例谈数列中的数学思想
例谈用函数思想指导数列不等式的证明
只‰ ≤
当
， 欲 证 ％＝
≤
前 述 证 明 其 实 就 是 构 建 函数 后 采 用 作 差 比较 法 探 究 函 数 的单 调 性 ． 与此 法 相 应 的 还 有 构 造 恰 当 的 函 数 探 究 其 最 值 来 实
ｆ ～ ｂ ｎ ＋ ｌ ＋ １ １ — ｂ ＂ － — ２ ＂ ．
２
证 明： 由ｌ 知， 问题 的关键 即证
０， Ｐ≠ １ ） （ ） 亦 即 证 （
Ｐ≠ １ ．
ｐ＂ －Ｉ Ｐ 叶 ＋ １ ）
≤ （ ｐ ” ｌ ＋ １ ） （ ｐ ＞
（ ＋ １ ） （ 善 － １ ） （ ０ ＜ ６ ．
ｉ ￣ － ｂ ＝ ２ ｘ（ ＞ ０， ≠ １ ） ， 则 问题 车 戈 ＋（ １ － ｘ） （ １ ＋ ２ ｎ） ｘ 一 １ ＞０ ／
） （
） ＝ ２ ｎ （ ｐ － １ ） ｐ ＂
（ ｐ＞ ０， （ Ｐ 一１ ） （ ｐ 肿 ＋ Ｊ ） ） ｜ ． － ｌ Ｊ
（ ＞ １ ） ， 或 ＋ （ １ ） （ １ ＋ ２ ｎ ） ｘ ＂ － Ｉ ≤ ０ （ ０ ＜ １ ） ．避厂 （ ）
・
函数 进 行 研 究．
证明 ： 当６ ＝ ２时 ， ＝ ２， ＋１ ＝ ２， 成 立．
散 函 数 的 视 角去 看 ． 则 又是 一 番 景 象．上 面 的 证 明 中利 用相 邻
例谈方程函数思想在初中数列中的妙用
个是 ３ 第 三 个 数 是 Ｉ 则 第 ｎ个数 是 Ｉ
Ａ） ８ － Ｂ） ｎ＋ ｎ５ ｚ２ Ｃ） ４ ｌ ｎ－
（
）
Ｄ） ２ ２４ ＋ ｎ－ ｎ ５
７ ７ ＝ １ ＝ ＋６ ３ ７ １ ：７ ＋ ９ ＋６ ６ ：７ ０ ＋６ ： ＋ ｌ ７ ６ ： ＋ ２ ７ ６ ＝ ＋ ３ ７ ６，
｛ 芝 之： ： 解得｛ 二
所以，Ａ ｎ与 ｎ的一次函数 的解析式为 Ａ ＝ ｋ １ ｎ ４－ ，因此，新数列的第 ｎ
个数是 ４一 。 ｎ １ 三 、具 体 应 用 俗话 说 ：“ 了 鸟枪 ，就 要 打 鸟 ” 请 看下 面的 例 子 吧 ！ 挂 ， 例 ｌ ，如 图 ，将 一 个 正 三角 形 纸 片 剪成 四个 全 等 的 小 三 角形 ， 再将 其 中 的一 个 按 同样 的 方 法 剪 成 四个 更 小 的 三 角 形 ， 如 此 继 续下 去 ， 结 果如 下表 ：
数 列 的 第 ｎ项 的函 数 解 析 式 的方 法 以及 在 解 决 较 难 问题 时 的妙 用 。
【 词１ 函数 关键
数列
妙用
“ 中数列 ”这 种说 法可能有点不妥当 。等差数列 、等 比数列 、公 初
差 、公 比 、 通项 公式 等 这 些 概 念 在 初 中 数 学 中 是 不 出现 的 ，但 其在 初 中 数 学 中 应用 是 非 常 广泛 的 。 所 解 决 数 列 问 题 在 通 常 情 况下 ，教 师是 通 过逐 项 分 析 、研 究 、哉 公 差 ，找 公 比 ， 最 后 摸 索 出通 项 公 式 ，再 利 用 其 它数 学知 识 ，解 决题 目 中 出 现 的 问题 。 这 样 做 对 初 中 学生 来 说 ， 确 实具 有很强 的挑 战性 ，而具有挑 战精 神的优 秀学生却乐此不彼。因此 ，我根 据平 时 的教 学经 验 ，摸 索 出 符 合 初 中生 特 点 的 用 方 程 函数 思 想 来 解 决 这 类 问题 的 方 法 。现 就 等 差 数 列 及 其相 关 内容 ，谈 一 谈 个 人看 法 并 写 出来 供 同行 参 考 。 提 出问题 请 看 这 道题 ：试 一 试 ， 观 察下 面 几 组 数 ：
以《数列》为例谈数学文化在教材中的引入
