222平面与平面平行的判定
2.2.2平面与平面平行的判定
到现在为止, 1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? 与平面平行的方法呢? 定义法； （1）定义法； 直线与平面平行的判定定理： （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行． 线平行，则该直线与此平面平行．
练习1、已知正方体 练习 、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P,Q, R, 分别为A 分别为 1A,AB,AD的中点 。 的中点 求证：平面 求证：平面PQR∥平面 1D1. ∥平面CB 分析：连结A1B， P R Q PQ∥ A1B A1B ∥CD1 故PQ∥CD1 同理可得，……
在三棱锥B-ACD中,点 例2 在三棱锥 中点 M、N、G分别△ABC、 分别△ 、 、 分别 、 的重心, △ABD、 △BCD的重心 A 、 的重心 求证:平面 平面MNG//平面 平面ACD 求证 平面 平面
C1 B1
D A B
C
同理D 平面C 同理 1B1//平面 1BD, 平面 又D1A I D1B1=D1, D1A⊂ 平面 1D1 , 平面AB D1B1⊂ 平面AB1D1, 平面 平面AB 平面C ∴平面 1D1//平面 1BD. 平面
线面平行与面面平行的小结： 1、证明线面平行时，注意有三个条件 2、证明面面平行时，有5个条件，缺一不可. 3、证明面面平行时，注意条件是线面平行， 而不是线线平行 4、证明面面平行时，转化成证明线面平行， 而证明线面平行，又转化成证明线线平行
当三角板的两条边所在直线分别 与地面平行时, 与地面平行时,这个三角板所在 平面与地面平行。 平面与地面平行。 （１）平面β内有一条直线与 平面β 平面α平行， 平行吗？ 平面α平行，α，β平行吗？ （２）平面β内有两条直线与平 平面β 平行， 平行吗？ 面α平行，α，β平行吗？
必修2课件：平面与平面平行的判定
课堂练习
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别为A1A、 CC1的中点。求证：平面NBD∥平面MB1D1.
N M
归纳:如何利用定理证明平面与平面平行? ※在平面内找(作)两条相交直线与另一平面平行
综合练习
1.判断下列命题正确与否 (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平 面，那么这两个平面平行 (2)如果一个平面内的无数条直线平行于另一个 平面，那么这两个平面平行 (3)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另 一个平面，那么这两个平面平行 (4)平行于同一条直线的两个平面平行 (5)平行于同一平面的两个平面平行.
3.也就是说,两个平面平行的问题可以转化为线面平行 的问题来解决,可是最少需要几条线与面平行呢？
新课探究
问题1.若平面α内有一条直线a平行于平面β,则 能保证α∥β吗？ a b α 问题2.若平面α内有两条 直线a、b都平行于平面β， 能保证α∥β吗？ β
α
b
a
β
新课探究
问题3.若平面α内有无数条条直线平行于平面β, 则能保证α∥β吗？
例2、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F
分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点。 求证：平面AMN//平面EFDB。
证明：连接MF，
由题意知 A1D1 //MF, 又A1D1 //AD,
又AD//MF , ADFM为平行四边形。
AM // DF ,
又AM 平面EFDB ， DF 平面EFDB, AM // 平面EFDB;
线不在多, 重在相交.
a β α
归纳.平面α内有两条相交直线平行于平面β,就能 保证α∥β.
