直线方程的概念与直线的斜率
直线方程的概念与直线的斜率
y=2x+1
Y ●
O
X
●
二、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
x 轴 正向与直线 向上 的方向所成的角叫做
这条直线的倾斜角。
yl
o
注意： (1) x轴的正向；
(2)直线向上的方向。
x
2、直线倾斜角的范围：
x 规定，与 轴平行或重合的直线的倾斜角为 零度角
直线的倾斜角的取值范围为： 00 ,1800
数学应用
例3：已知三点A(-3,-3),B(-1,1),
C(2,7),求KAB，KBC KAB=2 KBC=2
如果KAB=KBC,那么A、B、C三点的位置关系怎样？ A、B、C三点共线
如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a) 在一条直线上,
求a的值 a=-3
已知直线l经过点P(2,3)与Q(-3,2)
4、运用斜率的几何意义解决代数问题
数学应用 斜率几何意义的应用
例2：已知实数x, y满足2x y 8,当2 x 3时,
求 : y 的最大值和最小值. x
解 : 如图,方程2x y 82 x 3的图
像为线段AB,其中A2, 4, B3, 2,设线 y A
段AB上任一点为Px, y,
P
巩固练习1：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
巩固练习2：
如图, ABC的边AB, BC , AC所在直线
的倾斜角分别为哪个角？
y
A
0B
Cx
问题情境
直线方程的概念与直线的斜率
汇报人：XX
• 直线方程的基本概念 • 直线的斜率 • 直线方程的求解方法 • 直线方程与图形的结合 • 直线方程在实际问题中的应用
01
直线方程的基本概念
直线方程的定义
直线方程
描述平面上一条直线的数学表达式， 通常表示为 $y = mx + b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是截距。
k代表斜率，x1和y1代表直线上的一个点(x1,y1)，x2和y2代表直线上的另一个点 (x2,y2)。
斜率与倾斜角的关系
倾斜角不是90度的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（k） 。
直线的斜率反映直线上每一点的倾斜程度。一条直线与平面直角坐标系 横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
02
直线的斜率
斜率的定义
斜率，亦称“倾斜度”、“倾斜 率”，表示一条直线相对于横坐
标轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横 坐标轴正半轴方向的夹角的正切 值即该直线相对于该坐标系的斜
率。
如果直线与x轴互相垂直，直角 的正切值无穷大，故此直线不存
在斜率。
斜率的计算公式
直线斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
移变换中，直线方程可以根据平移向量进行相应的变换。
02
旋转变换
通过旋转变换可以改变图形的方向，但不改变图形的形状和大小。在旋
转变换中，直线方程可以根据旋转中心和旋转角度进行相应的变换。
03
缩放变换
通过缩放变换可以改变图形的大小，但不改变图形的形状。在缩放变换
中，直线方程可以根据缩放因子进行相应的变换。
直线方程的特殊形式
1 2
水平线方程
高B数学必修二课件直线方程的概念与直线的斜率
面积问题
利用直线方程表示图形的边界 ，通过计算图形面积解决与面 积相关的问题。
其他问题
直线方程还可以应用于解决其 他实际问题，如物理中的运动 问题、化学中的反应速率问题
等。
05
斜率在实际问题中应用
斜率与速度关系
斜率表示速度
在直线运动中，斜率可以表示物体的速度。当直线方程为y=mx+b时，斜率m即为速度。
方法二
斜截式方程。先根据两点坐标求出直线的斜率，再利用斜率和其中一点的坐标求 出直线方程。
已知斜率和一点求直线方程
方法一
点斜式方程。根据已知的斜率和一点 坐标，利用点斜式公式直接求解直线 方程。
方法二
斜截式方程。将已知的斜率转换为斜 截式形式，再利用已知点的坐标求出 直线方程。
平行和垂直直线方程求解
斜率不存在情况
垂直情况
当直线与$x$轴垂直时，即直线的倾斜角为$90^circ$时，斜 率不存在。
无穷大情况
当直线方程为形如$x=c$（$c$为常数）的形式时，斜率也不 存在，此时可以理解为斜率为无穷大。
03
直线方程求解方法
已知两点求直线方程
方法一
两点式方程。通过已知的两点坐标，利用两点式公式直接求解直线方程。
公式法
利用点到直线距离公式，将点的 坐标和直线方程代入公式进行计
算。
向量法
通过向量的数量积和模长计算点到 直线的距离。
垂线法
过点作直线的垂线，利用垂足坐标 和点到垂足的距离计算点到直线的 距离。
两平行线间距离计算
01
02
03
公式法
利用两平行线间距离的公 式，将两直线方程代入公 式进行计算。
平行移动法
直线的斜率与方程
直线的斜率与方程直线是解析几何中的基本图形之一，而直线的斜率与方程是描述直线性质的重要元素。
本文将介绍直线的斜率的概念及计算方法，并详细阐述直线的方程的几种常见形式。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线与水平方向的夹角的正切值，也可以理解为直线在x轴上的增量与在y轴上的增量之比。
斜率的计算公式如下：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率的性质是：1. 平行于x轴的直线的斜率为0；2. 平行于y轴的直线斜率不存在（无穷大）；3. 两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。
二、直线的方程直线的方程是用来表示直线的数学表达式。
直线的方程有多种不同的形式，下面将一一介绍。
1. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中最常见的形式，它用直线的斜率和截距来表示。
方程的形式如下：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
2. 一般式方程一般式方程是直线方程中的另一种常见形式，它的一般形式如下：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种特殊形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
方程的形式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，m为直线的斜率。
4. 两点式方程两点式方程是通过直线上两个已知点来表示直线的方程，方程的形式如下：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
以上是直线方程的几种常见形式，根据不同的题目要求，我们可以选择合适的方程形式来进行求解和应用。