以《数列》为例谈数学文化在教材中的引入作者：谢晨明来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第06期【内容摘要】十九大提出了“发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人”的核心素养，明确把数学文化纳入到新课程标准中，那么如何把握教材中的文化资源，把数学文化素养纳入课堂之中，一直是高中老师的一大困惑，本文结合《数列》苏教版教材，界定出高中教材中主要的数学文化内容，为教材中数学文化的研究提供新的方向。
【关键词】数列数学文化苏教教材刚刚结束的党的十九大明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。
”教育部于近日刚刚发布的《普通高中课程方案于标准》中更加明确的数学学科的核心素养是“学生学习该学科课程后应形成正确价值观念、必备品格和关键能力，并围绕学科核心素养的落实，精选、重组教学内容，设计教学活动，提出考试评价建议”明确了要把数学文化融入到课程内容，在前段时间教育部考试中心函件《关于2018年普通高考考试大纲修订内容的通知》再次要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用。
”针对数学文化的考查，相信大家一定会比较迷惑：考什么？怎样考？怎么教？正如冯光庭在《基于“体现数学的文化价值”的数学教学策略探究》中所提到的：“要在数学教学过程中有效地体现数学的文化价值，并使数学教育真正成为数学文化的教育，第一要素是教师的认识问题，第二才是具体的操作问题”。
本文结合高中苏教必修五数列一章界定出高中教材中主要的数学文化内容，为教材中数学文化的研究提供新的方向。
一、首先了解“数学文化”的含义美国学者怀尔德在《作为文化系统的数学》一书中最早提出数学文化的概念，其特点在于：注重问题解决、数学应用、数学交流、数学思想方法和学生的情感态度。
例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
例谈数列问题中的数学思想
点 评 ： 等 价 转 化 法 的 关 键 是 要 明 确 转 化 的 方 向 或 者 说 转 化
的 目标 ． 本 题 转 化 的 关 键 就 是 将 研 究 慨 ２ ３ 取 值 范 围 问 题 转 ｌ 的
２ 解 填 空 题 不 要 求 求 解 过 程 ， 而 结 论 是 判 断 是 否 正 确 的 ． 从 唯一标准 ， 因此 解 填 空 题 时要 注 意 如 下 几 个 方 面 ： （ ） 认 真审题 ， 确要求 ， 维严谨 、 密 ， 算有 据 、 １要 明 思 周 计 准
） ＋
—一 的最大值 为 ， 最
４ 等 价 转 化 法 ．
分析 ： 直接
１ ！！里
２ ＋Ｃ Ｓ Ｏ
，
） 的最大 值 、 小值显然 不可取． 最 化袱 ） ＝
￣ＪＴｇ ） 奇 偶 性 Ｊ （ 的 Ｊ
＋ ＣＯＳ 戈
．
将 所 给 的命 题 进 行 等 价 转 化 ，使 之 成 为 一 种 容 易 理 解 的 语 言 或 容 易 求 解 的模 式 ． 过 转 化 ， 问题 化 繁 为 简 、 陌 生 为 熟 通 使 化
确 ； ２ 要 尽 量 利 用 已知 的 定 理 、 质 及 已有 的结 论 ； ３ 要 重 视 （） 性 （） 对 所 求 结 果 的检 验 ．
化 成 了直 线ｙ ｍ与 曲线ｙ ｆ ｘ） 三 个 交点 的 问题 ， 数 的 问题 转 ＝ ＝（ 有 将
化 成 了形 的 问题 ， 而利 用 图 形 的性 质 解 决． 从
