第1章 误差
第一章测量误差的分析与处理
随机误差大多是由测量过程中大量彼此独立的微小因 素对测量影响的综合结果造成的。这些因素通常是测量者 所不知道的，或者因其变化过分微小而无法加以严格控制 的。如气温和电源电压的微小波动，气流的微小改变等。
例如，仪表使用时的环境温度与校验时不同，并且是变化的，这就会 引起变值系统误差。变值系统误差可以通过实验方法找出产生误差的 原因及变化规律，改善测量条件来加以消除，也可通过计算或在仪表 上附加补偿装置加以校正。
未被充分认识只能估计它的误差范围，在测量结果上标明。
(3)随机误差
在相同条件下(同一观测者，同一台测量器具，相同的环 境条件等)多次测量同一被测量时，绝对值和符号不可预 知地变化着的误差称为随机误差。
(3)准确度：精密度与正确度的综合称准确度，它反映 了测量结果中系统误差和随机误差的综合数值，即测量结 果与真值的一致程度。准确度也称为精确度。
对于同一被 测量的多次 测量，精密 度高的准确 度不一定高， 正确度高的 准确度也不 一定高，只 有精密度和 正确度都高 时，准确度 才会高。
三、不确定度
是表示用测量值代表被测量真值的不肯定程度。
它是对被测量的真值以多大的可能性处于以测量 值为中心的某个量值范围之内的一个估计。
不确定度是测量准确度的定量表示。不确定度愈 小的测量结果，其准确度愈高。在评定测量结果 的不确定度时，应先行剔除坏值并对测量值尽可 能地进行修正。
第二节 随机误差的分布规律
测量系统和测量条件不变时，增加重复测 量次数并不能减少系统误差。
第一章 误差分析与误差的传播习题及解答
四、解答题 1. 设 x>0,x*的相对误差为 δ，求 f(x)=ln x 的误差限。
解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式有
已知 x*的相对误差 满足
，而
，故
即
2. 下列各数
都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几
位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
第一章 误差分析与误差的传播
一、判断题： 1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( )
x2 2. 用 1- 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
( )
3. 任给实数 a 及向量 x ，则 || ax || a || x ||。
()
二、填空题：
1.设
x*
2.40315 是真值
5. 计算下列矩阵的范数：
1）
，求
2）
，求
3)
，求
解：1）
2）
3）
1 0 1
6.
求矩阵
A
0
1
0
的谱半径.
2 0 2
1 0 1
解 I A 0 1 0 1 3
4分
2 0 2
矩阵 A 的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
8分
所以谱半径 A max0,1,3 3
7. 证明向量 X 的范数满足不等式
和
。（ 2.7183 和 8.0000）
12. 、
，则 A 的谱半径
＝
，A 的
＝
（ 11.计算
）
取
，利用（ ）式计算误差最小。
四个选项：
解：
三、选择题
数值计算方法第一章 误差
1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
误差ppt第一章
特点与性质
粗大 误差
1.2.2 误差分类
1.系统误差（Systematic Error） 系统误差（ 系统误差 ） 定义： 定义：在同一条件下，多次重复测量同一量值时，绝对值 例如： 例如：用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差[绝对值和符号保持不
变]；用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差[按某一确定 规律变化]；刻线尺的温度变化引起的示值误差[在条件改变时，按 某一确定规律变化]。 实际估计系统误差常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值 来表示，也称为测量器具的偏移 偏畸 偏移或偏畸 偏移 偏畸（Bias）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的 技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准 器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办 法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。
1.2.2 误差来源
测量方法误差 由于测量方法的不完善引起的误差，如 采用近似的测量方法、计算公式等原因所 引起的误差，又称为理论误差。
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按 照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 α = KFU =πU / 2 2 中出现无理数 π 和 2，故 取近似公式 α ≈1.11 ，由此产生的误差即为理论 U 误差。
标准器件误差
设计测量装置 时，由于采用 近似原理所带 来的工作原理 误差 组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差
仪器误差
设备出厂 时校准与 定度所带 来的误差
附件误差
数字式仪 器所特有 的量化误 差
读数分辨 力有限而 造成的读 数误差
1.2.2 误差来源
测量环境误差 指各种环境因素与规定的标准状态不一致而 造成的误差。
第1章 误差分析
第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。
定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。
与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。
1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。
1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。
对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。
2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。
由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。
比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。
3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。
4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。
我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。
提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。
1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。
第一章误差分析的基本概念
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
第一章数值计算中的误差
用 x ± ε 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。当在实际运算中遇到的数的位数 很多时，如π ， e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义 3：当近似值 x* 的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，
xn n!
&1+
x
+
x2 2!
+"+
xn n!
