2020-2021学年最新沪教版五四制八年级数学上册《二次根式的加法和减法》教学设计-评奖教案
八年级数学上册 16.3 二次根式的运算(1)二次根式的加法和减法教案 沪教版五四制
重点
引进二次根式的加减运算；使学生掌握二次根式加减运算的要求和过程，并会解常数项含二次根式的一次方程和一次不等式
难点
含字母的二次根式的加减法，计算的合理性，解实数系数的一次方程和一次不等式
教学
准备
多媒体教学
学生活动形式
2、计算：
（3）
3、解方程：
4、解不等式：
课堂小结：
四、本课小结：
二次根式的加减法
1、二次根式相加减的一般过程是：
先把各个人次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
注意：不是同类二次根式的根式不能合并，保留在结果中。
五、拓展练习|：
1、试一试已知
求 的值。
课外
作业
练习册P:6~7习题16.3（1）
讨论，交流，总结，练习
教学过程
设计意图
课题引入：
一、复习：
1、下列各组里的二次根式是不是同类二次根式（题中字母都为正数）？
2、思考:怎样计算
知识呈现：
二、新授：
1、计算：
由上述练习谈体会：二次根式相加减是如何进行的？
Байду номын сангаас2、例题1计算：
3、例题选讲：
例题2计算：
例题3解不等式：2x+
三、巩固练习：
1、下列计算正确的在括号内打“√”，错误的打“×”
预习
要求
16.3（2）二次根式的乘法和除法
教学后记与反思
1、课堂时间消耗：教师活动15分钟；学生活动25分钟）
2、本课时实际教学效果自评（满分10分）：分
3、本课成功与不足及其改进措施：
沪教版八年级数学上册,二次根式备课笔记
沪教版八年级数学上册,二次根式备课笔记二次根式1.二次根式：形如a的式子（a≥0）叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式的运算：①二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．②二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．1、二次根式的概念与识别二次根式2、二次根式的化简与运算3、分母含有二次根式的分数进行分母有理化例题1：形如a （）的式子叫做二次根式。
1153a 21b -22a b +220m +144-的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．12、下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x练习：下列各式是二次根式吗?为什么？例2 、二次根式中字母的取值范围a 有意义，被开方数a ≥0，被开方数a 可以是数，也可以是式子x 取何值时,下列根式有意义?4223(8)1(9)42(10)3x -≤++--322(1) 32 (2) 12 (3) 8(4) a (5) -m (m 0) (6)2a -1 (7)a a 21(1)21(2)2(3)(4)1x x x x练习：①、若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（）A ．m=0B ．m=1C ．m=2D ．m=3②、二次根式31-x 有意义的条件是。
③、求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x1-当x +11x +在实数范围内有意义？例3、最简二次根式被开方数同时符合两个条件：1、被开方数中各因式的指数都为12、被开方数不含分母像这样的二次根式叫做最简二次根式下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．14B ．48C ．ba D ．44+a 将下面的两个式子化为最简二次根式 (1).315)2(;72.0练习：将下列二次根式化为最简二次根式将下列二次根式化为最简二次根式0)b >)x y >将下列二次根式化成最简二次二次根式0)a > 0)a > 0)x >例题4：同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
沪教版(五四制)八年级数学上二次根式的加减.docx
桑水出品
1. ；2. 1、2；3. 18；4. -5；5. 2.83；
6——10：DDCAB
11. ；
12. ；
13.
21.3二次根式的加减：
1——8：BAACCCCC
9. ；10. 1、1；11. ；12. 1；13. 10；
14. ；15. ；
16. ；
17. ；
18. 5；19. ；20. -1；21. 2
、 、 、 、
5、若 ，则 化简的结果是（）
、 、 、3 、
6、若 ，则 的值等于（）
、4 、 、2 、
7、若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（）
、 、 、1 、3
8二、计算
9、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
10、已知： ，求 的值。
11、已知： 为实数，且 ，化简： 。
12、已知： ，求 的值。
21.已知 的值。
答案：
21.1二次根式：
1. ；2. ；3. ；4.任意实数；
5. ；6. ；7. ；8. ；
9. 4；10. ；11. ；12. -1；
13——20：CCCABCDB
21. 4；22. ，最小值为1；23. ；
24. ；25. -2
21.2二次根式的乘除：
二次根式的加减
一、选择题
1、下列根式中，与 是同类二次根式的是（）
、 、 、 、
2、下面说法正确的是（）
、被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
、 与 是同类二次根式
、 与 不是同类二次根式
、同类二次根式是根指数为2的根式
3、与 不是同类二次根式的是（）
16.3 二次根式的加法和减法(第1课时)(课件)2024-2025学年八年级数学上册(沪教版)
＝3 －4 .