总结：本文介绍了直线的斜率与方程的相关概念和计算方法，并详细介绍了直线方程的几种常见形式。
了解直线的斜率和方程对于解析几何的学习和问题的求解具有重要意义。
直线的斜率与直线的方程
直线的斜率与直线的方程一、温故⒈倾斜角：当直线和x 轴相交时，如果把x 轴绕着按方向旋转到和直线时所转的叫这条直线的倾斜角记为．倾斜角的范围是．⒉斜率：倾斜角为，90时，斜率k=，90时，斜率k 。
⒊斜率公式：若),(11y x A ),(22y x B 为直线上两点，则AB k =)(21x x ⒋直线方程的三种形式；①点斜式；，表示经过点且斜率为的直线，特例；y=kx+b 表示经过点且斜率为的直线，其中b 表示直线在y 轴上的，该方程叫直线方程的。
②两点式；．表示经过两点，的直线。
特例：)0(1ab b y ax该方程叫直线方程的，a ，b 叫。
③一般式；；，（其中A 、B 不同时为0）提醒：⒈在设直线方程形式前应进行斜率存在与不存在的讨论，⒉要注意截距不是长度。
二、基础训练⒈直线l 的倾斜角为120°，则直线l 的斜率是，若直线l 的方向向量是)1,3(a ，则直线l 的倾斜角是，经过两点)2,3(、)3,2(的直线l 的斜率是，倾斜角是. ⒉直线025tany x 的倾斜角是. ⑵直线023cos y x 的倾斜角范围是. ⑶直线l 的倾斜角α范围是0013545，则斜率k 的范围是.⑷将直线l 向右平移2个单位,再向下平移3个单位后与l 重合，则l 的斜率为.3.直线l ；02y ax ，与连接)1,3(A ，)4,1(B 两点的线段相交，则a 的取值范围是.4.若三点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,)(0)C b ab共线，则11a b 的值等于___________. 5.如图所示，点集{(,)||||1|||2}x y x y 构成的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是______________ 三、典型例题xy O 1 1 3 2例⒈根据下列条件求直线方程：⑴经过P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等⑵经过A(-1,-3)，倾斜角为直线y=3x 的倾斜角的2倍⑶直线03y x 绕着点)3,0(D 逆时针方向旋转15⑷如果原点在直线l 上的射影为点),(b a )0(22b a 例⒉经过点)0,3(P 作直线l ，使它被两直线l 1：2x-y-2=0和l 2：x+y+3=0所截得线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．例3.已知ABC 的顶点)1,3(A ，AB 边上的中线所在的直线的方程为059106y x ，B 的平分线所在直线的方程为：0104y x ，求BC 边所在直线的方程。
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
张喜林制2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教材知识检索考点知识清单1．直线方程的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在 且这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线叫做 ．由于方程b kx y +=的图象是 因此我们常说直线 2．直线的倾斜角当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线 所成的角叫做这条直线的 ，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率直线b kx y +=中的系数k 叫做 ，垂直于x 轴的直线 直线上的两点),,(),(2211y x B y x A 、那么直线的斜率=k ).(21x x =/当0=k 时，直线 或当0>k 时，直线的倾斜角为 ．k 值增大，直线的倾斜角也随着当0<k 时，直线的倾斜角为____，k 值增大，直线的倾斜角也随着____；垂直于x 轴的直线要点核心解读1．对直线方程概念的理解把—次函数b kx y +=的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线.b kx y +=另一表达形式0=--b kx y 是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率(1)斜率公式的推导．直线b kx y +=被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意两点、),(11y x A ),(22y x B 的坐标可以计算出k 的值．由于11,y x 和22,y x 是直线方程b kx y +=的两组解，所以,,2211b kx y b kx y +=+=两式相减，得),(1212x x k y y -=-故=k ),(121212x x x x y y =/--那么)(121212x x x x y y k =/--=称为直线的斜率公式． 由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺序无关．(2)斜率的定义通常，我们把直线b kx y +=中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在． 除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程b kx y +=的图象是过点(O ，b)且斜率为k 的直线．(3)求斜率的步骤，我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：?,,?,?,2121=⋅===y y x x ②计算;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③如果,0=∆x 则判定“斜率k 不存在”； ④如果,0=/∆x 计算;xyk ∆∆=⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角(1)定义．x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)斜率与倾斜角的关系．由斜率k 的定义可知：0=k 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；0>k 时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 0<k 时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x 轴的直线的倾斜角等于.90典例分类剖析考点1 直线与二元一次方程的对应关系 命题规律(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线321l l l 、、都经过点P(3，2)，又321l l l 、、分别经过点、)1,2(1--Q、)2,4(2-Q ),2,3(3-Q 试计算直线321l l l 、、的斜率．