概率统计章节作业

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概率论与数理统计作业A题

且他们损坏的概率依次为 0.3，0.2，0.1，则电路断路的概率为
。
9．甲、乙两人独立地对同一目标各射一次，其命中率分别为 0.7 和 0.5，现已知目标
被命中，则它是由甲单独射中的概率是
。
10. 已知 p(A B) 0.8, p(AB) 0.5 , 则 p(A) p(B)
。
11. n 张彩票中有 m(m n) 张可以中奖，今有 K ( K m )个人各买一张，则至少有一个
3．设事件 A，B 及 AB 的概率分别是 p, q, r 求(1) p( AB ) ；(2) p( AB)
1
4．已知100件产品中有10件次品，无放回地抽3次，每次取一件；求(1)取出的全是次品的概率；(2)直到第三次才取得正品的概率。
5. 用3台机床独立的制造一部机器的3种零件，各机床的不合格品率分别为0.2、0.3、 0.1，从它们的产品中各任取1件进行检验，求(1)所取的3个产品都是不合格品的概率； (2)所取的3个产品有一个不合格品的概率。
。
3．设 A, B 为任意两互不相容事件，则 P(A B)
。
4．假设 A, B 为两个事件， p(A) 0.9, p(AB) 0.36，则 p(AB)
。
5．设 A, B 为两事件， p(A) 0.5, p(A B) 0.2，则 p(AB)
。
6．设
p( A)
p(B)
p(C)
1 4
( A) P(C) P( AB)
(B) P(C) P( A B)
(C) P(C) P( A) P(B) 1
(D) P(C) P( AB)
7．设 p(AB)=0 , 则正确的是【】。
(A) A 和 B 互不相容;

概率统计第一章每一节习题

概率统计第一章每一节习题第一章随机事件与概率习题一随机事件一、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果,则正面出现次数的样本空间=Ω .2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 海信电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为；至少出售一种品牌的电视机可以表示为；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示下列随机事件：A 发生而B ，C 都不发生为；A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设事件n A A A A ,,,,321 若；，则称n A A A A ,,,,321 为完备事件组.5.对立事件A 与A 在每一次试验中发生.二、设{1,2,,10}Ω= ，{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，{5,6,7}.C =写出下列算式表示的集合： 1. AB 2.A B C ++3._____________A B C ++三、写出下式的另外一种形式表达式 1.=++n A A 1 2.=++n A A 1习题二随机事件的概率一、填空题1.概率是事件的自然属性，有事件就一定有 .2.古典概型的两个条件是，.3.今有10张电影票,其中只有2张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则.A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约二、8件产品中有5件是一级品，3件是二级品，现从中任取2件，求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率：( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取；( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取.三、有n位同学（n 365），求他们至少有两个人的生日在同一天的概率（一年按365天计算）.四、从1，2，…，10这十个数中等可能地任取一个，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：（1）7个数全不相同；（2）不含9和2；（3）8出现三次.习题三概率的运算法则一、填空1.设事件,,B A =+)(B A P ,当A ，B 互斥时=+)(B A P .2.设事件,,B A =-)(B A P , )(A P )(AB P .3.设事件C B A ,, =++)(C B A P .4.设事件组n A A A A ,,,,321 ，)(21n A A A P = .5.=)|(A B P .6.=+)|(21B A A P . (条件概率的加法公式)二、袋中装有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求取到的三个球中没有红球或没有黄球的概率.三、某工厂生产的产品中，36%为一等品，54%为二等品，10%为三等品，任取一件产品，已知它不是三等品，求它是一等品的概率.四、10个签中有4个是难签，3人参加抽签（无放回），甲先、乙次、丙最后.求甲抽到难签、甲乙都抽到难签、甲没有抽到难签而乙抽到难签及甲乙丙都抽到难签的概率。

概率统计2.第3章作业题

第三章作业题一. 填空：1、已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率=>>),(b Y a X P .2．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P3. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K=),(y x f ⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它。

,0;0,10),1(x y x x y K 二、选择1、设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从均匀分布的随机变量是)(A Y X Z += )(B Y X Z -= )(C ),(Y X )(D ),(2Y X2、设二维随机变量(X,Y)取下列数组(-1,0)，(-1,1)，(0,0)，(1,0)的概率依次为3/(4c)，1/(2c)，3/(4c)，1/c ，其余数组概率为0，则c 的取值为( )A . 1B . 2C . 3D . 4三、综合1．已知随机变量X ，Y 的联合概率分布如下表（1）写出X 与Y 的边缘概率分布.（2）Y X ,是否相互独立？为什么？(3) 写出XY , Y X -的分布（4）求1X =的条件下Y 的条件分布2. 已知随机变量X ，Y 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,6),()32(y x e y x f y x（1）求X 与Y 的边缘密度)(x f X 及)(y f Y（2）判断X 与Y 是否相互独立，为什么？（3）求概率(1)P X Y +≤,(1,2)P X Y ≤≤3．设二维随机变量（X,Y ）在区域 }||,10|),({x y x y x G ≤≤≤= 上服从均匀分布。

求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .4．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .5．设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为2,01,(,)0,C x x y x f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他，试求：（1）常数C ；（2）边际密度函数(),()X Y f x f y ，并讨论X 和Y 的独立性；（3）)2(X Y P < 。

大学概率论与数理统计习题及参考答案

Ω 0 ,1,2. Ω 10,11,12.
（４）
3
五、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0、1、2、…、9中的任一个（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。解:
9 P96 P ( A) 0.0605. 6 9 10
六、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。解:
P( AB) 0.4; P( A B) 0.7.
5. 设 P( AB) P( AB), 且 P ( A) p, 则 P( B) 1 p.
8
二、
设P (A) > 0， P (B) > 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (A∪B) 、P (A) + P (B) 用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立.
解
P A B P( A) P( B) P( AB)
P A B P( A) P( B)
AB A ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B)
P ( AB ) P ( A) P ( A B) P ( A) P ( B)
十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率. 解: 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”，设事件 B 表示“及第一个邮筒内只有一封信”，则
22 P ( A) 2 0.25; 4 1 1 C2 C3 P( B) 0.375. 2 4
P( AB) P( BC ) 0，则：
（1）A、B、C中至少有一个发生的概率为 0.625 （2）A、B、C中都发生的概率为 0 ；。（3）A、B、C都不发生的概率为 0.375 ；

概率统计章节作业.

