高等数学初等函数
高数16个基本初等函数
高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。
这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。
一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。
这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。
常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。
二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。
三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。
四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。
对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。
对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。
五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。
正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。
三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。
六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。
反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。
反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。
七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
高等数学第一章公式
高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。
定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。
定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。
初等函数
(
x0
,
),
U
0 δ
(
x0
).
U( x0 , ) { x 0 x x0 δ} 练习：U (2, δ)
o
(x0 δ, x0 ) (x0, x0 δ) U(2, δ)
4
注: 若不强调δ的。大小，点a的邻域记为U(a)； 点a的去 心邻域记为U (a).
5、函数的表示法
列表法； 解析法； 图形法； 描述法.
式、定义域、值域.
(1) y f (u) u, u g( x) x x2; (2)y f (u) lnu, u g( x) sin x 1.
思考题解答
(1)y f [g(x)] x x2 , x D {x | 0 x 1}, f (D) [0, 1].
2
(2)不能． Q g( x) sin x 1 0,
值域W {0,1,2, },
1
-4 –3 -2 -1o -1 1 2 3 4 x
-2
图形称为阶梯曲线，而且在
-3
-4
x的整数值处，图形发生跳跃，跳度为１.
9
6、分段函数：自变量在不同的范围内用不同的式子
来表示的函数，叫分段函数.
如： 高斯函数 f ( x) x
y
4 3 2
1
-4 –3 -2 -1o -1 1 2 3 4 x
函数值的全体组成的集合称为函数的值域.
1
说明：（1）函数两要素：定义域 和 对应关系
如： y x 与 y x2 是同一函数. y 2lg x与 y lg x2 不是同一函数.
两个函数是否相同，主要看：
定义域和对应关系是否相同. （2）定义域的定义：能使式子有意义的自变量的取值范围.
高等数学初等函数
初等函数的分类
幂函数：形如y=x^n的函数， 具有指数幂的形式
指数函数：形如y=a^x的函 数，其中a>0且a≠1
对数函数：形如y=log_a(x) 的函数，其中a>0且a≠1
三角函数：包括正弦函数、 余弦函数、正切函数等，具 有周期性和对称性
函数在计算机 科学中的应用： 实现算法，处
理数据
常见问题的数学模型建立
线性回归模型：用于预测两个或 多个变量之间的关系
三角函数模型：用于解决周期性 问题
添加标题
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添加标题
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指数模型：描述增长或衰减过程
分段函数模型：处理离散数据或 分段连续数据
利用初等函数解决实际问题的方法