[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．[答案] 设321k k k 、、分别表示直线321l l l 、、的斜率，由于321Q Q Q P 、、、⋅的横坐标均不相等．,43422,53322121-=---==----=∴k k .033223=---=k母题迁移 1．已知,1)7,()5,3()1,1(-（、、、D a C B A )b 四点共线，求直线方程.b ax y +=[例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：);7,2(),3,1)(1().5,3(),1,4)(2(- [解析] 利用直线的斜率公式1212x x yy k --=求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．[答案] ,041237)1(>=--=k 所以倾斜角是锐角； ,064315)2(<-=-+=k 所以倾斜角是钝角． [点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直线的斜率等于O ，则其倾斜角为,0若直线的斜率不存在，则其倾斜角为.90o[例3] 已知直线321l l l 、、的斜率分别为,321k k k 、、如图2-2 -1-3所示，则( )．321.k k k A << 213.k k k B << 123.k k k C << 231.k k k D <<[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 由图可知直线1l 的倾斜角为钝角，所以;01<k 直线2l 与直线3l 的倾斜角均为锐角，且直线2l 的倾斜角较大，所以,032>>k k 所以⋅>>132k k k[答案] D母题迁移 2．求经过点,0)(,().,(=/ab b a B mb ma A )1=/m 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，考点2 求斜率或倾斜角的取值范围 命题规律已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．[例4] 已知、)3,3(--A ),1,2()2,2(--P B 、如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．[答案] ,4)3(2)3(1=⋅-----=PA k,4322)2(1-=----=PB k∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是43-≤k 或.4≥k母题迁移 3．已知实数x 、y 满足,82=+y x 当32≤≤x 时，求xy的最大值和最小值， 考点3 利用斜率证明三点共线 命题规律已知平面上三点，证明三点共线．[例5] 已知三点),5,4()3,3()1,1(C B A 、、-求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．,53||,5||,52||===AC BC AB |,|53552||||AC BC AB ==+=+∴即A 、B 、C 三点共线．证法二：用斜率公式证明，,23435,21313=--==-+=BC AB k k ⋅=∴BC AB k k 又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．∴ A 、B 、C 三点共线．[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标．优化分层测讯学业水平测试1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b 的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l 个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程=+=B b kx y },{一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．B A A =. B A B ⊇. A BC ⊇.D ．以上说法都不对3．直线L 过点),2(m p -⋅和)4,(m Q 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．1.A 4.B 31.或C 41.或D4．过点)3,2()2,3(--N M 与的直线的斜率=k ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若,2=AB k 则B 点的坐标为 6．已知方程.0632=++y x(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点)1,23(是否在直线L 上．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．点)4,3()1,0(B A 、在直线1l 上，若直线,12l l ⊥则直线2l 的倾斜角为( )．30.-A 30.B o C 120. 150.D2．直线L 的倾斜角为ααsin ,是方程033442=+-x x 的根，则a 的值是( )．60.A 120.B 150O 30.或o C 12060.或D3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线3=y 对称的直线的倾斜角是( )．θ.A θ- 90.B θ-o C 180. θ- 90.D4．若)0,()4,9()2,3(x C B A 、、--三点共线，则x 的值为( )．1.A 1.-B 0.C 7.D5．若直线L 经过点)1,2(--a 和),1,2(--a 且与经过点、)1,2(-斜率为32-的直线垂直，则实数a 的值是( )．32.-A 23.-B 32.C 23.D 6．设点),2,3()3,2(---B A 、直线L 过点P(l ，1)且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．443.-≤≥k k A 或 4143.-≤≥k k B 或 434.≤≤-k C 443.≤≤-k D 7．直线L 过点A(l ，2)，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．]2,0.[A ]1,0.[B ]21,0.[C )21,0[⋅D8．已知),1,3()2,(+b B a A 、且直线AB 的倾斜角为,90则a 、b 的值为( )．1,3.==b a A 2,2.==b a B 3,2.==b a C 1,3.=/∈=b R b a D 且二、填空题（5分x4 =20分）9．