18 + 3
1
3
.
2
3. 计算：3 9x＋6
－2x
4
1
（x＞0）.
解：原式＝×3 ＋6· －2x·
＝2 ＋3 －2
＝3 .
题型二：实际问题中的二次根式的加减
4. （原创题）一个三角形的三边长分别为 54 cm， 24 cm， 96 cm，则它的周
长是
9 cm.
解析：∵一个三角形的三边长分别为 cm， cm， cm，∴这个三角形
的周长是 ＋ ＋ ＝3 ＋2 ＋4 ＝9 （cm）.
5.班主任杨老师的生日快到了，同学们准备用彩带做礼物送给杨老师，第一小组
所用的彩带长分别为 8， 18， 27， 3，第二小组所用的彩带长分别为a 2，
pq
2
（
2 p q)
pq
归纳总结
二次根式的加减法法则:
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，
再将被开方数相同的二次根式进行合并.
加减法的运算步骤：
(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
例题3 解不等式：2 x
5
5
4x
4
9
5
4x
4
5
得2 x 4 x
4
解：由 2 x
5
9
5
9
移项
5
5
化成最简二次根式
2
2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练16-3-2二次根式的加减及混合运算带讲解
16.3.2二次根式的加减及混合运算考点一、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.考点二、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.题型1：二次根式的加减法1-数字型182）A．5 B10C．32D．42C【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．82822232==故选C．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2273______．23先进行化简，然后作差求解即可．解：原式333==【点睛】本题考查了二次根式的化简与减法运算．解题的关键在于正确的计算．3______．首先化简二次根式，进而合并求出即可．解：原式==故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．题型2：二次根式的加减法2-字母型4．计算：（1________；（2）=_________．根据合并同类二次根式的法则计算即可；解：（1=，（2）-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键5．计算；（1(=________；（2）5-________．-【分析】（1）先化简二次根式，然后根据合并同类二次根式的法则计算即可；（2）讨论x和a同时大于0和同时小于0，利用二次根式的性质化简即可．解：（1(=（2）ax≥∴0当0x >，0a ≥时55x ---当0x <，0a ≤时55x -+=故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键．6．计算二次根式________．合并同类二次根式得：故答案：7．1642 ） A ．正数B ．非正数C ．非负数D ．负数B【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定0x ≥0≥，最后确定值的符号即可．解:1642=1642x x ⋅24==-∴0x ≥0≥，∴0-≤，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键．题型3：二次根式的混合运算1-数字型8=_____________． 2【分析】 先把分子中的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．2=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后进行二次根式的乘除运算．9．计算：=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8C【分析】先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可．原式6=÷==．故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．1002019)-=________． 1【分析】根据二次根式的运算法则和零指数的性质进行计算即可．解：原式1= 4211=--=故答案为1．【点睛】本题考查了二次根式的运算法则和零指数，解题关键是熟练运用相关法则，准确进行计算．11-+⨯ ）A ．+B ．32C ．D ．A【分析】先化简各个二次根式再合并即可.=故选A.【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键.12=______．44 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．=4==4故答案为：4【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．13 ）A ．-B C ．36-D ．6-D【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可原6==-故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．=______．14先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．==11【点睛】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．15-分别根据分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性质化简与计算，再合并同类二次根式即可．-=-262【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型4：二次根式的大小比较16．请用“>，=，<”符号比较大小：＞【分析】求出=解：==∵18＞12，∴故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．17910＝______．> 2##2【分析】根据45<<可推出101711210510，从而可比较两数大小；利用平方差公式分母有理化即可．解：∵45<<，∴516<<， ∴51716555即101711210510，910>；2==故答案为：>； 2． 【点睛】本题考查实数的大小比较，和二次根式的化简．能正确得出45<<和利用平方差公式分母有理化是解题关键．18．