第一章随机事件与概率一、单项选择题1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是( ).A. AB ={出现奇数点}B. AB ={出现5点}C. B ={出现5点}D. A B =Ω2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( ).A. ()A B B A +-=B. ()A B B A B A AB +-=-=-C. ()A B B A B -+=+D.AB AB A +=3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( ).A.1212A A A AB.12A AC.12A AD.12A A4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( ).A.123A A AB.123A A A ++C.123A A AD.123A A A5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是( ).A.(|)0P A B =B. (|)0P B A =C. ()0P AB =D. ()1P A B =6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( ).A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( ).A.()1P A B =B.()()()P AB P A P B =C. ()0P AB =D.()0P AB >8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( ).A.A =ΦB.A B ⊂C.A 与B 相互独立D. A 与B 互不相容9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ⊂,则P (A |B )= ( ).A. 0B. 0.4C. 0.8D. 110.设A与B为两事件, 则AB= ( ).A.A BB. A BC. A BD. A B11.设事件A B⊂, P(A)=0.2, P(B)=0.3,则()P A B =( ).A. 0.3B. 0.2C. 0.5D. 0.4412.设事件A与B互不相容, P(A)=0.4, P(B)=0.2, 则P(A|B)= ( ).A. 0.08B. 0.4C. 0.2D. 013.设A, B为随机事件, P(B)>0, P(A|B)=1, 则必有( ).A.()()P A B P A= B.A B⊂C. P(A)=P(B)D. P(AB)=P(A)14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为( ).A. 0.4B. 0.2C. 0.25D. 0.7515.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为( ).A.37B.0.4C. 0.25D.1616.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是( ).A. 0.48B. 0.75C. 0.6D. 0.817.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为( ).A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.418.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为( ).A. 0.72B. 0.75C. 0.96D. 0.7819.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为( ).A.710B.44710C.47410CCD.4710⨯20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为 ( ).A. 810B. 38310C C C. 33810 D. 38310C 21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为 ( ).A. 20.4B. 30.6C. 22350.40.6CD. 23250.40.6C22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为( ).A.15615()66CB.156151()66C - C.15651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为( ).A. 19B. 12C. 23D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为 ( ).A. 518B. 4!6!C. 4446A A D. 44!6 25.某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为 ( ).A. p 2B. (1-p )2C. 1-2pD. p (1-p )二、填空题1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为 .2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为 .3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为 .4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为 .5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为.6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为.7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()P A B= .8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)= .9.设()0.3,(|)0.6P A P B A==，则P(AB)= .10.设11()()(),()(),()046P A P B P C P AB P AC P BC======，则P(A+B+C)= .11.已知P(A)=0.7, P(A-B)=0.3, 则()P AB= .12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为.13.已知P(A)=0.4, P(B)=0.8, P(B|A)=0.25, 则P(A|B)= .14.设111(),(|),(|)432P A P B A P A B===，则()P A B= .15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为.16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为.三、计算题1.设P(A)=0.4, P(B)=0.2, (|)0.3P B A=, 求P(AB)以及P(A|B).2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B⊂==求：(1)(),()P A P B；(2)P(AB)；(3)()P AB；(4) ()P A B；(5)P(B-A).3.若事件A与B互不相容，P(A)=0.6, P(A+B)=0.9, 求：(1)()P A B；P AB；(2)(|) (3)()P AB.4.已知事件A与B相互独立，且P(A)=0.4, P(A+B)=0.6, 求(1)P(B)；(2) ()P AB；(3)P(A|B).四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p1；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p2；(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p3.19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8081, 求射手射击一次命中目标的概率.20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p, 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.五、证明题1.设0<P(B)<1，证明事件A与B相互独立的充分必要条件是(|)(|)P A B P A B=.2.证明条件概率的下列性质：(1)若P(B)>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B≤≤Ω=Φ=；(2)若A与B互不相容，()0P C>，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C=+；(3)(|)1(|)P A B P A B=-.第二章随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设随机变量X的分布律为则P{X<1}=( ).A. 0B. 0.2C. 0.3D. 0.52.设随机变量X的概率分布为则a = ( ). A. 0.2 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.43.设随机变量X 的概率密度为2,1(),0,1cx f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则常数c = ( ).A. 1-B.12 C. -12D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3,01(),0,ax x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则常数a = ( ).A.14 B. 12C. 3D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是 ( ).A.2100,1000,100x x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ B.10,00,0x xx ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ C. 1,020,x -≤≤⎧⎨⎩其它 D. 113,2220,x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为 ( ).A. [0,]2πB. [0,]πC. [,0]2π-D. 3[0,]2π7.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( ).A. 0,00.3,01()0.2,121,2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ B. 0.5,0()0.8,011,1x x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩C. 0,00.1,05()0.6,561,6x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ D. 0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ⎧<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则 ( ). A. ()F x 一定连续 B. ()F x 一定右连续 C. ()F x 是不增的 D. ()F x 一定左连续9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是( ). A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数 B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞→-∞-=C.()()()P a X b F b F a <≤=-D.对一切实数x ，都有0<()F x <110.设随机变量的概率分布为2()(),(1,2,3...)3k P X k a k ===，则常数a =( ).A. 1B. 12C. 2D. 12-11.已知随机变量X 的分布律为()F x 是X 的分布函数，则F (2.5)=( ). A. 0.7 B. 0.8 C. 0.1 D. 112.随机变量X 的概率密度2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则11{}22P X -≤≤=( ).A.14B.13C.12D.3413.已知随机变量X 的分布律为若随机变量Y =X 2，则P {Y =1}= ( ).A. 0.1B. 0.3C. 0.4D. 0.214.设随机变量X ~B (4, 0.2)，则P {X >3}= ( ). A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.819215.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~ ( ). A. N (1, 4) B. N (0, 1) C. N (3, 16) D. N (3, 9) 16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则()P a X b ≤≤= ( ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+ΦC.22()()b a μμσσ--Φ-Φ D.()()b a μμσσ--Φ-Φ17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则P (-2<X <0)= ( ).A.12()12Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ18.设X ~N (0，1)，()x ϕ是X 的概率密度函数，则(0)ϕ= ( ). A. 0 B. 0.5C.D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从 ( ). A. U[0, 5] B. U[2, 17] C. U[2, 15] D. U[0, 17] 20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为 ( ).A.正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布 21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是 ( ).A.2(1)F e -=B.2(0)F e -=C.P (X =0)=P (X =1)D.2(1)2P X e -≤= 22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2(1)(3)3P X P X ===，则λ= ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1<x 2, 则12()P x X x ≤≤= .2.设随机变量X 的概率分布为记Y =X 2, 则P (Y =4)= .3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)= .4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则(32)P X -<≤= .5.设随机变量X的分布函数为212()xt F x edt --∞=,则其密度函数为 .6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩, 其密度函数为()f x ,则()6f π= .7.设随机变量X 的分布函数为1,0()0,x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩, 则当x >0时, X 的概率密度()f x = .8.设随机变量X 的分布律为则(01)P X ≤≤= .9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<= . (其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律 . 11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥= .12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y = .13.设随机变量X ~N (0, 4)，则(0)P X ≥= .14.设随机变量X ~U (-1, 1)，则1(||)2P X ≤= .15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布，则(23)P X <<= . 16.设随机变量X ~N (-1, 4)，则1~2X Y +=.17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2,...3kaP X k k ===，则a = . 18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它，则k = .19.若随机变量X ~N (1, 16)，Y =2X -1，则Y ~ . 20.若随机变量X ~U (1, 6)，Y =3X +2，则Y ~ . 三、计算题1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求X 的概率密度函数.2.设X 服从参数p =0.2的0-1分布，求X 的分布函数及P (X <0.5).3.设随机变量X ~U (a , b )，求X 的密度函数与分布函数.4.设随机变量X ~N (3, 4)，求：(1)P (2<X <3)；(2) P (-4<X <10)；(3) P (|X|>2)；(4)P (X >3).5.已知随机变量X的密度函数为2,01()0,kx xf x⎧<<=⎨⎩其它，求：(1)常数k；(2)分布函数；(3)(10.5)P X-<<.6.设随机变量X的概率密度为,011(),1220,x xf x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其它，求X的分布函数.7.设随机变量X~,01()2,120,x xf x x x≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它，求：(1)1()2P X≥；(2)13()22P X<<.8.设随机变量X在[0，5]上服从均匀分布，求方程24420x Xx X+++=有实根的概率.9.设随机变量X的分布律为求：(1)Y=2X的分布律；(2)Z=|X|的概率分布；(3)X2的分布律.10.设X~U[0，4]，Y=3X+1，求Y的概率密度.11.已知随机变量X~N(1，4)，Y=2X+3，求Y的概率密度.λ=的指数分布，Y=2X-1，求Y的概率密度.12.已知X服从参数1四、应用题1.一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量X的分布律；(2)随机变量X的分布函数.2.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X的概率分布及分布函数.3. 袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取两个球，X表示取出的两个球的最大号码，求X的概率分布.4.设一批产品共1000个，其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X的概率分布.(1)不放回抽样；(2)有放回抽样.5.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为13，连续抛掷10次，以X表示正面出现的次数，求X的分布律.6.有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率.7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有4次呼唤的概率；(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.8.袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布.9.已知某类电子元件的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度为110001,0()10000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，一台仪器装有3个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设3个电子元件损坏与否相互独立.试求：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率p 1； (2)一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率p 2.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的.设男子身高X 服从170μ=（厘米），6σ=（厘米）的正态分布，即2~(170,6)X N .问车门高度应如何确定？五、综合题1.设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求：(1)抽样次数X 的概率分布； (2)X 的分布函数F (x )； (3)(2),(13)P X P X >-<<.2.司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数15λ=的指数分布.(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；(2)若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求(1)P Y≥.3.甲乙丙三人独立地等1，2，3路公共汽车，他们等车的时间（单位：分钟）都服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.4.