给出以下命题：①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是;30- ③倾斜角为00的直线只有一条，即x 轴；④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合<≤αα0|{}180与直线的集合建立了一一对应的关系．其中正确命题的序号是10．三点（2，-3）、(4，3)及)2,5(k 在同一条直线上，则k 的值等于11．已知过)2,3()1,1(a Q a a P 和+-的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12.直线)(013cos R y x ∈=++⋅θθ的倾斜角的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分）13.斜率为2的直线经过),1()7,()5,3(b C a B A -、、三点，求a 、b 的值．14．(1)已知矩形ABCD 中，、、)1,2()2,1(B A 中心),3,3(E 点),(y x P 在矩形的边界及内部运动，求xy的取值范围；(2)若实数x 、y 满足：,3,212-≥≤+=y x x y 且求xy的取值范围．15.求经过两点))(3,()2,1(R m m N M ∈-、的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？16.求函数2sin 1sin 3++=x x y 的值域.。
直线方程的概念与直线的斜率课件
y1= kx1＋b；
y2
B
y2= kx2＋b． 两式相减，得:
y1
A ∆x
∆y
y2-y1= kx2-kx2= k(x2-x1) 所以 k= —yx22—--yx11 (x1≠x2)
o x1
x2
x
直线的斜率
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线斜率公式： k= —xy22—--xy11— (x1≠x2)
y
P
y=2x+1
2. 以满足解析式 y=2x+1的有序实
数对为坐标的点都在直线 l．
（0，2）
（0，1）
o l
（1，3）
（2，2）
x
（2，0）
1. 直线 l上每一点的坐标 P(x,y)都是方程 y=2x+1 的解．
2. 以方程 y=2x+1的解为坐 标的点都在直线 l上．
新课讲授
直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条 直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个 方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的 方程，这条直线叫做这个方程的直线．
（☆☆☆）
直线方程的概念与直线的斜率
反思提高
通过本节课的学习你有哪些收获？ 1、直线方程的概念 2、斜率的概念及两点间斜率公式 3、直线的倾斜角的概念
布置作业
❖ 课本习题 2-2 A组1,3 ❖ 阅读：p115
❖ 拓展探究 １、已知△ABC的顶点 ，BC的中点为D，当直线AD的斜率
为-1时，求m的值．（ ☆ ☆ ） 2 、直线 l 过点 M（3,3）且与以P（-2,2），Q （ -1, 1 ） 为两端点的线段 PQ 有公共点, 求直线 l 的斜率的取值范围
通常，把直线 y =kx+b 中的系数 k 叫做这条直线
直线方程的概念与直线的斜率 PPT课件 人教课标版
一．直线方程的概念
直线的方程与方程的直线：
一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
由于方程y=kx+b的图象是一条直线，因 而我们以后就说直线y=kx+b
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
•
67、心中有理想 再累也快乐
•
68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。
•
69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。
•
70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！
•
71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
•
72、只要路是对的，就不怕路远。
•
73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。
2 3
，
y
所以可以得 x 的最大值为2，
最小值为 2 ．
A
3
B
练习题：
1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°; ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是（ C ）
斜率与直线方程
斜率与直线方程一、斜率的概念在数学中，斜率是指直线与横轴的夹角的正切值，也可以理解为直线上两个不同点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率的计算公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
二、斜率的意义斜率可以用于描述直线的特征和性质，通过斜率可以得到直线的方向、陡峭程度以及与其他直线的关系。
1. 正斜率和负斜率：当斜率为正数时，直线上的点随着自变量的增大而增大，这表示直线向上倾斜；当斜率为负数时，直线上的点随着自变量的增大而减小，这表示直线向下倾斜。
2. 零斜率和无定义斜率：当斜率为零时，直线平行于横轴；当斜率不存在（除数为零）时，直线垂直于横轴。
3. 相等斜率和平行斜率：如果两条直线的斜率相等，它们的斜率是平行的。
反之，如果两条直线平行，它们的斜率相等。
三、直线方程的表示形式直线的一般方程可以表示为 Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
直线的斜率可以通过方程中的系数来获得。
1. 斜截式方程：当已知直线的斜率m和截距b时，可以使用斜截式方程 y = mx + b 来表示直线方程。
2. 点斜式方程：当已知直线上的一个点P(x1, y1)和直线的斜率m时，可以使用点斜式方程 y - y1 = m(x - x1) 来表示直线方程。
3. 两点式方程：当已知直线上两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)时，可以使用两点式方程 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1) 来表示直线方程。
四、直线方程的应用直线方程在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
1. 几何学：直线方程可以描述平面上的直线位置和方向，用于计算和判断直线之间的关系，如相交、平行等。
2. 物理学：直线方程可用于描述物体的运动轨迹，在研究物理问题时可以通过直线方程求解物体的位置、速度、加速度等。