比较大小：（1）（2）4_________2+（3；（4> ， < ， > ， <【分析】（1）先将 ，有4532>，即可比较大小；（2）利用作差法，即可比较大小；（3）利用作商法，即可比较大小；（4>解：（1）∵==4532>，>∴>（2）∵(4(24222(1-+=--=-，又1，∴2(10<，即(4(20-+<，∴42+（3）1 ===>，>；（4）><故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<．【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．题型5：二次根式的混合运算2-字母型及复合型19．若m，n+mn=_____.1【分析】利用二次根式的运算法则将已知等式化简，求出m、n的值，代入mn即可求解.1414∴4m=1, 4n=16,∴m=14， n=4，mn=414⨯= 1. 故答案为1.【点睛】本题考查二次根式的化简求值.20．若a 、b a +=a ________，b =________． 0 214 【分析】先把等式的左边化简，再合并同类二次根式，再利用实数的无理数性质可得答案．解： a =+，∴a =+a =+ ∴a =0，b =214． 故答案为：0;214． 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，实数中无理数的性质，掌握合并同类二次根式与实数中无理数的性质是解题的关键．21．已知22a b ==，则（ ）A ．a b =B ．1ab =C ．1ab =-D ．0a b +=D【分析】根据a 与b 的值结合选项进行一一比较及计算即可结论．∵2a =(22b ==-，∴a b ，A 选项不正确；∴(227ab =-=-+∴B 、C 选项都不正确；∴220a b +==，D 选项正确．故选D ．【点睛】此题考查了二次根式求值运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．22．已知：5a b +=-，1ab = ） A ．5B ．-5C ．25D ．5或-5A【分析】首先由a+b=-5，ab=1得出a 、b 的取值范围，然后使原式分母有理化，再由a 、b 的取值范围确定所求值的符号，通分化简代入求值；解：∵ab=1＞0，∴a 、b 同号，又∵a+b=-5＜0，∴a ＜0，b ＜0．115a b ⎫==+==⎪⎭； 故选：A【点睛】此题考查的知识点是二次根式的化简求值，关键是体现了整体代入思想，还要注意字母的取值．23．已知x =y =y x x y+=______． 8【分析】先把所求代数式通分，再把x 、y 的值代入进行计算即可． 解：22y x y x x y xy++=，将x =y =得：原式=22(53)(53)1682(53)(53)++-==+-， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．题型6：二次根式的混合运算与分式24．先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷⎪++⎝⎭a a a a ，其中3a =． 2aa+，233- 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可． 解：原式1(1)2(1)(1)-+=⨯++-a a a a a a 2=+a a 当3a =时，原式323=+ 233=-．【点睛】本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简．25．已知1526x =-，则21055x x x -+-的值．63【分析】 先根据分母有理化化简x ，再把原式变形即可求解． ∵1526x =-()()526526226526+==+-⨯+ ∴21055x x x -+-21025205x x x -+-=-25+2652065+26526--．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式、分式及完全平方公式的运算． 26．先化简，再求值：已知a 23+2221211a a a a a -+-+- 11a a-+，3【分析】先化简得11aa-+，再将a=11aa-+即可得．解：原式=2(1)1aa--=11(1)aaa a----=11aa -+当a=代入11aa-+得：111221231+=++．【点睛】本题考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．题型7：复杂的二次根式混合运算275【分析】先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果．55==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．28．计算：(1)；(2)．(1)4(2)【分析】（1）先把括号内的二次根式化简及除法运算，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可；（2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算，从而可得答案.(1)解：2332332232322322626262626 464(2)解：ab a ab ab a b a ab a ab ab aa ab a ba ab ab a2a ab a bab aa ab a baba b a【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.292式的性质和二次根式的加减计算法则进行化简即可．2===【点睛】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式．30．计算：（1（2）（12． 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算； （2）利用二次根式的乘除法则及分式乘法运算法则进行计算即可．解：（1）原式=4= （2）原式22213a m n m n =+-222133a m n m n=⨯+- )212a m n m n=+-2=2== 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．题型8：二次根式混合运算的应用31=________．根据长+宽列式，利用二次根式的性质化简，再进行二次根式的加法计算即可．解：这个长方形的长与宽的和 ．故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简方法．32．解不等式：11)x x +>-2x +＜根据解不等式的步骤解不等式即可．解：去括号，得1x +>，移项、合并同类项，得(11x >- 系数化为1，得x <2x <+【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本题的易错点是易忽略10．33．