数列求和方法归纳

数列求和

一、直接求和法（或公式法）

掌握一些常见的数列的前n 项和：123+++……+n=

(1)

n n +，1+3+5+……+(2n-1)=2n 2

123+++……+n =(1)(21)

n n n ++，3333123+++……+n =

(1)2n n +??

????

等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．

解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=+++

+．

由等差数列求和公式，得原式50(3199)

50502

?+=

=．

变式练习：已知3

log 1

log 23-=

x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和. 解：1－n

二、倒序相加法

此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.

例2 求222

2222222123101102938101++++++++的和．解：设222

222

2222123101102938101

S =++++++++ 则222

22222222109811012938

101

S =+++

+++++．两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，．

三、裂项相消法

常见的拆项公式有：

()n n k =+111()k n n k -+ ，

=1k

， 1(21)(21)n n =-+111()22121

n n --+，等.

例3 已知2221

12(1)(21)6

n n n n ++

+=++，

求 222222222

35721()11212312n n n

+++++∈++++++N 的和．解：222

21216

112(1)(1)(21)6

n n n a n n n n n n ++===++++++，

161223(1)111116122311611ln .1

n S n n n n n n ??∴=++

+????+????????=-+-++

? ???+???????

?=- ?+??=+

小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即

1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.

变式练习：求数列

311?，421?，5

?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S.

解：∵

)2(1+n n =2

1(21+-n n ）

S n =??????+-+???+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =4

22143+-

+-n n 四、错位相减法

源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}

n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x +++

+-的和．

解：当1x ≠时，211

2(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x

-+--=+----；当1x =时，2n S n =．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.

)1(2

)

1(=+a n n

变式练习：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

解：（1）若a=0, 则S n =0 （2）若a=1,则S n =1+2+3+…+n=(1)

n n + （3）若a ≠0且a ≠1

则S n =a+2a 2+3a 3+4a 4+…+ na n ， ∴aS n = a 2+2 a 3+3 a 4+…+na n+1

∴(1-a) S n =a+ a 2+ a 3+…+a n - na n+1=

∴S n = 当a=0时，此式也成立。

∴S n =

五、分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.

例5 求数列11111

246248162

n n ++，，，，，的前n 项和n S ．

23411

111111

(2462)(1)222

222n n n S n n n ++??=+++

+++++

=++- ???．变式练习：求数列11111,2,3

,4,3

2781

的前n 项和

解：211

223n

n n ++-? 数列求和基础训练

1.等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ

－１，则2232221n

a a a a ++++ ＝41

n -

2.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，则n S ＝ (1)n n -?.

111

1447

(32)(31)n n +++

??-?+31

n n +. 4.

1111

...243546(1)(3)

n n ++++???++= 1111122323n n ??+-- ?++??

5. 数列2211,(12),(122),,(1222),

n -++++++

+的通项公式n a =12-n ，前n 项和n S =

221--+n n

1++---n n na a a

a )1(1)1(1

1≠----++a a na a a a n n )

1(1)1(1

21≠----++a a

na a a a n n

6 .

;,2

12,,25,23,2132 n n -的前n 项和为 2332n n n S +=-

数列求和提高训练

1．数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则

=++++2008

3211111a a a a ( A ) A ．

2009

4016

B ．

2009

2008

C ．

1004

2007

D ．

20082007

解：∵a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ＝a n ＋1＋n ，

∴利用叠加法得到：2)

1(+=

n n a n ，∴)111(2)1(21+-=+=n n n n a n

， ∴)200911(2)20091200813121211(211112008321-=-++-+-=++++ a a a a 2009

4016

=．

2．数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，若其首项满足a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，且a 1，b 1∈N *，则数列{n b a }前10项的和等于 ( B )

A ．100

B ．85

C ．70

D ．55

解：∵a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1 ∴n b a ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n ―1)―1＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3 则数列{n b a }也是等差数列，并且前10项和等于：

8510213

4=?+

答案：B.

3．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( A )

A.3)1(2-n n

B.21n (n +4)

C.21n (n +5)

D.2

1n (n +7)

3．解：因为 a n = n 2 - n .，则依据分组集合即得. 答案;A.

4．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( A ) A.1 B.-1 C.0 D.2

解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n =???????-+)(2)(2

为偶为奇n n n n

答案：A

5．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }

的前10项和为 ( A ) A.978 B.557 C.467 D.979

解由题意可得a 1=1,设公比为q ,公差为d ,则?

??=+=+221

2d q d q

∴q 2-2q =0,∵q ≠0,∴q =2,∴a n =2n -1,b n =(n -1)(-1)=1-n,∴c n =2n -1+1-n,∴S n =978. 答案：A

6. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝ ( A )

A ．15 B.12 C ．－12

D.－15

解析 A 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2

＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.

7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为

解：设此数列{a n },其中间项为a 1001,

则S 奇=a 1+a 3+a 5+…+a 2001=1001·a 1001,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2000=1000a 1001. 答案:

1000

1001

8．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .

解：原式=.

