立体几何点线面位置关系习题精选

同步练习第I 卷（选择题）1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）.A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥nB 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC 、若n ∥,n α∥β,则α∥βD 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ）A ．//,//m n αα，则//m nB ．,m m αβ⊥⊥，则//αβC ．//,//m n m α，则//n αD ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//bB ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα//C ．若α//a 且β//a ，则βα//D ．若αγ//且βγ//，则βα//7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若//a α，b α⊂，则//a bC ．若//a α，//b α，则//a bD ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ）①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则；④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.311.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说确的是A. ,////m n m n αα⊂⇒B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥C. ,,////m n m n αβαβ⊂⊂⇒D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥12.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥（C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ13.对于空间的一条直线m 和两个平面,αβ，下列命题中的真命题是A.若,,m m αβ则αβB. .若,,m m αβ则αβ⊥C.若,,m m αβ⊥⊥则αβD. 若,,m m αβ⊥⊥则αβ⊥14.设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说确的是（ ）A ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α；B ．若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥；C ．若l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ；D ．若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥．15.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥ B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα第II 卷（非选择题）二、解答题（本题共7道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,第7题0分,共0分）16.（本题12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；B A17.（本题10分）如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：(1)PA ∥平面BDE ；(2)BD ⊥平面PAC ．18.（本小题8分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证:EF //平面PAD ; (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ; (3) 求二面角B PD C --的正切值.POEC DBACBAD 1B 1A1C19.如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ；（Ⅱ）求点A 1 到平面1AB D 的距离.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= E 、F 分别是PB 、CD 的中点，且4PB PC PD ===.（1）求证：PA ABCD ⊥平面；（2）求证：//EF 平面PAD ;（3）求二面角A PB C --的余弦值.21.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(Ⅰ)求证：//EF 平面PAD ；(Ⅱ)求证：EF CD ⊥；(Ⅲ）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC 的体积.B A22.(本小题满分10分)如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，ABAP=，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求证：PCAE⊥.评卷人得分三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）评卷人得分四、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题序号是______24.设,m n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。

(1)若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ； (2)若,m m n α⊥⊥则//n α；(3)若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥；(4)若β⊂m ，βα//，则α//m 。