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x _________．24x x →→→输入减输出-根据题意可得：程序所代表的代数式为24x -，再由x 1x =，代入即可求解． 解：程序所代表的代数式为24x -， ∵x∴1x =，当1x =时，输出的值为21)4314-=--=-故答案为：- 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为24x -是解题的关键． 34．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设1()2p a b c =++，则这个三角形面积为：S =明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当4a =，5b =，6c =时，三角形边a 上的高等于（ ）A B C D A【分析】由题意易得()11522p a b c =++=，则有S a 边上的高为h ，进而问题可求解．解：由题意，得：4a =，5b =，6c =；()11522p a b c ∴=++=；S ∴==； 设a 边上的高为h ，则12ah S =，22424s h a∴==故选：A．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．35．若22248t t---＝2.5，则22248t t-+-的值为_____．325【分析】设224t-=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．设224t-=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16，∵224t-−28t-=2.5，a-216a-=52，a−52＝216a-，两边同时平方得：(a−52)2＝a2−16，解得：a=89 20，则22248t t-+-，=8920+216a-，=8920+289()1620-，=8920+1521400，=8920+3920，=325，故答案为325．【点睛】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．一、单选题1．下列运算正确的是（）A222B222233=C．333D633=B【分析】根据二次根式的化简、加法与乘除法法则逐项判断即可得．解：A=B==C1>，所以，则此项错误，不符题意；D=故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及化简，熟练掌握运算法则是解题关键．2．下列等式成立的是（）A=B=C=3C【分析】用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．A A不符合题意；B=B不符合题意；C=C符合题意；D=D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间C【分析】由二次根式的性质，二次根式的乘法、加法进行计算，再进无理数的估算即可．==3∵12<<，∴435<+；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法、加法运算法则，以及无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．4．当x=222x x++的值为（）A．14 B．17 C．533D．5+D【分析】将x=解：由题意得：当x=22++=+=+22225x x故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（）5A．B．-C．2D．2-A【分析】m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可．2，解：∵1m=1，小数部分为n，∴（2m+n）（2m﹣n）=224m n-=)22411⨯-=()431--=故选：A．【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．6）A．0 B．3 CD．不存在B【分析】先根据二次根式有意义，求出xx的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．则102020xxx-≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解得：x≥2，∵x的增大而增大，∴当x＝2时，代数式的值最小，1+0+2＝3．故选：B．【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．7．已知ab11a b+的值为（ ） A ．﹣B ．C ．﹣D ．A 【分析】先进行通分计算，然后代入求值即可． 解：原式＝b a ab ab+＝a bab + 当ab＝﹣故选：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算成为解答本题的关键． 8．若0a <，0b <，化简 ） A ．(23-b a B ．(23--b a C ．(23-+b a D ．(23+b a C 【分析】a 化简 ，注意0a <，0b <，最后加减运算即可．解：223,ab a ab =-0a <，0b <，(2223332ab a abb a ∴-=-=-+故选：C ．【点睛】a 是解题关键．9．已知a b =c =a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << A【分析】先把,,a b c再结合2021+20202020+2019,从而可得答案．解：∵a ==，b =，c ==，2021+20202020+2019, ∴.a b c <<故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．10．设12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，……，22111(1)n a n n =+++．其中n 为正整数，则）A ．201920202020 B ．202020202021 C ．202020212021 D ．202120212022D【分析】11(1)n n =++，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．解：∵n 为正整数，＝21(1)n n n n +++ ＝11(1)n n ++；2021a +＝（1+112⨯）+（1+123⨯）+（1+134⨯）+…+（1+120212022⨯） ＝2021+1﹣11111112233420212022+-+-++- ＝2021+1﹣12022 ＝202120212022． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数1n(n 1)+化成111n n -+抵消规律求和．