点 评 ： 函 数 有 关 的 填 空 题 ， 据 题 目条 件 ， 活 地 应 用 函 与 依 灵 数 图 像 解 答 问 题 ， 往 可 使 抽 象 复 杂 的 代 数 问题 变得 形 象 直 观 ， 往
例谈排列组合中的数学思想方法
（ ） 对 称法 ２用
） 塞顿开 ， 应得排法 １ ＝ ０ 种 ）选 Ｂ应用 ６（ ， ． 对称思想简洁明快 ， 给人以美 的享受． ３分类划分思想 ． 划分 不但是 掌握外延 的逻 辑方 法 ， 而
例４ ｃ＋ ＋ １ ：— ． ．＋ ｃ … （ ＋） ＝ — ｃ ３１ ２ ２ ｃ ｏ ５＋ 解： ＝ ｃ ５２ ・ ２ １ ：＋ 设ｓｃ ３ ｃ十 ＋ ｎ ）～ ０ １ ¨ （ ＋ ｃ ＋ ＋
贝 （） ： ｃ＋ ＋：＋ １ ＋ ０ １ ｃ ｃ＋：… ｃ ｃ＝＋ ／ ＝ ＋１ ～ ｎ ｎ ｃ … ｃ！ｌ＝（ ＋ ＋。＝ ． ａ ＋ ２ ＋ 【 … ｃ ） ： ＋ ，ｌ １ ）（＋ ’ ２ ＋ － ＋ ｃ ： ：
３种 填 法 ；
例 ３已知集 合 Ａ 和集合 曰各含 １ ． ２个 元素 ， ＡｎＢ含有 ４ 个元素 ， 试求同时满足下 面两个条件的集合 的个数．
（） ｉｃＣＡｎＢ， Ｃ中含有 ３个元素 ； 且
（ｉＣＮＡ≠０ ０表 示 空集 ） ｉ ） （ ．
５函数 思 想 ．
运用 函数 的概念 和性质 ， 过类 比、 通 联
解析 ：１ 可以先用常规解法分类法求 （）
合ｃ 曰 取０ 元 有ｃｃ ｎ 中 个 素， ：０ ： 。
①Ａ在左边第一位时有 ４ 种排法 ； １ ②Ａ在左边第二位时有 Ｐｔ１ 法 ； ３ ３ 种排 ③Ａ在左边第三位时有 Ｐ ！ 种排法 ； ④Ａ在左边第 四位时有 ３种排法． １
（ ＋） ， ２ １： ｃ
・ ． ．
解析 ： 用化归思想建立数学模 型转化为
数学 问题 ：用 １２ ３ ４这 ４个 数字组成无 “ ，，， 重 复的 四位数 ， 中 １不在个位 ， 在十 其 ２不 位 ， 在百位 ， ３不 ４不在 千位 上 的四位数 有
例谈整体思想在数列中的应用
＝ ｌｏｇ２ ( ａ８１ ｑ２３ × ４ ) ＝ ｌｏｇ２ ( ａ２１ ｑ２３ ) ４ ＝ ｌｏｇ２２１６ ＝ １６.
例 ５
在等差数列 { ａｎ }中ꎬ公差为
１ ２
ꎬ且
ａ１
＋
ａ３
＋
������
＋ ａ９９ ＝ ６０ꎬ求 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ������ ＋ ａ９９ ＋ ａ１００ . 分析一 利用等差数列求和公式ꎬ整体求出 １００ａ１ ꎬ
学ꎬ１９９６(１０) :３０ － ３１.
[ 责任编辑:杨惠民]
收稿日期:２０１８ － ０４ － １５ 学一级教师ꎬ从事高中数学教学工作.
— ４７ —
再求和.
解法一 因为数列 ａ１ ꎬａ３ ꎬ������ꎬａ９９ 是公差为 １ 的等差
数列ꎬ所以 ５０ａ１
＋
５０
× ２
４９
×１
＝ ６０ꎬ解得 １００ａ１
＝
－ ２３３０.
所以
ａ１
＋
ａ２
＋
������
＋
ａ９９
＋
ａ１００
＝ １００ａ１
＋
１００ × ２
９９
×
１ ２
＝
－
２３３０ ＋ ２４７５ ＝ １４５.
分析二 根据等差数列的性质ꎬ联系未知与已知ꎬ应
＋ ( ａ９９ ＋ ｄ) ＝ ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋ ������ ＋ ａ９９ ＋ ５０ｄ ＝ ６０ ＋ ５０ ×
１ ２
＝
８５. 所以 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ������ ＋ ａ９９ ＋ ａ１００ ＝ ６０ ＋ ８５ ＝ １４５.