建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，利用初等函数表达实际问题中的变量关系。 求解方程：通过求解方程来找到实际问题的解决方案。 函数图像分析：利用函数图像来直观地理解实际问题，通过观察图像的变化趋势来解决问题。 数值计算：利用初等函数的性质和计算方法，对实际问题进行数值计算，得到近似解或精确解。
反三角函数：包括反正弦函 数、反余弦函数、反正切函 数等，是三角函数的反函数
初等函数的运算方
03
法
函数的四则运算
定义：函数加法、减法、 乘法、除法的运算规则
性质：函数四则运算的性 质和定理
运算顺序：先乘除后加减 的顺序
应用：函数四则运算在数 学和其他领域中的应用
复合函数和反函数
复合函数的定义和性质
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
计算方法：比较法、导数法、 不等式法
高等数学第二节初等函数
余弦函数： y=cos x
函数图象关于 y 轴对称，是偶函数；
是周期函数，周期为2 ；
cos x 1，是有界函数。
正切函数： y=tan x
y
y=tan x
-
2
O
2
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为 ；
当 x (k - , k ), k Z 时，
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
例3. 指出下列复合函数的结构
（1） y cos2 x
（2） y
反正切函数 y arctan x
反正切函数图象关于原点对称， 是奇函数； 是单调增函数； arctan x ， 是有界函数。
2
反余切函数 y arccot x
是单调减函数； 0 arccot x ，是有界函数。
二、复合函数
在实际问题中，因变量与自变量的关系不是直接的，
y 1- x2
定义: 设函数 y f (u),其中u ( x)， 且(x) 的
值的全部或部分落在 f(u)的定义域内, 则称函数
y f [( x)]为 x的复合函数，而 u 为中间变量
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
解
y y 设通话x分钟，中国联通收费 1 元，中国移动收费 2 元
则
y1 36 0.4x, y2 0.6x
高等数学第二节初等函数
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
税率（%） 3 10 20
写出个人月收入x （不大于12500元）元与应缴纳税款y元 之间的关系，当某人月收入为6500元时，应缴纳多少税款？
解： 依此可以列出下面的函数关系：
0,
0 x 3500
y
(x (x
-
3500) 3500)
都是初等函数。
y
3 3x tan 5x x3 sin x - 2-x
今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。
四、函数关系举例
1.如何选择通信公司
小王买部手机想入网，他得知：中国联通130网的收费标准 是：月租费30元，每月来电显示6元，本地通话每分钟0.4元； 中国移动“神州行”储值卡的收费标准是：本地通话每分钟 0.6元，月租费和来电显示费全免，小王相拥有来电服务，请 问他如何选择？
第二节初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例
一、基本初等函数
1 、常数函数 y C y
O
yc
x
函数定义域为R，只有一个函数值
1.1 函数
2、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
随着而不同，但在(0, )中都有定义；经过点 (1,1)， 在(0, )内当 0时，x为增函数； 0时，x为减函数
初等函数
初等函数认识初等函数需要四个层次： (1) 基本初等函数 (2) 简单函数 (3) 复合函数 (4) 初等函数学习时，注意概念及注，注意分类，要会判断初等函数所属类型，为求导数、积分奠定基础1、基本初等函数 (1) 定义以下六类函数称为基本初等函数 ①C y =(C 为常数)② αx y =③x a y =(1,0≠>a a )，特别以e 为底，x e y =④ x y a log =，特别以e 为底，x y ln =⑤x y sin =、x y cos =、x y tan =、x y cot =、x y sec =、x y csc =⑥ x y arcsin =、x y arccos =、x y arctan =、x arc y cot = 由于经济学中不涉及三角和反三角函数，因而后面不讲解，请需要者自学 (2) 基本初等函数的性质① C y =(C 为常数)实质：看不到自变量 如：2=y ，2e y =，2ln 等常数函数的特点是：不管自变量取几，所对应的函数值都是该常数 如：已知2)(==x f y则：2)0(=f ，2)1(=f ，2)8(=-f ，……)点，平行于X 轴的一条直线②αxy=(α为常数，且0≠α)实质：底为变量，指数为实常数如：xy=，2xy=，21xxy==，331-==xxy，43431-==xxy等由于讨论的实际问题中的自变量通常＞0，故讨论0>x时幂函数特性<1> 