原始高斯消元法的改进以及在工程上的应用
高斯消元法在实际生活中的应用
高斯消元法在实际生活中的应用
高斯消元法是一种常用的线性代数解法，它在实际生活中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨高斯消元法在实际生活中的应用。
高斯消元法是一种用于解决线性方程组的方法。
它通过将方程组转化为一个上三角矩阵，从而使得求解变得更加容易。
这种方法在实际生活中有着广泛的应用，例如在工程、物理、经济学等领域。
在工程领域，高斯消元法被广泛应用于电路分析。
电路分析中经常需要解决大量的线性方程组，例如计算电路中的电流和电压。
高斯消元法可以帮助工程师快速解决这些问题，从而提高电路设计的效率和准确性。
在物理学中，高斯消元法被用于求解复杂的物理问题。
例如，在计算机模拟中，高斯消元法可以用于求解电磁场、热传导等问题。
这些问题通常涉及到大量的线性方程组，高斯消元法可以帮助物理学家快速解决这些问题，从而提高计算机模拟的准确性和效率。
在经济学中，高斯消元法被用于求解复杂的经济模型。
例如，在计算经济增长模型时，经济学家需要解决大量的线性方程组。
高斯消元法可以帮助经济学家快速解决这些问题，从而提高经济模型的准确性和效率。
高斯消元法在实际生活中有着广泛的应用。
它可以帮助工程师、物理学家、经济学家等快速解决复杂的线性方程组问题，从而提高工
作效率和准确性。
高斯消元法的应用案例
高斯消元法的应用案例高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它通过对矩阵进行一系列初等行变换，使得矩阵化为一个上三角矩阵，从而将线性方程组的解求得。
在实际应用中，高斯消元法有着广泛的应用，本文将介绍高斯消元法在工程、金融和计算机科学领域的应用案例。
一、工程领域应用在工程领域，高斯消元法被广泛应用于求解线性方程组，特别是在电路分析、结构力学和热传导等领域。
下面以电路分析为例，介绍高斯消元法的应用。
在电路分析中，往往需要求解一些复杂电路的电压、电流等参数。
这些参数往往可以使用线性方程组来表示。
例如，在一个简单的电路中，有三个元件，分别为电阻 $R1$，$R2$ 和 $R3$，电压分别为 $V1$，$V2$ 和 $V3$。
则根据欧姆定律可得：$$\begin{aligned}I_1 &= \frac{V_1-V_2}{R_1} \\I_2 &= \frac{V_2-V_3}{R_2} \\I_3 &= \frac{V_3}{R_3} \\I_1 &= I_2 + I_3 \\\end{aligned}$$将上述方程转化为矩阵形式，则可得：$$\begin{pmatrix}\frac{1}{R_1} & -\frac{1}{R_1} & 0 \\ 0 & \frac{1}{R_2} & -\frac{1}{R_2} \\0 & 0 & \frac{1}{R_3} \\1 & -1 & -1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_1 \\V_2 \\V_3 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\0 \\I \\\end{pmatrix}$$其中 $I$ 为电路中的电流。
该式子可以使用高斯消元法进行求解。
二、金融领域应用在金融领域，高斯消元法同样有着广泛的应用。
高斯消元法在线性方程组解法中的应用与优劣分析
高斯消元法在线性方程组解法中的应用与优劣分析高斯消元法是一种使用矩阵运算来解决线性方程组的数值方法。
它通过将线性方程组的系数矩阵通过一系列的基本行变换转化为上三角矩阵，从而简化求解过程。
在这篇文章中，我们将讨论高斯消元法在线性方程组解法中的应用以及其优劣分析。
首先，让我们来介绍一下高斯消元法的基本思想和步骤。
给定一个线性方程组，我们可以将其表示为矩阵形式Ax = b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b分别为n 维列向量。
高斯消元法通过一系列基本行变换将方程组的系数矩阵A转化为上三角矩阵，即将方程组表示为一个更简单的形式Ux = c。
基本行变换包括交换两行、将某一行乘以一个非零常数以及把一行乘以一个非零常数加到另一行上。
通过这种转化，我们可以使用回代法来求解方程组。
回代法从最后一行开始，依次求解每个未知数的值。
