第九届“新希望杯”全国数学大赛八年级A卷(附答案)
八年级数学希望杯第1-22届试题汇总(含答案与提示)
希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
2023希望杯八年级数学思维训练题(含答案)
2023希望数学——8年级培训80题1.计算111 ________．2.的值是________．3.．4.( )A.B.12C.21E.25. 化简，得（ ）．A. B.C.D.6. 若x 2 – 13x + 1 = 0，则44x x ________．4322(2)2(2)n n n 8121n 12n 87477. 设，则代数式的值为（ ）．A. –6B.24C.D.8. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，用x – [x ]表示x 的小数部分．已知a 是t 的小数部分，b 是 – t 的小数部分，则________．9. 已知x + y + z = 13，xy + yz + zx =102， xyz = 333，那么222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z y z x z x y ________．10. 已知实数a ，b ，c 满足613675a b c ，99260a b c ，则3232b ca b=_______．11. 若2(23)|23|0x y x y z ，则y z x =________．12. 如果221,4x y x y ，则33x y _________．1a 2212a a 1012t112b a13. 实数x ，y 满足，，x y ，则的值为________．14. 已知1113a b c d，1115b a c d ，1117c a b d ，1119d a b c ，则3579a b c d=________．15. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，那么a +b +c +d的最大值是________．16. 已知12m x x ，222n y y 则m – n 的最小值为_______．17. 记12()12nf n n n n n（其中n 为大于1的整数），则f (n )的最小值是_________．18. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝12a b，则x ☆(x +1)=0的解为x =________．24x24y x yy x19. 设1232016,,,,a a a a 是不为零的实数，那么20152016121220152016||||||||a a a a a a a a 的值有_______种情况． 20. 方程34xx x x有________个实数根．21. 满足 2211x x x 的整数x 有________个．22. 对于实数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数．则关于x 的方程51830337x x的整数解是x=________．23. 方程33225x y x y xy 的正整数解（x ，y ）的个数是________．24. 求方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8（x 2＋xy ＋y 2＋1）的全部整数解x 、y ．25. 不定方程的整数解(x ，y )共有________组．26.2 ，得x =________．27. 不等式1248163264x x x x x xx的解集是_________．28.满足不等式32 的最大质数x =_________．29. 在实数范围内定义运算 ：(1)x y y x ，若不等式()()1a x x a 对任意实数x 都成立，则正整数a =_________．30. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为 – 1和4，那么23b ca=_________．2222x y xy x y31.△ABC的三边长a、b、c均为实数且满足b+c=8，bc=a2 –12a+52，则△ABC的周长等于_________．32.关于x的四次方程x4 – 18x3 + kx2 + 200x – 1984 = 0的四个根中有两个根乘积为–32，则k的值是________．33.直角坐标系中有两个点A（– 1，– 1），B（2，3），若M为x轴上一点，且使MB – M A最大，则M的横坐标是________．34.如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x的图象分别交x轴、y轴于点A、B，把直线AB绕点O逆时针旋转90°，交y轴于点A'，交直线AB 于点C，则△A'BC的面积为_________．35. 一次函数11y k x b 的图像经过（1，6）和（– 3，– 2）两点，它与x 轴、与轴的交点分别为B 、A ，一次函数22y k x b 的图像经过点（2，–2），在y 轴上的截距为 – 3，它与x 轴、与y 轴的交点分别为D 、C ．若直线AB 、CD 交于E ，则△BCE 和△ADE 的面积比是_________．36. 已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限． A.一、二B.二、三C.三、四D.一、四37. 从– 2，– 1，1，2，3中取出两个作为一次函数y = kx + b 中的k 和b ，得到的一次函数不经过第二象限的概率是_________．38. 对于每个x ，函数y 是12332,2,122y x y x y x 这三个函数中的最小值．则函数y 的最大值是________．39. 点(2,)P a 在反比例函数ky x的图象上，它关于原点的对称点在一次函数23y x 的图象上，则k 的值为_______．0 abc p bac a c b c b a p px y40. 由方程111x y 确定的曲线所围成图形的面积是________．41. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =1，OB ，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c 过点A 、E 、D ． 在x 轴的上方有点P 、点Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，求出点P 坐标．42. 对任意的实数x ，函数f （x ）有性质f （x ）＋f （x – 1）= x 2．如果f （19）= 94，那么f （94）除以1000的余数是________．43.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．李老师设计了四种正多边形瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）．A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(4)44.一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是_______．45.已知等腰三角形的三边长分别是2x–2，3x–6，4x–10，则x的值是________．46.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为________．47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x(x≥0)与x轴正半轴．点A(6，5)，B(10，2)是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON 两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是________．48.在平面直角坐标系内，已知4个定点A(– 3，0)，B(1，– 1)，C(0，3)，的最小值为________．D(– 1，3)及一个动点P，则PA PB PC PD49.已知点P的坐标为（0，1），O为原点，Q为第一象限内一点，若∠QPO = 150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（____，____）．50.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3，S3=1，那么正方形OPQR的边长是________．51.在△ABC中，若AC ，BC ，AB 则△ABC的面积为_______．52.如图，D是△ABC三条中线的交点，若AD=3，BD=4，CD=5，△ABC的面积是________．53.如图，等腰△ABC中，∠ACB = 90°，M，N为斜边AB上两点，且∠MCN =45°，已知AM = 3BN = 5，则MN =________．54.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为________．（结果保留π）55. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，30CAB ，BC =1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°，得到△A'BC'，旋转过程中，线段DE 扫过的面积为_________．（结果保留π）56. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线交CD 于E ，交BC于F ，过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，若CE = 5，则BG =________．57. 如图，P 是△ABC 内的一点，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与BC 、AC 、AB 交于D 、E 、F ，已知AP = 6，BP = 9，PD = 6，PE = 3，CF = 20．那么△ABC 的面积是________．58. 如图，等边△AFG 被线段BC ，DE 分割成周长相等的三部分：等边△ACB 、梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若263S ，则13S S =________．59. 如下图，在正方形的两个顶点之间依次连接了五条相互垂直的线段，长度分别为2，2，2，1，3，则阴影部分的面积为________．60. 已知正方形ABCD 的边长为1，P 1，P 2，P 3，P 4是正方形内部的4个点，使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三角形，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积等于________．