设测量距离时产生的随机误差X~N(0，102)（单位：米），现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知(1.96)0.975.Φ=(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律；(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于19.6的概率.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （单位：分钟）服从参数110λ=的指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出Y 的分布律；(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率.6.设连续型随机变量X 的分布函数为：20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求：(1)系数A ； (2)X 的概率密度； (3)(0.30.7)P X <≤；(4)Y =X 2的概率密度.7.连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ,()F x A B x x =+-∞<<+∞，求： (1)常数A ，B ； (2)(11)P X -<<； (3)X 的概率密度.8.设X 是连续型随机变量，其概率密度为：2,02()0,Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其它，求：(1)系数A 及分布函数F (x )；(2)(12)P X <<； (3)Y =2X 的概率密度.9.设X的分布律为：求：(1)Y=(X-1)2的分布律；(2)Y的分布函数；(3)(12)-≤≤.P Y第三章多维随机变量及其概率分布一、单项选择题1.设二维随机变量(X, Y)的分布律为：则P (X=Y )= ( ). A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.82.设随机变量X 与Y 相互独立，且13(1),(1)44P X P Y =-===，则P (XY =-1)=( ).A.116 B.316 C.14D.383.设二维随机变量(X , Y )的分布律为：则P (X+Y ≤1)= ( ). A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.14.设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F (x , y )，则(,)F x +∞= ( ). A.0 B.()X F x C.()Y F y D.15.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N (3, 4), Y ~N (2, 9), 则Z =3X -Y ~ ( ). A.N (7,12) B.N (7,27) C.N (7,45) D.N (11,45)6.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则Y ~ ( ). A.211(,)N μσ B.212(,)N μσ C.221(,)N μσ D.222(,)N μσ7.二维随机变量(X , Y )只取如下数组中的值(0, 0), (-1, 1), (-1,13), (2, 0)，且相应的概率依次为1115,,,244c c c c，则c 的值为 ( ). A.2 B.3 C.4 D.58.设随机变量(X , Y )的联合概率密度为(,)f x y ，则(1)P X >= ( ). A.1(,)dx f x y dy +∞-∞-∞⎰⎰B.(,)f x y dx +∞-∞⎰C.1(,)dy f x y dx +∞+∞-∞⎰⎰D.1(,)dx f x y dy +∞+∞-∞⎰⎰9.设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为(2),0,0(,)0,x y ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则常数c 为 ( ).A.1B.0.5C.2D.310.设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F (x , y )，其边缘分布函数为()X F x 、()Y F y ，且对某一组11,x y 有1111(,)()()X Y F x y F x F y =，则下列结论正确的是( ).A.X 和Y 相互独立B. X 和Y 不独立C. X 和Y 可能独立，也可能不独立D. X 和Y 在点(11,x y )处独立11.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则( ). A.12μμ= B.0ρ= C.1212,μμσσ== D. 2212σσ= 12.设随机变量X 与Y 相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，则下列结论正确的是 ( ).A.21212~(,())X Y N μμσσ+++B.221212~(,)X Y N μμσσ+++C.221212~(,)X Y N μμσσ---D.221212(,)~(,)X Y N μμσσ++二、填空题1.设二维连续随机变量(X , Y )在区域G =22{(,)|4}x y x y +≤上服从均匀分布，则其概率密度(,)f x y = .2. 设二维随机变量(X , Y )的分布律为：则P {X=1}= ，P {Y=1}= .3.设随机变量X 与Y 相互独立，且其分布律分别为：则P {X =Y }= .4.设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，22,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，则二维随机变量(X , Y )的联合概率密度为 .5.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为1,01,01(,)0,x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则1{}2P X ≤= .6.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，则当0y >时，(X , Y )关于Y 的边缘概率密度()Y f y = .7.当01,01x y <<<<时，随机变量(X , Y )的分布函数22(,)F x y x y =，其概率密度为(,)f x y ，则11(,)44f = .8.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为1,12,01(,)0,x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它，则31(,)22P X Y ≤>= .9.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为221()21(,)2x y f x y e π-+=，则(X , Y )关于X 的边缘概率密度()X f x = .10.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为：1(),02,01(,)30,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，则(X , Y )关于X 的边缘概率密度为 .三、计算题1.已知二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布为：(1)确定常数C ；(2)求(X , Y )关于X ，Y 的边缘分布.2.已知二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布为：求(X, Y)关于X，Y的边缘分布.3.设二维离散型随机变量(X, Y)的等可能值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).求：(1) (X, Y)的联合概率分布律；(2) (X, Y)关于X, Y的边缘概率分布.4.设二维随机变量(X, Y)只能取下列数组中的值：1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取这些值的概率依次为1115 ,,, 631212.(1)写出(X, Y)的分布律；(2)求(X, Y)关于X，Y的边缘分布律.5.设二维随机变量(X, Y)的分布律为：试问：X与Y是否相互独立？为什么？6.设二维随机变量(X, Y)的分布律为：(1)求边缘分布律；(2)试问X与Y是否相互独立？为什么？7.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为4,01,01 (,)0,xy x yf x y<<<<⎧=⎨⎩其它，求边缘概率密度.8.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为22221,(,)0,x y Rf x y Rπ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，求边缘概率密度.9.已知二维随机变量(X , Y )的概率密度为：222,01,01(,)0,ax xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩其它，求：(1)常数a ；(2)(X , Y )关于X ，Y 的边缘概率密度.10.设二维随机变量(X , Y )的分布律为：求：(1)1Z X Y =+的分布律；(2)2Z XY =的分布律.四、综合题1.箱子里装有12件产品, 其中2件是次品, 每次从箱子里任取一件产品, 共取两次, 定义随机变量X , Y 如下：0,1,X ⎧=⎨⎩第一次取出正品第一次取出次品，0,1,Y ⎧=⎨⎩第二次取出正品第二次取出次品. (1)在有放回抽样情况下，求(X , Y )的分布律和边缘分布律，此时X 与Y 是否独立？(2)在不放回抽样情况下，求(X , Y )的分布律和边缘分布律，此时X 与Y 是否独立？2.袋中有2个白球，3个黑球，现进行无放回地摸球，定义：1,0,X ⎧=⎨⎩第一次摸出白球第一次摸出黑球，1,0,Y ⎧=⎨⎩第二次摸出白球第二次摸出黑球. 求：(1) (X , Y )的概率分布；(2) (X , Y )关于X ，Y 的边缘分布，并问X 与Y 是否相互独立？3.已知(X , Y )在区域{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤内服从均匀分布，求： (1) (X , Y )的联合概率密度；(2) (X , Y )关于X ，Y 的边缘概率密度，并问随机变量X 与Y 是否独立？ (3) (X , Y )的分布函数.4.已知二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度为：2,01,01(,)0,kxy x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它，求：(1)常数k ；(2)(X , Y )关于X ，Y 的边缘概率密度. (3) X 与Y 是否相互独立？为什么？ (4)(1)P X Y +≤.5.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为：(34),0,0(,)0,x y ke x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，求：(1)常数k ；(2)(01,02)P X Y ≤≤≤≤； (3)(X , Y )的分布函数；(4)随机变量X 与Y 是否相互独立？6.设X 与Y 相互独立，X 服从均匀分布U [0,15]，Y 的概率密度为： 55,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，求：(1)随机变量(X , Y )的概率密度； (2)()P Y X ≤.第四章随机变量的数字特征一、单项选择题1.随机变量X的概率分布律为则期望EX= ( ).A.1.2B.1.3C.1D.1.12.随机变量X的概率分布律为则方差DX= ( ).A.1.69B.2.5C.1.6D.3.43.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是( ).A.EX=0.5, DX=0.25B. EX=2, DX=2C.EX=0.5, DX=0.5D. EX=2, DX=44.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为2的指数分布，Y~B(6, 0.5)，则E(X-Y)= ( ).A.-2.5B.0.5C.2D.55.设随机变量X与Y相互独立，X~B(16, 0.5)，Y服从参数为9的泊松分布，则D(X-2Y+3)= ( ).A.-14B.-11C.40D.436.已知随机变量X的概率密度2,01()0,x xf x<<⎧=⎨⎩其它，则EX与DX分别为( ).A.21,318B.21,36C.21,36- D.11,2187.已知随机变量X服从均匀分布U[1, 5]，则下列各项中正确的是( ).A.EX=2, DX=43B. EX=3, DX=43C.EX=3, DX=13D. EX=2, DX=138.设X 为随机变量，EX =2，DX =5，则E (X +2)2 = ( ). A. 4 B.9 C.13 D.219.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则X 的期望EX = ( ).A. 0B.1C.2D.310.设X 服从[0,1]上的均匀分布，则D (2X )= ( ). A.112 B.13 C.14D.1611.设随机变量X 与Y 相互独立，X ~N (2, 42), Y ~N (3, 32), 则E (X+Y ), D (X-Y )的值分别为 ( ).A.5，7B.5，25C.5，5D.5，712.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，若0ρ=，则 ( ).A. X 与Y 一定独立B. X 与Y 一定不独立C. X 与Y 不一定独立D. X 与Y 仅不相关，但不独立13.设X 与Y 为两个随机变量，且,0X Y ρ=，则 ( ). A. X 与Y 一定独立 B. X 与Y 不相关C. X 与Y 独立且不相关D. X 与Y 仅不相关，但不独立14设随机变量X ~N (2, 4), 则D (2X +5)= ( ). A. 4 B.8 C.16 D.2115.设随机变量X 的分布函数21,0()0,0x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，则EX 与DX 为 ( ).A.2，4B.0.25，0.5C.0.5，0.25D.4，216.已知DX =1，DY =25，,0.4X Y ρ=，则D (X -Y )= ( ). A. 6 B.22 C.19 D.2317.已知DX =4，DY =9，,0.5X Y ρ=-，则D (2X -3Y )= ( ). A.133 B.61 C.71 D.103 18.设随机变量X 与Y 的协方差1(,)6Cov X Y =，且DX =4，DY =9，则,X Y ρ=( ). A.1216 B.136C.16D.119.若随机变量X 与Y 满足()E XY EX EY =⋅，则下列结论不正确的是 ( ). A. X 与Y 不相关 B. X 与Y 相互独立 C.()D X Y DX DY ±=+ D.相关系数,X Y ρ=0 20.已知二维离散型随机变量(X , Y )的分布律为：则E (X +Y )与E (XY )分别是 ( ).A.2.1，0.8B.2.5，0.8C.2.3，0.2D.2.3，0.8 二、填空题1.设随机变量X 的期望EX =2，方差DX =4，则E (X 2)= .2.设随机变量X 与Y 相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，则E (X +Y )=，D (X +Y )= .3.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N (1, 4)，Y ~B (10, 0.2)，则E (2X -3Y )= ，D (2X -3Y )= .4.随机变量X 服从0-1分布，且EX =0.2，则P (X =0)= .5.设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则D (2X +1)= .6.设随机变量X 的分布律为则E (X 2)= .7.已知二维离散型随机变量(X , Y )的分布律为：则E (XY )= .8.设随机变量X 与Y 相互独立，且DX >0, DY >0，则X 与Y 的相关系数ρ= .9.设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为：则E (XY )= ，D (X -Y )= .10.设随机变量X ~N (0, 1)，Y ~N (0, 1)，(,)0.5Cov X Y =，则D (X +Y )= . 11.设DX =9，DY =25，相关系数,0.5X Y ρ=，则D (X -Y )= . 12.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX =EY =0，E (X 2)=E (Y 2)=1，则E (X+Y )2= ，D (X +Y )= .13.已知二维随机变量1(,)~(1,1,4,9,)2X Y N ，则(,)Cov X Y = .14.设随机变量X 的分布律为令Y =2X +1，则EY = .15.设随机变量12,,...,n X X X 独立同分布，且均值为μ, 若11ni i Y X n ==∑，则EY =.三、计算题1.设随机变量X 的分布律为求：(1)EX ；(2)E (X 2)；(3)E (3X 3+5).2.设随机变量X的分布律为求：期望EX与方差DX.3.设随机变量X的概率密度为6(1),01()0,x x xf x-<<⎧=⎨⎩其它，求：期望EX与方差DX.4.设随机变量X的概率密度为||1()0,||1xf xx<=≥⎩，求：期望EX与方差DX.5.设随机变量X的概率密度为,01()2,120,x xf x x x≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它，求：期望EX与方差DX.6.设随机变量X与Y相互独立，且X服从参数2λ=的泊松分布，Y的概率密度为1,04()40,xf x⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求：(1)(2),()E X Y E XY+；(2)(23)D X Y-+.7.已知二维随机变量(X, Y)的概率分布为求：协方差(,)Cov X Y与相关系数,X Yρ.8.设(X, Y)在圆域222{(,)|}G x y x y R=+≤内服从均匀分布，求(,)Cov X Y.四、应用题1.甲、乙两台自动车床，生产同一种标准件，生产1000只所出的次品数分别用X 、Y 来表示，经过一段时间的考察，X 、Y 的分布律分别为：问哪一台机床加工的产品质量好？2.某车间生产的圆盘直径服从均匀分布U [a ，b ]，求圆盘面积的期望.3.有甲、乙两种牌号的手表，它们日走时的误差（单位：秒）分别记作X 、Y ，且日走时误差所服从的分布律如下：问哪种牌号的手表质量更好？4.设市场上每年对某厂生产的29寸彩色电视机的需求量是随机变量X（单位：万台），它均匀分布于[10，20].每出售一万台电视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付库存费10万元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的平均收益最大？五、综合题1.设随机变量X的概率密度在[0，1]之外为0，在[0，1]上的密度与x2成正比.求：(1)X的分布函数；(2)期望EX和方差DX.2.设X服从参数为λ的泊松分布，已知(2)(3)===，P X P X且(4)(0)+-.E X XP X aP X<==，求：(1)常数a；(2)[(21)(21)]3.设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为：242,04,0(),()0,00,0x y X Y e x e y f x f y x y --⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩. 求：(1)E (X +Y )，E (XY )；(2)D (X+Y )，D (2X -3Y ).4.设X ~N (5, 5)，Y 在[0,]π上服从均匀分布，相关系数,0.5X Y ρ=，求：(2)E X Y -和(2)D X Y -.5.设随机变量12,,...,n X X X 相互独立，且服从同一分布，期望为μ，方差为2σ，令11ni i X X n ==∑，求：,EX DX .6.设二维随机变量(X, Y)的分布律为：求：(1)边缘概率分布；(2)协方差(,)Cov X Y与相关系数ρ；(3)问随机变量X与Y是否独立？是否相关？7.设(X, Y)的概率密度212,01 (,)0,y y xf x y⎧≤≤≤=⎨⎩其它，求：(1)边缘概率密度；(2)EX，EY；(3)(,)Cov X Y.8.设随机变量X ~,02()20,xx f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，试求：(1)EX ，DX ；(2)D (2-3X )；(3)(01).P X <<9.设连续型随机变量X 的分布函数为：0,0(),0881,8x x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，求：(1)X 的概率密度()f x ；(2)EX ，DX ； (3){||}8DX P X EX -≤.10.设随机变量X ~,01()0,ax b x f x +≤≤⎧=⎨⎩其它，且712EX =，求：(1)常数a ，b ；(2)DX .11.设随机变量X 1与X 2相互独立，且2212~(,),~(,)X N X N μσμσ.令12X X X =+，12Y X X =-. 求：(1)DX ，DY ；(2)X 与Y 的相关系数,X Y ρ.12.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为：2,01,0(,)0,x y xf x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它. 求：(1)边缘分布密度；(2)E (X +Y )，E (XY )，(,)Cov X Y ； (3)(1)P X Y +≤.。