它可以通过从方程组的最后一行开始，逐行求解，得到方程组的解向量x。
高斯消元法的主要应用是求解线性方程组的解。
在实际应用中，线性方程组的求解是非常常见的数学问题。
例如，在工程、物理、经济等领域，线性方程组经常用于建模和问题求解。
高斯消元法可以将求解线性方程组的过程转化为一系列的矩阵运算，从而简化求解过程并提高计算效率。
然而，高斯消元法也存在一些局限性和局限性。
首先，高斯消元法的计算复杂度为O(n^3)，其中n是方程组中未知数的个数。
这意味着对于大规模的线性方程组，高斯消元法的计算时间会非常长。
其次，高斯消元法对于存在数值不稳定性的方程组求解会产生误差。
当系数矩阵A的某些元素非常接近于0或者A的某些行或列线性相关时，求解过程中的舍入误差可能导致结果的不准确性。
另外，高斯消元法在求解稀疏矩阵（大部分元素为0）的线性方程组时可能效率较低。
由于高斯消元法将会产生很多的零元素，这些零元素会增加存储和计算的开销。
对于稀疏矩阵，使用其他的数值方法可能更加高效。
除了以上的局限性，高斯消元法也具有一些优点。
高斯消元法在解线性方程组中的应用
高斯消元法在解线性方程组中的应用高斯消元法是一种非常实用的算法，能够对线性方程组进行求解。
因此，它在数学、物理、化学、工程学等领域都得到了广泛
的应用。
高斯消元法是将线性方程组的系数矩阵转化为所要求的矩阵，
使用一些简单的变换来达到简化方程组的目的。
具体来说，首先
可以通过交换两个方程或多个方程来使系数矩阵的主对角线上的
元素变为非零元。
然后，通过将系数矩阵的某一行乘以一个非零
常数或将某一行加上或减去另一行来使主对角线以下的元素为0。
最终，得到一个上三角矩阵，可以通过回代求解得到方程组的解。
高斯消元法的优缺点：
优点：高斯消元法计算简单，求解速度较快，可在一定范围内
获得较高的精度。
缺点：高斯消元法在某些情况下可能会产生有限或无限多的解，这可能是由于线性方程组中的约束条件不充分或矛盾导致的。
此外，随着线性方程组大小的增加，高斯消元法求解的复杂性会显
著增加。
在大型的稀疏线性方程组中，高斯消元法往往不是最好的选择。
高斯消元法的应用场景：
高斯消元法可以用于求解各种问题，如求解矩阵方程、求解线性方程组变型、线性回归、最小二乘法等。
这些问题的求解都可以转化为求解线性方程组的问题，因此高斯消元法是解决这些问题的关键算法。
总之，高斯消元法是一种重要的数学工具，在各个领域都能够得到广泛的应用。
无论是通过纸笔计算还是计算机程序实现，高斯消元法都应该是每个使用线性代数的科学家和工程师的基本工具之一。
线性代数中高斯消元法的应用
线性代数中高斯消元法的应用线性代数是数学学科中的重要分支，它研究的是向量空间及其线性变换性质。
高斯消元法是线性代数中的一种常见的解线性方程组的方法，应用广泛。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是用于解决线性方程组的方法，通过变换系数矩阵和常数向量，将其化为简化的上三角矩阵或阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
其基本思想是将未知量逐步解出，并代回到其他方程中，最终得到全体未知量的解。
具体来说，高斯消元法首先需要将系数矩阵和常数向量按照矩阵乘法法则组成增广矩阵，然后通过行变换将矩阵的首列化为1，并将其余元素化为0。
接下来，将第二行变为第一行的相反数倍加上第二行，并重复之前的操作，直到增广矩阵变为一个上三角矩阵或者阶梯形矩阵。
这时，从最后一行开始逐个解出未知量，再将其代入到其他方程中，最终得到所有未知量的解。
二、高斯消元法的应用高斯消元法在科学工程中有广泛的应用，例如在电路分析、统计学、计算机图像处理等领域都有经典的应用。
1. 电路分析在电路分析中，高斯消元法可以用来解决线性电路中的电压和电流问题。
如图所示，设电路有n个节点，使用基尔霍夫电流定律可以得到n个线性方程式，将其转化为矩阵形式后，可以使用高斯消元法求解。
2. 统计学在统计学中，高斯消元法通常用于最小二乘法的求解。
最小二乘法是用来描述数据点之间的函数关系的一种方法。
例如，假设我们有一堆数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，其中y是我们要预测的值，x是我们要输入的值。
求解最小二乘法就是要找到一个函数y=f(x)，使得所有的数据点都离这个函数最近，也就是残差平方和最小。
通过高斯消元法，可以求出最小二乘法的解析解。
