浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系
二项分布、泊松分布的关系
二项分布、泊松分布的关系二项分布和泊松分布是概率论中两个重要的离散概率分布。
它们在实际问题中经常被用来描述随机事件的发生情况，尤其是在计算事件发生次数的概率时。
本文将从概念定义、特点、应用场景等方面介绍二项分布和泊松分布的关系。
一、概念定义1. 二项分布：简单来说，二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数服从的概率分布。
其中，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为1-p。
这些独立重复试验的结果是互相独立的，且每次试验的成功概率不变。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一定时间或空间范围内，某事件发生的次数服从的概率分布。
泊松分布的特点是事件发生的概率是相等的，且事件之间是独立的。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
二、特点对比1. 参数不同：二项分布的参数是试验次数n和成功概率p，而泊松分布的参数是事件发生的平均次数λ。
2. 取值范围不同：二项分布的取值范围是0到n，表示成功事件发生的次数；泊松分布的取值范围是0到无穷大，表示事件发生的次数。
3. 分布形态不同：二项分布呈现出明显的对称性，随着试验次数的增加，其形态逐渐趋于正态分布；泊松分布呈现出右偏的形态，随着参数λ的增大，其形态逐渐趋于对称。
三、关系解释1. 二项分布是泊松分布的一个特例：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为在大量独立重复试验中，每次试验成功的概率很小，但整体成功的次数还是有一定规律可循的，符合泊松分布的特点。
2. 泊松分布是二项分布的极限情况：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为泊松分布是用来描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率，当试验次数趋于无穷大时，单位时间或单位空间内事件发生次数也趋于无穷大，符合泊松分布的特点。
四、应用场景1. 二项分布的应用场景：二项分布常用于描述离散的二元事件，比如抛硬币的结果、赌博中的输赢、商品的合格率等。
二项分布正态分布泊松分布的区别和联系
二项分布正态分布泊松分布的区别和联系大家好，今天我们来聊聊二项分布、正态分布和泊松分布，这三个家伙可都是概率论里的“大腕儿”，虽然有时候让人头疼，但是它们在现实生活中可是无处不在哦！咱们就从它们的“区别和联系”这个角度来探讨一下吧。
咱们来看看二项分布。
二项分布呢，就像是一个抽奖活动，你不知道会抽到什么奖品，但是你知道每次抽奖只有两个选项：中奖或者不中奖。
而且呢，每次抽奖的概率都是一样的。
这个概率就是二项分布的概率参数，也就是成功的概率。
那么，如果我们知道这个概率是多少，比如说成功的概率是0.5,那么我们就可以算出在10次抽奖中中奖的次数是多少了。
当然啦，如果你想更了解二项分布，还可以了解一下它的期望值、方差等等概念。
接下来，咱们说说正态分布。
正态分布呢，就像是一个正常的人长相一样，它的形状是对称的，中间高两边低。
而且呢，正态分布在统计学里的地位可是非常重要的哦！因为它可以用来描述很多自然现象，比如人的身高、考试成绩等等。
而且呢，正态分布还有一个很酷的特点，就是它的均值和方差是可以自己设定的哦！这就意味着，我们可以根据实际情况来调整正态分布的形状，以便更好地描述我们关心的数据。
当然啦，正态分布在实际应用中还有很多其他的应用，比如假设检验、置信区间等等。
咱们来说说泊松分布。
泊松分布呢，就像是一个钟表一样，它的时间间隔是固定的，而且每个时间点的事件发生次数也是固定的。
这个概念听起来有点儿像二项分布，但是它们之间还是有很多区别的。
比如说，泊松分布的时间间隔是固定的，而二项分布没有这个限制；泊松分布的事件发生次数也是固定的，而二项分布则没有这个要求。
泊松分布还涉及到一个重要的概念——单位时间面积。
这个概念听起来有点儿专业，其实就是指在一个固定的时间段内，某个事件发生的总面积是多少。
泊松分布在实际应用中有很多用途，比如计算电话呼叫次数、交通事故发生次数等等。
好了，今天我们就先聊到这里吧。
希望大家能够通过对二项分布、正态分布和泊松分布的学习，更好地理解这些概率论里的概念。
二项分布 泊松分布与正态分布的关系
二项分布泊松分布与正态分布的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分
布
二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果（成功和失败）的独立重复试验。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验的次数为n。
二项分布表示了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率分布。
泊松分布：
泊松分布是在一段固定时间或空间中，随机事件发生的次数的概率分布。
它适用于事件发生率较低，但时间或空间较大的情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间中事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数是离散的，表示了事件发生次数为k的概率。