3. 经济学：直线方程可用于描述市场供需的关系，通过斜率可以分析价格变化的速度以及市场的供给和需求弹性。
19-20 第2章 2.2 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学习目标核心素养1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点) 2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) 4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点)1.通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养.1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？[提示]把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．2．直线的斜率及斜率公式(1)斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.(2)斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．(3)斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度．3．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？[提示]不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．1．如图所示，直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．以上都不对C[根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.]2．直线l过点M(－3，2)，N(－2，3)，则l的斜率为()A．62B．1C．63D． 6B[根据题意，l的斜率为3－2－2－(－3)＝1.]3．斜率不存在的直线一定是() A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于坐标轴的直线B[只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．2或29[∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或29.]直线的倾斜角时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[思路探究](1)利用k＝y2－y1x2－x1及k＝tan α求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．[解](1)由斜率公式得k AB＝1－11－(－1)＝0，k BC＝3＋1－12－1＝ 3.k AC＝3＋1－12－(－1)＝33.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan 60°＝3，∴BC的倾斜角为60°.tan 30°＝33， ∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k ＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解．2．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.斜率公式的应用1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2.2．你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？ [提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)， 所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ， 所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．【例3】 已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m ，1)． (1)当m 为何值时，直线l 的斜率是1? (2)当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90°？ [思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式． [解] (1)k MN ＝m －1－1m ＋1－2m＝1，解得m ＝32.(2)l 的倾斜角为90°，即l 平行于y 轴，所以m ＋1＝2m ，得m ＝1.1．本例条件不变，试求直线l 的倾斜角为锐角时实数m 的取值范围． [解] 由题意知 ⎩⎨⎧m －1－1m ＋1－2m ＞0m －1≠1，解得1＜m ＜2.2．若将本例中的“N (2m,1)”改为“N (3m,2m )”，其他条件不变，结果如何？[解] (1)由题意知m －1－2mm ＋1－3m ＝1，解得m ＝2.(2)由题意知m ＋1＝3m ，得m ＝12.直线斜率的计算方法1．判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． 2．若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2)进行计算．1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求直线倾斜角的方法． (2)求直线斜率的方法．(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系．3．本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( ) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线． ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√[提示] (1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度． (2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P 和一个倾斜角α.(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．2．若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( ) A ．－32 B ．32 C ．