3. 计算机图像处理计算机图像处理中也有很多应用可以使用高斯消元法来解决，例如，图像去除噪声问题。
在图像中，噪声的存在会严重干扰到像素的值，通过高斯消元法可以找到一组联立方程来以最小误差的方式去除噪声，并还原原始图像。
三、高斯消元法的优缺点高斯消元法是解决线性方程组最广泛的方法之一，但是它也存在一些缺点。
高斯消元法与线性方程组
高斯消元法与线性方程组引言：线性方程组是数学中最基础的问题之一，它在各个领域都有广泛的应用。
解决线性方程组的方法有很多种，其中一种常用且高效的方法是高斯消元法。
本文将介绍高斯消元法的原理和应用，并探讨其在实际问题中的一些限制和改进。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种基于矩阵运算的方法，用于求解线性方程组。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 构造增广矩阵给定一个线性方程组，我们将其系数矩阵与常数向量合并成一个增广矩阵。
例如，对于一个包含n个未知数的线性方程组，其增广矩阵的大小为n×(n+1)。
2. 主元选取从第一行开始，选择一个非零的元素作为主元素，并将其所在列的其他元素都变为0。
这样可以将主元素所在的行化为行阶梯形式。
主元素的选取可以根据一定的策略进行，常见的方法有部分主元选取和完全主元选取。
3. 行变换通过一系列的行变换操作，将每一行的主元素所在列的其他元素都变为0。
行变换操作包括交换两行、将某一行的倍数加到另一行上等。
4. 回代求解将增广矩阵化为行阶梯形式后，可以通过回代的方式求解线性方程组。
从最后一行开始，依次求解每个未知数的值。
二、高斯消元法的应用高斯消元法在科学和工程领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 电路分析在电路分析中，线性方程组常常用于描述电路中的电流和电压关系。
通过高斯消元法，可以求解电路中各个节点的电压值，从而帮助工程师进行电路设计和故障排除。
2. 机器学习在机器学习中，线性回归模型可以表示为一个线性方程组。
高斯消元法可以用于求解最优的模型参数，从而使得模型在给定数据集上的拟合效果最好。
3. 金融风险评估金融领域中，高斯消元法可以用于评估投资组合的风险。
通过建立一个包含各种金融资产的线性方程组，可以计算不同资产的权重，从而实现风险的分散和控制。
4. 图像处理在图像处理中，高斯消元法可以用于图像去噪和边缘检测。
高斯消元法及其在线性代数中的应用研究
高斯消元法及其在线性代数中的应用研究一、引言线性代数是数学中一个重要的分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
高斯消元法是线性代数中一种重要的求解线性方程组的方法。
在本文中，我们将介绍高斯消元法的基本原理、步骤以及它在线性代数中的具体应用。
二、高斯消元法的基本原理高斯消元法是通过一系列的元素行变换将线性方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵，从而求解线性方程组。
其基本原理如下：1. 首先，将线性方程组的系数矩阵与常数向量合并，构成增广矩阵。
2. 通过行变换，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵。
3. 使用回代法求解行阶梯形矩阵，得到线性方程组的解。
三、高斯消元法的步骤高斯消元法的具体步骤如下：1. 构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵与常数向量合并，形成增广矩阵。
2. 主元选取：选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，将其所在行移到当前操作的第一行。
3. 主元归一化：通过除以主元，使得主元所在行的主元为1。
4. 消元操作：对每一行进行消元操作，将主元所在列下方的元素化为0。
5. 重复步骤2、3、4，直到得到行阶梯形矩阵。
6. 使用回代法求解行阶梯形矩阵，得到线性方程组的解。
四、高斯消元法在线性代数中的应用高斯消元法在线性代数中有广泛的应用，以下介绍两个主要的应用。
1. 判断线性方程组是否有解高斯消元法可以判断线性方程组是否有解，通过对方程组进行消元操作得到行阶梯形矩阵，如果在行阶梯形矩阵的最后一行中存在非零常数项，则该线性方程组无解。