61. 在等腰梯形ABCD 中，上底AB = 500，下底CD = 650，两腰AD = BC = 333，∠A 和∠D 的平分线交于P 点，∠B 和∠C 的平分线交于Q ．则PQ 的长为________．62.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥DE于点M，N为OM的中点．若S△F AN=10，则正六边形ABCDEF的面积为________．63.三边长均为整数且周长不超过30的直角三角形有_________个．（平移或旋转后可以重合的三角形视为同一个）64.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数最小是________．65.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出________个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．66.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数是________．67.一个三位数被11整除后的商等于这个三位数各位数字的平方和，那么这个三位数可能是_________．（求出所有结果）68.若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是一定是某个整数n的倍数．那么n的最大值是________．69.一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球若干个，这些玻璃球除颜色外其余都相同．其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为25，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为________．70.一项“过关游戏”规定：在第n关，要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷骰子上底面所出现的点数之和大于2n，就算过关．则连过前3关的概率是_________．71.为了防止信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文x → 密文y（加密），接收方由密文y → 明文x（解密）．现在密匙为y=kx3，若明文“4”通过加密后得到的密文是“2”，则密文“1256”，解密后得到的明文是________．72.将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N，而B组所有数的乘积也等于N，则N的所有可能取值有________．73.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，边长为1的小正方形MNPQ从如图的位置开始沿A→B→C→D→A的方向，在矩形内翻滚，翻滚1次后点P来到P1的位置，那么翻滚________次后，小正方形第一次回到初始位置，这个过程中点P经过的路径长为________．（结果保留π）74.如图所示，两个全等菱形的边长均为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．75.观察如下一列数对：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2023个数对是( )．A. (6，58)B. (6，59)C. (7，58)D. (58，7)E. (59，6)76. B 船在A 船的北偏西45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是________km ．77. 已知实数a > 0，且2和 –1至少有一个不满足关于x 的不等式250ax x a，则a 的最小值是________．78. 设a 1，a 2，a 3，…，a 13是13个两两不同的正整数，a 1+a 2+a 3+…+a 13=488．设a 是其中任意3个数相加之和的最小值，则a 最大可以是________．79. a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i 是1~9中的不同数字，则a b c d e fg h i的最小值是________．80. 一玩具工厂用于生产一批小熊、小猫的全部劳动力为273个工时，原料为243个单位．生产一个小熊要使用9个工时、12个单位原料，利润为144元；生产一个小猫要使用6个工时、3个单位原料，利润为81元．在劳动力和原料的限制下，要使生产小熊和小猫的总利润最高，应该生产小熊________个、小猫________个．2023希望数学——8年级培训80题答案1.计算111 ________．答案：– 22.的值是________．答案：23.．答案：2022 4.( )A.B.12C.21E.2 答案：D5. 化简，得（ ）．A. B.C.D.答案：C6. 若x 2 – 13x + 1 = 0，则44x x ________．答案：278874322(2)2(2)n n n 8121n 12 n 87477. 设，则代数式的值为（ ）．A. –6B.24C.D.答案：A8. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，用x – [x ]表示x 的小数部分．已知a 是t 的小数部分，b 是 – t 的小数部分，则________． 答案：9. 已知x + y+ z = 13，xy + yz + zx =102，xyz = 333，那么222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z y z x z x y ________． 答案：3365210. 已知实数a ，b ，c 满足613675a b c ，99260a b c ，则3232b ca b=_______．答案：111. 若2(23)|23|0x y x y z ，则y z x =________．答案：2512. 如果221,4x y x y ，则33x y _________．答案：11213. 实数x ，y 满足，，x y ，则的值为________． 答案：11a 2212a a 1012t112b a1224x 24y x yy x14. 已知1113a b c d，1115b a c d ，1117c a b d ，1119d a b c ，则3579a b c d=________． 答案：315. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，那么a +b +c +d的最大值是________． 答案：– 516. 已知12m x x ，222n y y 则m – n 的最小值为_______．答案：4 17. 记12()12nf n n n n n（其中n 为大于1的整数），则f (n )的最小值是_________．答案：5618. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝12a b，则x ☆(x +1)=0的解为x =________． 答案：119. 设1232016,,,,a a a a 是不为零的实数，那么20152016121220152016||||||||a a a a a a a a 的值有_______种情况． 答案：2017 20. 方程34xx x x有________个实数根． 答案：121. 满足 2211x x x 的整数x 有________个．答案：322. 对于实数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数．则关于x 的方程51830337x x的整数解是x=________． 答案：– 1523. 方程33225x y x y xy 的正整数解（x ，y ）的个数是________．答案：124. 求方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8（x 2＋xy ＋y 2＋1）的全部整数解x 、y ．答案：8228x x y y 或25. 不定方程的整数解(x ，y )共有________组．答案：626.2 ，得x =________．答案：±36 27. 不等式1248163264x x x x x x x的解集是_________． 答案：x ＜6428.满足不等式32 的最大质数x =_________．答案：3972222x y xy x y29. 在实数范围内定义运算 ：(1)x y y x ，若不等式()()1a x x a 对任意实数x 都成立，则正整数a =_________． 答案：130. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为 – 1和4，那么23b ca=_________． 答案：– 631. △ABC 的三边长a 、b 、c 均为实数且满足b +c =8，bc =a 2 –12a +52，则△ABC的周长等于_________． 答案：1432. 关于x 的四次方程x 4 – 18x 3 + kx 2 + 200x – 1984 = 0的四个根中有两个根乘积为 –32，则k 的值是________． 答案：8633. 直角坐标系中有两个点A （– 1，– 1），B （2，3），若M 为x 轴上一点，且使MB – M A 最大，则M 的横坐标是________． 答案：– 2.534. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x 的图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，把直线AB 绕点O 逆时针旋转90°，交y 轴于点A '，交直线AB 于点C ，则△A'BC 的面积为_________．答案：62535. 一次函数11y k x b 的图像经过（1，6）和（– 3，– 2）两点，它与x 轴、与轴的交点分别为B 、A ，一次函数22y k x b 的图像经过点（2，–2），在y 轴上的截距为 – 3，它与x 轴、与y 轴的交点分别为D 、C ．若直线AB 、CD 交于E ，则△BCE 和△ADE 的面积比是_________． 答案：1∶436. 已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限． A.一、二 B.二、三 C.三、四 D.一、四答案：B37. 从– 2，– 1，1，2，3中取出两个作为一次函数y = kx + b 中的k 和b ，得到的一次函数不经过第二象限的概率是_________． 