0>α单增（左图）①1=α均匀增长；1>α越增越快；10<<α越增越慢；②α越大，增长速度越快<2> 0<α单减（右图）α越大，单减速度越快>α0<α运算性质：baba xxx+=⋅，b abaxxx-=，abba xx=)(③xay=(1,0≠>aa)，特别以71828.2≈e为底，x ey=实质：底为常量，指数为变量【注意与幂的区别】如：xy2=，xy)21(=，x ey=等注意：值域0>y指数函数的特点是：当自变量改变量相同时，因变量变化的百分比相同xxeey)1(==-，图形与x ey=关于xy=对称当底1>a时，函数单增当底10<<a时，函数单减④x y a log =，特别以71828.2≈e 为底：x y ln =——自然对数函数 特别：01ln =，1ln =e 对数函数运算性质：b a ab ln ln )ln(+=，b a b aln ln ln-=——乘除变加减 a b a b ln ln =，a ba b ln 1ln =——乘方、开方变为乘和除a e a =ln ，a e a =ln(3) 自变量的字母可以任意，但自变量出不能不是⋅1自变量1① C y =——看不到自变量② αx y =——自变量处在底③x a y =(1,0≠>a a )，特别以e 为底，x e y =——自变量处在指数④ x y a log =，特别以e 为底，x y ln =——自变量处在真数部分——对数符号后面 如：x e y =是指数函数，自变量处在指数部分，现在，自变量处为一个单独自变量11x ⋅，故为基本初等函数u e y =（u 为变量）也是指数函数，自变量处在指数部分，现在，自变量处为一个单独自变量11u ⋅，故为基本初等函数但xe y 2=，表面看上去也是指数函数，自变量处应该在指数部分，但现在自变量处为x 2，不是一个单独自变量11x ⋅，故该函数不是基本初等函数函数2x e y =，表面看上去也是指数函数，自变量处应该在指数部分，但现在自变量处为2x ，也不是一个单独自变量11x ⋅，故该函数不是基本初等函数再如，函数10x y =是10次幂函数，自变量处在底，现在，自变量处为一个单独自变量11x⋅，故为基本初等函数函数10u y =（u 为变量）也是10次幂函数，因为幂函数的自变量处在底，现在，自变量处为一个单独自变量11u ⋅，故为基本初等函数而函数函数10)1(+=x y 看上去也是10次幂函数，但幂函数的自变量处在底，现在，自变量处（底）为1+x ，而不是一个单独自变量11x ⋅，故不是基本初等函数同理：x y ln =是基本初等函数中的对数函数，而)1ln(x y -=不是基本初等函数x y =是基本初等函数中的21次幂函数，而12+=x y 不是基本初等函数……【例1】判断下列函数是否为基本初等函数，若是，属于哪一类？(1) Q R =21Q R =，底为变量，指数为常数，具有幂函数的形式由于幂函数的自变量处在底，而函数自变量处（底）恰为⋅1自变量1故是基本初等函数，是21次幂函数 (2) x e y =底为常数e ；指数部分为变量，故具有指数函数的形式由于指数函数的自变量处在指数部分，而函数自变量处（指数部分）恰为⋅1自变量1故是基本初等函数，是以e 为底的指数函数 (3) 2e y =底为常数e ；指数也是常数，故整个函数没有自变量 故为基本本初等函数，是常函数 (4) ex y =底为变量，指数为常数，故整个函数具有幂的形式而幂函数的自变量处在底，而函数自变量处（底）恰为⋅1自变量1是基本初等函数，是e 次幂函数 (5) xx y =有底也有指数，但两者都变，既不是幂，也不是指数，故该函数不是基本初等函数 (6) x y 2=2=y 是基本初等函数中的常数函数，x y =为基本初等函数中的幂函数（1次幂）但整个函数为两个基本初等函数的乘积，故整个函数不是基本初等函数 (7) p Q 5100-=不是基本初等函数是由常数函数100，5和幂函数1p 经乘和减形成的函数，故不是基本初等函数 (8) x e y -=底为常数e ；指数部分为变量，故具有指数函数的形式由于指数函数自变量处在指数，该函数自变量处（指数部分）为x -，不是⋅1自变量1故不是基本初等函数2、简单函数例1中的x y 2=和p Q 5100-=两个函数，都是由基本初等函数做加、减、乘、除四则运算得到的函数，称为简单函数，定义如下(1) 定义——由基本初等函数经有限次四则运算（加、减、乘、除）得到的函数如Q R 2=，p Q 5100-=都是简单函数(2) 注意：简单函数中的四则运算，不能发生在自变量处如函数22x y =为简单函数，它是常数函数2=y 与幂函数2x y =的乘积，乘发生在了基本初等函数与基本初等函数间了，因而为简单函数而函数2)2(x y =不是简单函数，虽然他也有一个乘的运算，但乘发生在了幂函数2u y =的自变量处（底）了，故不是简单函数 同样：xey -=，因为底为常数，指数部分发生变化，故可看成指数函数的形式，但指数函数的自变量处在指数部分，现在乘的运算x ⋅-1恰恰发生在指数部分，故函数不是基本初等函数，也不是简单函数【例2】判断下列函数是否为简单函数，若是，最后运算是什么？