否则，若行阶梯形矩阵的行数等于未知数的个数，则该线性方程组有唯一解。
若行阶梯形矩阵的行数小于未知数的个数，则该线性方程组有无穷解。
2. 求解线性方程组高斯消元法可以用于求解线性方程组的解。
通过将线性方程组转化为行阶梯形矩阵，再使用回代法求解行阶梯形矩阵，我们可以得到线性方程组的解。
如果方程组有唯一解，则回代过程简单。
如果方程组有无穷解，则可以使用参数化表示。
五、总结高斯消元法是线性代数中求解线性方程组的一种常用方法。
线性方程组解法总结与应用
线性方程组解法总结与应用线性方程组是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学等。
解决线性方程组的问题对于理解和应用这些领域的知识至关重要。
本文将总结一些常见的线性方程组解法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而求解方程组的解。
高斯消元法的优势在于其简单直观的操作步骤，适用于各种规模的线性方程组。
在实际应用中，高斯消元法常用于解决矩阵方程组的问题。
例如，在电力系统中，通过电流和电压的关系可以建立一个矩阵方程组，通过高斯消元法可以求解出电流和电压的值，从而实现对电力系统的分析和控制。
二、矩阵的逆与克拉默法则矩阵的逆是另一种常见的线性方程组解法。
当线性方程组的系数矩阵可逆时，可以通过求解矩阵的逆来得到方程组的解。
这种方法在计算机科学和工程学中得到广泛应用，例如在图像处理中，通过求解逆矩阵可以实现图像的旋转、缩放和变换。
克拉默法则是一种基于行列式的线性方程组解法。
它通过计算方程组的行列式和各个未知数的行列式来求解方程组的解。
克拉默法则的优势在于其简单的计算步骤，适用于规模较小的线性方程组。
在经济学中，克拉默法则常用于求解供求模型和投资决策模型等问题。
三、矩阵分解方法矩阵分解方法是一种将线性方程组转化为矩阵乘法的解法。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解和奇异值分解等。
这些方法通过将系数矩阵分解为两个或多个矩阵的乘积，从而简化方程组的求解过程。
LU分解是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
它的优势在于可以将线性方程组的求解过程分解为两个步骤，从而提高计算效率。
在计算机图形学中，LU分解常用于求解图像变换和光照模型等问题。
QR分解是将系数矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
它的优势在于可以将线性方程组的求解问题转化为最小二乘问题，从而提高求解的精度。
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山东财经大学本科毕业论文题目：原始高斯消元法的改进以及在污水处理上的简单应用学院数学与数量经济学院专业数学与应用数学班级2008级1班姓名王帅学号20080544120指导老师郭洪峰日期2012 年4月山东财经大学教务处制二Ｏ年月山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：年月日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。
指导教师签名：论文作者签名：年月日年月日摘要传统的高斯消元法只能处理多元一次方程组满秩的情况,从而限制了它的应用范围。
而近年来人工智能的发展,为改进高斯消元法提供了新的思路,改进后的算法编程简单,能处理所有的多元一次方程组。
本文分析了线性方程组解的误差起源,在gauss消元过程中避开除法,消除了由于消元过程中系数相除所产生的舍入误差,用改进的gauss消去法求解线性方程组,大大提高了线性方程组解的精确值。
高斯消去法对数据没有任何要求，弥补了迭代法的一些不足。
而且在消元过程中避免了误差的产生,只要在回代中的除法能除尽,就能得到精确解。
本算法在工业污水处理预测中能起到非常好的作用，文章用该方法研究某地区工业污水各成份对环境的影响程度。