参考文献:
[１]王南林. 整体思想在数列中的应用[ Ｊ]. 中学数
＝ ２４８ ꎬ得
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈【摘要】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在数学教学过程中，处处渗透着数形结合的思想。
本文试从“以形助数”、“以数辅形”两个方面，举例说明“数形结合”在数学教学中的应用，重点列举了在解集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等问题中的应用，藉此引起广大数学教师对“数形结合”的重视。
【关键词】数形结合数学教学以形助数以数辅形数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。
华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。
因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。
下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。
1.以形助数1.1 数形结合思想在集合中的应用。
对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。
例1：有48名大学生，每人至少参加一项公益活动，参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？分析：一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
例谈排列组合中的数学思想方法
将研究对 象在一定条件下转化并归结 为另 一种研究 对象 的 思想方法称之 为化归转化思想 ．一般将有 待解决 的问题进行转 化 ，使 之成 为大家熟悉的或容易解 决的问题模式 ．
要 的是 ，过 了多 年 以后 ，他 们 掌 握 的数 学 知 识 可 能会 淡 忘 ，或
解 ： （ ）若用四种颜色 给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ １ 涂色 ，则Ａ 必 同 与Ｆ
色 ，Ｃ 也同色 ，故有 × × ＝４ 与Ｅ １１２ 种涂色方法 ； 者 高中数 学知识在他们 将来所从 事的 Ｔ作 中可能无用 武之地 ， （ ２）若 用ｉ种 颜 色给Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 色 ：① 当Ｂ、Ｄ同色 涂 但深深地铭 刻于头脑 中的数学思 想将随时 随地发生作用 ，使他 时 ，Ａ、 ｃ 有 ２ 颜 色 可 选 ；② 当 Ｂ、Ｅ同 色 时 ，Ａ有 ２ 颜 色 都 种 种 们受益终生 ．
，
（ ） 的值 ； １ 求ｃ． （ ２）组合数 的两个 性质 ：① ｃ ｃ ；② ｃ ＋ ＝ｃ ： ＝ ｃ 是
一
５ 整 体 思 想 ．
从 问题 的整体性 质 发 ，突 出对 问题 的整体结 构 的分 析
否都能 推广到 （ Ｒ， 是正整数 ）的情 况？若能推广 ，则 和 改造 ，发 现 问题 的 整体结 构 特征 ，把某 些式 子或 图形看 成 写 出推广的形 式并 给出证 明；若不能 ，则说明理由 ； 个整体 ，把 握 它们之 间 的关联 ，进 行有 目的的 、有 意识 的 （ ３）已知组 合数 ｃ 是正 整数 ，证 明 ：当 ｚ，ｍ是正整 整 体 处 理 。
ｘ ｘｘ－１ ｘ－２ （ （ ） （ ） ｘ－ｍ＋１ ｘｘ １（ ） （ ）
－ ． －
— — ． ． ． ． ． ． ． ． ． －
分析 ：将４ 名男生看 作一个整 体Ａ，５ 名女生看作 一个整体 Ｂ先整体 ，将Ａ、Ｂ ． 排队 ，有 种排法 ；后局部 ，男生有 种排 ；
例谈与数列有关的综合问题的解题技巧
例谈与数列有关的综合问题的解题技巧作者：徐义来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第04期通过对近几年的数学高考题目进行一定的观察和总结，发现有关数列的题目出现频率比较高，不仅仅和函数、不等式等数与代数的部分相结合，有时还涉及三角形、立体几何等图形方面的知识。
数列是一种比较特殊的函数，需要教师熟练掌握相关概念，联想题目的特征，联想自身做题经验，找到解题方向，提高做题的效率。
数列就是按照一定的排序方式排列的一列数字，数列中每一个数都是这个数列的项。
数列也是一定定义域为正整数集的函数，而且数列所对应的数列通项公式也就是其函数的解析式。
对于高中生来说，数列的学习是一个重要部分，其中蕴含着多种多样的数学思想和数学方法，数列中涉及的问题也比较考查学生的归纳能力和逻辑能力，反映了学生对数列学习的深度，表现着学生的技巧性，所以数列的相关内容经常出现在每年的高考题目中，成为一道必考题。
数列作为特殊函数，在实际中也有广泛的应用，比如银行的信贷、养老保险等，这就需要学生不仅仅能够熟练掌握有关数列的相关问题，还要能够善于观察题目的特点，结合原有解题经验，迅速锁定解题的方向，提高解题的效率。
下文笔者就将针对数列题目来归纳一般的解题方式和思路。
一、与不等式知识结合在不等式和数列结合的题目中，主要考查的是数列的定义和等差数列的定义，题目上一般是已知Sn求an的基本题目，其中涉及的数学思想和数学方法为归纳法或者是利用放缩法去证明不等式。
这种函数和数列相结合的题目在高考中考到的几率比较大，学生应该多多掌握求出前n项和的各种方式，比如通过相加、相减或者相乘的方式来化简，从而提高解题的效率。
三、与最值、极限相结合数列和最值结合的题目主要就是考查学生对不等式和最值定义性质、数列性质等知识的掌握，大多数题目都会给出Sn和an之间的关系，并且要求出相应的通项公式，然后再构造出一个不等式来使之恒成立，其中涉及某个未知数的值，一般会要求学生求出未知数的最大值或者最小值。
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例14：已知数列的通项，比较的大小。
通常做法是先求出，然后作商与1比较或作差判断符号。但无论作
商还是作差，都不好做。这时正是渗透数学思想方法的良好契机，将
看成是关于正整数集的函数，如果能判断该函数的增减性，则可判断
的大小。
由知，当n≥10 n∈N+ 时，数列为递减数列，所以.