概率论与数理统计03-第三章作业及答案

习题3-1而且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律.解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04P X P X =⋅==≠, 所以X 1和X 2不独立.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩其它求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, 所以 18k =. (2) 31201,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--⎰⎰⎰⎰1322011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==⎰⎰⎰4 1.521d (6)d 8y x y x --=⎰⎰1.5422011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 421633()d 882y y =-⎰ 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =⎰⎰44201d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰4422011(6)d 82xy x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----⎰ 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-⎰ 423211(4)(4)86y y =----⎡⎤⎢⎥⎣⎦23=. 图3-8 第4题积分区域3. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它.试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰,解得6=k .因而 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=⎰⎰⎰. 4. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨⎩≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它.5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2) {22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. 而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0<z <2时, (){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y zz f x y x y -=⎰⎰≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =⋅+⋅⎰⎰⎰⎰24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z zzz f z F z -<<'==⎧⎪⎨⎪⎩ (3) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:(1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度.解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=⎰⎰. 其中0G S 为G 0的面积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-⎰. 当1<x 或3>x 时, 0)(=x f X .因此 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)X Y 的分布律.解由于X 与Y 相互独立, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独立? 解由于边缘分布满足23111,1i j i j p p ⋅⋅====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得方程组 21,3111().939αβα++==⋅+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i .p .j 成立. 因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独立..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=⎧<<>⎨⎩其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独立？解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,得 111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰1e ,01,1e 0,xx --<<=-⎧⎪⎨⎪⎩其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=⎰e ,0,0,y y ->=⎧⎨⎩其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以X 与Y 相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=⎧⎪⎨⎪⎩，≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的二次方程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=⎧⎨⎩其它， 21e ,0,()20,.yY y f y ->=⎧⎪⎨⎪⎩其它因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即244X Y ∆=-≥20X ⇔≥Y .因此事件{方程有实根}2{X =≥}Y .下面计算2{P X ≥}Y (参见图3-3).2{P X ≥}Y 2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-⎰⎰⎰⎰⎰2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈⎰.图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .解首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+⨯. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为求随机变量Z = X + Y 的分布律.解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=⨯=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===⨯+⨯=,28.04.07.0}4,3{}7{=⨯=====Y X P Z P ,或写为3. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()x X f x μσ--=,),(+∞-∞∈x ;⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独立, 所以22()21()()()d d 2z y a Z X Y f z f z y f y y y a μσ---+∞-∞-=-=⎰⎰=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==⎰⎰≤≤21[42(2)]412u =-⨯- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解首先2,01,()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==⎧⎨⎩⎰1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-<⎧⎪⎨⎪⎩⎰图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当10<<x 时, |1,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .解首先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有11121111{,}{}{,}6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利用X 和Y 的独立性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======. 于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利用X 和Y 的独立性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;1313111{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======⨯=.因此得到下表3.(34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=⎧>>⎨⎩其它(1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立?解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=⎰⎰.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ;当,0>>y x 时,34340(,)12e d e d (1e )(1e )xyu v x y F x y u v ----==--⎰⎰.即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -⎧>=⎨⎩类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -⎧>=⎨⎩ 显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈∀⋅=, 故X 与Y 相互独立. 4.解已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P{X=1, Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}. 因此X与Y不相互独立.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P 3112161121=++=, 316161}2,3{}3,2{}5{=+===+====Y X P Y X P Z P . 即Z X Y =+(3) V =21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 21}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P .即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,}2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P31}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P , 31}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .5. 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它. (1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).解 (1) 1120227{2}(,)d d d (2)d 24yx yP X Y f x y x y y x y x >>==--=⎰⎰⎰⎰. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:()()(,)d d Z x y zF z P X Y Z f x y x y +=+=⎰⎰≤≤.当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时, 1()(,)d d d (2)d zz yZ D F z f x y x y y x y x -==--⎰⎰⎰⎰= z 2-13z 3; 当1≤z <2时, 2111()1(,)d d 1d (2)d Z z z yD F z f x y x y y x y x --=-=---⎰⎰⎰⎰= 1-13(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1. 故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ⎧-<<⎪'==-<⎨⎪⎩≤其它.方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰2(),01,01,(,)0,x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其它 2,01,1,0,.z x x z x -<<<<+⎧=⎨⎩其它当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0;当0<z <1时, 0()(2)d (2);zZ f z z x z z =-=-⎰当1≤z <2时, 121()(2)d (2).Z z f z z x z -=-=-⎰故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ⎧-<<⎪=-<⎨⎪⎩≤其它.6. 设随机变量(X , Y )得密度为21,01,02,(,)30,.其它x xy x y x y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <12}.解 (1) 当x ≤0或y ≤0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0.当0<x ≤1, 0<y ≤2时, φ(x , y ) = x 2+13xy ,所以 201(,)(,)d d [()d ]d 3x yx yF x y u v u v u uv v u -∞-∞==+⎰⎰⎰⎰ϕ32211312x y x y =+. 当0<x ≤1, y >2时,2(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d xyx y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕ22001[()d ]d 3xu uv v u =+⎰⎰21(21)3x x =+.当x >1, 0<y ≤2时,10(,)(,)d d [(,)d ]d xyyF x y u v u v u v v u -∞-∞==⎰⎰⎰⎰ϕϕ12001[()d ]d 3y u uv v u =+⎰⎰1(4)12y y =+. 当x >1, y >2时,122001(,)[()d ]d 13F x y u uv v u =+=⎰⎰.综上所述, 分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1, 2.或≤≤≤≤≤≤x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y ⎧⎪⎪+<<⎪⎪⎪=+<>⎨⎪⎪+><⎪⎪>>⎪⎩(2) 当0≤x ≤1时,22202()(,)d ()d 2,33X xy x x y y x y x x ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 222,01,()30,.其它≤≤X x x x x ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩当0≤y ≤2时,12011()(,)d ()d ,336Y xy y x y x x x y ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 11,02,()360,.其它≤≤Y y y y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为2(,)62(|).()2Y x y x xy x y y yϕϕϕ+==+当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为(,)3(|).()62Xx y x yy xy xϕϕϕ+==+(4) 参见图3-10.图3-10 第9题积分区域图3-11 第9题积分区域1{1}(,)d dx yP X Y x y x yϕ+>+>=⎰⎰12201165d()d.372xx x xy y-=+=⎰⎰同理, 参见图3-11.{}(,)d dy xP Y X x y x yϕ>>=⎰⎰122117d()d.324xx x xy y=+=⎰⎰1111{,}(,)112222{|}1122{}()22XP X Y FP Y XP X F<<<<==<211(,)22121()534.32()d|Xyx y xx xϕ+==⎰如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业第一章随机事件与概率1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{}反正正、正反、反正、反=Ω{}正正、正反=A ,{}正正=B ,{}正正、正反、反正=C2.设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：（1）AB =∅，（2）B A ⊂，（3）81)(=AB P解:（1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P（2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375.0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。