定理的理解:
1.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的 举例说明： （1）已知平面 , 和直线 m, n ， 若 m , n , m // , n // ，则 // 错误 （2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于另 正确 一平面 ，则 //
两平面平行的判定定理公式
两平面平行的判定定理公式在数学中，两平面平行的判定定理公式用来表达两平面之间的关系是否是平行的。
它提供了一种快速测试两个平面是否平行的方法。
因此，这个定理的公式可以说是一个极其重要的数学定理，它的准确性决定着后续计算的准确度。
两平面平行的判定定理公式一般用来判断两个三维空间中的平面是否具有平行关系。
其具体运算过程是，令两个平面的法线向量分别为a=(a1，a2，a3)和b=(b1，b2，b3)，则两平面以向量a、b的夹角θ表示，如果a=b，那么θ=0，则两平面平行；如果a≠b，而且ab≠0，则可以推出θ，即两平面存在夹角，说明它们不是平行的；如果a≠b，而且ab=0，则可以推出θ=π，即两平面垂直，但不是平行的。
两平面平行的判定定理公式的计算公式可表示为：ab=|a||b|cosθ其中，a、b分别表示两平面法向量，|a|表示a的模，|b|表示b 的模，cosθ表示a、b之间的夹角，由此可以测算出两平面之间夹角大小。
两个平面平行或非平行时，如何计算得出其夹角？利用两平面平行的判定定理，计算方法如下：1、计算两平面的法线向量a、b；2、将a、b的模的乘积(||a|| ||b||)代入公式ab=|a||b|cosθ，得出ab的值；3、由公式ab=|a||b|cosθ，推出cosθ=ab/|a||b|；4、因为cosθ的值在-1到1之间，当cosθ的值大于0，则可以推出θ，即两平面彼此之间存在夹角，说明它们不是平行的，当cos θ=0时，可以推出θ=π，即两平面垂直，但不是平行的。
从以上可以看出，利用两平面平行的判定定理可以轻松地测算出两平面之间的夹角以及其是否平行的关系。
可见，这个定理的公式是一个非常重要的数学定理，它的准确性决定着后续计算的准确度。
在实际应用中，两平面平行的判定定理公式还可以用于求解几何问题、物理解释等，是一个非常重要的数学工具。
例如，在几何问题中，两个三角形的平行判断就可以利用它来轻松判断；在电磁学中，可以应用它来求解电磁场相互作用时的相对位置，从而获得更精确的结果；在电力学中，可以用它来判断两个永磁转子的角度差，从而实现不同的操作行为；在力学中，它也可以用来判断静力学或动力学模型中受力物体之间的关系。
2.2.2 平面与平面平行的判定
角板ABC所在的平面与桌面α 平行吗？
C B
A
①
解析：不平行
2.当三角板ABC的两条边BC，AB都平行桌面α时， 如图②三角板ABC所在的平面是否平行于桌面α？
C A B
②
解析：平行
课堂探究2 平面内有一条直线与平面平行，∥吗？
在长方体的平面ABCD中，
直线AD平行于平面
A1
D A
D1 B1
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，
则这两个平面平行． A．①③ C．②③④ B．②④ D．③④
[解析]选D.如果两个平面没有任何一个公共点，那么 我们就说这两个平面平行，也就是两个平面没有任何 公共直线． 对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面 平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么
A1
D1 B1 C1
D1A∥平面C1BD，同理D1B1
∥平面C1BD，
A
D
C
又D1A∩D1B1 = D1 ,
所以平面AB1D1
∥平面C1BD.
B
【变式练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面α 内有两条直线都平行于平面β ，则
α ∥β .
a
（ ×）
b
α
β
（2）若平面α 内有无数条直线都平行于平面β ，
【提升总结】 1.应用定理时，“内”、“交”、“平行”三个 条件缺一不可. 2.要证明平面与平面平行，只要在这个平面内找 出两条相交直线与已知平面平行，把证明面面问 题平面和平面平行的条件可以是（ D ）
A.α 内有无穷多条直线都与已知平面平行 B.直线a∥α ,a∥β ，且直线a不在α 内，也不在β 内 C.直线
2.2.2平行平面的判定
E D
A
练习
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点. 试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.
解：直线BD1//平面AEC，证明如下: 如图，连接BD交AC于O，再连接OE 在△DBD1中，OE为三角形中位线， 所以OE//BD1， 又BD1 平面AEC，OE
1 ∥ ∵N为A1B1中点， ∴NF ＝ B1C1 2 ∥ B1C1 ， M是BC的中点， 又∵BC＝ 1 ∥ ∴MC ＝ B1C1 2 ∥ NF 即MC＝
∴NFCM为平行四边形， 故MN∥CF ∴ MN∥平面AA1C1C.
A1 N B1
F
C1
练习
练1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的点，F是CB1上的中点， 求证： EF//平面ABC. 法一：线面平行判定定理 B1 A1 连接BC1，则DE为△ABC1中位线， 所以EF//AB, C1 又EF 平面ABC ，AB 平面ABC， 故EF//平面ABC. E F 法二：由面面平行判定线面平行 A G B 取CC1的中点G，连接GE和GF， D 则GE为△ACC1中位线， C 所以GE//AC, 又GE 平面ABC ，AC 平面ABC， 故GE//平面ABC. 同理可证GF//平面ABC. 又GE∩GF=G，所以面GEF//面ABC. 又 EF 面GEF EF//面ABC.
× ×
例 正方体ABCD A1B1C1D1中，证明平面C1BD // 平面AB1D1 .