函数思想在数列中的运用不是学生容易想到的，学生往往对运用函 数思想解决问题有一种可遇不可求的感觉，正是这种感觉说明学生的 知识结构在函数应用方面的欠缺，问题的关键在于转化意识。由数列 情景转变为函数情景，是运用函数思想解决问题的意识在起作用。
突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们
平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研
究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。
例6、已知等差数列的前 项和为，前项和为，则它的前项和为
（）A、130 B、170 C、210 D、260
分析:等差数列的前项和 =,可以看成关于 的二次式函数,则可以
相消求和得证. 例21.设为常数，且． 证明:对任意≥1，； 分析：由于欲证明的式子与有关，因此可以把证明问题转化为计
算问题，即求出通项。由已知得 ，对于这种类型，一种变形方向是把 的系数化为1，另一种是把式中的最后一项化成与n无关的数或式子， 从而转化为新的等差或等比数列来解。
证法1：两边同除以（-2）得 令,则，差后等比（累加） = == 证法2：由得 设，则b. 构造：, 所以是以为首项，为公比的等比数列 则= 即： 故 证法3：用待定系数法构造 即: 比较系数得：,所以 所以, 则是公比为－2，首项为的等比数列.
转化与运用。在解决数列问题中，数学思想方法的运用比比皆是，但 离开了扎实的知识基础，熟练的基本技能，数学思想方法的运用也就 成了空中楼阁。
当且≠0时，即 当或=2时，即
分类讨论，前提是要讨论的对象有着多种不同的情况，这些不同
的情况有的显露在算式之中，有的隐含在概念之内。在解决问题当
中，必须概念清晰，必须对问题的本质有深刻的理解，才会想到需要
分类讨论，才能准确确定要讨论的对象，并按情况需要正确地进行讨
论。分类讨论思想是数学学科特点之一，在运用数学方法解决实际问
解析：传统解法是得，再由知
所以，即
但若注意到等差数列中是一次函数Байду номын сангаас则由一次函数的线性特征
可知即
所以，又得
例13、已知，定义，试确定的取值范围，使得对于大于1的自然
数，不等式恒成立。
解：构造关于的函数
若恒成立，只需
即可
而易证即是增函数
所以
从而解之得：
评注:不等式恒成立的常见问题是，，
或，可见解不等式恒成立问题的关键是求函数的最值。
题当中有着广泛的应用，分类讨论在中学教学中经常出现，具有自然
而来，层次分明的特征。
4、整体思想在数列中的运用
整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的
思想。整体思想的灵活运用，通常是将问题从多元向一元简化，使问
题的解决方式变得明朗、简洁。
例17：数列为正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的
即. 例22、设数列的前项和 求首项与通项；
解：（I）
，解得：
当时，
即 设即，比较系数得 所以数列是公比是4，首项为4的等比数列 则，即 从条件出发，进行合理的式子变形是转化的必经之路，变形当中体 现着对问题的探索，观察联想是其中重要的环节，化简原则在正确变
形当中起到极其重要的作用。 数学思想方法在教学中的渗透讲求的是情景与意识、时机与把握、
证明：由题设知，是一元二次方程的实数根 所以 所以 因为 所以成等比数列 由求根公式得： 所以为其公比。 评注：对已知等式进行整体观察，发现是某一元二次方程的根， 从而得出巧妙的解答，颇具代表性。 例3、已知，则的值是__________。 分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差 数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。 解：由，知成等差数列
例谈数列中的数学思想
高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思 想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思 想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道 例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.