Ai 表第i 次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

103819810991109101)|()|()()|()()()(2131211211321211=⨯⨯+⨯+=++=∴++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥Θ如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。

)|||)|(321211B A A A B A A B PA B H P ++=)|()|()|()|()|()|(2131211211A A B A P A B A P B A P A B A P B A P B A P ++= 53314354415451=⨯⨯+⨯+=4．进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：（1）直到第r 次才成功；解:由于1122===⎰⎰+∞+∞∞-c dx x c dx x c ,故1=c 3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？解: (1)2304.04.06.0}2{3225===C X P(2)66304.06.04.06.01}5{}4{1}3{5445=--==-=-=≥C X P X P X P(3)233532254154.06.04.06.04.06.0}3{}2{}1{}3{C C C X P X P X P X P ++⋅==+=+==≤ =0.0768+0.2304+0.1728=0.48(4)98976.04.01}0{1}1{5=-==-=≥X P X P4.设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。

概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社

概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社第一章（本章计算概率的习题除3~6以外，其余均需写出事件假设及概率公式，不能只有算式） 1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1）同时抛三颗色子，记录三颗色子的点数之和；（2）将一枚硬币抛三次，(i)观察各次正反面出现的结果；(ii)观察正面总共出现的次数；（3）对一目标进行射击，直到命中5次为止，记录射击次数；（4）将一单位长的线段分成3段，观察各段的长度；（5）袋中装有4个白球和5个红球，不放回地依次从袋中每次取一球，直到首次取到红球为止，记录取球情况。

解：(1)Ω={3, 4,..., 18}(2) (i ) Ω={TTT , TTH , THT , THH , HTT , HTH , HHT , HHH }, (ii ) Ω={0, 1, 2, 3} (3) Ω={5, 6,..... }(4) Ω={(x , y , z )x +y+z =1, x , y , z >0, x , y , z ∈R } (5) Ω=｛红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝2. 设A ，B ，C 为随机试验的三个随机事件，试将下列各事件用A ，B ，C 表示出来。

（1）仅仅A 发生；（2）三个事件都发生；（3）A 与B 均发生，C 不发生；（4）至少有一个事件发生；（5）至少有两个事件发生；（6）恰有一个事件发生；（7）恰有两个事件发生；（8）没有一个事件发生；（9）不多于两个事件发生。

解：3. 辆公共汽车出发前载有5名乘客，每位乘客独立在7个站中的任意一站离开，求下列事件的概率：（1）第7站恰有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去。

解：4. 一公司有16名员工，若每个员工随机地在一个月的22天工作日中挑选一天值班，问：不会出现有两个及以上的员工挑选同一天值班的概率是多少？16C22?16!22165. 一元件盒中有50个元件，其中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率；（3）没有次品的概率。