答案：31038. 对于每个x ，函数y 是12332,2,122y x y x y x 这三个函数中的最小值．则函数y 的最大值是________． 答案：60 abc p bac a c b c b a p px y39. 点(2,)P a 在反比例函数ky x的图象上，它关于原点的对称点在一次函数23y x 的图象上，则k 的值为_______．答案：240. 由方程111x y 确定的曲线所围成图形的面积是________．答案：241. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =1，OB ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c 过点A 、E 、D ． 在x 轴的上方有点P 、点Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，求出点P 坐标．答案： 120,22P P,42. 对任意的实数x ，函数f （x ）有性质f （x ）＋f （x – 1）= x 2．如果f （19）= 94，那么f （94）除以1000的余数是________． 答案：56143.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．李老师设计了四种正多边形瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）．A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(4)答案：D44.一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是_______．答案：2645.已知等腰三角形的三边长分别是2x–2，3x–6，4x–10，则x的值是________．答案：1646.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为________．答案：47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x(x≥0)与x轴正半轴．点A(6，5)，B(10，2)是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON 两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是________．答案：548.在平面直角坐标系内，已知4个定点A(– 3，0)，B(1，– 1)，C(0，3)，D(– 1，的最小值为________．3)及一个动点P，则PA PB PC PD答案：49.已知点P的坐标为（0，1），O为原点，Q为第一象限内一点，若∠QPO = 150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（____，____）．答案：11， 50.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3，S3=1，那么正方形OPQR的边长是________．答案：251.在△ABC中，若AC ，BC ，AB ，则△ABC的面积为_______．答案：5.552.如图，D是△ABC三条中线的交点，若AD=3，BD=4，CD=5，△ABC的面积是________．答案：1853.如图，等腰△ABC中，∠ACB = 90°，M，N为斜边AB上两点，且∠MCN =45°，已知AM = 3BN = 5，则MN =________．54.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为________．（结果保留π）答案：π55. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，30CAB ，BC =1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°，得到△A'BC'，旋转过程中，线段DE 扫过的面积为_________．（结果保留π）答案：456. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线交CD 于E ，交BC于F ，过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，若CE = 5，则BG =________． 答案：557. 如图，P 是△ABC 内的一点，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与BC 、AC 、AB 交于D 、E 、F ，已知AP = 6，BP = 9，PD = 6，PE = 3，CF = 20．那么△ABC 的面积是________．答案：10858. 如图，等边△AFG 被线段BC ，DE 分割成周长相等的三部分：等边△ACB 、梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若263S ，则13S S =________．答案：5659. 如下图，在正方形的两个顶点之间依次连接了五条相互垂直的线段，长度分别为2，2，2，1，3，则阴影部分的面积为________．答案：960.已知正方形ABCD的边长为1，P1，P2，P3，P4是正方形内部的4个点，使得△ABP1，△BCP2，△CDP3和△DAP4都是正三角形，则四边形P1P2P3P4的面积等于________．答案：261.在等腰梯形ABCD中，上底AB = 500，下底CD = 650，两腰AD = BC = 333，∠A和∠D的平分线交于P点，∠B和∠C的平分线交于Q．则PQ的长为________．答案：24262.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥DE于点M，N为OM的中点．若S△F AN=10，则正六边形ABCDEF的面积为________．答案：4863.三边长均为整数且周长不超过30的直角三角形有_________个．（平移或旋转后可以重合的三角形视为同一个）答案：364.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数最小是________．答案：1765.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出________个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．答案：6166.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数是________．答案：867.一个三位数被11整除后的商等于这个三位数各位数字的平方和，那么这个三位数可能是_________．（求出所有结果）答案：550，80368.若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是一定是某个整数n的倍数．那么n的最大值是________．答案：969.一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球若干个，这些玻璃球除颜色外其余都相同．其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为25，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为________．答案：6 2570.一项“过关游戏”规定：在第n关，要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷骰子上底面所出现的点数之和大于2n，就算过关．则连过前3关的概率是_________．答案：100 24371.为了防止信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文x → 密文y（加密），接收方由密文y → 明文x（解密）．现在密匙为y=kx3，若明文“4”通过加密后得到的密文是“2”，则密文“1256”，解密后得到的明文是________．答案：1 272.将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N，而B组所有数的乘积也等于N，则N的所有可能取值有________．答案：180，182，19273.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，边长为1的小正方形MNPQ从如图的位置开始沿A→B→C→D→A的方向，在矩形内翻滚，翻滚1次后点P来到P1的位置，那么翻滚________次后，小正方形第一次回到初始位置，这个过程中点P经过的路径长为________．（结果保留π）答案：12， 374.如图所示，两个全等菱形的边长均为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．答案：A75. 观察如下一列数对：(1,1)，(1,2)， (2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…… 则第2023个数对是( )．A. (6，58)B. (6，59)C. (7，58)D. (58，7)E. (59，6) 答案：C76. B 船在A 船的北偏西45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是________km ．答案：77. 已知实数a > 0，且2和 –1至少有一个不满足关于x 的不等式250ax x a，则a 的最小值是________．答案：178. 设a 1，a 2，a 3，…，a 13是13个两两不同的正整数，a 1+a 2+a 3+…+a 13=488．设a 是其中任意3个数相加之和的最小值，则a 最大可以是________． 答案：9679.a，b，c，d，e，f，g，h，i是1~9中的不同数字，则a b c d e fg h i的最小值是________．答案：1 28880.一玩具工厂用于生产一批小熊、小猫的全部劳动力为273个工时，原料为243个单位．生产一个小熊要使用9个工时、12个单位原料，利润为144元；生产一个小猫要使用6个工时、3个单位原料，利润为81元．在劳动力和原料的限制下，要使生产小熊和小猫的总利润最高，应该生产小熊________个、小猫________个．答案：13，26。
全国2021夏令营希望数学团体赛八年级真题(pdf版,含答案)
4. 如图所示的等腰梯形，下底是上底的 2 倍．若梯形内部一点到该梯形四条边 的距离中，到上底或下底的距离最小，则称这个点为“希望点”．在梯形内 随机取一个点，该点是“希望点”的概率为________．
1 A.
4
1
2
B.
C.