证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴ D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B，
两平面平行的判定定理
两平面平行的判定定理平面几何是现代数学的分支之一，其中最基础的就是平面的定义和性质，而两平面是否平行就是平面几何中经常使用到的问题之一。
定义：两平面平行的定义是指两个不重合的平面，它们之间没有任何交点。
判定两平面平行的方法有很多，下面我们将介绍几种常见的方法。
方法一：点斜式法点斜式方法是一种基于向量的证明方法，我们需要用向量来描述平面的特性。
1. 假设有两个平面A和B。
2. 确定平面A上的一点P、以及平面B上的一点Q。
3. 确定平面A上的一向量V1，以及平面B上的一个向量V2，使得V1与V2平行。
4. 根据点斜式公式，平面A上的向量可以表示为P+V1t，平面B上的向量可以表示为Q+V2t，其中t为实数。
5. 假设P+V1t和Q+V2t在某个时刻t0时相遇了，那么它们就可以表示为一个点，也就是P+V1t0=Q+V2t0。
6. 将上述等式转化为向量形式，即(P-Q)=V2t0-V1t0，由于V1与V2并行，所以它们的向量差为0，故可得(P-Q)=0，即P=Q。
7. 由此可以看出，如果两个平面上同时存在一个点，且这两个平面上的向量相等，则这两个平面平行。
方法二：法向量法法向量法是判定两平面平行的基本方法之一，它是基于平面垂直于法向量的特性。
1. 假设有两个平面A和B。
2. 分别求出平面A和平面B的法向量n1和n2。
3. 如果n1与n2平行，则A和B平行。
4. 如果平面A上任意一点P，以n1为法向量做垂线，所得的直线与平面B 垂直，那么A和B平行。
5. 如果平面B上任意一点Q，以n2为法向量做垂线，所得的直线与平面A 垂直，那么A和B平行。
方法三：斜率法斜率法是求解两平面是否平行的一种简单易懂的方法，但是在判定斜率是否相等时可能会出现一些误差。
1. 假设有两个平面A和B。
2. 分别选择平面A上的一条直线L1，以及平面B上的一条直线L2。
3. 求出L1和L2的斜率k1和k2。
4. 如果k1与k2相等，则A和B平行。
平面与平面平行的判定和性质
b
δ
γ
'
a
b
证明：因为 证明：因为AA’ ⊥ α，β⊥AA’， ， ⊥ ， 所以AA’ ⊥ a， AA’ ⊥ a’ 所以 ， 所以a 所以 ∥ a’， a’ ∥ α ， 同理 b’ ∥ α a 又因为a’交 为 又因为 交b’为A’ b' 所以 α∥β ∥ δ
γ
a
'
b
例2 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面． 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． （1）判定定理： ）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行 ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
两个平面平行的 判定和性质
三. 平面与平面平行 1. 平行平面：如果两个平面没有公共点， 平行平面：如果两个平面没有公共点， 那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β. 那么这两个平面叫做平行平面 记作 两个平面的位置关系
两平面平行
两平面相交
2. 平行平面的画法：在画两个平面平行 平行平面的画法： 画法 时，通常把表示这两个平面的平行四边 形的相邻两边分别画成平行线 平行线. 形的相邻两边分别画成平行线
a ⊂α ⇒ l ⊥ a l ⊥α ∴l ⊥ b
两个平行平面的公垂线、 两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离 和两个平行平面α 和两个平行平面α，β同时垂直的直线l， 同时垂直的直线 ， 叫做这两个平行平面α 叫做这两个平行平面α，β的公垂线 它夹在这两个平行平面间的部分叫做这 两个平行平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段 我们把公垂线段的长度叫做 两个平行平面的距离
222平面和平面平行的判定定理PPT课件
分析：只要证一个平面内有
两条相交直线和另一个平面平 行即可．
D' A'
C' B'
D A
C B
线线平行
线面平行
面面平行
巩固练习:
1、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,E,F分别是 棱A1B1, A1D1,B1C1,C1D1的中点，求证:平面AMN//平 面EFDB.
D1
F
N
A1
M
C1
B 29
练习1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1
P,Q, R,分别为A1A,AB,AD的中点
求证：平面PQR∥平面CB1D1.
分析：连结A1B，
PQ∥ A1B
P
R Q
A1B ∥CD1 故PQ∥CD1 同理可得，……
30
练习2、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点， 求证：平面MNP∥平面CC1D1D.
(A). 1 种 (B). 2种 (C). 3种 (D). 4种
（2）经过平面外两点可作该平面的平行平面的
个数为（C ）
(A). 0 (B). 1 (C). 0 或 1 (D). 1 或 2
3:判断下列命题是否正确,并说明理由.
① 若平面α内的两条直线分别与平面β平
行,则α与β平行.