25.10. 设c b ,表示两条直线，βα,表示两个平面，现给出下列命题：① 若,//b c αα⊂，则//b c ； ② 若,//b b c α⊂，则//c α；③ 若//,c ααβ⊥，则c β⊥； ④ 若//,c c αβ⊥，则αβ⊥．其中真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号）26.设m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题:①若n m n m //,//,则αα⊂； ②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m ； ③若,//,//,//n m n m m αβαβ⋂=则且 ； ④若βαβα//,,则⊥⊥m m其中正确的命题是 ________.试卷答案1.D2.B3.C4.A5.A6.D7.D8.C略9.D10.D.试题分析：对于①，因为α⊥m ，所以直线m 与平面α所成的角为090，又因为m ∥n ，所以直线n 与平面α所成的角也为090，即α⊥n 命题成立，故正确；对于②，若α⊥m ，β⊥m ，则经过m 作平面γ，设a =⋂αγ，b =⋂βγ，又因为α⊂a ，β⊂b ，所以在平面γ，a m ⊥，b n ⊥，所以直线a 、b 是平行直线.因为β⊄a ，β⊂b ，a ∥b ，所以a ∥β.经过m 作平面θ，设c =⋂αθ，d =⋂βθ，用同样的方法可以证出c ∥β.因为a 、c 是平面α的相交直线，所以α∥β，故正确； 对于③，因为α⊥n ，m ∥n ，所以α⊥n .又因为β⊂n ，所以βα⊥，故正确；对于④，因为m ∥β，n =⋂βα，当直线m 在平面β时，m ∥n 成立，但题设中没有m 在平面β这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D. 考点：平面的基本性质及推论.11.【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5【答案解析】D 解析：A 选项可能有n α⊂，B 选项也可能有n α⊂，C 选项两平面可能相交，故选D.【思路点拨】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．12.【答案解析】B 解析：A.直线,m n 成角大小不确定；B.把,m n 分别看成平面,αβ的法向量所在直线，则易得B 成立.所以选B.【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断.13.【答案解析】C 解析：若,,m m αβ则平面,αβ可能平行可能相交，所以A,B 是假命题；显然若,,m m αβ⊥⊥则αβ成立，故选C.【思路点拨】根据线面平行的性质，线面垂直的性质得结论.14.【答案解析】C 解析：对于A ，直线l 还有可能在平面α，所以错误，对于B ，若m ∥n ，则直线l 与平面α不一定垂直，所以错误，对于D ，若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，两面可以平行和相交，不一定垂直，所以错误，则选C.【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.15.C16.（说明：证法不唯一，适当给分）证明：（1）取AD 中点G ，PD 中点H ，连接FG,GH,HE ，由题意：11//,//,//,//22FG AB HE CD AB CD FG HE ∴ //EFGH EF GH ∴∴四边形是平行四边形， --------4分又,GH PAD EF PAD ⊆⊄平面平面，EF //平面PAD --------6分（2）平面PAD ⊥底面ABCD ，,PAD ABCD AD ⋂=平面平面,CD AD CD ABCD ⊥⊆平面，∴CD PAD ⊥平面，--------10分又CD PDC ⊆平面，∴平面PDC ⊥平面PAD --------12分17.证明：(1)连接EO ，∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ O 为AC 的中点．∵ E 是PC 的中点，∴ OE 是△APC 的中位线．∴ EO ∥PA ．∵ EO ⊂平面BDE ，PA ⊂平面BDE ，∴ PA ∥平面BDE ．(2)∵ PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ PO ⊥BD ．∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD ．∵ PO ∩AC ＝O ，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴ BD ⊥平面PAC ．18.(Ⅰ)证明:ABCD 为平行四边形连结AC BD F =,F 为AC 中点,E 为PC 中点∴在CPA ∆中EF //PA且PA ⊆平面PAD ,EF ⊄平面PAD ∴PAD EF 平面// ………2分 (Ⅱ)证明:因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD 面ABCD AD = ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥又PA PD AD ==,所以PAD ∆是等腰直角三角形, 且2PAD π∠= 即PA PD ⊥ CD PD D =,且CD 、PD ⊆面ABCDPA ⊥面PDCPO EC DBA又PA ⊆面PAB 面PAB ⊥面PDC ………5分MFEDC B A (Ⅲ)设PD 的中点为M ,连结EM ,MF , 则EM PD ⊥由(Ⅱ)知EF ⊥面PDC , EF PD ⊥,PD ⊥面EFM ,PD MF ⊥, EMF ∠是二面角B PD C --的平面角 Rt FEM ∆中,122EF PA a == 1122EM CD a == 224tan 12a EF EMF EM a ∠=== 故所求二面角的正切值为22 ………8分 19.证明：（Ⅰ）连接1A B 交1AB 于O ，连接OD ，在1BAC ∆中，O 为1BA 中点，D 为BC 中点1//OD AC ∴ 111,OD AB D AC AB D ⊂⊄面面 11//AC AB D ∴平面1DH BB ∴⊥ 11DH A B BA ∴⊥面且3sin 30DH AD =⋅=1111A AB D D AA B V V --=即11513233h = 解得25h =解法二：由①可知11//AC AB D 平面∴点1A 到平面1AB D 的距离等于点C 到平面1AB D 的距离…………8分1AD B ∆为Rt ∆115ADB S ∆∴=132ADC ABC S S ∆∆==10分 设点C 到面1AB D 的距离为h 11C AB D B ADC V V --=即11513233h =⨯ 解得25h =略 20.（1）证明 取BC 的中点,M 连结,.AM PM,60AB BC ABC =∠=,ABM ∴∆为正三角形，.AM BC ∴⊥又 ,,PB PC PM BC =∴⊥,AMPM M =BC ∴⊥平面PAM ,PA ⊂平面PAM ,同理可证 ,PA CD ⊥ 又,BCCD C PA =∴⊥平面.ABCD …4分.（2）取PA 的中点N ，连结,.EN ND,,//,PE EB PN NA EN AB ==∴且1.2EN AB =又//,FD AB 且1,2FD AB = //EN DF ∴，∴四边形ENDF 是平行四边形，//,EF ND ∴而EF ⊄平面,PAD ND ⊂平面,//PAD EF ∴平面.PAD …………………8分 （3）取AB 的中点,G 过G 作GH PB ⊥于点,H 连结,.HC GC 则,CG AB ⊥又,,CG PA PAAB A CG ⊥=∴⊥平面.PAB ,HC PB ∴⊥GHC∴∠是二面角A PB C --的平面角. 在Rt PAB ∆中，2,4,AB PB PA ==∴=又Rt BHG ∆∽Rt BAP ∆,,HG BGHG PA PB ∴=∴=. 在Rt HGC ∆中，可求得GC HC =∴=cosGHC ∴∠=故二面角A PB C --………………12分. （注：若（2）、（3）用向量法解题，证线面平行时应说明EF ⊄平面PAD ，否则扣1分；求二面角的余弦值时，若得负值，亦扣1分.）21.解：（Ⅰ）证明：∵E ，F 分别是AB ，PB 的中点， ∴//EF AP ．又∵EF 平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD ． （Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD CD ．又∵PD平面ABCD， ∴PD CD，且AD PD D．∴CD平面PAD，又∵PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ．又∵//EF AP ，∴EF CD ⊥．（Ⅲ）连接,AC DB 相交于O ，连接OF ， 则OF ⊥面ABCD ，则OF 为三棱锥FEBC 的高，1122OFPD a ，21112224EBC a S EB BC a a∴B EFC F EBC V V ＝＝211113322224EBC a a S OF a a ＝． 略 22. (Ⅰ)证明：E ，F 分别是PB ,PC 的中点BC EF //∴ ……………2分AD BC // AD EF //∴⊄EF 平面PAD ,⊂AD 平面PAD∴EF ∥平面PAD ……………4分(Ⅱ) 证明：AB AP = ,E 是PB 的中点PB AE ⊥∴ ……………6分PA ⊥平面ABCDBC PA ⊥∴BC AB ⊥ 且A AB PA =⊥∴BC 平面PAB ……………8分⊂AE 平面PAB BC AE ⊥∴B BC PB =⊥∴AE 平面PBCPC AE ⊥∴ ……………10分23.（2） 、（3）24.(3)、(4)； 25.④26.②④。