3
3
1 D.
2
3 E.
5
7
八年级团体战 2021
5. 函数 y x2 28x 187 x2 28x 187 ，当 x 分别取 1~2021 的正整数时，
2
x2
1 5x
6
3 40
的正整数解是
x
=________．
7. 在平面直角坐标系中，A( – 4，2)，B( – 1，8)．点 C 在 y 轴正半轴上，点 D 在 x 轴负半轴上，则四边形 ABCD 周长的最小值是（ ）．
A. 8 3 B. 8 5
C. 9 2
D. 9 3
E.10 2
8. 如图，在△ABC 中，∠CBD=30°，∠DBA=40°，∠DAB=20°，∠CAD=50°， 则∠BCD=________°．
八年级团体战 2021
2021 希望数学国际精英挑战营巅峰对决
八年级团体战 A 组
1. 用一张半径为 5cm，圆心角为 144°的扇形纸片制作成一个圆锥形玩具纸 帽（接缝处不重叠，无缝隙）．这个圆锥的高为（ ）．
A. 3cm B. 4cm C. 21 cm D. 2 5cm
E. 5cm
2. x 22 9 x 102 4 的最小值是________．
9
八年级团体战 2021 八年级团体战 E 组
1. a，x，y 均为自然数，且 a 2 7 x y ，则 x + y =________．
数学竞赛8年级真题试卷【含答案】
数学竞赛8年级真题试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x² 2x + 1，则f(1)的值为？A. 0B. 1C. 2D. 32. 下列哪个数是无理数？A. √9B. √16C. √3D. √13. 若a > b，则下列哪个选项是正确的？A. a c > b cB. a + c < b + cC. ac < bcD. a/c > b/c (c ≠ 0)4. 下列哪个方程的解集是实数集？A. x² + 1 = 0B. x² 2x + 1 = 0C. x² + x + 1 = 0D. x² x + 1 = 05. 若一组数据的平均数为10，则这组数据的和为？A. 5B. 10C. 20D. 50二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a > b，则a² > b²。
（）2. 两个负数相乘的结果是正数。
（）3. 任何实数的平方都是非负数。
（）4. 若a、b、c是等差数列，则a²、b²、c²也是等差数列。
（）5. 两个无理数的和一定是无理数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a + b = 5，a b = 3，则a = ______，b = ______。
2. 若x² 5x + 6 = 0，则x = ______或x = ______。
3. 若一组数据的方差为4，则这组数据的平均数为______。
4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n² + 3n，则a1 = ______，d = ______。
5. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(2) = ______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是无理数。
2. 什么是等差数列？给出一个等差数列的例子。
3. 解释函数的定义。
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第9“希望杯”第1试试题
一、选择题（第小题6分，共60分）1．将多项式x2－4y2－9z2－12yz分解成因式的积，结果是[ ] A．（x＋2y－3z）（x－2y－3z）. B．（x－2y－3z）（x－2y＋3z）C．（x＋2y＋3z）（x＋2y－3z）. D．（x＋2y＋3z）（x－2y－3z）2．设实数m、n满足m2n2＋m2＋n2＋10mn＋16＝0，则有[ ]A.22或22m mn n==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩; B.22或22m mn n==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩;C.22或22m mn n==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩; D.22或22m mn n=-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩3．如图1，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，则∠C的大小是[ ] A．20°B．25°. C．30°D．大于30°4．如图2，△ABC中，∠C＝90°，D、E为AB上的两点，若AE＝AC，∠DCE＝45°，则图中与BC等长的线段是[ ] A．CD. B．BD. C．CE. D．AE－BE5.要使分式11xx-有意义,则x的取值范围是[ ]A．x≠0. B．x≠1且x≠0. C．x≠0或x≠±1. D．x≠0且x≠±16．已知a－b＝3，那么a3－b3－9ab的值是[ ]A．3. B．9. C．27 . D．817．如图3，∠MAN＝16°，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1＝AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2＝A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止.那么作出的最后一点是[ ]A．A5. B．A6. C．A7. D．A88．已知a、b、c、d为正实数，且a2＝2，b3＝3，c4＝4，d5＝5，则a、b、c、d中最大的数是[ ] A．a. B．b. C．c. D．d9．已知三个整数a、b、c的和为奇数，那么，a2＋b2－c2＋2ab [ ]A．一定是非零偶数. B．等于零. C．一定是奇数.D．可能是奇数，也可能是偶数10．已知a1、a2、b1、b2均为正数，且a1≥a2，a1≤b1，a1a2≤b1b2，则a1＋a2与b1＋b2的大小关系是[ ]A．a1＋a2≤b1＋b2. B．a1＋a2≥b1＋b2. C．a1＋a2＝b1＋b2. D．无法确定的二、A 组填空题（每小题6分，共60分）11．已知p 与q 互为相反数（p ≠0），s 与t 互为倒数,那么333322p q s tp q s t st ++--+=______.12.化简:422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+=__________.13．△ABC 中，M 为BC 上一点，AM 是∠BAC 的平分线,若AB=2,AC=1,BM=32,则CM 的长是_____. 14．如图4，已知DO ⊥AB ，OA ＝OD ，OB ＝OC ，则∠OCE ＋∠B 的大小是__________. 15.已知a ≠0,b ≠0,且11a b+=4,那么434323a ab b a ab b ++-+-=_________.16.若m=2ab a b -,则化简2pm pmam b a--应得到________. 17．如图5，自矩形ABCD 的顶点C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，延长EC 至F ，使CF ＝BD ，连接AF ，则∠BAF 的大小是_______.18．已知平行四边形ABCD 的周长为52，自顶点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足，若DE ＝5，DF ＝8，则BE ＋BF 的长为___________. 19．已知0＜a ＜b ＜1，且a ＋b ＝1，那么a,b,a 2+b 2,12这四个数从小到大排列为__________.20．已知n 为正整数，且47＋4n ＋41998是一个完全平方数，则n 的一个值是____________. 三、B 组填空题（每小题6分，共30分）21．当x ＝________且y ＝________时，代数式－x 2－2y 2－2x ＋8y －5有最大值，这个最大值是________.22．已知A 、B 、C 三点共线，且线段AB ＝16，点D 是BC 的中点，AD ＝12.5，则BC 的长为___________或________.23．若对于任意实数x ，等式（2x －1）2－a （x －b ）2＝px 都成立（a 、b 、p 为常数）.那么p 的值是________或___________.24．设A 、B 两地的距离为s ，甲、乙两人同时从A 地步行到B 地,甲的速度为v,乙用43v 的速度行走了一半的路程,再用34v 的速度走完了另一半的路程,那么________先到达B地（填甲或乙）.甲与乙所用的时间的比是________.25．已知一个矩形的长、宽分别为正整数a、b，其面积的数值等于它的周长数值的2倍，则a＋b＝________或________.答案·提示一、选择题题号答案1 D2 C3 A4 B5 D6 C7 B8 B9 C10 A提示：1．x2－4y2－9z2－12yz＝x2－（4y2＋12yz＋9z2）＝x2－（2y＋3z）2＝[x＋（2y＋3z）][x－（2y＋3z）]＝（x＋2y＋3z）（x－2y－3z）∴选D.2．∵m2n2＋m2＋n2＋10mn＋16＝0∴（m2n2＋8mn＋16）＋（m2＋2mn＋n2）＝0∴（mn＋4）2＋（m＋n）2＝0又∵（mn＋4）2≥0，（m＋n）2≥0∴（mn＋4）2＝0，（m＋n）2＝03．如图6，在DC上取DE＝DB.连接AE，在Rt△ABD和Rt△AED中，BD＝ED，AD＝AD. ∴△ABD≌△AED.∴AB＝AE，∠B＝∠AED.又∵AB＋BD＝CD∴EC＝CD－DE＝CD－BD=（AB＋BD）－BD＝AB＝AE∴∠C＝∠CA E∴∠B＝∠AED＝2∠C又∵∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°∴∠C＝20°，选A.4．如图7，由已知∠2＝45°，∵AE＝AC∴∠5＝∠2＋∠3＝45°＋∠3又∵∠4是△ADC的外角．∠5是△BEC的外角.