－1 D ．1 C [k AB ＝y ＋34－2＝tan 45°＝1，即y ＋32＝1，∴y ＝－1.]3．如图所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．k 1<k 3<k 2 [设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2.]4．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3， 所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.课时分层作业(十五) 直线方程的概念与直线的斜率(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°C[直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.]2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是() A．5B．8C．132D．7C[由斜率公式可得8－mm－5＝1，解得m＝132.]3．下列说法正确的是()A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C．与x轴平行的直线的倾斜角为180°D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率D[选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．]4．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°A[设直线的倾斜角为α，直线斜率k＝(2＋3)－24－1＝33，∴tan α＝33.又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.]5．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是() A．0 B．1C．12D．2D[如图，k OA＝2，k l′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.]二、填空题6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为________．45°[由题意知，b≠a，所以k＝c＋a－(b＋c)a－b＝1，故倾斜角为45°.]7．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．2[∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.]8．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．0[如图，易知k AB＝3，k AC＝－3，则k AB＋k AC＝0.]三、解答题9．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线P A的倾斜角为60°.[解](1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，∵A(1,2)，∴k P A＝0－2a－1＝－2a－1.又∵直线P A的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )．同理可得b ＝2－3，∴点P 的坐标为(0,2－3)．10．已知A (2,4)，B (3,3)，点P (a ，b )是线段AB (包括端点)上的动点，求b －1a －1的取值范围．[解] 设k ＝b －1a －1，则k 可以看成点P (a ，b )与定点Q (1,1)连线的斜率．如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率由k BQ 增大到k AQ ，因为k BQ ＝3－13－1＝1，k AQ ＝4－12－1＝3， 所以1≤k ≤3，即b －1a －1的取值范围是[1,3]． [等级过关练]1．斜率为1的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A ．5,0B ．4,1C ．5,1D ．5，－1 C [由题意，得⎩⎨⎧ k AC ＝1，k AB ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝1，7－5a －3＝1，解得a ＝5，b ＝1.]2．已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为a ，其中a 为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D ．(1，3)C [∵l 1的倾斜角为45°，∴l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)，故选C.] 3．已知A (－1,2)，B (3,2)，若直线AP 与直线BP 的斜率分别为2和－2，则点P 的坐标是________．(1,6) [设点P (x ，y )，则有y －2x ＋1＝2，且y －2x －3＝－2，解得x ＝1，y ＝6，即点P 的坐标是(1,6)．]4．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．(－2,1) [∵k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1.] 5．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． [解]y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)，设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB .∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。
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想 为何值时,k>0、k<0?
当 m>2时，k>0
当 m<2时，k<0
建构数学 倾斜角与斜率之间的关系
直线平行于x轴或与x轴重合, 倾斜角为
00时, k 0;
垂直于x轴的直线的倾斜角等于900 ,此时 k 不存在;
直线的倾斜角为锐角时, k 0,此时,直
线的倾斜角越大, k越大;
直线的倾斜角为钝角时, k 0,此时,直
建构数学 直线斜率的概念辨析
y
问题1：如果 x1=x2，则直线 PQ的斜 率怎样?
斜率不存在,这时直线PQ⊥x轴
Q(x1, y2) 问题2：对于一条与x轴不垂直的定直线
而言,直线的斜率是定值吗?
P(x1, y1)
是定值,定直线上任意两点确
定的斜率总相等
o
x
问题3：求一条直线的斜率需要什么条
件?