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第一章随机事件与概率一、单项选择题1•掷一枚骰子，设A=｛出现奇数点｝, B=｛出现1或3点｝，贝U下列选项正确的是().A. AB=｛出现奇数点｝B. AB =｛出现5点｝C.B =｛出现5点｝D. AU B2.设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是().(A B) B A. (A B) B A B A AB(A B) B A B . AB AB A3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A=｛第i次正面向上｝(i =1,2)，则“至少有一次正面向上”可表示为().A I A2U A1A2 A A2 A1A2 U A2某人向一目标射击3次，设A表示“第i次射击命中目标”(i =1，2，3)，则3次都没有命中目标表示为().A A2 A3 A A2 A3 AA2A3 AA2A3设A与B为互为对立事件，且P(A) O,P(B) 0，则下列各式中错误的是().P(A|B) 0 P(B| A) 0 P(AB) 0 P(AU B) 1 设事件A与B相互独立，P[A)=, P( B)=,贝UP(A|B)=().A. 0.2B.0.4C. 已知事件A与B互不相容，P(A)>0, P( B)>0,则().P(AU B) 1 . P(AB) P(A)P(B)P(AB) 0. P(AB) 08.设P(A)=0, B为任一事件,则().A A B与B相互独立与B互不相容9.已知P(A)=, P(B)=,且 A B,则P(A| B)=()..0.4 C. 设A与B为两事件,则AB =().AB AUB AI B AI B 设事件 A B,P(A)=, P( B)=,则P(AUB)().A. 0.3B.0.2C. 设事件A与B互不相容，P(A)=, P(B)=,则P(A|B)=().A. 0.08B.0.4C.设A B 为随机事件，P( B)>0, P(A| B)=1,则必有().P(AUB) P(A) . A B(A)=P(B)( AB»=P(A)中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为().C. 某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4 4人中恰好2男 2女的概率为().616.某种动物活20年的概率为，活25年的概率为，现有一只该种动物已经活了 20年，它能活到25年的概率是().A. 0.48B.0.75C.将两封信随机地投到4个邮筒内，贝U 前两个邮筒内各有一封信的概率为().0.25 C一批产品的合格品率为96%而合格品中有75%!优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为().0.75 C 设有10个产品，其中7个正品, 个都是正品的概率为().4— 4-设有10个产品，其中8个正品,10 10 C 10 10个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为().0.42 0.63 C ；0.420.63 C ；0.430.62随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为().C 61(5)51 C 61(5)5C 6-(1)51 (-)6把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现6 6 6 6 6 6 62个空盒的概率为().1 1- 1从123,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的49 2 3 3 个数字完全不同的概率为().14.从 1,2,3,4,5A. 0.4B.0.2人参加社会活动，则3 3.0.4C..3个次品，现从中任取4个产品，则这42个次品，现从中抽取3次，每次任取1().旦 C3 £ C 310 G 3)103103某人打靶的命中率为, 现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为未中第二次命中的概率为().2.(1- p) C.(1- p)二、填空题1. 一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为.2. 甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为3. 设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为.4. 从数字1, 2,…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为.5. 甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是，，，则目标被击中的概率为.6. 甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为 .7. 设事件 A 与B 互不相容，P(A)=, P(B)=,则 P(AUB)=. 8. 设事件A 与 B 相互独立，且P(A+B)=, P(A)=,则P(B)=. 9. 设 P(A) 0.3,P(B| A) 0.6，则P(AB=.1 110. 设 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) -,P(BC) 0，则 P(A+B+C=4 611. 已知 P(A)=, P(AB)=,则 P(AB)=.12. 某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为，则4次射击中恰好命中3次的概率为. 13. 已知 P(A)=, P(B)=, P( B|A)=,则P(A|B)=.11114. 设 P(A) P(B| A) P(A| B) 一，则 P(AU B)=.4 3 215. 一批产品的废品率为4%而正品中的一等品率为60%从这批产品中任取一件是一等品的概率5 4! A , 4! 18 6! A 4 6"某人每次射击命中目标的概率为 p(Ovpvl)，他向目标连续射击，则第一次为.16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为，则飞机至少被击中一炮的概率为三、计算题1.设P(A)=, P(B)=, P(B| A) 0.3,求P(AB 以及P(A| B).2.已知 A B,P(A) 0.2,P(B) 0.3,求：(1) P(A), P(B) ; (2) P(A^ ; (3) P(AB) ; (4)P(AUB) ；(5) P(BA).3.若事件A与B互不相容，P(A)=, P(A+B=,求：(1) P(AB) ；(2) P(A|B) ；(3) P(AB).4.已知事件A与B相互独立，且P(A)=, P(A+B=,求⑴ P(B) ；(2) P(AB) ；(3) P(A|B).四、应用题1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.4.从0，1, 2, 3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.5.一批零件共100个，次品率为10%每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：(1)第三次才取得合格品；(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3) 第二次取到红球的概率.7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25% 35% 40% 而各台设备的废品率分别是，，，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍(1)求任取一个零件是合格品的概率；(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.9.已知5%勺男人和％的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：(1)此人恰是色盲的概率是多少？(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回) ，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：(1)甲乙都抽到难签；(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；(3)甲乙丙都抽到难签；(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为，和.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为；若有两人击中，飞机被击落的概率为；若三人都击中，则飞机必被击落. 求飞机被击落的概率.12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为，第二台为，第三台为，且三台机床是否需要看管彼此独立. 求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是，，，求此密码被破译的概率.17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，各在两批中随机取一粒，求：(1)两粒种子都能发芽的概率；(2)至多有一粒种子能发芽的概率；(3)至少有一粒种子能发芽的概率.18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求：(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p1；(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p2；(3) 取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.19. 一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为80 ,求射手射击一次命中81目标的概率.20. 一射手对一目标独立地射击，每次射击命中率为p,求射击到第4次时恰好两次命中的概率•五、证明题1. 设0<P(B)v1，证明事件A 与B 相互独立的充分必要条件是 P(A|B) P(A| B).2. 证明条件概率的下列性质：(1)若P(B)>0，则 0 P(A|B) 1,P( | B) 1,P( |B) 0 ；则 P(AUB|C) P(A|C) P(B |C)；(3) P(A| B) 1 P(A| B).第二章随机变量及其概率分布11下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是4 210 x 100 xx 100 0,⑵若A 与 B 互不相容，p(C) 、单项选择题1.设随机变量X 的分布律为则 P{X<1}=()..0.2C.设随机变量X 的概率分布为则 a=().A. 0.2B.0.3C.设随机变量X 的概率密度为f (x) x 2' 0, x 1,则常数c=().x 1122设随机变量X的概率密度为f(x)3小ax , 0 x 0, 其它1则常数a=().100 7 0, ().h 0 x 2冷2x 30,其它0,其它6. 设函数f(x)在区间［a,b ］上等于sin x ,而在此区间外等于0;若f(x)可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间［a,b ］为().[0, —][0, ] [ -,0] [0,—]下列函数中，可以作为某随机变量 X 的分布函数的是().2 2 20, x 00.3, 0 x 1 F(x) . F(x)0.2, 1 x 2 1,x 2A. F (x) 一定连续B. F (x) 一定右连续C. F(x)是不增的D. F(x) 一定左连续 9. 设F(x) P(X x)是随机变量X 的分布函数,1 1 22已知随机变量X 的分布律为宀 2x, 0 x 1 MtI 度f(x) 0,其它'则P{2a(-)k ,(k 1,2,3...)，贝U 常数 a=(). A. F (x)是定义在( )上的函数B. lim F (x) xlim F(x) 1xP(a X b) F(b) F(a).对一切实数x ,都有 0<F(x)<1 10.设随机变量的概率分布为P(Xk)0.5x, 0.8, 0 1, x 0, x 00.1, 0x5 F(x). F(x)0.6, 5x6 1, x 60, sin x, 1,8.设F(x)是随机变量X 的分布函数, 则()•则下列结论错误的是().F(x)是X 的分布函数，贝U F=().A. 0.7B.0.8C.随机变量X 的概率密().1113 4 3 2 4已知随机变量X 的分布律为若随机变量Y=X\则P{Y=1}=().A. 0.0016B.0.0272C. 设随机变量 X~N(1 , 4) , Y=2X+1, Y~().(1,4)(0,1)(3,16)(3,9) (x)是N(0,1)的分布函数，贝U P(a X b)=().[0,5][2,17][2,15][0,17]20. 某种商品进行有奖销售，每购买一件有的中奖率.