∴∠4＝∠A＋∠3∠1＝∠5－∠B＝（45°＋∠3）-（90°-∠A）=∠3＋∠A－45°=∠4－45°∴∠4＝∠1＋45°=∠BCD∴BC＝BD，选B.即x≠0且1－｜x｜≠0，∴x的取值范围是x≠0且x≠±1，选D.6．∵a－b＝3∴a3－b3－9ab=（a－b）（a2＋ab＋b2）－9ab=（a－b）[（a－b）2＋3ab]－9ab=（a－b）3＋9ab－9ab=（a－b）3＝27，选C.7．如图8，在△AA1A2中，AA1＝A1A2∴∠AA2A1＝∠A又∠1是△AA1A2的外角.∴∠1＝2∠A∵A1A2＝A2A3∴∠A2A3A＝∠1＝2∠A∴∠2＝∠1＋∠A＝3∠A同理∠3＝4∠A，∠4＝5∠A，∠5＝6∠A＝96°如果存在A7点，则△A5A6A7为等腰三角形且∠5是△A5A6A7的一个底角，而∠5＞90°，矛盾.∴作出的最后一点为A6，选B.8．∵a2＝2，c4＝4∴c2＝2＝a2，a＝c.又∵a6＝（a2）3＝8, b6＝（b3）2＝9∴b＞a＝c,最后比较b与d的大小.∵b15＝（b3）5＝243, d15＝（d5）3＝125∴b＞d∴a、b、c、d中b最大，选B.9． a2＋b2－c2＋2ab=（a＋b）2－c2＝（a＋b＋c）（a＋b－c）∵a＋b＋c为奇数.∴a、b、c三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数.当a、b、c中有一个奇数、两个偶数时，则a＋b－c为奇数.当a、b、c三个都是奇数时，也有a＋b－c为奇数.∴（a＋b＋c）（a＋b－c）是奇数，选C.10．∵a1、a2、b1、b2均为正数，且a1a2≤b1b2.又当a1、a2、b1、b2均相等时，等号成立，所以选A.二、A组填空题题号答案11－112 11314 180°1516 p17 45°181920 1003或398811．∵p与q互为相反数，s与t互为倒数∴p＋q＝0，st＝113．如图9，过C作CD∥MA，交BA的延长线于D，则∠BAM＝∠ADC,∠M AC＝∠ACD ∵∠BAM＝∠MAC∴∠ADC＝∠ACD∴AC＝AD，AD＝1∴AM∥CD，14．在Rt△AOC和Rt△DOB中，OA＝OD，OC＝OB.∴Rt△AOC≌Rt△DOB∴∠A＝∠D∵∠ECO是△AOC的外角∴∠ECO＝∠A＋∠COA＝90°＋∠A又∠B＝90°－∠D∴∠ECO＋∠B＝90°＋∠A＋90°－∠D＝180°.17．如图10，连接AC.∵四边形ABCD是矩形.∴AC＝BD.在△ACF中，AC＝BD＝CF.∴∠F＝∠2.设AF与BD相交于G.在△ABG和△EFG中，∠AGB＝∠EGF.∴∠3＋∠ABG＝90°＋∠F ＝90°＋∠2.又∠ABG＝90°－∠ADB ＝90°－∠1. ∴∠3＋90°－∠1＝90°＋∠2.∴∠3＝∠1＋∠2.又∠1＋∠2＋∠3＝90°.∴∠BAF＝∠3＝45°.18．对于平行四边形ABCD，有两种可能：（1）当∠A为锐角时，如图11.设AB＝a，BC＝b，DE⊥AB，DF⊥BC.∴AB·DE＝BC·DF即5a＝8b.又a＋b＝26.解得 a＝16，b＝10.在Rt△ADE中，AD＝BC＝10，DE＝5.（2）当∠D为锐角时，如图12.设AB＝a，BC＝b，DE⊥AB，DF⊥BC，同上可得5a＝8b，a＋b＝26.解得a＝16，b＝10.19．∵0＜a＜b＜1，且a＋b＝1.20．（1）47＋4n＋41998=（27）2＋2·27·22n－8＋（21998）2∵47＋4n＋41998是一个完全平方数.∴22n－8＝21998即2n－8＝1998.∴当n＝1003时，47＋4n＋41998是完全平方数. （2）47＋4n＋41998＝47＋41998＋4n＝（27）2＋2·27·23988＋（2n）2∵47＋4n＋41998是一个完全平方数.∴23988＝2n∴n＝3988.综上得n＝1003或n＝3988三、B组填空题题号答案21 －1，2，422 7，5723 －8，024 甲，24∶2525 25，1821．－x2－2y2－2x＋8y－5=-(x2＋2x＋1)-2（y2－4y＋4）＋4＝-(x＋1)2－2(y－2)2＋4当x＝－1且y=2时，原式有最大值4.22．（1）若C点在AB之间，如图13.则AB＝16，AD＝12.5∴BD＝16－12.5＝3.5又∵D是BC的中点.∴BC＝2BD＝7（2）若C点在BA延长线上，如图14.∵AB＝16，AD＝12.5.∴BD＝AB＋AD＝28.5.∵D是BC中点.∴BC＝2BD＝5723．由已知(2x－1)2－a（x＋b）2＝px∴4x2－4x＋1－ax2－2abx－ab2－px＝0.∴（4－a）x2－（4＋2ab＋p）x＋（1－ab2）＝0. ∵这是一个恒等式.11答：甲先到达B 地，甲与乙所用的时间的比为24∶25.25．由题意 ab ＝2（2a ＋2b ）∴ ab －4a ＝4b当b －4分别取1，2，4，8，16时，代入上式得：b －4＝1时，b ＝5，a ＝20；b －4＝2时，b ＝6，a ＝12；b －4＝4时，b ＝8，a ＝8；（舍去）b －4＝8时，b ＝12，a ＝6；（舍去）b －4＝16时，b ＝20，a ＝5.（舍去）∴只有a ＝20、b ＝5或a ＝12、b ＝6符合题意，即a ＋b ＝25或18.。
历年1-16届希望杯初二年级竞赛试卷(共34份)[下学期]
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希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题 (2)希望杯第一届（1990年）初中二年级第二试试题 (6)希望杯第二届（1991年）初中二年级第一试试题 (10)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (17)希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题 (23)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题 (28)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (37)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (45)希望杯第五届（1994年）初中二年级第一试试题 (53)希望杯第五届（1994年）初中二年级第二试试题 (60)希望杯第六届（1995年）初中二年级第一试试题 (69)希望杯第六届（1995年）初中二年级第二试试题 (71)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (78)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (86)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (97)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (105)希望杯第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (115)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (118)希望杯第十届（1999年）初中二年级第一试试题 (129)希望杯第十届（1999年）初中二年级第二试试题 (133)希望杯第十一届（2000年）初中二年级第一试试题 (137)希望杯第十一届（2000年）初中二年级第二试试题 (140)希望杯第十二届（2001年）初中二年级第一试试题 (145)希望杯第十二届（2001年）初中二年级第二试试题 (150)希望杯第十三届（2002年）初中二年级第一试试题 (156)希望杯第十三届（2002年）初中二年级第二试试题 (158)希望杯第十四届（2003年）初中二年级第一试试题 (167)希望杯第十四届（2003年）初中二年级第二试试题 (169)希望杯第十五届（2004年）初中二年级第一试试题 (174)希望杯第十五届（2004年）初中二年级第二试试题 (177)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试 (180)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试 (184)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (188)第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (192)希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题（每题1分，共10分）以下每个题目里列出的A ，B ，C ，D ，四个结论中，有且仅有一个是正确的，请你在括号内填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°B ．75°C ．55°D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2B ． 2C ．±2D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( )A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 1 4. ΔABC,若AB=π27,则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B B ．∠C ＞∠B ＞∠AC ．∠B ＞∠A ＞∠CD ．∠C ＞∠A ＞∠B5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式aa 1-⋅化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值，则这个值是( )A ．0.B ．1.C ．2D ．4.把f 1990化简后，等于 ( )A ．1-x x . B.1-x. C.x 1. D.x. 二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度．