二、填空题11=________．33【分析】先根据二次根式的性质化简，同时进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．解：原式＝33=故答案为：3本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．12＝ ____．4--4-【分析】根据二次根式的混合运算可进行求解．解：原式=2⎝=31--=4--故答案为4--【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．13，一矩形的长为，若该圆的面积与矩形的面积相等，则矩形的宽为____cm．【分析】园的面积=2rπ，矩形的面积=长×宽，根据圆的面积与矩形的面积相等可得2rπ=长×宽，代入数据即可求解．设矩形的宽为x cm∵圆的面积与矩形的面积相等，∴2rπ=长×宽2π=，解得：x=故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的面积与矩形面积得等量代换，熟练地掌握圆的面积公式与矩形的面积公式，根据题意找出等量关系列出等式是解题的关键．14==ab=_________2【分析】运用二次根式化简的法则先化简，再得出a，b的值即可．解：246-==∴== 2.2,1,a b∴=故答案为：2．ab本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则．15．已知52x =+，52y =-，求下列各式的值： （1）x y +=______；（2）222x xy y -+=______；（3）22x y -=______．25 16 85【分析】（1）把52x =+，52y =-代入x y +进行计算即可；（2）先计算x y -，再把222x xy y -+化为()2x y -，再代入计算即可；（3）把22x y -化为()()x y x y +-，再整体代入计算即可．解：（1）∵52x =+，52y =-，2 5.x y（2）∵52x =+，52y =-， 52524,x y ∴()22222416.x xy y x y -+=-==（3）∵25,x y4,x y -= ∴()()222548 5.x y x y x y -=+-=⨯=故答案为：（1）25；（2）16；（3）85【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．16．现有一块长25dm ，宽23dm 的长方形木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是4dm 2和9dm 2的正方形木板？______（填“能”或者“否”）．否根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2dm 和3dm ，然后进行比较相应的边长即可．解：，由于，∴不能够在这块木板上截出两个面积分别是4dm 2和9dm 2的正方形木板．故答案为：否．【点睛】本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．17．对任意的正数a ，b ，定义运算“*”如下：)),*.a b a b a b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩计算()()3*23*5+的结果为______．【分析】根据新定义，将所给数值代入计算即可．解：∵))*a b a b a b ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩， ∴()()3*23*5+==故答案为：【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．180.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a =b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b =+++，则12100S S S +++=_______．5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．解：a =b =1ab ==∴， 1112211112a b a b a b b b a bS a a ++++=+===+++++++， 222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++， …，10010010010010010010010010010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++=121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】 本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．三、解答题19．计算：﹣(22+（3）（ (1)-5(2)-6【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后化简后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．(1)解：原式））7﹣﹣1=﹣5(2)原式=﹣6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．计算：⎛ ⎝-【分析】先化简括号内的二次根式，同步计算后面的分母化，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可.解：⎛ ⎝2222326322222222222222=-【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.21．计算：)21⎭．-根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则计算．解：原式=31-=31231---+=-【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．22==的值．4 【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；2=+2==原式===224=；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．23-【分析】通分并利用同分母分式的减法法则合并，再利用平方差公式简便计算即可求解．=((1218⨯=-==-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．24．已知：11,x y--==，求值：x2﹣y2．先利用分母有理化把二次根式化简，再利用平方差公式分解因式，进而即可求解．