只需知道直线上任意两点的坐标
2.2.1直线方程的概念 与直线的斜率
想一想：
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，直线上 的每一点的坐标都是方程的解，反过来，方 程的每一个解表示的点都必在直线上。
例：y=2x+1的图象是一条直线，直线上 的点的坐标都是2x-y+1=0的解。
蓝点（1，3）为直线上的点,它是 Y
方程的解。
●
x=-2，y=-3为方程的解，它 表示的点（-2，-3）(绿点) 必在直线上。
1 3 22
1
K3=0 Q2
o x l1 Q1
K1=1
l4
斜率不存在
l2 K2=-1
直线l2的斜率 k2=
13 42
1
直线l3的斜率 k3=
33 0 52
直线 l4 的斜率不存在
数学应用 直线斜率的计算
仿照例1，自编两题，使直
线斜率分别为正数和负数
想 一
已知A(2,3),B( m,4),当m
像为线段AB,其中A2, 4, B3, 2,设线 y A
段AB上任一点为Px, y,
P
则kOP
y0 x0
y x
, kOA
2, kOB
2 3
o
B
x
由图知,
y x
的
最大
值
为kOA
2, 最小值为kOB
2 3
数学应用
例3：已知三点A(-3,-3),B(-1,1),
C(2,7),求KAB，KBC KAB=2 KBC=2
的倾斜角分别为哪个角？
y
A
0B
Cx
问题情境
楼梯的倾斜程度用坡度来刻画
2m
1.2m
3m
3m
高度 坡度= 宽度
坡度越大，楼梯越陡．
建构数学 直线倾斜程度的刻画
级宽 级高
类比思想
直线
yP
Q
高度
宽度M
o
x
ＭＰ 直线的倾斜程度= ＱＭ
建构数学 三、直线的斜率
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，
o
注意： (1) x轴的正向；
(2)直线向上的方向。
x
2、直线倾斜角的范围：
我们规定，与x 轴平行或重合的直线
的倾斜角为 零度角
直线的倾斜角的取值范围为：00 ,1800
巩固练习1：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
巩固练习2：
如图, ABC的边AB, BC , AC所在直线
1k 4 -1 3 0，倾斜角是锐角
2-1
2 k
2-5
0 - - 3
1
0， 倾斜角是钝角
数学应用 斜率几何意义的应用
例2：已知实数x, y满足2x + y 8,当2 x 3时,
求 : y 的最大值和最小值. x
解 :如图,方程2x + y 82 x 3的图
y
如果 x1≠x2，则直线 PQ的
Q(x2, y2)
斜率
为：
k
y2
y1
P(x1, y1)
y2 y1 y x2 x1 x
x2 x1 y
x1 x2
纵坐标 的差
o
x
x
横坐
可写成 k
y1 y2 x1 x2
x1 x2
吗？
标的 差
与两点的顺序无关
直线
2 o x
ym
2方程 y 2 1是直线m如图的方程 1
x1
1 o x
1.以一个方程的解为坐标的点是否都在直线上； 2.直线上点的坐标是否都是这个方程的解。
两个条件缺一不可
二、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
x 轴 正向与直线 向上 的方向所成的角叫做
这条直线的倾斜角。
yl
斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),
(-1，b)三点，则a,b的值为( C )
A、a=4,b=0 B、a=-4,b=-3 C、a=4,b=-3 D、a=-4,b=3
求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R)
的直线l的斜率k的取值范围。
解: 由斜率公式得直l 的斜率
(3m 2 + 12m + 13) 2 k
线的倾斜角越大, k越大;
巩固练习3：
如图,设直线l1, l2 , l3的斜率分别为k1, k2 , k3 ,
则k1, k2 , k3的大小关系为 k3 k1 k2
y
l3
l2
l1
o
x
巩固练习4：
求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜 角是锐角还是钝角。
1 1，1 ，2，4
2 3，5 ，0，2
数学应用 直线斜率的计算
例1：如图，直线l1，l2，l3，l4 都经过点P2，3 ，又
l1，l2，l3，l4分别经过点Q1 2， 1，Q24，1，Q35，3，Q42，5，讨论
l1，l2，l3，l4的斜率是否存在，若存在，求出直线的
斜率. yQ4
P
Q3
l3
解:
直线l1的斜率
k1=
如果KAB=KBC,那么A、B、C三点的位置关系怎样？ A、B、C三点共线
如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a) 在一条直线上,
求a的值 a=-3
已知直线l经过点P(2,3)与Q(-3,2)
1
则直线的斜率为____5____
已知点P(2,3),点Q在y轴上,若直 线PQ的斜率为1 ,则点Q的坐标为 ___(_0_,_1_)___。
3m 2 + 12m + 11
3(m + 2)2 1
20
2
2
3 (m
+
2)2
1
1
k的取值范围为k 1222 Nhomakorabea2
小结：
1、直线的方程与方程的直线概念 2、直线倾斜角的定义及其范围 3、直线斜率的定义、斜率公式、求法、 斜率与倾斜角的关系
4、运用斜率的几何意义解决代数问题
O
X
●
一、直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线 上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解 ，这时，这个方程就叫这条直线的方程，这条直 线叫做这个方程的直线。
例如直线:y=2x+1
y=kx+b的图像是一条 直线，以后常说直线 y=kx+b
Y ●
O
X
●
判断正误：
y l
1直线l 如图是方程x y + 2 0的 2