现某人购买了 20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，贝U X 的分布为().A. 正态分布B.指数分布C.泊松分布D.二项分布21. 设X 服从参数 2的泊松分布，F(x)是X 的分布函数，贝U 下列正确的选项是(). F(1) e 2. F(0)(X=0)=P(X=1)D. P(X 1) 2e922. 设X 服从参数的泊松分布，且P(X 1) 2 P(X 3)，贝U =(). .2C.二、填空题1.若 P(X x 2) 1 , P(X x 1) 1 ,其中 X 1VX 2,则 P(x 1 X x 2)=.A. 0.1B.0.3C.设随机变量X~B(4,,则P{X>3}=().16.设X ~ N( , 2), (b) (a). (b)(a)J) (a-).17.设 X~N(-1 , 4),(x)是 N[0,1)的分布函数，贝U P(-2< X<0)=().12(2) 则(0)().1 (0)2) (2)1(2)(0)设X~N(0，1)， (x)是X 的概率密度函数,2.0.5 C.19. 设X 服从均匀分布U[0, 5]，Y=3X+2,则丫服从().3. 若X 是连续型随机变量,则4. 设随机变量X 的分布函数为F(x),已知F(2)=, F(-3)=,则P( 3 X 2)=.8. 设随机变量X 的分布律为10. 设随机变量X 服从参数为6的泊松分布,写出其概率分布律. 11. 若随机变量X~B(4,,则P(X 1)=. 12. 若随机变量X~U(0,5),且Y=2X,则当0 y 13. 设随机变量 X~N(0,4)，则 P(X 0)=. 114. 设随机变量X~U(-1,1)，则P(| X |丄)=.216. 设随机变量X~N(-1,4)，则丫 —〜.2 17. 设随机变量X 的分布律为P(X k)莘，k3k设随机变量X 的概率分布为记丫二％,则 P(Y=4)=.P(X=1)=.5.设随机变量X 的分布函数为F(x)e^dt,则其密度函数为.0,6.设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)sin x, 0 x ,其密度函数为f (x),则2 1,f(6)=7.设随机变量X 的分布函数为F(x)1 e 0,,则当x>0时,X 的概率密度f(x)=. 0则 P(0 X 1)=.9.设随机变量X~h(3,4),则 P(4 X 5).(其中(1) 0.8413,(0.5) 0.6915)10时,丫的概率密度f Y (y)=.15.设随机变量X 在［2,4］上服从均匀分布，则 P(2 X 3)=.0,1,2,...，贝U a=.kx 10x218. 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x)，0，则k=.0, 其匕19. 若随机变量 X~N(1,16) , Y=2X-1，则 Y~. 20. 若随机变量 X~U(1,6) , Y=3X+2,则 Y~.三、计算题0, x 01. 设连续型随机变量X 的分布函数为F(x) x 2, 0 x 1，求X 的概率密度函数.1, x 12. 设X 服从参数卩=的0-1分布，求X 的分布函数及P(Xv.3. 设随机变量X~U( a, b)，求X 的密度函数与分布函数.4. 设随机变量 X~N(3,4)，求：(1) P(2<X<3) ； (2) P(-4< X<10)；⑶ P(| X|>2)；⑷ P(X>3).5. 已知随机变量X 的密度函数为f(x) 衣‘ 0, ⑶ P( 1 X 0.5).10. 设X~U ［0 , 4］，Y=3X+1，求丫的概率密度.11. 已知随机变量X~N ［1，4)，Y=2X+3，求丫的概率密度. 12. 已知X 服从参数 1的指数分布，Y=2X-1，求丫的概率密度.四、应用题8.设随机变量X 在［0，5］上服从均匀分布，求方率分布；(3)X 2的分布律.求4x 20 x 其它 11求：(1)常数k ；⑵分布函数;6.设随机变量X 的概率密度为 f(x)x,1 2 0,其它求X 的分布函数.x,7.设随机变量X~f(x)2 0,x, x 其它求: (1) P(X 11 3刁；⑵兀X 2).4Xx X 20有实根的概率.1.一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求：(1)随机变量X的分布律；⑵随机变量X的分布函数.2.袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X 的概率分布及分布函数•3.袋中有标号为1, 2, 2, 3, 3, 3的六个球，从中任取两个球，X表示取出的两个球的最大号码，求X的概率分布.4.设一批产品共1000个,其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X的概率分布•(1)不放回抽样；⑵有放回抽样•5.抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为1,连续抛掷10次，以X表示正3面出现的次数，求X的分布律.6•有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为•在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率.7.以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有4次呼唤的概率；(2)每分钟的呼唤次数至少有4次的概率.8.袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布.9.已知某类电子元件的寿命X (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为1 -X—e 1000 , x 0f (x) 1000 ,0, x 0一台仪器装有3个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设 3 个电子元件损坏与否相互独立.试求：(1)一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率P1；⑵一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率P2.10.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在以下来设计的.设男子身高X服从170 (厘米)， 6 (厘米)的正态分布，即X ~ N(170,62).问车门高度应如何确定？五、综合题1.设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求：(1)抽样次数X的概率分布；⑵X的分布函数F(x)；(3)P(X 2), P(1 X 3).2.司机通过某高速路收费站等候的时间X(单位：分钟)服从参数3的指数分布.5(1)求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p；(2)若该司机一个月要经过此收费站两次，用丫表示等候时间超过10分钟的次数，写出丫的分布律，并求P(Y 1).3.甲乙丙三人独立地等1, 2, 3路公共汽车，他们等车的时间(单位：分钟)都服从［0，5］上的均匀分布，求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率.4.设测量距离时产生的随机误差X~N(0，104)(单位：米)，现作三次独立测量，记丫为三次测量中误差绝对值大于的次数，已知(1.96) 0.975.(1)求每次测量中误差绝对值大于的概率p；(2)问丫服从何种分布，并写出其分布律；(3)求三次测量中至少有一次误差绝对值大于的概率.5.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位：分钟)服从参数-的指数分布.10某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示他未等到服务而离开窗口的次数.(1)写出丫的分布律；(2)求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率.6.设连续型随机变量X的分布函数为：0, x 03 系数A；4 X的概率密度；⑶ P(0.3 X 0.7)；⑷丫=X2的概率密度.F(x) Ax2, 0 x 1，求:1, x 17. 连续型随机变量X 的分布函数为F(x) A Barctanx,( (1)常数A , B ； (2) P( 1 X 1); (3) X 的概率密度.8. 设X 是连续型随机变量，其概率密度为：Ax 2,0 x 2 f(x) 其它 0, 其匕求：⑴系数A 及分布函数F(x)；⑵ P(1 X 2); (3) Y=2X 的概率密度. 9. 设X 的分布律为：求：(1)Y=(X1)2的分布律；⑵丫的分布函数；(3) P( 1 Y 2).第三章多维随机变量及其概率分布一、单项选择题1. 设二维随机变量(X Y)的分布律为:亶1618设二维随机变量(X, Y)的分布律为:X-1123PC. 设随机变量X 与丫相互独立，且)，求:P(X+YC 1)=().A.0.4B.0.3C. 设二 (X,Y)的分布函数为F(x, y)，贝U ().F Y (y)设随机变量X 与丫相互独立，且X~N(3,4), 丫~叫2,9),则Z=3X-Y~().(7,12)(7,27)(7,45)(11,45)N( 1, ；)N( 1, I) N( 2, 12) N( 2, l)二维随机变量(X,Y)只取如下数组中的值 (0,0),(-1,1),(-1, -),(2,0)，且相应的概率依次为 —,-,丄,§，则c 的值为().3 2c c 4c 4c.3 C 设随机变量(X, 丫的联合概率密度为f (x, y)，则P(X 1)=().1dx f (x, y)dy. f (x, y)dx1dy f(x,y)dx. 1 dx f (x, y)dy(2 x y)0 09.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) ce ,\J J,y 0，则常数c 为 0, 其匕10. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，其边缘分布函数为F x (x)、F Y (V )，且对某一组禺，力有F(X 1,yJ F X (X 1)F Y (%)，则下列结论正确的是().和丫相互独立和丫不独立和丫可能独立，也可能不独立和丫在点(X 1,yj 处独立11. 设二维随机变量(X,Y)〜N( 1, 2, 12, 2,)，且X 与丫相互独立，则().120 12, 12 12 2设随机变量X 与丫相互独立，且X ~ N( 1, 12),Y~N( 2,；)，则下列结论正确的是().2 2 2X Y~N( 12,( 12) ) . X Y~ N( 12, 12)维随机变量F(x,)F x (x)6.设二维随机变量(X,Y)~ N( 1, 2)，则 Y~().()..0.C.、填空题度 f (x, y).4. 设随机变量X 与丫相互独立，其概率密度分别为:则二维随机变量（XY ）的联合概率密度为.关于丫的边缘概率密度f Y （y ）=.1 1 f (x,y )，则 f(；,；)=. 8.设二维随机变量（XY ）的概率密度为f （x,y ） 1, V:宀2,0 y 0, 其匕VP{x1}.X Y ~ N( 122,1；)• (X,Y)〜N( i22,1I)6.设二维随机变量（XY ）的概率密度为 f(x,y) e ( 0,y), x 0,y 其它，则当y 0时,（x, 丫 i.设二维连续随机变量 (X, 丫在区域 G={( x, y) | x2y 2 4｝上服从均匀分布，则其概率密 f x (X)xe , x0, x 0 ，f Y (y)2e 0,2y, y 0 y 05.设二维随机变量（XY ）的概率密度为 f(x,y)1, 0,x 1,0 其它y 1，则7.当0 x 1,0 y 1时，随机变量（X.Y ）的分布函数2F(x,y) x y，其概率密度为1，则2.设二维随机变量（XY ）的分布律为:则P{X=Y}=.，且其分布律密度 f x （X ）=.10. 设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为:则（X,Y ）关于X 的边缘概率密度为.三、计算题求边缘分布律；⑵ 试问X 与丫是否相互独7. 设二维随机变量(XY) f (x, y) 4Xy ， ° I 1,0 y 1，求边缘概率密度.9.设二维随机变量（XY ）的概率密度为f （x,y ）±e>2y 1 2），则（X,Y ）关于X 的边缘概率 f(x,y) 3(X y), 00,x 2,0其它C ；关于X ，丫的边缘分布•离散型随机变量（X,Y ）的联合分X ，丫的边缘分布.散型随机变量（XY ）的等可能值求:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).于X, Y 的边缘概率分布. 机变量(X,Y)只能取下列数组中1 …(0,0),( 1,1),( 1-),(2,0)，且取31115 次为—，-，， • 6 3 12 121立？为什么？的概率密度为1.已知二维离散型随机变量（X, Y ）的联合分布为:这些值的概率依6.设二维随机变量（XY ）0, 其匕1 2 2 R 2 R 2' X y，求边缘概率密度.0, 其它9. 已知二维随机变量(X.Y)的概率密度为:ax 22xy 2,0 x 1,0 y 1 0, 其它求：⑴常数a ；(2)(人Y)关于X , 丫的边缘概率密度.10. 