1、方程思想在数列中运用 等差（比）数列一般涉及五个基本量：.于是“知三求二”成为等 差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求 解。 例1：等差数列的前n项和为Sn，且S12=84，S20=460，求S28。 解：由已知得
A、 B、
C、
D、
解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B；可推广至：
例10、在等差数列中，是前项的和，公差。
（1）若，求；
（2）若，求。
解析：（1）由知是关于的一次式
则三点三点共线，故任意两点连线斜率相等
即，解得
x
O
y
n
m
m+n
f(m)
（2）由
可知:是关于的二次式，且无常数项
故可构造函数
由得则是此函数的对称轴，
例8、若等差数列和等比数列的首项均为1，且公差，公比，则集
合的元素个数最多是（ ）个
A、1
B、2
C、3
D、4
x
O
y
解析：数列是特殊的函数，等差数列是直线上的点
且直线的斜率是公差，由知，对应函数是增函数；
等比数列的图象是指数函数图象上的点由图象易知选B。
例9、已知是等差数列，是等比数列，其公比，，若，则（ ）
想法。 例20.（05‘湖北）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最
大整数. 设数列的各项为正，且满足 求证 分析：本题“穿着”不等式的“光彩外衣”，给我们以假象，但
只要用“慧眼”认真观察，就会把问题看得“清清楚楚、明明白白、 真真切切”喔！原来是数列求通项，继而奇妙的思路就会从心底升 腾。
证明：∵当 即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n≥3时有， 评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项
设公差是，则 由,解之得: 又, 即,所以 评注：也可将同时平方得，进而得到 解方程组求解。 2、函数思想在数列中运用
数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。
运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值
等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理
解。 例4、已知数列的通项，为其前项的和。求证： 证明：构造函数 则 两式作差得： 因为，所以 即，则函数在其定义域内是减函数 又因为， 即，也就是
评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明，即 例5、已知数列中，，且点，在直线
（1）求的通项公式； （2）求的最小值。 分析:(1)由等差数列的通项是关于的一次函数,易判断是等差数 列;又一次函数的斜率就是其公差,易得通项公式; (2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入 手,打开突破口. 解：（1）由题设，，即 （2）构造函数 则 于是 ，即函数是增函数 故的最小值是 评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的 单调性，从而得到最值。这种看似“无中生有”的想法，决非一时的
项为54，前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比q。
解：由已知有，故q≠1。依题意，有
得,
∴qn=81.
由题意知q＞1，所以前n项中第n项最大，即.
将qn=81代入，得.
(3)
将qn=81代入(1)得.
(4)
联立(3)、（4），解得
整体思想出现在问题解决当中，具有一气呵成、豁然开朗的特
质，呈现结构明快、巧妙生成、简洁流畅的思维特征。整体思想的运
看成关于的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点就在同
一条直线上,利用斜率相等,得它的前项和为.选(C).
例7、递增数列，对任意正整数，恒成立，求.
分析：看成函数，它的定义域是，要使函数为递增函数，即单调
增区间为,抛物线对称轴至少在的左侧，不过由于函数为离散函数，对
称轴在的左侧也可以，因为B点可以比A点高。于是，，得
因此，即
另解：由得
则大关于的一次式，所以三点共线
利用任意两点连线斜率相等易求得。
例11、已知等差数列的前项和是，满足，下列结论不正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
解析：由可知，故；
由有最大值，且与相对应的二次函数的对称轴在区间内
又，所以，故选D。
例12、在等差数列中，，且，则使数列前项和是取最小值的等于
_______。
解:设等比数列的公比为，前n项和。 （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小。 解：（Ⅰ）因为是等比数列，
当 上式等价于不等式组： ① 或② 解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是 （Ⅱ）由得
于是 又∵>0且－1<<0或>0 当或时即
用基于对问题的敏锐观察力，基于缜密的分析思考，往往在经过观察
分析过后迸发出的灵感。在问题解决中懂得运用整体思想，一般依赖
于解题经验的积累，其运用场合是由多元问题转化为一元问题。
5、转化与化归思想在数列中的运用
转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题
的一种数学思想方法。数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化
3、分类讨论思想在数列中的运用 分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象 分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若 干个小问题逐一解决。分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗。 例15：设等比数列的前n项的和为Sn，而数列 的前n项的和为Tn， 求证：Sn=Tn. 证明：设等比数列的公比为q。 ∵， ∴数列是首项为，公比为的等比数列。 （1）当q=1时，Sn=na1, 。 ∴ （2）当q≠1时，， ， ∴。 由(1) (2)，所以。 例16.（05’19）设等比数列的公比为，前n项和。 （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）设，记的前n项和为，试比较与的大小。