高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为 坐标原点，半圆的直径AB所在 的直线为x轴，建立直角坐标系
y
（如右图）.
2 2
A
0
2.7
B
x
那么半圆的方程为 x y 16( y 0), 将x=2.7代入,得 y 16 2.7 8.71 ＜3.
【解】设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
根据题意得
解得a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
生活掠影
一石激起千层浪
乐在其中
生活掠影
奥运五环
福建土楼
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就 一起来认识一下圆吧！
1.掌握圆的标准方程.（重点）
2.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，
能根据条件写出圆的标准方程．
3.会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）
2
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的
高度.因此，货车不能驶入这个隧道.
圆 的
推导步骤 特点
求法
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
标
准 方 程
圆心(a,b)、半径r 待定系数法和直接法
不想当元帅的士兵不是好士兵。
A.(x-1)2+(y-1)2=1
4.1.1圆的标准方程
例3
ABC的三个顶点的坐标分别 是A（ 5， 1 ）
B（ 7， 3），C（
2， 8）， 求它的外接圆的方程 。
分析:不在同一条直线上的三点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.
那么如何求圆的方程呢?
关键是求圆心坐标和半径! 一般可用待定系数法去求.即设出圆心坐 标和半径,利用已知条件列出相应的方程,通 过解方程组求出圆心坐标和半径.
所以圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) ( y 2) 25
2 2
思考:求三角形外接圆的两种方法. 小结:本节课主要学习了圆的标准方程及 如何求圆的标准方程,还有点和圆的位置 关系.
4.1 圆的方程
4.1.1圆的标准方程
思考:什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。
Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
一、建立圆的标准方程
求圆心为Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。
如图（１），设M(x ,y )是 圆上任意一点，根据定义，点 Ｍ到圆心Ｃ的距离等于r ，所以 圆Ｃ就是集合 Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
l
A O C B X
又圆心C在直线上,因此圆心C 是直线 l与l '的交点， 半径长等于CA 或CB。
解:因为A(1,1),B(2,-2),所以线段
l
A O C B X
AB的中点D的
坐标为
3 1 ( , ) 2 2
k AB
直线AB的斜率为
2 1 3 2 1
因此线段AB的垂直平分线l’的方程是
二、圆的标准方程的应用
例1写出圆心为A（ 2， 3）， 半径长等于5的圆 的方程， 并判断点M（ 5， 7），N（ 是否在这个圆上 。 5， 1）
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
解析答案
(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
|2－0＋b| 此时 2 ＝ 3.
即 b＝－2± 6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
解析答案
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 圆的标准方程
新知探究 点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
返回
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，圆心为半径为2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；直线、圆的位置关系注意：1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切，只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离，没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
圆的标准方程1
（3）圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 .
(4) 圆的标准方程有哪些特点？
①是关于x、y的二元二次方程； ②方程明确给出了圆心坐标和半径; ③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
练习：1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实 际问题。
作业
习题4.1 P134 3、 4
4.1.1圆的标准方程
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距 离等于r，所以圆C就是集合
M r C
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，M适
O
x
合的条件可表示为：
说明：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
1、特点：明确给出了圆
把上式两边平方得：
心坐标和半径。
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。
问题:试推导圆心是C(a,b)，半 y 径
是r的圆的方程。
r M(x,y)
C
.
O
x
(1) 圆是 平面内到定点的距离等于定长 的点的集合；
（2) 推导中利用了 两点间的距离 公式进行坐标化；
练习2: 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0 相切，求圆的方程。
x 2+y2=196
补充练习：
（１）已知一圆过P（4，-2）,Q（-1， 3）两点，且在y轴上截得的线段长
4.1.1圆的标准方程
X 两边平方得
（x-a）2+(y-b)2=r2
圆的标准方程 说明：曲线方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→挖补
说明：只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆 的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必 须具备三个独立的条件．注意确定a、b、r，可 以根据条件，利用待定系数法来解决．
2 2 2 M ( x , y ) ( x a ) ( y b ) r 探究：点 的关系的判断方法： 0 0 与圆
（1） ( x0 a)
2
( y0 b)
2
> r ，点在圆外;
2
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r （2） 0 = ，点在圆上; 0
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r （3） 0 < ，点在圆内. 0
变一变： 已知两点A(4，9)和B(6，3)， Y 求以AB为直径的圆的方程 A 解法一: 圆心C(5,6) 2R=|AB|= 2 10
所求圆方程: ( x 5) ( y 6) 10
2 2
C
P B
解法二:利用 PA PB 0
O
X
指出：⑴要求能够用圆心坐标,半径长熟练地写出圆 的标准方程． ⑵轨迹法，求曲线方程的一般方法 ⑶已知一个圆的直径端点是 A(x1y1),B(x2， y2), 则圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．半径为 r 的圆的参数方程：
x a r cos ( x a)2 ( y b)2 r 的参数方程为 y b r sin 这就是圆
心为(a，b)，半径为 r，θ为参数的圆的参数方程 也可看成三角换元。说明参数θ的几何意义。
4.1.1 圆的标准方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3������ + 2������-15 = 0, 解得 3������ + 10������ + 9 = 0,
������ = 7, ������ = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
������
������
<
-
5 2
.
-12-
4.1.1 圆的标准方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求圆的标准方程
【例2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
-11-
4.1.1 圆的标准方程
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
.
答案: ±2
题型一 圆的标准方程
课堂探究
【教师备用】 1.确定圆的标准方程的条件是什么? 提示:圆心坐标和半径,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗?