6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______．8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个．9．x ，y ，z 适合方程组 826532113533451x y z x z x y x y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120°所以∠ADC的度数是120度．5．∠COD度数的一半是30度．8．∵Δ=p2-4q＞p2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0．∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x4+11x3-7x2-3x-7=(3x2+4x-7)(2x2+x+1)而3x2+4x-7=0．希望杯第一届（1990年）初中二年级第二试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A ，B ，C ，D 四个结论中，有且仅有一个是正确的．请你将正确结论的英文字母代号填到括号内．1．等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是( )A ．7.5B ．12C ．4D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则有( )A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞NB ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞QD ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割( )A ．是不存在的B ．恰有一种C ．有有限多种，但不只是一种D ．有无穷多种二、填空题（每题1分，共5分）1．△ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2.21(2)0a ab --=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++L L 的值是_____.3．已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4.ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5.设a,b,c 是非零整数,那么a bcabacbc abca b c ab ac bc abc ++++++的值等于_________.三、解答题（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)． 而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n ． 又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n ．即 n 1=4，n 2=7∴ n 1×n 2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A ，B ，C ，D 四个结论中，仅有一个是正确的．请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．如图24，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．方程x 25x+6=0的两个根是( )A ．1，6B ．2，3C ．2， 3D ．1， 63．已知△ABC 是等腰三角形，则( )A ．AB=ACB ．AB=BCC ．AB=AC 或AB=BCD ．AB=AC 或AB=BC 或AC=BC 22345(13)41(5)34b c ---==-+,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a=b=c C ．a=c ＞b D ．a=b ＞c(1)BO5.若a ≠b,则(b-a)a b -等于[ ]A.33()a b -;B.33()a b ---;C.33()a b --;D.33()b a --6．已知x ，y 都是正整数，那么三边是x ，y 和10的三角形有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．无数多个 7．两条直线相交所成的各角中， ( )A ．必有一个钝角B ．必有一个锐角C ．必有一个不是钝角D ．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角( )A ．一个是锐角另一个是钝角B ．都是钝角C ．都是直角D ．必有一个角是直角 9．方程x 2+|x|+1=0有( )个实数根．( )A ．4B ．2C ．1D ．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2，仍得原数，这个两位数是( )A ．26B ．28C ．36D ．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是 ( )A ．179B ．181C ．183D ．185 12.如果231,x x >+那么323(2)(3)x x +-+等于[ ]A ．2x+5B ．2x5 C ．1D ．113．方程2x 5+x 4-20x 3-10x 2+2x+1=0有一个实数根是 ( ) A.53+; B.52+; C.32+; D.53-14．当a ＜1时，方程(a 3+1)x 2+(a 2+1)x (a+1)=0的根的情况是 ( ) A ．两负根 B ．一正根、一负根且负根的绝对值大 C ．一正根、一负根且负根的绝对值小 D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则( )到达N 地．( )A ． 二人同时B ．甲先C ．乙先D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先二、填空题（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度．2.有理化分母:5757-+=______________.3.方程10x x ++=的解是x=________.4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 29)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m 1)x 2+2mx+m 3=0有两个实数根．9．如图25，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．DCBAGEDCFEDCBA10．如图26，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出______条．11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于______度．12．如图27，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______． 14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q 为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2． ∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题（每题1分，共10分）以下每个题目里给出的A ，B ，C ，D 四个结论中，有且仅有一个是正确的．请你在括号内填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．如图29，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ∶PQ 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．两个正数m ，n 的比是t(t ＞1)．若m+n=s ，则m ，n 中较小的数可以表示为 ( ) A.ts; Bs-ts; C.1ts s +; D.1s t+. 3.y>0时,3x y -等于( )A.-x xy ;B.x xy ;C.-x xy -;D.x xy -.4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成 ( )A ．a ＜b ＜cB ．(a b)2+(b c)2=0C ．c ＜a ＜bD ．a=b ≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( )A ．AD 2=BD 2+CD 2B ．AD 2＞BD 2+CD 2C ．2AD 2=BD 2+CD 2 D ．2AD 2＞BD 2+CD 2( ) 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为1123的x 2、y 2的值是( ) A.x 2=1+3，y 2=2+3; B. x 2=2+3，y 2=2-3; C. x 2=7+43，y 2=7-43; D. x 2=1+23，y 2=2-3.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为( )A ．17B ．15C ．13D ．11 10．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×199119911991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________.5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab≠1．且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则a=______.b三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1．已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