关键词：应用数学；高斯消去法；多元线性回归；改进算法；污水处理,APPLICATION OF THE IMPROVED GAUSSELIMINATION METHOD TO SEWAGE TREATMENTMODELABSTRACTthis paper researched the error origin of solving the system of linear equations, avoiding the error during the division of coefficients between each other without using the division, improving gauss elimination method, raising greatly the accurate value of solutions of a system of linear equations. there is no any requirement for gauss elimination operation that not only remedies the iteration but also prevents the error from the elimination. so long as it can be divided exactly for back substitution the accurate solution can be obtained. the method is effective for sewage treatment prediction. this paper uses the method to deal with influence of sewage treatment in some area.Keywords：gauss elimination method; multiple regression; the improved algorithm;sewage treatment一、引言在科学和工程计算中,线性方程组数值解的非常重要。
所有的算法都有误差问题。
在求解线性方程组的过程中,系数相除所产生的舍入误差累积带入了未知量的直接求解式,导致了 线性方程组解的误差。
如果在求解过程中不使用或尽可能少使用除法,或对于除法采取分数 代入(因为计算机的字长总是有限的),误差就可以完全消除或达到误差最小。
本文引进了一种 改进后的高斯消元法，此方法在不考虑计算量的情况下,将求最大公因式中的辗转相除法融入到Gauss 消去法中,在归一消元化为等价同解的上三角形方程组的过程中,将系数相除取整,避开了除法运算所产生的舍入误差,消除了消元过程中除法造成的误差累积,大大提高了线性 方程组解的精确值。
在应用多元线性回归模型进行预测时,回归系数的确定对结果来说是最为重要的。
本文 将基于线性回归模型,采用改进的Gauss 消去法来帮助研究河流受工业污水污染情况。
二、高斯消元法的改进 1. 1 传统的高斯消元法首先介绍一下高斯消元法。
1111221121122222n n n n a x a x a x b a x a x a x b m n +++=+++=⨯ 对于的多元一次方程组1122m m mn n m a x a x a x b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+++=⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2211222221211112212111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mnm m nn a a a aa a a a a A 211222111211 T n x x x x ),,,(21 =Tm b b b b ),,,(21 =则给定线性方程组的矩阵形式为Ax=b⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nmn m m n n b a a a ba a ab a a a C . 21222221111211 A 称为方程组的系数矩阵，C 称为方程组的增广矩阵。
以r (A)和r (C)分别表示系数矩阵A 与增广矩阵C 的秩,则有(1) 当m=n 且r (A) =r (C) =n 时(即方程组满秩时),方程组有唯一解。
(2) 当r (A) <r (C)时,方程组无解,这时的方程组称为矛盾方程组。
(3) 当r (A) =r (C) =r<n 时,方程组有无穷多组解。
传统的高斯消元法只能用于处理第一种情况,它的核心是消下三角矩阵法和消上三角矩阵法。