解：∵11,x y--==，∴x y====∴x2﹣y2=（x+y）（x-y）=⎝⎭∙535322=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握负整数指数幂和分母有理化是解题的关键．25．三角形的周长为(cm，面积为(2cm，求：（1）第三边的长；（2）第三边上的高．（1）；（2）()4cm【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案；（2）设第三边上的高为x，列出等式12x⨯，求解即可．解：（1）三角形周长为(cm，∴第三边的长是：(故第三边的长为：；（2）设第三边上的高为x，则12x⨯，解得：x=，故第三边上的高为：()4cm．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握正确化简二次根式运算法则．26．算即可===本题考查了因式分解，二次根式的加减，将分式的分子因式分解是解题的关键．27先将各项分别化简，再合并同类二次根式．=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则以及二次根式的性质．28．计算：（1）129+）0115-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）41a⎫+⎪⎪-⎭．（1）3-；（2【分析】（1）分别计算分数指数幂，零指数幂，负指数幂以及化简二次根式，再算加减法；（2）根据二次根式和分母有理化以及约分进行计算即可．解：（1）)1121915-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=(3152+--=3-（2）41a⎫+⎪⎪-⎭=13⎤21-21本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．29．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a ＝b ＝的大小，我们可以把a 和b 分别平方，∵a 2＝12，b 2＝18，则a 2＜b 2，∴a ＜b ．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c ＝，d ＝c d （填写＞，＜或者＝）．(2)猜想m ＝n ＝(3)＝ （直接写出答案）．(1)c >d(2)m <n ，证明过程见解析(3)4或【分析】（1）根据题干中“平方法”比较实数大小；（2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小；（3）根据题干中“平方法”找出21)p =-21)p =+质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案．(1)解：∵c 2=32，d 2=28，则c 2>d 2，∴c >d ；故答案为：>．(2)解：猜想：m <n ，证明：∵m ＝n ＝∴m 2=(2 n 2＝(2∴m 2<n 2，∴m <n ；(3)解：∵21)p =-21)p =+11∴p ≥1，分情况讨论：①1≤0，即1≤p ≤2时，原式=2(1+21)，=4；②1>0，即p >2时，原式=21)+21)，综合①②得：当1≤p ≤2时，原式=4；当p >2时，原式故答案为：4或．【点睛】此题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论．30．综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：()(2224131211+++=+⨯=+，()2225322-=+--=．1==(1)请你依上述方法将4-(2)(3)=a 、m 、n 均为正整数，则=a ________．(1))211 (2)2(3)5或7【分析】（1）参照题目例子，将4拆分为1和3，把4-转化为2()a b -的形式，即可求解；（2）用（1）中方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可；（3的平方，与a +进行对比即可求出a 值． (1)解：())22243121-=+-=-=，1． (2)解：()2228215532-+-=-===3=132=． (3)解：222()m n m n =+=+=++26a +a 、m 、n 均为正整数，()m n a ∴++=+m n a ∴+=，6mn =，当2m =，3n =或3m =，2n =时，5a m n =+=；当1m =，6n =或6m =，1n =时，7a m n =+=；故答案为：5或7．【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算，题目较为新颖，能够灵活运用完全平公式对二次根式进行化简是解题的关键．。
沪教版(五四制)八年级数学上册 16.2 二次根式运算讲义(无答案)
⑴已知a）A．a B．a- C．1- D．0⑵0x+=，那么()2000xy=．中，最简二次根式是．的值是（）A．3- B．3或3-C．9 D．3⑸计算(2-的结果等于．⑹下列计算正确的是（）A1= C．⑺=．）A．1 B．2 C．4 D．5⑼已知最简二次根式ba=，b=．第十一讲二次根式运算二次根式的意义与性质【例题1】 （1）下列各式中对任意实数a 总能成立的是（ ）A. 11a a -=-B.a = C.1= D.（2）已知a 、b 、c 为实数， 且10b -，则1001003a b c ++的结果为（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4（3）0)x ≤中，二次根式的个数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【例题2】 （1）x 、y 都是实数，且12y <.(2) 1x =（3）已知y =y 的值恒等于常数的x 取值范围.（4）已知10x y =+，求2011(2)x y -的值.二次根式的综合运算【例题3】 （1） 计算：（2）计算：(2x y -（3）已知1x ，1y =，求22x xy y -+和33x y xy +．（4）已知x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求a ba b-+的值．（5）已知：22x y =+=-求3223x x y xy y +++的值。