近似代替
ex
，这时的截断误差为
Rn
(x)
=
eξ (n +1)!
x n +1
,
ξ 介于 0 与 x 之间。
这种误差就是截断误差。
sin x = x − x3 + x5 − ...... , 用近似计算公式 sin x ≈ x - x3 + x5 截断误差估计
实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算 由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的 任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进 行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。 数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它是一门把数 学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的学科。它主要研究用计算机求解各种 数学问题的数值方法及其相关理论。
的绝对误差限为 0.0005
显然，误差限 ε(x)总是正数，且
ε (x) = x − x* ≤η
(1.3.3)
即
x * −η ≤ x ≤ x * +η
这个不等式，在应用上常常采用如下写法
x = x * ±η
(1.3.4) (1.3.5)
第一章误差x的相对误差为求xln...
第一章 误差1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差 [解]设0*>x为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln xxx x r δεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn xx n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr ==εε。
3、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 允许的相对误差是多少？[解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知，)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=， 从而***31%1)(R R ⨯=ε，故300131%1)()(*****=⨯==RR R r εε。
4、设280=Y ，按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 计算到100Y ，若取982.27783≈（五位有效数字，）试问计算100Y 将有多大误差？[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，并且由 982.2710011⨯-=-n n Y Y ，78310011⨯-=-n n Y Y 可知，)783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ，即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，从而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，而31021982.27783-⨯≤-，所以3100*1021)(-⨯=Y ε。
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1.2.2 绝对误差、相对误差 (2)
结论：
上界的不唯一决定了绝对误差限和相对误差限
不唯一；
绝对误差限和相对误差限越小，近似值近似代
替准确值的程度越好；
实际应用中通常按照四舍五入的方法取近似值
1.2.2 绝对误差、相对误差 (2)
3.1415926 ,
1 3.14, 0.002 0.005 102 2 1 3.142, 0.0004 0.0005 103 2
1.2.3 有效数字(7)
有效数字与相对误差的关系
有效数字 相对误差限
m x 0 . 10 已知 有 n 位有效数字,则其相 1 n 对误差限为：
1 r 10n 1 21
1.2.3 有效数字(8)
证明：
1 1 n m x x 10 10 10mn 2 2 1 m n 10 1 1n 2 r * 10 x 0.1 n 10m 21
证明：
r
1 2(1 1) 10n 1
x r 0.1 n 10m r
(1 1) 10 1 10m n 2
m 1
1 2(1 1)
10n 1
可见 x*至少有 n 位有效数字。
例1-4:为使 π * 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有 效数字？
PI=3.14=0.314101 则其绝对误差为：0.510-3101=0.5 10-2
1.2.3 有效数字(8)
有效数字与相对误差的关系 相对误差限 有效数字 如果 x*的相对误差限满足：
1 εr 10 n 1 2( a1 1)
则x*至少有 n 位有效数字。
1.2.3 有效数字(8)
注意：数字末尾的 0不可随意省去！
1.2.3 有效数字(5)
例1-3：下列近似值的绝对误差限都是 0.005,a=1.38,b=-0.0312,c=0.86 10-4 问：各个近似值有几个有效数字？ 解： (a) (b) (c) 0.005
a 0.13810 m 1
Software Engineering Embedded Sys Programming （CMMI, MSF, （DSP, FPGA, （思想、语言、工具） SOA ...） ASIC...）
1.1 数值分析的研究对象与特点
1. 数值分析是计算机与数学的交叉科学 2. 计算机科学是在数学的基础上发展起来的 3. 计算机的诞生和发展，对数学的发展产生了不可估量的 影响 4. 国内外具有代表性的部分综合数学软件库 IMSL(International Mathematics and Statistics Library) (美国：影响最大的数值软件库之一) Mathematic:目前国内外广泛流行的软件包，几乎 实现了大学本科的所有数学演算和数值计算 Matlab:Matrix Laboratory的简称，美国 MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法 开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高 级技术计算语言和交互式环境
例1-2：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x 和y经过四舍五入而得到的近似值，问: (a), (b), r (a), r (b) 各是多少？ 解： mm (a) 0.005 (b) 0.00005
0.005 r (a) 0.23% a 2.18 0.00005 r (b) 0.0024 % b 2.1200
例如：
1 x 0.003400 105 2
表示：近似值0.003400准确到小数点后第5位， 有3位有效数字。 n个有效数字
x*= … …
最左边不 为零的数
误差不超过该位 数的半个单位
1.2.3 有效数字(4)
• 结论 同一准确值的不同 近似值，有效数字越 多，它的绝对误差和 相对误差都越小。 由准确值经过四舍 五入的得到近似值， 从它的末位数字到第 一位非零数字都是有 效数字。 例子：2.140012 近似值1：2.14； 3 近似值2：2.1400 5 两种近似值各有几 位有效数字，那种 更精确？
数值问题和计算方法
• •
将求解“数值问题”的“计算机上可执行” 的系列计算公式称为数值计算方法．
数值问题：输入数据与输出数据之间函 数关系的一个确定而无歧义的描述。 “计算机上可执行”的系列计算公式： 四则运算和逻辑运算等计算机上可执行 的运算
数值问题和计算方法
2 n x x 指数运算：e x 1 x 2 n!