经过消元后,增广矩阵变为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡''222'111 0 0 0 0 0 0 nnn b a b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===''2222'1111 n n nn b x a b x a b x a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n nab x a b x a b x / //'22'2211'11 对于第二、第三种情况,高斯消元法则无法处理。
在第二种情况下,方程组存在矛盾,但并不是每个方程之间都存在矛盾,某些变量还可能只存在唯一解;同样,在第三种情况下,方程组有无穷多组解,并不等于每个变量都有无穷多组解,某些变量可能只存在唯一解。
而要找出在第二、第三种情况下的变量的唯一解,则必须对高斯消元法进行改进。
而第二种情况下,方程组中必然存在一个变量同时取两个以上的值,即必须在超协调的情况下进行处理;在第三种情况下,方程组中必然存在一个变量无唯一解(即有无穷解),即必须在非单调的情况下进行处理。
以下我简单介绍一下超协调和非单调的概念。
这两个概念最初是在人工智能中针对经典逻辑的单调性和协调性的概念提出的,在经典逻辑中知识是完备和不矛盾的,这时对知识的处理具有单调性和协调性,而现实生活中的知识是不完备的,并且可能存在矛盾。
于是人们把知识不完备时对知识的处理称为非单调性,而把知识存在矛盾时对知识的处理称为超协调性。
随着人工智能对非单调知识和超协调知识处理的发展,逐步形成了不同于经典逻辑的新的逻辑体系——非单调逻辑和超协调逻辑。
非单调逻辑是经典逻辑的强化,因为在非单调逻辑中,一些原来在经典逻辑中推不出来的结论,现在可以在非单调逻辑中推出。
而在经典逻辑中能推出的结论,在非单调逻辑中照样可以推出。
超协调逻辑是经典逻辑的弱化,因为在超协调逻辑中,一些原来在经典逻辑中能推出的结论,现在在超协调逻辑中不能推出。
而在经典逻辑中不能推出的结论,在非单调逻辑中照样不能推出。
非单调性的解决方法是:对不完全知识的扩充。
常用的非单调方法有限制、缺省理论、自知逻辑等。
超协调性的解决方法是:维护协调性。
常用的超协调方法有分域逻辑DL 、超协调系统Cn 和悖论逻辑LP 等。
当应用这些概念到多元一次方程组的求解中时,我们同样发现当满秩时方程组是完备和不矛盾的,即在第一种情况下,方程组同样具有单调性和协调性;而在第二种情况下,方程组存在矛盾,这时如果对方程组进行处理,我们同样定义为超协调性;在第三种情况下,方程组有无穷多组解,这时的方程组是不完备的,这时如果对方程组进行处理,我们同样定义为非单调性。
对于单个变量,我们定义有且只有唯一解的变量是单调和协调的;若它同时取两个以上的解,则我们称该变量是超协调的,若它无唯一解(既有无穷解),则称该变量是非单调的。
这样我们发现对高斯消元法的改进,也就是使只能处理单调、协调的方程组的高斯消元法能够同样处理超协调和非单调的情形。
方程组的非单调性说明方程不足,方程组的超协调性说明方程之间冲突。
这与逻辑推理中知识不完全和知识矛盾是类似的,应用非单调逻辑和超协调逻辑的思想,我们可得到如下改进的高斯消元法。
1.2 改进后的高斯消元法改进后的高斯消元法的算法分为如下四个步骤: (1)用改进后的消下三角矩阵法进行处理。
对消下三角矩阵法的改进在于设置i=1, j=1,若第j 列中aij 以下部分(含aij)有非零值时,将非零值放到aij,消去该列其它值(向下),然后i 加1, j 加1,对下一列进行处理;当一列中aij 以下部分(含aij)无非零值时, j 加1,而i 不变,对下一列进行处理。
当i>m 或j>n 时中止。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n nn n n b a a a b a a b a A 0 0 2122221111 经过初等变换得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡='''2'22'1'11' 0 0 0 0 0 n nn b a b a b a A(2)用改进后的消上三角矩阵法进行处理。
对消上三角矩阵法的改进在于设置i=m, j=n,在第j 列从aij 往上找,直至找到一个非零值或者找遍该列aij 以上部分(含aij)都为零值。