均匀分布：
均匀分布是连续概率分布的一种，也称为矩形分布。
在一个定义在[a, b]区间上的随机变量的情况下，均匀分布概率密度函数使得[a, b]区间上每个区间的长度相等，且概率密度函数在该区间上是常数。
均匀分布的概率密度函数是恒定的，且在[a, b]区间外为零。
指数分布：
指数分布是连续概率分布的一种。
它适用于描述独立随机事件的等待时间，当事件发生的概率是恒定的。
指数分布的概率密度函数呈指数形式下降，并且在x 轴上永不为零。
指数分布的参数λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
正态分布：
正态分布是连续概率分布的一种，也称为高斯分布。
它是最常见的概率分布之一，常被用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差是正态分布的参数。
正态分布具有许多重要的性质，如对称性、中心极限定理等。
浅析二项分布与泊松分布之间的关系
学年论文题目：浅析二项分布与泊松分布之间的关系学生：学号：院（系）：理学院专业：信息与计算科学指导教师：安晓钢2013 年11月25日浅析二项分布与泊松分布之间的关系信息121班; 指导教师：安晓钢（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）摘 要：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。
二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。
它们有着密切的关系。
泊松分布是二项分布的特例。
某现象的发生率很小，而样本例数n 很大时，则二项分布接近于泊松分布，即：如果试验次数n 很大，二项分布的概率p 很小，且乘积np =λ比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。
事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物，是二项分布的特例。
通过分析二项分布和泊松分布之间的关系，使学生对概率分布理论的理解更为深刻，能够将学到的理论知识应用在实际生活中，从而提高自己的综合素质。
关 键 词：二项分布， 泊松分布， 近似The Application of Asignment PoblemABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality.KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate1、问题重述：泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内星球的个数，耕地上单位面积内杂草的数目等。
二项分布 泊松分布 正态分布
二项分布泊松分布正态分布一、二项分布二项分布是概率论中的一种离散概率分布模型，也是最重要的概率模型之一。
它描述了在n个独立重复的是/非试验中，成功次数的概率分布。
其中每次试验只有两种可能结果，成为“成功”和“失败”。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示在n次独立重复试验中成功k次的概率，C(n,k)表示从n个试验中选择k个成功的组合数，p表示每次试验成功的概率。
在实际应用中，二项分布可以描述许多事件的概率分布，例如硬币的正反面、反应速度快慢等。
通过计算二项分布的概率，我们可以对未来事件的结果进行预测，并作出相应的决策。
二、泊松分布泊松分布是指在一段时间或一定空间内，某一事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^-λ) / k!其中，P(X=k)表示某一事件发生k次的概率，λ表示事件平均发生率。
泊松分布常用于描述稀有事件，如地震发生的频率、网站访问量、电话呼叫次数等。
泊松分布具有以下特点：1. 事件的发生次数是独立的，一个事件的发生不影响其他事件的发生；2. 平均发生率是一个常数；3. 事件在一段时间或一定空间内是随机分布的。
通过泊松分布的计算，可以对事件的发生概率和频率进行估计，从而做出相应的安排和预测。
三、正态分布正态分布，又称高斯分布或钟形曲线分布，是一种连续概率分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ表示均值，σ表示标准差，π表示圆周率，e表示自然对数的底数。
正态分布的特点是呈现出典型的钟形曲线，均值对应曲线的对称轴。
根据“三个σ原则”，大约68.27%的数据位于均值附近的一个标准差范围内，大约95.45%的数据位于两个标准差范围内，大约99.73%的数据位于三个标准差范围内。
二项分布正态分布泊松分布的区别和联系
二项分布正态分布泊松分布的区别和联系1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊三位数学界的明星：二项分布、正态分布和泊松分布。
这三位在统计学中可是占据了一席之地，像一顿丰盛的盛宴，各有各的特色。
无论你是学霸还是小白，都能从中找到乐趣。
好了，咱们就开始这段有趣的旅程吧！2. 二项分布2.1 概述先来聊聊二项分布。
想象一下，你在抛硬币，每次都有两个结果：正面或反面，简单吧？这就是二项分布的基本思想。
二项分布其实是关于在固定次数的独立实验中，某个事件发生的次数的概率分布。
比如，你抛十次硬币，想知道正面朝上几次的概率，这时候二项分布就派上用场了。
2.2 公式与应用二项分布的公式其实不复杂：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1p)^(nk)。