(1) 12+=x y ：是，最后运算为“加” (2) xe y 2=：是，最后运算为“乘” (3) x y ln 1-=：是，最后运算为“减”(4) xx e xx e y +-=1ln 2：是，最后运算为“除”(5) 2)12(+=x y ：不是，因为四则运算发生在了幂函数的自变量处——底处了 (6) )1ln(x y -=：不是，因为四则运算发生在了对数函数的自变量处——真数部分了3、复合函数(1) 复合函数引例已知销售收入R 是随着销售量Q 的变化而变化的，是销售量的函数)0()(≥==Q e Q f R Q 而销售量Q 又是随着时间t 的变化而变化的，是时间t 的函数)0(30)(≥==t t t Q ϕ将)0(30)(≥==t t t Q ϕ代入函数)0()(≥==Q e Q f R Q 中，有)0())((30≥==t e t f R t ϕ 于是销售收入R 随时间t 的变化而变化的，是时间t 的函数称)0(30≥=t e R t 是由函数)0()(≥==Q e Q f R Q 和)0(30)(≥==t t t Q ϕ复合而成的复合函数，记作：))((t f R ϕ=其中称)(Q f R =为外层函数，)(t Q ϕ=为内层函数，Q 为中间变量，或称)(t ϕ为中间变量 (2) 复合函数概念设)(u f y =，)(x u ϕ=，当Φ≠)()(ϕZ f D 时，称))((x f y ϕ=为复合函数x ：自变量，y ：因变量，)(x u ϕ=：中间变量 ϕ为内层函数，f 为外层函数即：在复合函数))((x f y ϕ=中，给出x ，按一定顺序求出y 值，先做的叫内，后做的叫外 如函数)0(30≥=t eR t中，给出自变量t ，求因变量R 的值先求t 30，再求e 的若干次方，故先做的t 30称为内层函数，后做的e 的若干次方称为外层函数 可见，复合函数可以看作，以函数)(x u ϕ=为自变量的函数，称为函数的函数，为复合函数 (3) 复合函数的实质复合函数是函数的函数，函数套函数 (4) 复合函数的判断方法自变量处不是单独自变量，而是函数，整个函数就构成复合函数 (5) 复合函数的分解复合函数分解的原则：① 求函数值时，先做的运算为内，后做的运算为外，先分出来)；② 注1：分解出的函数不能再有复合，且只可能最内层为简单函数，外层都是基本初等函数 如teR 30=，由于自变量处（指数部分）不是单独自变量，而是函数，故函数为复合函数内层函数为t 30，外层为e 的若干次方，故先将指数函数e 的若干次方分解出来，且按照分解的第②条原则，要想使其称为基本初等函数，自变量处必须只能为一个单独自变量，用u ，故有：u e R =，u 是t 30，由于t 30为简单函数，复合分解原则，故不用分解故复合函数teR 30=由ue R =和t u 30=两个函数复合而成【例3】判断下列函数是否为复合函数？若是，将其分解(1) 5)23(+=x y 可看成由5u y =，23+=x u 复合而成的复合函数； (2) )12ln(+=x y 可以看成u y ln =，12+=x u 复合而成的复合函数； (3) 2x e y =可以看成u e y =，2x u =复合而成的复合函数；(4) 22)(ln ln x x y ==可看成2u y =, x u ln =复合而成的复合函数；(5) 2ln x y =可以看成u y ln =，2x u =复合而成的复合函数；(6) x y ln ln =可看成u y ln =, x u ln =复合而成的复合函数； (7) 12+=x y 可以看成21u u y ==，12+=x u 复合而成的复合函数；(8) xey -=可以看成u e y =，x u -=复合而成的复合函数；(9) )23(ln 2x y -=可看成2u y =，v u ln =，x v 23-=复合而成的复合函数；(10) 10)12(+=x ey 可以看成ue y =，10v u =，12+=x v 复合而成的复合函数．【练习】判断下列函数是否为复合函数？若是，将其分解(1) )1ln(x y -=； u y ln =，x u -=1．(2) xe y 1=； u e y =，11-==x xu ． (3) )21ln(x y +=； u y =，v u ln =，x v 21+=．(4) 121ln2-=x y ． 2u y =，v u ln =，121-=x v ．4、初等函数(1) 初等函数的定义由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合得到的，并可由一个解析式表示的函数 如：p pe R 2-= (2) 初等函数的分类基本初等函数、简单函数、复合函数都是初等函数，但根据后面求导及积分的需要，有必要将初等函数进一步划分到小类中初等函数除包含基本初等函数、简单函数、复合函数外，还包含象函数p pe R 2-=一样的，将四则运算与复合运算穿叉进行的初等函数——穿叉型初等函数【例4】判断下列初等函数是基本初等函数、简单函数、复合函数还是穿叉型初等函数？若为基本初等函数指明属于哪一类，若为复合函数将其分解．简单函数和穿叉型初等函数说明其最后运算． (1) 5x y =：基本初等函数中，幂函数(2) 235+=x y ：简单函数，最后运算为“加”(3) 5)23(+=x y ：复合函数，由5u y =，23+=x u 复合而成的复合函数； (4) 5)23(+=x e y x：穿叉型初等函数，最后运算为“乘”。