第9届 希望杯 初二 第二试
第二试 试题一、选择题 以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在每题后的圆括号内．1． 若0a b c ++=，则3223a a c abc b c b +-++的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ． 22．适合关系式34326x x -++=的整数x 的值的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数3．已知0x z <<，0xy >，y z x >>，那么x z y z x y +++--的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号4） A．B．C．D．5．ABC △的一个内角的大小是40︒，且A B =∠∠，那么C ∠的外角的大小是（ ） A ．140︒ B ．80︒或100︒ C ．100︒或140︒ D ．80︒或140︒6．如图1，平行四边形ABCD 中，75ABC =︒∠，AF BC ⊥于F ，AF 交BD 于E ，若2DE AB =，则AED ∠的大小是（ ） A ．60︒ B ．65︒ C ．70︒ D ．75︒7．若对于3±以外的一切实数x ，等式28339m m xx x x -=+--均成立，则mn 的值是（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16-8．已知2222K N =个，若N 是1998的倍数，那么符合条件的最小的K 的值是（ ）A ．15B ．18C ．24D ．279．在方程组333036x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩，，中，x ，y ，z 是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（ ） A ．6 B ．3 C ．多于6 D ．少于310．如图2，Rt ABC △中，90ACB =︒∠，CD AB ⊥于D ，AF 平分CAB∠交CD 于E ，交CB 于F ， 且EG AB ∥交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ）A ．CF GB > B ．CF GB =C ．CF GB <D ．无法确定二、填空题11．把代数式()()()2221x y xy x y xy +-+-+-分解成因式的乘积，应当是 ．12．设实数x 满足方程2110x x x --+=，则x 的值为 ．图 1C F E D BA 图 2G FE C B A13．设x =，那么代数式()()()()1234x x x x ++++的值是 ． 14的值等于 ．15．如图3，Rt ACB △中，90ACB =︒∠，点D 、E 在AB 上，AC AD =，BE BC =，则DCE ∠的大 小是 ．16．如图4，ABC △中，45ABC =︒∠，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线 于F ，则CAF ∠的大小是 ．E DCBA图 3图 4FED CBA 图 5H MED CBA 图 6FEDCBA17．如图5，Rt ABC △中，90BAC =︒∠，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，作CE BD ⊥交BD 的延长线于E ，过A 作AH BC ⊥ 交BD 于M ，交BC 于H ，则BM 与CE 的大小关系是 ．18．如图6，四边形ABCD 中有两点E 、F ，使A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意三点都不在同一条直线上，连接它们的顶点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为 ；同样，若四边形ABCD 中有n 个点，其中任意三点都不在同一条直线上，以A 、B 、C 、D 和这n 个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为 ．19．如图7，直线段AB 的长为l ，C 为AB 上的一个动点，分别以AC 和BC 为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD △和BCD '△，那么DD '的长的最小值为 ．20．在一条街AB 上，甲由A 向B 步行，乙骑车由B 向A 行驶，乙的速度是甲的速度的 3倍，此时公共汽车由始发站A 开出向B 进行，且每隔x 分钟发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分钟有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分钟就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x = ．三、解答题 要求写出简要步骤21．已知n ，k 均为自然数，且不满足761311n n k <<+．若对于某一给定的自然数n ，只有惟一的一个 自然数k 使不等式成立，求所有符合要求的自然数n 中的最大数和最小值．22．甲、乙丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p ，q ，r 使p q r <<，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p ，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙拿到纸片上写的数是r ，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问：p ，q ，r 分别是哪三个正整数？为什么？图 7D'D C BA答 案一、选择题1．B【解析】 3223a a c abc b c b +-++()()3322a b a b c abc =+++-()()()2222a b a ab b a b c abc =+-+++- ()()()()2222a b a b ab a b a b c abc =++-+++-因为0a b c ++=，所以a b c +=-．所以原式()()22220c a b abc a b c abc =-++++-=． 所以选B ．2．C【解析】 当340x -≥时，即34x ≥时，原式为34326x x -++=．解得43x =，不合题意，舍去．当234x -<≤时，原式为43326x x -++=，即66=．所以x 为满足2433x -<≤的所有整数．所以10x =，21x =． 当32x <-时，原式为．43326x x ---=．解得23x =-，不合题意，舍去．综上，只有10x =，21x =符合要求．解⑵由已知34326x x -++= ()()3432x x =--+，所以()()34320x x --+≤． 所以234x -≤≤．所以2433x -≤≤，又x 为整数．所以10x =，21x =，所以选C ．3．C【解析】 由已知条件，可以数轴上标出x ，y ，z 三数，如图8．图 8zx yx所以0x z +>，0y z +<，0x y ->．所以原式0x z y z x y =+---+=． 所以选C ．4．A【解析】设x =288x =+16=+18=．所以x =A ．5．D【解析】 ABC △中，若40A =︒∠，则40B =︒∠，100C =︒∠，C ∠的外角为80︒．若40C =︒∠ ，则C ∠的外角为140︒． 所以选D ．6．B【解析】 如图9，取DE 的中点G ，连接AG ．在Rt AED △中，AG 为斜边上的中线，所以12AG DE AB ==．所以AGB ABG =∠∠． 又因为AG GD =， 所以2AGB ADG =∠∠． 因为AD BC ∥， 所以ADG DBC =∠∠，所以22ABG AGB ADG DBC ===∠∠∠． 又因为75ABC =︒∠．所以50ABG =︒∠，25DBC =︒∠．所以90902565AED BEF EBF ==︒-=︒-︒=︒∠∠∠． 所以选B ．7．D【解析】 28339m n xx x x -=+--， 所以()()2233899m x n x x x x --+=--． 因为3x ≠±．所以()()338m x n x x --+=． 即()()38m n x m n x --+=． 此式对于一切3x ≠±．图 9GFEDCB A所以80m n m n -=⎧⎨+=⎩，，解得44.m n =⎧⎨=-⎩，所以16mn =-．选D ．8．D【解析】 因为19982999=⨯，由已知可设2222=1998K N m =个，m 为整数．所以1111=999999111K m m =⨯个，m 为整数，所以1111=9111111K m ⨯个，m 为整数， 所以1111=9111K m 个，m 为整数， 所以K 一定是3的倍数． 设13K K =，所以131111=10010010019111K m =个所以1001001001中有1K 个1，且此数为9的倍数， 所以19K =为最小．所以1327K K ==为最小．故选D ．9．A【解析】3333x y z xyz ++- ()()2220x y z x y z xy yz zx =++++---=．所以3333x y z xyz ++=， 所以336xyz =-，即12xyz =-．所以x ，y ，z 中一定是两正一负，且0x y z ++=．所以x ，y ，z 中负数的绝对值一定等于两个正数的绝对值的和． 