听起来复杂？其实就是告诉你，C(n, k)是组合数，p是成功的概率，n是实验次数。
应用场景可多了，像调查满意度、投票结果等等，统统能用到它。
3. 正态分布3.1 概述接下来，我们来聊聊正态分布。
说到正态分布，很多人第一反应就是“钟形曲线”。
对，就是这个意思！正态分布常常用来描述自然现象，比如身高、体重等，大家聚在平均值附近，像是一群小鸟围着大树。
大树就是平均值，小鸟就是数据，越远离大树的小鸟，数量就越少。
3.2 特性与应用正态分布的神奇之处在于它有两个参数：平均值和标准差。
平均值决定了“大树”的位置，而标准差则决定了“小鸟”的分布范围。
它在各个领域都能见到，比如心理测试、质量控制等，简直是统计学的万金油！4. 泊松分布4.1 概述最后，我们来说说泊松分布。
泊松分布有点像二项分布的兄弟，但它处理的事情有点不同。
泊松分布主要关注在一个固定的时间或空间内，某个事件发生的次数。
比如说，某个时间段内接到的电话数量，听起来很实用吧？4.2 公式与应用泊松分布的公式是P(X=k) = (λ^k * e^(λ)) / k!，其中λ是平均发生率，k是发生次数。
是不是觉得有点复杂？但它的应用场景相当广泛，比如交通事故、客户到店数量等，完全可以帮助我们更好地做出预测。
二项分布、poisson分布和正态分布的关系
二项分布、poisson分布和正态分布的关系二项分布、Poisson分布和正态分布是概率论中常见的三种分布，它们之间有着密切的关系。
首先，二项分布和Poisson分布都属于离散型分布，而正态分布则是连续型分布。
二项分布指的是在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布，而Poisson分布则是描述在一段时间内某事件发生的次数的概率分布。
当n很大时，二项分布逐渐逼近Poisson分布。
其次，当n很大而p很小时，二项分布可以近似看作正态分布。
这是由于当n很大时，二项分布的均值和方差均趋近于无穷大，而正态分布的均值和方差也是无穷大的，因此两者可以近似看作相同的分布。
这种近似在统计学中被广泛使用，例如在假设检验和置信区间中的应用。
最后，Poisson分布和正态分布之间也有一定的关系。
当Poisson 分布的参数λ很大时，它也可以近似看作正态分布。
这是由于当λ很大时，Poisson分布的均值和方差趋近于相等，而正态分布的均值和方差也是相等的，因此两者可以近似看作相同的分布。
综上所述，二项分布、Poisson分布和正态分布之间有着密切的关系，在实际应用中它们经常会相互转化和近似。
这些分布的理解和掌握对于进行概率统计分析具有重要的意义。
- 1 -。
正态分布二项分布泊松分布的区别与联系
正态分布二项分布泊松分布的区别与联系当然，了解不同分布的特点挺有趣的，让我们轻松聊聊正态分布、二项分布和泊松分布的区别与联系。
1. 正态分布正态分布，哇，这个家伙真是个大明星！它的图像就像个优雅的山峰，左右对称，中间高，两边低，给人一种很和谐的感觉。
很多自然现象，比如人的身高、考试成绩，都可以用正态分布来描述。
这就像我们说的“中庸之道”，绝大多数人都在平均值附近，极端的情况就像火锅里的辣椒，虽少但很显眼。
正态分布的一个超级厉害的地方就是它有两个参数：均值和标准差。
均值决定了山的高低，而标准差则告诉你山的陡峭程度。
2. 二项分布接下来，让我们聊聊二项分布。
这个家伙则有点像在玩掷硬币的游戏。
每次投掷，结果非黑即白，要么是成功，要么是失败。
想象一下，你在一次掷骰子的比赛中，你想知道投出六的次数，这就是二项分布的玩法！它由两个关键因素决定：试验的次数和成功的概率。
说白了，二项分布就是个“是或不是”的游戏，很简单，但有时候却可以让人头疼，尤其是计算概率的时候。
3. 泊松分布最后，我们要提到的是泊松分布。
这个分布可真是个小怪兽，它主要用来描述在固定时间或空间内发生的事件数量，比如一分钟内接到的电话数量，或者街上经过的车数。
泊松分布的一个有趣之处在于，它适用于那些随机发生的事件，并且这些事件彼此独立。
想象一下，你在咖啡店等朋友，突然有个人来问你路，这个事件的到来就有点像泊松分布，不是每天都发生，但一旦发生了，可能就让你意外惊喜。
4. 三者的联系那么，这三者到底有什么联系呢？其实，它们都是在帮助我们理解不确定性，尽管风格各有不同。
正态分布是个大方的朋友，二项分布像个认真负责的学生，而泊松分布则像个随性的小伙伴。
它们之间也有一些深层的关系，比如在特定条件下，二项分布可以趋近于正态分布，当试验次数很大而成功概率很小的时候，正态分布就成了二项分布的“庇护所”。
而泊松分布也是二项分布的极限形式，当试验次数趋向于无穷大时，成功概率趋近于零，二项分布就像魔法一样变成了泊松分布。
二项分布、泊松分布和正态分布的关系及其应用
二项分布、泊松分布和正态分布的关系及其应用二项分布、泊松分布和正态分布是统计学中常见的三种分布类型，它们在描述随机变量的分布和概率方面有着重要的应用。
本文将介绍这三种分布的基本概念和特点，探讨它们之间的关系，并结合实际应用场景进行分析。
一、二项分布二项分布是描述一组独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，其中每次试验有两种可能的结果：成功或失败。
假设试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，进行n次试验后成功的次数X服从二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)C(n, k)表示组合数，表示在n次试验中成功k次的概率。