6326)12()1(23n n n n n n +-=-?-

答案：61

;21;31-

9．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别

是等比数列{b n }的第二、三、四项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有133

2211+=++++n n

n a b c b c b c b c 成立．求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014的值．

解：(1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2(d ＞0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，可得b n ＝3n －

(2)当n ＝1时，c 1＝3；当n ≥2时，由

n n n

a a

c -=+1，得c n ＝2·3n －1，故??

?≥?==-).2(32),1(31

n n c n n

故c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32015．

10.设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列

???n S n 的前n 项和，求T n . 解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋1

n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，

∴????? 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即????? a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得?????

a 1＝－2，d ＝1.

∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12

(n －

1)． ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列?

?????n S n 是首项为－2，公差为12的等差数列． ∴T n ＝14n 2－94n .

11.已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n

a n ＋1

(1)证明：数列??????-11n a 是等比数列；(2)求数列?

???n a n 的前n 项和S n .

解析 (1)∵a n ＋1＝

2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12a n ，∴1a n ＋1－1＝???

? ?

?-1121n

，又a 1＝2

3， ∴1a 1－1＝12≠0，∴1a n －1≠0，∴1

a n ＋1－1

1a n －1

＝12，∴数列??????-11n a 是以12为首项，1

2为公比的等比数 (2)由(1)知1a n －1＝12·

n ??

??=?

??=21211

即1a n ＝12n ＋1∴n a n

＝n 2n ＋n .设T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n .......①

则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2

n ＋1 ．．．．．．． ② ， ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n

2n ＋1 ＝2

121121-

? ??-n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－2＋n 2n .又∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，

∴ 数列???

???n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n (n ＋1)2＝n 2

＋n ＋42－n ＋22n .

数列求和知识点总结(学案)

2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1 . (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ?? ???12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一分组转化法求和例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝ n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{ b n }的前2n 项和．【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【变式探究】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n

－1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n . 高频考点二错位相减法求和例2、(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 当d >1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

数列中裂项求和的几种常见模型

数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则 )1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x = 的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的前 n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上。（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1 1 n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T <对所有n N * ∈都成立的最小正整数 m ；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+= n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1 61 561( 21+--n n ，

几种常见数列求和方法的归纳

几种常见数列求和方法的归纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

几种常见数列求和方法的归纳 1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式??? ??≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+ (2) （2）求=x+++…+(x ) 2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）222 2sin 1sin 2sin 3sin 89+++ + . 3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。例：（1）求和：(1) 个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n （2）2 2222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=

当1±≠x 时， n x x x x S n n n n 2) 1()1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ，) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111 ()(2)22 n n n n =-++， ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ， 2= 例：（1）求和：111 1 ,,,,, 132435 (2) n n ???+ . （2）求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 1 2)1(2++= n n n S n 5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和) 例：求和：23,2,3, ,, n a a a na

高考数学题型全归纳：数列求和的若干常用方法含答案

数列求和的若干常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。一、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法

数列求和方法小结

数列求和方法小结等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接使用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 常用公式：等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= ，等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1() 1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论），另外 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ ， 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =+++ +=???? ∑ 例1 ．二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2已知函数()x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ?? ?????? + +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+ = ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ???? 128910101010S f f f f ?? ?? ????=+ +++ ? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ?? ??????=+ +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 则

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法永德二中王冬梅数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式（1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。解：Ⅰ、若q =0，则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

数列求和知识点总结.doc

数列求和 1．求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 ②等比数列的前 n 项和公式 (2) 分组求和法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4) 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5) 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 2．常见的裂项公式 1 1 1 (1) n （n ＋1）＝ n －n ＋1 . (2) 1 1 1 1 . n －）（ n ＋）＝ 2 n －－ n ＋ 1 2 1 2 （212 1 1 ＝ n ＋－ n (3) 1. n ＋ n ＋1 高频考点一分组转化法求和例 1、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2＋ n ， n ∈ N * . 2 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ 2a n ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和．

【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【变式探究】已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝2·3n － 1＋ ( － 1) n ·(ln2 － ln3) ＋ ( － 1) n ln3 ，求其前 n 项和n . n S 高频考点二错位相减法求和例 2、(2015 ·湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1＝ a 1 ，b 2＝ 2， q ＝ d ， S 10＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； n a n n n (2) 当 d>1 时，记 c ＝，求数列 { c 的前 n 项和 T . b n 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ S n － qS n ”的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．【变式探究】已知数列 n 满足首项为 1 n ＋ 1 n * n 2 n { a } a ＝ 2， a ＝ 2a ( n ∈ N ) ．设 b ＝ 3log a － * n n n n 2( n ∈ N ) ，数列 { c } 满足 c ＝ a b . (1) 求证：数列 { b n } 为等差数列； (2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 高频考点三裂项相消法求和例 3、设各项均为正数的数列 2 2 2 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n 满足 S n －( n ＋ n － 3) S n － 3( n ＋n ) ＝ 0， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求数列 { a n } 的通项公式；