又因为121112126134223=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 这四种组合中只有12134=⨯⨯符合条件 所以134x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，143x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，314x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，， 341x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，413x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，431.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，， 共有6个解，选A ．10．B【解析】 如图10，自F 作FH AB ⊥交AB 于H ．因为AF 平分CAB ∠， 所以FC FH =．又因为ABC △中，90ACB =︒∠，CD AB ⊥， 所以ACD B =∠∠． 所以1CAE ACD =+∠∠∠，2FAB B =+∠∠∠，所以12=∠∠，FC CE =， 所以CE FH =． 又因为EG AB ∥， 所以CGE B =∠∠． 在Rt CEG △和Rt FHB △中， 因为CE FH =，CGE B =∠∠， 所以Rt Rt CEG FHB △△≌，所以CG FB =．所以CF GB =，选B ．二、填空题11．()()2211x y -⋅-【解析】 ()()()2221x y xy x y xy +-+-+-()()()22222421x y xy x y x y xy x y xy =+-+-+++-+ ()()()()22211x y x y xy xy =+-++++ ()21x y xy =+-- ()()2211x y =-⋅-．12．1-或12【解析】 2110x x x --+=． 所以()110x x x +--=． 当10x +=时，得1x =-． 当10x x --=时，得1x x -=， 若1x ≥，则1x x -=，矛盾，舍去．若1x <则1x x -=解得12x =．综上得1x =-或12x =．13．48【解析】 因为x =，所以25x =，25x +．两边平方得24202533x x ++=．HABC DE F G图 10所以252x x +=．所以()()()()1234x x x x ++++ ()()()()1423x x x x =++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()225456x x x x =++++ 6848=⨯=．14．1998999.5 【解析】 设2000k =．原式===212k k --=． 把2000k =代入得原式1998999.5=．15．45︒【解析】 ABC △中，AC AD =．所以()11802ACD A =︒-∠∠．在BCE △中，BC BE =．所以()11802BCE B =︒-∠∠．所以DCE ACD BCE ACB =+-∠∠∠∠1190909022A B =︒-+︒--︒∠∠()1902A B =︒-+∠∠．因为90A B +=︒∠∠．所以904545DCE =︒-︒=︒∠．16．45︒【解析】 因为EF 是AD 的垂直平分线，所以FA FD =，FDA FAD =∠∠．因为FDA B BAD =+∠∠∠，FAD CAF DAC =+∠∠∠． 因为AD 是BAC ∠的平分线，BAD DAC =∠∠， 所以45CAF B ==︒∠．17．BM CE >【解析】 如图11，延长CE 交BA 延长线于F ．因为ABE CBE =∠∠，BE BE =．所以Rt Rt FBE CBE △△≌．所以CE EF =，12CE CF =．又因为90ACF F ABD =︒-=∠∠∠，AB AC = 所以Rt Rt ABD ACF △△≌，所以BD CF =． 在ABM △中，45BAM ABM =︒>∠∠． 所以BM AM >．在AMD △中，45ADM DAM >︒=∠∠． 所以AM MD >，BM MD >．所以1122BM BD CF CE >==．18．1080︒，()1360n +︒【解析】 解法1：四边形ABCD 中两个点E 、F 把图形分成6个三角形，这些三角形的内角和为61801080⨯︒=︒．若四边形内有n 个点，则以这n 个点，所成n 个周角再加上原来四边形的内角和360︒，即得 ()3603601360n n ⋅︒+︒=+⋅︒．解法2：1n =时，显然有4个小三角形，内角和为2360⨯︒；2n =时，增加三个小三角形，减少了一个大三角形，内角和为3360⨯︒，3n =时，又增加三个小三角形，减少了一个大三角形，内角和为4360⨯︒，…，所以四边形内若有几个点时，这些三角形内角和为()1360n +⋅︒．19．12l【解析】 设AC x =，BC l x =-．因为ACD △、BCD '△均为等腰直角三角形．所以2CD =，)2CD l x '=-． 因为45ACD =︒∠，45BCD '=︒∠．所以90DCD '=︒∠．所以()222221122DD CD CD x l x ''=+=+- 2222111224x lx l x l l ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭所以当x 取12l 时，DD '取最小值，最小值为12l ．20．8分钟【解析】 设公共汽车的速度为1v ，甲的速度为2v ，因为两辆车间隔距离相等，汽车与甲是追及问题，即两车之间距离为()1210s v v =-．汽车与乙是相遇问题，即两车之间距离为 ()1253s v v =+．F A BCDE MH图 11所以()()12121053v v v v -=+， 所以125v v =．即公共汽车的速度是甲的5倍，把2115v v =代入()1210s v v =-得111105s v v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以`8sv =（分钟）．三、解答题21． 【解析】 因为761311n n k <<+． 所以111367n k n +<<．51367n k n +<<． 5667k n <<．① 5667n nk <<． ② 因为k 为自然数，且对于给定n 来说k 的值只有一个．所以65276n n -≤，即242n≤．所以84n ≤．当84n =时，代入②式有7072k <<，只能取得惟一一个71k =． 所以n 的最大值为84．又根据①式，5667k n <<，显然7n >．当n 取8时，266637k <<，没有符合条件的整数k ．当n 取9时，157727k <<，也没有合适的整数k ．当n 次次取10，11，12时，分别有 148837k <<，139967k <<，210107k <<，均不符合条件． 当n 取13时，51101167k <<，11k =．所以13n =为符合条件的最小值．综上得n 的最大值为84，n 的最小值为13．22．【解析】 每一轮三人得到的糖块数之和为32r q p p r q p ++-=+-，设他们共分了n轮，则()+-=++=．①22010939n r q p因为39139313=⨯=⨯．且1n≠，因为每次至少分出2块糖，n≠，否则拿到纸片p的人得糖数为0，与已知矛盾．39不可能每轮只分1块糖．所以3n=．n=或13由于每个人所得糖块数是他拿到纸片上数的总和减去np，由丙的情况得到=-．918np所以9p≥．np=，1所以13n=．n≠，只有3所以3p=．把3n=，3p=代入①式得+=．r q19又乙得到糖块总数为10，最后一轮得到糖块3r-块．所以310r≤．r-≤，13若12r≤，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖数为9-≥．这样乙必定要在前两轮中r p再抽得一张q或r．这样乙得的总糖数一定大于等于()213+-=．这与乙得到糖数为10块r q p矛盾．所以12r>．因为1213r<≤．所以13r=．196=-=．q r综上得3r=．q=，13p=，6。
全国初二数学竞赛试题及答案大全
全国初二数学竞赛试题及答案大全一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A、B3. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度是：A. 1B. 3C. 4D. 7答案：C4. 一个数的立方根是它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 8答案：A、B、C5. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π答案：B6. 一个数的绝对值是它本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. 所有数答案：A、C7. 一个直角三角形，两直角边分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A8. 一个数的倒数是它本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 2D. 0答案：A、B9. 一个数的平方根是它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A、B10. 一个数的对数是它本身，这个数可能是：A. eB. 10C. 2D. 1答案：A、B二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的平方是25，这个数可能是_________。
答案：±512. 一个数的立方是-8，这个数是_________。
答案：-213. 一个数的对数以10为底是2，这个数是_________。
答案：10014. 一个正数的倒数是1/4，这个数是_________。
答案：415. 如果一个三角形的内角和为180°，那么一个四边形的内角和是_________。
答案：360°三、解答题（每题5分，共55分）16. 证明：等腰三角形的底角相等。
答案：略17. 已知一个直角三角形的两直角边分别为3和4，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边长度为√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。