二项分布在实际应用中有着广泛的应用，例如在质量控制中描述次品率、在市场营销中描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率分布，常用于描述罕见事件的发生概率，如自然灾害的发生次数、电话交换机接到呼叫的次数等。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布的特点是均值和方差相等，且当n充分大、p充分小、np=λ时，二项分布可以近似地表示为泊松分布。
泊松分布在实际应用中有着丰富的场景，如在交通流量预测中描述交通事故发生的次数、在医学统计中描述疾病发作的次数等。
三、正态分布正态分布（又称高斯分布）是统计学中最常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟型曲线，具有单峰对称的特点。
正态分布在自然界和社会现象中均有广泛应用，如身高、体重、考试成绩等往往服从正态分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)μ表示均值，σ^2表示方差。
正态分布具有许多有用的性质，比如68-95-99.7法则，大部分数据分布在均值附近，以及许多随机变量的总和或平均值都近似服从正态分布等。
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如果一个随机指标受到许多微小的、独立的随机因素的影响，
而其中任何一个因素都不起决定性作用，则可认为该随机指标
[作者简介】于洋(1979-),男，大连人，东北财经大学讲师，硕士学位.研究方向:概率统计、数f经济学。
108
1
“不石e2}rnpg
(k-v)'
│2│0. 0001│0. 0002│
└─┴─────────┴───────┘
“一几
万不，”-
18一兄
万
。定理3的证明见文献[1〕。
2.2二项分布和正态分布之间的关系
定理2设随机变里X。一b (n, pX0<p<1, n=1,2,
则对于任意x，有
lim{ Xn -npn-am np(1-p)·丹·Jr瓮-Zdt00 2;r一、
较好。
表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b (n, p)
的比较，其中，二2500，p一0.02，np二50,了而万=
了49=7。可见，在数值上三者是大致相等的。
由定理3易知，泊松分布X一二(刃当A-+树的极限分
布是正态分布N(A, a.)。
为了进一步讨论泊松分布和正态分布的分布函数之间的近
似关系，需要用到随机变量的特征函数的相关知识，首先给出
│2│0. 0001│0. 0002│
└─┴─────────┴───────┘
“一几
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2.2二项分布和正态分布之间的关系
定理2设随机变里X。一b (n, pX0<p<1, n=1,2,
则对于任意x，有
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”冲。一K二
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‘’{nP(I-P){一’{np(I-p){
泊松定理的证明见文献【1]。由该定理可知，当二项分
布b (n, p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，
服从或近似服从正态分布，这正是正态分布在理论与实践上都
极其重要的原因。
1_(、一np l
一nP9 wl np-q)
2主要结果
2.1二项分布与泊松分布之间的关系
定理I(泊松定理)在n重伯努利试验中，
验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，
=.A>0，则对任意给定的m，有
P夏a‘戈‘b}
(2)
事件A在每次试
试验中事件出现的概率p很小)’，当伯努利试验的次数n很大
时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当
p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这
点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例
如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好
了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。
来代替(2)式。
(b+0.5一，、‘厂。一0.5一，、
{nP(l_p){一(np(l_p){
2.3泊松分布与正态分布之间的关系
由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，
也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条
件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。
定理3对任意的a<b，有
布b (n, p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，
实际中n'a100，pS0.1，np<_10时(见文献[21)，二项
分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即
C pk (1一PT‘二
ak
，.一一几
—匕
k!