高中数列求和的几种方法

高中数列求和的几种方法包括累加法累乘法倒序相加法什么的,请告诉我所有的方法的内容及适用范围以及例题. 1.公式法：等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式： Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) 其他 1+2^2+3^2+4^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1+2^3+3^3+4^3+.+n^3=[n(n+1)/2]^2 2.错位相减法适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式和等差等比数列相乘 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 例如： an=a1+(n-1)d bn=b1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) ______① =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) =a1b1-(a1+nd-d)·b1q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q) 此外.①式可变形为 Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(Sn-b1) Sn为{bn}的前n项和. 此形式更理解也好记 3.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+.+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-2).+a1 上下相加得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/2 4.分组法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例如：an=2^n+n-1 5.裂项法适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项. 常用公式：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ,1/（n-1）-1/n

数列求和专题训练方法归纳

数列求和专题方法归纳方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．

数列题型及解题方法归纳总结

知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-，想于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21

数列求和的方法技巧总结

数列求和的方法技巧总结导读：一、倒序相加法此法来源于等差数列求和公式的推导方法。例1. 已知求解：。① 把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：② 把①②两式相加得二、错位相消法此法来源于等比数列求和公式的推导方法。例2. 求数列的前n项和。解：设当时，当时， ① ①式两边同时乘以公比a，得

② ①②两式相减得三、拆项分组法把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。例3. 求数列的前n项和。解：设数列的.前n项和为，则当时，当时，说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与的情况进行讨论。四、裂项相消法用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。如例4. 求数列的前n项和。解：五、奇偶数讨论法

如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。例5. 已知数列求该数列的前n项和。解：对n分奇数、偶数讨论求和。 ①当时， ②当时，六、通项公式法利用，问题便转化成了求数列的通项问题。这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。例6. 已知数列求该数列的前n项和。解：即

∴数列是一个常数列，首项为七、综合法这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。例7. 已知求分析：注意观察到：其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。解：①当n为奇数时，由以上的分析可知： ②当n为偶数时，可知：由①②可得说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。【数列求和的方法技巧总结】 1.数列求和教学反思 2.数列求和公式方法总结 3.数列求和的解题方法总结 4.数列求和复习教学反思 5.等差数列求和方法总结

数列求和优秀教案设计

题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计【课例解析】 1 教材的地位和作用本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节．本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。【目标定位】

1 知识与技能目标掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。【课堂设计】一、创设情景、导入新课教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

等差数列求和的几种方法

数列求和的几种情形 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法例1 求11357(1)(21)n n S n -=-+-++--L . 变式练习1：已知数列{}n a 的前n 项和250n S n n =-，试求：（1）n a 的通项公式; （2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T 二、倒序相加

()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++++644444474444448 L 个 1()n n a a =+ 1()2 n n n a a S += 例2 求2222o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89 三、错位相减 11n n a a q -= 11(1)(01)n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q 例3 21123(0)n n S x x nx x -=++++≠L 变式练习3（1）已知数列{}n a 的通项.2n n a n =，求其n 项和n S

（2）已知数列{}n a 的通项()121.3n n a n ??=- ??? ，求其n 项和n S 四、裂项相消例4 已知数列1{},n n a a =的通项公式为求前n 项和.n （n+1）变式练习4:（1） 1111132435(2) n n ++++????+L .

（2）求数列 , (1) 1,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S }{() ()()()}{1111,,21152. n n n n a a a a n n n a -==+≥-在数列中，写出数列的前项；求数列的通项公式已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

高中数列专题常见求和方法总结

专题：数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨一、基本知识 1．定义： (1) .数列：按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列 2．通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列： d n a a n )1(1-+= 2 ) (2 )1(11n n a a n d n n na S += -+ = }{n b 为等比数列： )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --= --= 11)1(11（q )1≠ 3．常用性质 }{n a 为等差数列，则有（1）从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2 1 1-++=n n n a a a （n>1）（2） ),()(* N n m d m n a a m n ∈-+= （3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4）若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5）若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+=

（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数）（9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ， 1 +n n a a S S ＝偶奇若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1 -n n S S ＝偶奇（10）???=≥-=-1 11)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列，则有（1）只有同号的两数才存在等比中项（2） ),(* N n m q a a m n m n ∈=- （3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2 r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{ n n b a ，{n ca }为等比数列（0≠c ）（5）等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为等比数列（6） )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题： 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数， n d a n d s n )2 (2 12 - += 二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（==-++n n n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。

(完整)几种常见数列求和方法的归纳,推荐文档

几种常见数列求和方法的归纳 1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑L （不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+ (2) （2）求=x+++…+(x ) 2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）22 2 2 sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L . 3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。例：（1）求和：(1)321ΛΛ个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n （2）22222)1()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ 当1±≠x 时，n x x x x S n n n n 2) 1() 1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ，)121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111 ()(2)22 n n n n =-++， ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ， = 例：（1）求和：1111,,,,,132435(2) n n ???+L L . （2）求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n Λ 1 2) 1(2++= n n n S n 5．错位相减法：比如{}{}. ,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ(适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和) 例：求和：2 3 ,2,3,,,n a a a na L L 当1a =时，123n S =+++ (1) 2 n n n ++= ，当1a ≠时，212 (1)(1) n n n na n a a S a ++-++=-