(×)
②若平面α内的无数条直线分别与平面β
You Know, The More Powerful You Will Be
36
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX
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方法一： 三角形的中位线定理；
方法二： 平行四边形的平行关系。
?A
C
M
PN
?B D
证明: 连接BC ，设其中点为P ，
连接MP ，NP，AC, BD 在DBCD 中，NP//BD，\ NP// 平面? 在DBCA中， MP//AC ，\ MP// 平面? Q 平面? // 平面? \ MP // 平面?
Q MP 与NP 相交于点P \ 平面PNM // 平面? \ 直线MN// 平面?
△BCD的重心,
∴ BM ? BG ? BN ? 2 ME GP NQ 1
∴MG//EP, NG//PQ
又∵MG∩NG=G, PE∩PQ=P ∴平面MNG//平面ACD
例7 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 D,E分别是 BC与B1C1 的中点。
求证：平面 A1EB//平面ADC1。
D
E
A M
CN
H
F
B
例2. 正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, 求证:平面AB1D1//平面C1BD
D1 A1
C1 B1
D A
C B
? 例3、如图,设AB、CD为夹在两个平行平面
? 之间的线段,且直线AB、CD为异面直线,M、
N 分别为AB、CD 的中点，
求证:直线MN // 平面? .
例4. 棱长为a的正方体AC1中，设M、N、E、F 分别为棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.
(1)求证： E、F 、 B、D四点共面；
(2)求证：面AMN∥面EFBD.
D1 E
N
A1
M B1
C1 F
D A
C B
例5：如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中， E、F分别是棱BC与C1D1的中点。 求证：EF//平面BDD1B1.
引入
1、什么叫两平面平行？有定义可以得到什么重要性
质？这两个平面中的直线啥关系？
2、两平面平行的判定定理？及推论？再看一下定理
一个平面内有两条 相交直线与另一个平面平行 ,则
这两个平面平行 .
即：a ? ?
b? ?
a α Ab
a∩ b=A
? //β
b// β
β 线不在多，重在相交
a// β
简述为：线面平行? 面面平行
3，现在我们思考并比较一下证明线面与面面 平行的不同
(1)、证明线面平行时，注意有三个条件
(2)、证明面面平行时，有 5个条件，缺一不可 . (3)、证明面面平行时，注意条件是线面平行，
而不是线线平行
(4)、证明面面平行时，转化成证明线面平行，
而证明线面平行，又转化成证明线线平行
定义定理强化
1. 经过平面外两点可作该平面的平行平 面的个数为（ ）
例7 在下列各图中，E,F,N,Q都是
相应棱或边的中点
D1
C1
D1
A1
B1
A1
D
A
F
D
C
B
A
C1
B1
E
C
B
D1 F
A1
E
C1
B1
Q
P
DN C
M
A
B
D1 N
C1
E D1
A1
B1 M
A1
C1 B1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D1
A1
E
C1 B1
FD
E
C
A
B
E
D A
C
BF
DF
C
A
B
小结：
1.平面与平面平行的判定： (1)运用定义； (2)运用判定定理：线线平行? 线面平行 ? 面面平行 2.应用判定定理判定面面平行时应注意:
(A) 0 (B) 1 (√C) 0或1 (D) 1或2
2. 平面M∥平面N,直线a ? M,直线b ? N, 下面四种情形: (1)a ∥ b (2)a ⊥ b (3)a与b异面 (4)a与b相交 其中可能出现的情形有 ( )
(A)1种 (B) 2种 (√C)3种 (D)4种
典型例题举例
例1 如图所示，平面 ABCD∩平面EFCD = CD ， M、N、H 分别是 DC、CF、CB 的中点， 求证 平面 MNH // 平面 DBF
D1
F
C1
A1
G
B1
D
C
E
A
B
法一，法二
例6 在三棱锥 B-ACD中,点M、 N、G分别△ABC、 △ABD、 △BCD的重心,
求证:平面MNG//平面ACD
Q
E
P
Q
E
P
证明： 连接BM并延长交AC与点E，连接BG
并延长交CD与点P,连接BN并延长交AD与点Q,
∵点M、N、G分别△ABC、 △ABD、
C1
A1
E
B1
C D
A
B
连接DE
要注意几何体中， 棱柱性质的应用， 如对面互相平行， 侧棱互相平行
例7 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 D,E分别是 BC与B1C1 的中点。
求证：平面 A1EB//平面ADC1。
C1
A1
E
B1
C D
A
B
连接DE
要注意几何体中， 棱柱性质的应用， 如对面互相平行， 侧棱互相平行