如果存在正数r，使得
则称r为x*的相对误差限。 测量1000米跑道：
er
x
*
r
误差：10cm
测量3米黑板长度； 误差：1cm
1.2.2 绝对误差、相对误差 (2)
例1 已知e＝2．71828182…，其近似值为e*＝ 2．71828，求e的绝对误差限和相对误差限。 绝对误差 ： e*-e=-0.00000182... 绝对误差限 ： 0.00000182 0.0000019
解：
(a) (b) 0.5mm
0.5 r (a) 0.16% a 312 (b) 0.5 r (b) 0.28% b 24 311 .5mm x 312 .5mm
23.5m m y 24.5m m
(a)
1.2.2 绝对误差、相对误差 (6)
结论： 凡是由准确值经过四舍五入而得到的
近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的 半个单位。
1.2.2 绝对误差、相对误差 (5)
例1-1：用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙， 分别读出长度a=312mm和b=24mm，问： (a), (b), r (a), r (b) 各是多少？两直杆实际长度x和y在什么范围内？
§1.3
算术运算中的误差
由微分学：当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可 以近似函数的改变量，故利用微分运算公式可 导出误差运算公式。 假设： 数值计算中求得的解与参量（原始数据）x1, x2,…,xn 有关，计为：y=f(x1, x2,…,xn)
xi,yi为准确值, xi*,yi*分别为其近似值;
1.2.1 误差的来源与分类(2)
• 截断误差(方法误差)
求解数学模型所用的数值计算方法如果是 一种近似的方法，那么得到的是数学模型的 近似解，由此产生的误差称为截断误差。
1 3 1 5 1 7 sin x 1 x x x 3! 5! 7!
• 舍入误差
由于计算机的字长有限，参加运算的数据 以及运算结果在计算机上存放会产生误差。 这种误差称舍入误差或者ห้องสมุดไป่ตู้算误差。
(a)
(b)
1.2.3 有效数字(1)
有效数字
近似值的一种表示法； 表示近似值的大小；
表示近似值的精度；
有效数字的定义： 设数x*是数x的近似值。如果x* 的绝对误差限 是它的第n位的半个单位(四舍五入)，则称x* 准确到小数点后第n位,并且从第一位非零数字 到该位的所有数字均称为有效数字。
1
1 (a ) 10 m n 2
1 1 n (a) 10 0.005 2
答案a:1,3,8(n=3) 答案b:3(n=1) 答 案 c: 没 有 有 效 数字（n=-2）
n3
1.2.3 有效数字(6)
例1-3：对准确值x＝3.95进行四舍五入后得x*＝ 4.0；但是，若将x最后一位5舍掉成为x*＝3.9. 它们的误差绝对值都不超过末一位的半个单位， 均为：0.05 对有效数字理解的几点说明： 1.近似值的有效数字不一定都是通过四舍五入得到 2.近似值小数点后面的0不能随便增减 3.当绝对误差等于末位的半个单位时，会出现有效 数字不唯一的情况
Multimedia
人工智能AI 虚拟现实VR 科学计算
性能 功耗 安全 可靠 易用 可扩展
Application
应用研究
Computer Science
系统研究
Hardware
Computer Architecture
Software
PC, HPC （Multi-core, Manycore, Cluster, Grid, Cloud...）
数值分析
课时:40 时间:(4-11)周 考核方式:闭卷考试 主讲教师:王一拙 联系方式:frankwyz@
第一章 绪论 1.1 数值分析的研究对象与特点 1.2 误差 1.3 算术运算中的误差
1.4 数值计算中应该注意的问题 1.5 误差分配原则与处理方法
Datebase Network
1 0.333333 3
1.2.1 误差的来源与分类(3)
研究对象
数学模型 计算方法
客 观 世 界
测量数据
数值运算 结果
1.2.2 绝对误差、相对误差 (1)
误差和（绝对）误差限（误差界）的概念
设 x 是准确值 x* 的一个近似值，记为 e=xx* ，称e为近似值x*的绝对误差，简称误差。 e可正可负。 如果|e|的一个上界已知为，记为|e|= |x- x* | ， 则称为近似值x*的一个绝对误差限或绝对误 差界，简称误差限或误差界。 为正值。
误差限不唯一。
1.2.2 绝对误差、相对误差 (3)
准确值、近似值和误差限三者之间的 关系 准确值 近似值
x x x OR * x x
*
测量1000米跑道：
误差限
误差限的大小是否能完全反映近似值 的程度？
误差：10cm 测量3米黑板长度； 误差：1cm
1.2.2 绝对误差、相对误差 (1)