提示:不一定.当m=0时表示点(a,b),当m≠0时表示圆.
【例1】 已知一个圆经过两个点A(2,-3)和B(-2,-5),且圆心在直线l:x-2y3=0上,求此圆的方程.
解:法一 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
(2 a)2 (3 b)2 r2,
a 1,
由已知条件得
(2
a)2
(5
b)2
r2,
解得
b
2,
a 2b 3 0,
r2 10.
所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
b 0,
则 (5 a)2 (2 b)2 r2,
(3 a)2 (2 b)2 r2.
解得
a 4, b 0, r 5.
所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5.
法二 因为圆过 A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上.
由题意得
(2
a)2
(6
b)2
r2,
解得
a=2,b=-3,r=5,
(6 a)2 (0 b)2 r 2.
故外接圆方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
(2)设圆心为 O′,
因为|O′M|= 2 32 3 32 =5,|O′N|= (2 5)2 (3 2)2 = 34 >5,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.1.1圆的标准方程
【教学目标】
（一）知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
⑵ 会用待定系数法求圆的标准方程.
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.
（三）情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
【教学重点】圆的标准方程.
【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
【教学方法】启发、引导、讨论.
【教学过程】
一、新课引入
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
二、讲授新课
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a,b），半径为r （其中a、b、r 都是常数，r 0）.设M（x,y）为这个圆上任意一点，那么点M满
足的条件是（引导学生自己列出）P {M M A r},由两点间的距离公式让学生
写出点M适合的条件a）2（yb）2 r①
化简可得：(X a)2(y b)2 r2②
引导学生自己证明(X a)2 (y b)2r2为圆的方程，得出结论.
若点M(x, y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标适用方程②，说明点M 与圆心A的距离为r ,即点M在圆心为A的圆上.
所以方程②就是圆心为A(a, b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.
三、例题解析
例1:写出圆心为A(2, 3)半径长等于5的圆的方程，并判断点
M i(5, 7), M2( 1)是否在这个圆上.
分析：可以从计算点到圆心的距离入手.
点M (X o, y o)与圆(x a)2
b)2(y b)2 r2的关系的判断方法
2
r，点在圆外
(1) (X o a)2(y o
(2) (X o a)2(y o b)2
2
r,点在圆上
(3) (X o a)2(y o b)2
2
r ,点在圆内
解：圆心是A(2, 3)半径长等于5的圆的标准方程是
2 2
(X 2) (y 3) 25.
2 2
把点M i(5, 7)的坐标代入方程(X 2) (y 3) 25，左右两边相等，点M i 的坐标适合圆的方程，所以点M i在这个圆上；把点M 2( J5, 1)的坐标代入方程
2 2
(X 2) (y 3) 25，左右两边不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以点
M 2不在这个圆上•
例2: ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1), B(7, 方程•
因为A(5,1),B(7, 3),C(2, 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①•于是
mu (7 — J + [— 3- bf =『 (2 - + (-8- 二『
解此方程组，
a 2
得b 3
2
r
已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2, 2),且圆心在l :X y 1
上 ,
求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的 圆经过点A(1,1)和B(2, 2),由于圆心C 与A , B 两点的距离相等，所以圆心C 在
3),C(2, 8),求它的外接圆的
师生共同分析：从圆的标准方程(X a)2
(y b)2 r 2可知，要确定圆的标准
方程，可用待定系数法确定a 、
r 三个参数.
(学生自己运算解决)
(ABC 外接圆的圆心是
ABC 的外心，即
ABC 三边垂直平分线的交点•)
解：设所求圆的方程是(X
a)2
(y b)2
r 2
.①
25
所以
ABC 的外接圆的方程是
2
(X 2)
2
(y 3) 25
线段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线I 上，因此圆心C 是直线I 与直线m
3 1
AB 的中点D 的坐标为-
2 2 2 1
直线AB 的斜率k AB 訂
3
.
因此线段AB 的垂直平分线m 的方程是y
X
解此方程组，得
y
解法2:设所求圆的方程为(X a)
2
(y b)2
[1_扌+(1_研=尸，
'(2 -
2 - 疔=
(3 + 1 = 0
的交点，半径长等于
CA 或]CB .
解法1 :因为A(1,1)，B(2, 2)，所以线段
圆心C 的坐标是方程组
x 3y
的解.
所以圆心C 的坐标是
3, 2
圆心为C 的圆的半径长r
AC
7(1 3)2
(1
2)2
5.
所以圆心为C 的圆的标准方程是(X 3)
2
(y
2)2
25 .
由题意得
25
2、求过点A(6,0) , B(1,5)且圆心在直线l:2x 7y 8 0上的圆的方程.
五、课堂小结
1、圆的标准方程.
2、点与圆的位置关系的判断方法.
3、根据已知条件求圆的标准方程的方法.
a
解得 b
2
r
所以所求圆的方程是(x 3)
2
(y 2)2
25 .
总结归纳：(教师启发，学生自己比较、归纳)比较例2、例3可得出 外接圆的标准方程的两种求法：
ABC
①根据题设条件，列出关于a 、b 、r 的方程组，解方程组得到a 、b 、 值，写出圆的标准方程.
②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小， 再写出圆的标准方程.
然后 四、课堂练习
1、根据下列条件，求圆的方程.
圆心在点C( 2,1),并且过点A(2, 2)；
(2) 圆心在点C(1,3)，并与直线3x 4y 6 0相切；
(3) 过点(0,1)和点(2,1)，半径为 75 •。