【例题4】 计算： (1) ((2(2)55+--(3)22(5)-111111323216842(6)121212121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(7)【例题5】 计算：1(1)3- 2)520)--(3)- (4)(0)b <(5)2(0)m <【例题6】 解下列方程或不等式：（1(= （2>-【例题7】 解下列方程（组）或不等式：（1）解不等式：36x x <+ （2）解方程组：33x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+⎩（3）解不等式：21x - （4）解方程组7==【例题8】 把下列各式分母有理化：（1（2 （32（49)x ≠ （5【例题9】 计算下列各题： （1（2（310099+二次根式的化简求值【例题10】 （1）化简求值：5+（其中3,2a b ==）（2）化简求值：（已知11,28m n ==的值.【例题11】 （1）已知：a +（2）已知：a ，b =【例题12】 （1）已知x ，求 3512x x x ++的值。
沪教版(五四制)八年级数学上册16.1二次根式初步讲义(无答案)
沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕第十讲二次根式一、二次根式的定义形如a〔a0〕的式子叫做二次根式二、二次根式的根天性质：⑴a0〔a0〕；⑵(a)2a〔a0〕；⑶a2a a(a0)a(a0)三、最简二次根式：二次根式a〔a0〕中a称为被开方数．知足下边条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴被开放数的因数是整数，因式是整式〔被开方数不可以存在小数、分数形式〕⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．四、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式此后，假如被开方数同样，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
五、二次根式的乘除二次根式的乘法法那么：a b ab〔a0，b0〕二次根式的除法法那么：a a〔a0，b0〕b b利用这两个法那么时注意a、b的取值范围，关于ab ab，a、b都非负，否那么不建立，如(7)(5)(7)(5)六、分母有理化及其初步应用分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的非0代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．a b与a b互为有理化因式；分式有理化时，必定要保证有理化因式不为01/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕二次根式的观点与意义【例题1】〔1〕求当x知足什么条件时，以下各式在实数范围内存心义？当x时，x22存心义：当x时，2x存心义：2x1当x时，1存心义：当x时，x4存心义。
3x6x3〔2〕当x取何值时，以下二次根式存心义x2(x3)2x x x0〔3〕使等式2a12a 1建立的实数a的取值范围a3a3【例题2】〔1〕在35,a,a2b2,24a,a,x2x2y中，最简根式有个22〔2〕将以下各式化为最简的二次根式13b3=2732a2b=x2y 752(y0)=9xy 〔3〕假定b1,那么化a为最简二次根式得：〔〕b11a(b1)B.1a(b1)C.11)D.(b1)a(b1)A.b a(bb11a2/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕【例题3】〔1〕以下二次根式中，哪些是同类二次根式？〔字母均为正数〕①127②48③20④1125⑤1y⑥y x5 2x xy〔2〕以下各式：3，27，1，54，与3是同类二次根式的有个212〔3〕在8,175a,29a,125,23a 3,30.2,21中，与 3a 是同类二次根式的有33 a8个〔4〕在以下各组根式中，是同类二次根式的是〔〕A.3和18B.33a 4b 4和1ab4C.a 2b 和ab 2D.a1和a143〔5〕在1, 2, 3,..., 2021这2021个式子中，与2000是同类二次根式的共有多少个？与2021是同类二次根式的有多少个？〔6〕 2021 x y 且0 x y ，求知足上式的整数对〔 x ，y 〕.二次根式的简单运算3/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕【例题4】〔1〕假如 a 2a 建立，那么实数 a 的取值范围是 ___________.〔2〕 xy x y 建立的条件是 .〔3〕实数 a 知足|2021 a| a 2021 a ，求a20212【例题5】〔1〕化简：〔当0 a1时，化简(a1 )21 ______a a〔2〕化简： 1 2 2 3 3 4 4 5〔3〕3322 339〔4〕设等式a(xa)a(y a) xaay 在实数范围内建立，此中 a ，x ，y 是两 两不一样的实数，那么3x 2 xy y 2 的值是〔 〕x 2 xy y 2A ．3B ．1C ．2D ．533〔5〕a 为实数，且a26与12 6都是整数，那么a =a【例题6】计算：〔1〕23a46ab〔2〕10mn 26m 2n4/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕〔3〕418(28154)〔4〕2a3ab2b27a330,b0〕34aba〔a334【例题7】〔1〕假定abc0，且a b c，化简a4b3c2a1〔2〕化简：〔1〕a2a〔3〕化简：x3x2y1x y21x2yxy2y3(x0,y0)44【例题8】当a1,b5时，1a22abb21b22aba293935/11沪教版〔五四制〕八年级数学上册二次根式初步讲义〔无答案〕【例题9】把以下各式分母有理化：xy 23 5 2 3⑴2(a1) y1 ⑵⑶⑷5 2 32a4xy213【例题10】分母有理化：322 36。
沪教版八年级数学上册,二次根式的混合运算
二次根式的混合运算知识回顾2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的乘除法法则两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
两个二次根数相除，被开方数相除，根指数不变。
重点：掌握二次根式的混合运算。
难点：能正确的进行二次根式的运算。
1 小明从不念书却得了模范生,为什么答案：2 什么车子寸步难行? 答案：3 哪一个月有二十八天? 答案：例1、已知实数x 、y 满足045=++-y x ，求代数式20082)()()(y x y x y x ++⋯++++的值。
例2、已知a 、b 是实数，且，问a 、b 之间有怎样的关系？例3、已知625+=+b a ，625-=-b a ，求200822)12(--b a 的值。
例4、求满足0<x<y 及y x +=1088的不同整数对（x ，y ）的个数。
例5、先化简，再求值：3332222)11()(2)11(21b a ba b a b a ba b ab a -÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++，其中a=131-，b=-131+。
1、已知实数x 、y 满足0200201=++-y x ，求代数式19962)()()(y x y x y x ++⋯++++的值。