只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸{。‘X<b}
的相当精确的值。原则上(1)式和(2)式适用于任何给定的p和
去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以想象得
到，p很小，n又不大，则np =几一定不会很大。由定理3
可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近
似被泊松分布十分逼近的二项分布。
在”充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最
好满足0.1 S p S 0.9)，用正态分布去近似二项分布，效果就
定理3对任意的a<b，有
,jk_一4，
飞，几‘1 r0
乙-石-=了万Ja“
a<k<口几;Y‘拍
尸
2去，其中
浊a=
┌─┬─────────┬───────┐
│k│C.I Pk (1一P )"-k│(，)‘e一”Ik!│
├─┼─────────┼───────┤
│0│0. 9801│0. 9802│
│1│0. 0198│0. 0196│
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├─┼─────────┼───────┤
│0│0. 9801│0. 9802│
│1│0. 0198│0. 0196│
布，记为X一N(u,a2)。
正态分布的概率密度中的两个参数产和a，分别就是该分
布的数学期望和方差。特别地，当,t=O,a2 =1时的正态分
布.称为标准正态分布，记为X一N(0,1)，标准正态分布的
产
密度函数记为(Pkx) -了歹e2r‘，-0o < x <+00·
正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量
衰，二项分布与泊松分布的比较
P{a‘戈‘小。
来代替(2)式。
(b+0.5一，、‘厂。一0.5一，、
{nP(l_p){一(np(l_p){
2.3泊松分布与正态分布之间的关系
由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，
也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条
件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。
1.2泊松分布
泊松分布刻画了稀有李件在一段时间内发生次数这一随机
变盘的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数.某公
共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内
星球的个数.耕地上单位面积内杂草的数目等。
设随机变量x所有可能取得值为0,1,2,-..，而取各个值的
概率为P{X=月二
兄ke_x
去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以想象得
到，p很小，n又不大，则np =几一定不会很大。由定理3
可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近
似被泊松分布十分逼近的二项分布。
在”充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最
好满足0.1 S p S 0.9)，用正态分布去近似二项分布，效果就
特征函数的定义:
109
班分布称为二项分布，是因为CApk9"-kt.&为(9+ p)k
二项展开式的各项系数.这种概率模型也被称为伯努利概
型。X服从参数为n, p的二项分布，记为X一b (n, p)。
由二项分布的定义知.随机变量X是n重伯努利试验中事
件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。二项
分布的数学期望和方差分别是EX = np，DX=np(l一月。
时p最好满足O.15P50.9(参见文献[21). At外，文献[3]
还指出，由于我们是用一个连续分布来近似离散分布，在实际
应用中.为了减少近似误差.常用
这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则
近似效果往往不佳。
二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次
试验中事件出现的概率p很小)’，当伯努利试验的次数n很大
时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当
p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这
点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例
如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好
了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。
衰，二项分布与泊松分布的比较
P{a‘戈‘小。
P夏a‘戈‘b}
(2)
事件A在每次试
如果辣nPn
_。l。一，_
一厂飞np(1-p)“
戈一nP
Jnp，一，)
_。一np}
“np(1-p) j
llmC"P(1一。)一羊。一，、一。,1,2...
”冲。一K二
__{b-np)_{。一，)
‘’{nP(I-P){一’{np(I-p){
泊松定理的证明见文献【1]。由该定理可知，当二项分
特征函数的定义:
109
1
“不石e2}rnpg
(k-v)'
服从或近似服从正态一np l
一nP9 wl np-q)
2主要结果
2.1二项分布与泊松分布之间的关系
定理I(泊松定理)在n重伯努利试验中，
验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，
=.A>0，则对任意给定的m，有
实际中n'a100，pS0.1，np<_10时(见文献[21)，二项
分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即
C pk (1一PT‘二
ak
，.一一几
—匕