设二维随机变量(X, Y)的分布律为:求：⑴Z 1 X Y 的分布律;(2) Z 2 XY 的分布律.四、综合题1. 箱子里装有12件产品, 箱子里任取一件产品，共取两下：8.设二维随机变量(XY)的概率密度为f(x,y)f(x, y)其中2件是次品，每次从次,定义随机变量X(1) ( X, Y)的联合概率密度；(2) ( X, Y)关于X , 丫的边缘概率密度，并问随机变量X 与丫是否独立? (3) ( X, 丫的分布函数.4. 已知二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为:求：(1)随机变量(X, Y)的概率密度;⑵ P(Y X).第四章随机变量的数字特征一、单项选择题随机变量X 的概率分布律为则期望EX=().A. 1.2B.1.3C. 随机变量 X为则方差DX=().B. 2.5C. 设随机变量X 服从kxy 2,0 x f(x,y)0, 1,0 y 1 其它求：(1)常数k ；(2)( X, Y)关于X ，丫的边缘概率密度⑶X 与丫是否相互独立？为什么? (4) P(X Y 1).5.设二维随机变量(XY)的概率密度为:f(x,y)ke 0(3x 4y),x 0, y 0 其它，求：(1)常数k ；(2) P(0 X 1,0 Y 2)； (3) ( X,Y 的分布函数;(4) 随机变量X 与丫是否相互独立?6.设X 与丫相互独立，x 服从均匀分布qo, f Y (y)丄］，丫的概率密度为:55y,y5e0,的概率分布律参数为2的指数分布,则下列各项中正确的是()•=,D)=设随机变量X 与丫相互独立，X K 从参数为2的指数分布，Y~B(6,,则E(X-Y)=(). 0.5 C 设随机变量X 与丫相互独立，X~B(16,，丫服从参数为9的泊松分布，则D(X-2Y+3)=()..-11丄2丄11,丄已知随机变量刈服从均匀分布1［1,5］，则下列各项中正确的是().3 18 3 6 3 6 2 184 4 =2, DX=4=3, DX=Z3 3 1 1=3, DX=」=2, DX=」3 38. 设X 为随机变量，EX=2，DX=5,则 E(X+2)2=(). .9 C已知随机变量刈服从参数为的泊松分布，且P(X 1) P(X 2)，则X的期望EX=()..1 C 设x 服从［0,1］上的均匀分布，贝U D(2X)=().丄 1 1 1设随机变量X 与丫相互独立，X~N(2,4 2), Y~N3,3 2),则E(X+Y), D(X-Y)的值分别 12 34 6为().，，25C.5，， 712. 设二维随机变量(X,Y)~ N( 1, 2, 12, f ,)，若 0,则().与丫一定独立与丫一定不独立与丫不一定独立与丫仅不相关，但不独立13. 设X 与丫为两个随机变量，且 X,Y 0，则().与丫一定独立与丫不相关与丫独立且不相关与丫仅不相关，但不独立14设随机变量 X~N2,4),则Q2X+5)=(). 1 2x 0.8 C设随机变量X 的分布函数F(x) 1 e ,X 0，则EX 与DX 为().0, x 0，4， 0.5 C. ，， 2C.6. 已知随机变量X 的概率密度f(x) O x,0其;1，则B 与DX分别为().16.已知DX=1, Dy25, X,Y 0.4，则D(X-Y)=()..22 C 已知 DX=4, DY=9, X,Y 0.5，则 D(2 X-3Y)=()..61 C 设随机变量 X 与丫的协方差 Cov(X,Y)-，且DX=4, DY=9,贝U XY =().61 11- 1丄若随机变量X 与丫满足E(XY) EX EY ，则下列结论不正确的是().216 36 6与丫不相关与丫相互独立D(X Y) DX DY .相关系数 XY =O20.已知二维离散型随机变量(X, Y)的分布律为:则E(X+Y)与E(XY 分别是().A.2.1 , , 0.8 C.二、填空题1.设随机变量X 的期望叭=.1230 12.设随机变量X 与丫相互独立，且X ~ N(12),Y~ N( 2,；),则E(X+Y)=2, ,D(X+Y)=.3. 设随机变量X 与丫相互独立,且X~N(1,4), Y~B(10,，则 E(2X-3Y)=,D(2X-3Y)=.4.随机变量X 服从0-1分布,且EX=,则P(X=0)=.5. 设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则D(2X+1)=.6. 设随机变量X 的分布律为则 E(W)=.7.已知二维离散型随机变量则 E(XY=.相关系数X03PX-11P011 2的分布律为:Y02PY~N(0,1), Cov(X,Y) 0.5 ,则D(X+Y)=.EX=2,方差 DX=4,则则 E (XY =.10.设(X,Y)8.设随机变量X 与Y 相互,且 DX>0,DY>0 ,则X 与Y 的9.设随机变量X 与Y 相互,其分布律分别为:D(X-Y)=.随机变量X~N(0,1),11. 设DX=9, DY=25,相关系数 XY 0.5，则 D(X-Y)=.12. 设随机变量X 与丫相互独立，且EX=EY=0, E(X 2)=E(Y 2)=1，则E(X+Y)2=,D(X+Y)=.13. 已知二维随机变量(X,Y) ~ N(1,1,4,9—)，则 Cov(X,Y)=.2设随机变量X 的分布律为令 Y=2X+1，则 EY=.15. 设随机变量X 11X 21..., X n 独立1n,若Y 丄 X i ，则EY=n i 1三、计算题设随机变量X 的分布律为求：(1) EX (2) E(X 2) ； (3) E(3X 3+5).设随机变量X 的分布律为求：期望EX 与方差DX3. 设随机变量X 的概率密度为 f(x) 6X(1 X)，°甘X 1，求：期望EX 与方差DX0, 其匕0,|x| 1x, 0 x 12 x, 1 x 2，求：期望EX 与方差DX 0, 其它—0 x 44，求：⑴ E(X 2Y),E(XY);⑵ D(X 2Y 3).0,其它7. 已知二维随机变量(X, Y)的概率分布为4.设随机变量X 的概率密度为f(x)1\1 x 2|x| 1，求:期望EX 与方差DX6.设随机变量X 与丫相互独立，且X 服从参数2的泊松分布，丫的概率密度为同分布，且均值5.设随机变量X 的概率密度为f (x)f(x)Cov(X,Y).四、应用题1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种标准件，生产1000只所出的次品数分别用X 、Y 来表示，经过一段时间的考察，X 、丫的分布律分别为:的圆盘直径服从均匀分布U ［a ，b ］，求圆盘面积的期望.3.有甲、乙两种牌号的手表，它们日走时的误差(单位：秒)分别记作 X 、丫，且日走时误差所服从的分布律如下: 每年对某厂生产的29寸彩色电视机的需求量是随机变量X(单位：万台)，它均匀分布于［10，20］.每出售一万台电视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付库存费10万元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的平均收益最大？五、综合题1. 设随机变量X 的概率密度在［0，1］之外为0,在［0，1］上的密度与X 2成正比.求：(1)X的分布函数；⑵ 期望EX 和方差DX2.设X 服从参数为的泊松分布，已知P(X 2) P(X 3)，且 P(X 4) aP(X 0)，求：⑴ 常数a ； (2) E[(2 X 1)(2X 1)].3. 设随机变量X 与丫相互独立，它们的概率密度分别为:求：(1)E(X+Y)，E(XY ；012312求：协方差Cov(X,Y)与相关系8.设(X,Y)在圆域G {( x,y) | x 2 y 2 R 2}内服数从均匀分布，求2.X0123P台机床加工质量好？某车间生产X-101P市场上f x (X)2e 2x, x 0, x0，fY(y) 4e 4y, y 0 0, y 0问哪一的产品问哪种表质量4.牌更号的手好(2) D(X+Y , D(2 X-3Y).4.设X~N5,5) , Y在［0,］上服从均匀分布，相关系数XY 0.5，求：E(X 2Y)和D(X 2Y).5.设随机变量X11X21..., X n相互独立，且服从同一分布，期望为，方差为2，令—1 nX — X i，求：EX,DX .n i i6.设二维随机变量(XY)的分布律为:求：(1)边缘概率密度;(2) EX EY；⑶ Cov(X,Y).8.设随机变量X~ f (x) x 「,0 x 22 ，试求:0,其它(1) EX DX (2) D(2-3X)；⑶ P(0 X 1).9.设连续型随机变量X的分布函数为：0, x 0F(x)-, 0x8，81, x 8 求：(1) X勺概率密度f(x)；(2)EX DXDX(3)P{| X EX| D X}.2 ?10.设随机变量X~ f (x) ax K X 1，且EX0,其匕Y X 1 X 2.求：⑴DX DY ⑵X 与丫的相关系数X ,Y .12.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为:求：(1)边缘分布密度;(2) E(X+Y)，E(XY)，Cov(X,Y)； ⑶ P(X Y 1).第五章大数定律及中心极限定理、单项选择题1. 设随机变量X 的方差DX=2,则利用切比雪夫不等式估计P(|X EX | 8)的值为(). X 的期望EX 与方差DX 都存在，则对任意正数，有().右，求: (1)常数a，b；⑵DX11.设随机变量X i 与X 2相互独立，且X i ~N(2),X 2 ~ N( , 2).令 X X 1 X2, 0 f(x,y) o,x 1,0 y x其它31 丄丄里设32 32 32 32P(|X EX DX1 )2 P(|X EX 1 ) 1 jDX)~23.设随机变量 Z n ~B(n, p) , n=1,2,…, 其中 0<p<1，则 lim P{x}n Wp(1 p) ().t?"dt.t 2Tdt1T et 2?dt.1 T et 2?dt.P(| X EX | 厂 P(| X EX4.设随机变量%,人，…，X i0o 独立同分布,EX i O ，DX j 1,i 1,2,...,100，则由中心极限定100理得P{ X i 10}近似于().i 1(1) (10) (100)设％为n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，P 是事件A 在每次试验中X 发生的概率，则对于任意的 0, lim p{|仝p| }().nn.1C.D. p6. 设随机变量X 1,X 2,…，X n ,…相互独立，且X 都服从参数为丄的指数分布，则当n 充分大时，21n随机变量乙 6X i 的概率分布近似服从(). n i 14 1 1N(2,4) N(2,—) N(—, ) N(2n,4n)二、填空题n 2 4n1. 设EX=-1，DX=4,则由切比雪夫不等式估计P{-4< X<2}>.2. 已知随机变量X 的期望EX=100,方差DX=10,估计X 落在(80,120)内的概率.3. 设随机变量X,%，…，X,…相互独立且同分布，它们的期望为，方差为2，令1n 乙丄 X i ，则对于任意的 n i 14. 设％,人，…，X n ,…是独立同分布的随机变量序列，且有EX inX i nDX i 2 0(i 1,2,...)，则对于任意实数 x ，］im P{ ' 1— x}.5. 设X 1,X 2,…，X n ,…是独立同分布的随机变量序列，且 X 都服从参数为的0-1分布，记100Z X i ，则 P{Z 30}.i 16. 在n 重独立重复试验中，设P(A)=P ，X 为A 发生的次数，则当n 充分大时，X 近似服从.三、计算题1. 已知随机变量X 服从均匀分布1［0，1］，估计下列概率：6 P{| X 0.5 |0，lim P{| Z n| }n50Z X i ，试用中心极限定理计算P(Z 3).i 13. 设P(A)=，现在进行1000次独立重复试验，(1)估计事件A 发生的次数在300~500之间的概率；⑵ 求事件A 发生的次数在300~500之间的概率.4. 设P(A)=，利用中心极限定理求在100次重复独立试验中A 至少发生60次的概率.5. 设X~l[-1，1], Y~N0,丄)，且X 与Y 相互独立，估计概率 P(-1<X+Y<1).4四、应用题1. 设某商店每天接待100人，设每位顾客的消费额(元)服从[0，60]上的均匀分布，且顾客的消费是相互独立的.求商店的日销售额超过3500元的概率.2. 保险事业是较早应用概率论的部门之一，他们为了估计企业利润，需要计算各种各样的概率.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为，现在 10000个这类人参加人寿保险，试求未来一年中这些保险者里死亡人数不超过 70的概率.3. 设元件的正品率为，若要以的概率保证箱内正品数大于1000只，问箱内至少要装多少只元件？4. 某车间有100台车床，设每台车床的工作是独立的，且每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%求：(1)任一时刻有70至86台车床工作的概率； ⑵任一时刻至少有80台车床工作的概率.4. 解：设在某一时刻工作着的车床数为 X ，由题意知：X ~ B(100,0.8)，则EX=80, DX=16.由棣莫夫一一拉普拉斯中心极限定理得： X 近似服从N(80,16). 则(1)任一时刻有70至86台车床工作的概率为：(1.5) ( 2.5)(1.5) (2.5) 1 0.927 ；(2)任一时刻至少有80台车床工作的概率为：(5)(0) 1 0.5 0.5.1⑵ P { 2 x|.2.设 X(i =1,2,...,50) 是相互独立的随机变量，且都服从泊松分布P,令。