2、已知347+=+b a ，347-=-b a ，求200822)12(--b a 的值。
3、求满足0<x<y 及y x +=1539的不同整数对（x ，y ）的个数。
4、已知2001200023(1)23(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅-x ，求x 的值。
1、已知实数x 、y 满足01110=++-y x ，求代数式20082)()()(y x y x y x ++⋯++++的值。
2019-2020学年最新沪教版五四制八年级数学上册《二次根式的加法和减法》教学设计-评奖教案
§16.3(1)二次根式的加法和减法教学目标：掌握二次根式的加减法运算法则；在二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣.教学重点和难点：掌握二次根式的加减法运算法则.教学流程设计：教学过程设计：一、复习引入：1、回忆思考复习提问：问题1：如何化简二次根式？问题2：什么是同类二次根式？如何合并同类二次根式？二、 学习新课：1、新课引入：通过整式的加减归结为合并同类项，类比得到二次根式的加减也归结为合并同类二次根式.2、例题分析：例题1（师生共同完成）怎样计算a a a a a a 22250832+-+？ 原式=a a a a a a 22225222+-+=a a a a 2221522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 由此可见，二次根式的相加减的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.例题２ （集体练习，个别演示）计算：（1）248753+（2）)7581()3125.0(--- 例题3 （集体练习，个别演示）计算：（1）m m m 21643932-+ （2）xx x x 12463621-+（3）qp q p -+-8)(50（先判断出(p-q)大于零） 例题4 （集体练习，个别演示）解方程和不等式：（1）27582723++=x （2）954452->+x x三、课堂小结：1、二次根式的加减归结为合并同类项；2、二次根式的相加减的一般过程.四、作业布置：练习册习题15.3(1)教学设计说明：这是八年级第十六章第五节，学生是在已掌握最简二次根式以及合并同类二次根式的基础上进一步学习二次根式的加减法，同时为以后学习二次根式的乘除法作准备.首先让学生回顾最简二次根式、同类二次根式等概念，从而引入二次根式加减法.其次通过例题1让学生自己总结出二次根式的加减的一般步骤：先化简后合并巩固二次根式加减法：接着通过例题2、3巩固二次根式加减法的运算能力.通过二次根式的加减法解含二次根式的一元一次方程、不等式.总之：在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣教学反思：此节教学的难点是正确化简二次根式尤其是被开方数比较复杂的二次根式的化简.解含二次根式的一元一次方程、不等式也容易出错.。
2020上海教育版八上16.3《二次根式的运算》ppt复习课件
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(1)x
x3 x2
x3 (2)x x2
21.计 算 2 b
ab56 ba 2
b(3 a2
a3b)
合
牢记乘除运算中
的功能的巧用！
4.计 算 :
(1)5 x y 5 2
5x3
y x2
( 2 )( x
y )(
1
1)
yx
yx
(3)2 6 x7 4 x3 1 x 3 22
二次根式习题课
1.x2x成 立 的 条 件 是 _____.
母题: 若x0,则 x2=______.
忽视了答案中等号的成立条件！
1.求 下 列 等 式 成 立 的 条 件 :
(1)x 2 = 2 x2
(2 ) x
x3 x2
x3
(3) 2 x 2 x 1 x 1 x
(4)2 5
xy5 4 y 15
y ( 2 x 3y
x3y ) (x 0, y 0)
24.化简并求值:
x x2 4 x x x2 4 x (x 1008)
x2 4 x2 x2 4
化简k1 k1 k1 k1 k1 k1
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§16.3(1)二次根式的加法和减法
教学目标：
掌握二次根式的加减法运算法则；
在二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣.
教学重点和难点：
掌握二次根式的加减法运算法则.
教学流程设计：
教学过程设计：
一、复习引入：
1、回忆思考复习提问： 问题1：如何化简二次根式？
问题2：什么是同类二次根式？如何合并同类二次根式？
二、 学习新课：
1、新课引入：
通过整式的加减归结为合并同类项，类比得到二次根式的加减也归结为合并同类二次根式. 2、例题分析：
例题1（师生共同完成）怎样计算a a
a a a a 22
250832+-+？ 原式=a a
a a a a 22
225222+-
+
=a a a a 2221522
+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+
由此可见，二次根式的相加减的一般过程是：
先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.
例题２ （集体练习，个别演示）计算： （1）2
48
753+
（2）)758
1()312
5.0(--- 例题3 （集体练习，个别演示）计算： （1）
m m m 2164
3
932-+
（2）
x
x x x 12463621-+ （3）q
p q p -+
-8
)(50（先判断出(p-q)大于零） 例题4 （集体练习，个别演示）解方程和不等式： （1）
2
758272
3++=x （2）9
54452->+x x
三、课堂小结：
1、二次根式的加减归结为合并同类项；
2、二次根式的相加减的一般过程.
四、作业布置：
练习册习题15.3(1) 教学设计说明：
这是八年级第十六章第五节，学生是在已掌握最简二次根式以及合并同类二次根式的基础上进一步学习二次根式的加减法，同时为以后学习二次根式的乘除法作准备.首先让学生回顾最简二次根式、同类二次根式等概念，从而引入二次根式加减法.其次通过例题1让学生自己总结出二次根式的加减的一般步骤：先化简后合并巩固二次根式加减法：接着通过例题2、3巩固二次根式加减法的运算能力.通过二次根式的加减法解含二次根式的一元一次方程、不等式.
总之：在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过
程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣
教学反思：
此节教学的难点是正确化简二次根式尤其是被开方数比较复杂的二次根式的化简.解含二次根式的一元一次方程、不等式也容易出错.。