高等数学高数知识点总结
高数重点总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 1031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y x y yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→ 斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
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正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
一般来说，分段函数不是初等函数，但下例所示 的分段函数是初等函数。
例 1 y=∣x∣= x, x 0 是由 y= u 和 u= x 2 复合而成的复合函数,
x, x 0
那就是说，原函数与 x2 是同一个函数，因此它也是初等函数。
小结
函数的分类:
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)
一般地，若函数 y=f(u)的定义域为 D1，u=φ (x)的定义域
为 D2,值域 w2={u│u= φ (x),x∈D2}且 W2∩D1≠φ这样得到的
以 x 为自变量，y 为因变量的函数，称为由函数y=f(u)和 u= φ(x) 复合而成的复合函数,记作 y=f[φ (x)],其中 u 称为中 间变量。
初 等
函 数
函
无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
例：
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
解 最外层是对数，即 y ln u,
次外层是正切，即 u tan v . 从外向里第三层是指数函数，即 v e w ,
最里层是简单函数，即 w x 2+ 2 sin x ,
所以，分解得 y ln u u tan v
v ew w x2 +2 sin x
初等函数
由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合所构成， 并可用一个式子表示的函数称初等函数。 前面讨论过的函数都是初等函数。今后本课程讨论 的函数除分段函数外，也都是初等函数。
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
复 合
1
vw 2
w x2 1
。
小结
➢复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的. ➢分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法，
从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算. ➢基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简 单函数.
练习
y=ln(tanex2 +2sinx )
例 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数
y sin 2 1
函
x2 1
数 可
解 最外层是二次方，即 y u2 ，
进 行
次外层是正弦，即 u sin v
三 重
1
从外向里第三层是幂函数 ，即 v w 2
， 四 重
最里层是多项式，即 w x 2 1 ,
和 多
重
所以，分解得 y u2 u sin v
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
复合函数
设有函数 y=u 2 和函数 u=1-sinx,则 y=(1 sin x)2 是两者的复 合函数。
6 ．反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx,
y=arctanx, y=arccotx
一、基本初等函数
1、幂函数 y x
y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
2、指数函数 y a x (a 0, a 1) y e x
y (1)x a
初等函数
1．常数函数 y=C (C为常数) 2 ．幂函数 y= xu (μ 是常数 )
3 ．指数函数 y= ax (a 是常数且 a>0,a ≠ 1) 4 ．对数函数 y= log a x (a 是常数且 a>0,a ≠ 1) 5 ．三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tanx,
y=cotx, y=secx, y=cscx
• (0,1)
y ax (a 1)
3、对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4、三角函数
正弦函数 y sin x
sin x
余弦函数 y cos x
y cos x