人教版九年级数学下册第二十六章《反比例函数》教材分析文字讲义含例题及练习题及答案

第二十六章反比例函数教材分析练习及答案一. 本章的地位和作用函数知识在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点，也是教学的难点之一，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，是后续学习的重要的基础。

现实世界中充满了反比例函数的例子，有着极广泛的应用。

应用反比例函数解决实际问题，尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一.反比例函数的教学，是在学生对函数已经形成初步认识的基础上，学习认识的又一种函数，通过学习，使学生掌握函数概念，进一步对函数所蕴涵的“变化和对应”思想有了深层的理解。

在应用反比例函数解决问题中，增强应用数学知识的意识，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法。

二.本章知识结构：实际问题建立数学模型函数图象反比例函数性质确定函数解析式实际应用三.课程教学目标：1.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，使学生理解并掌握反比例函数的概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。

2.能画出反比例函数的图象，能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；并根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式；3.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中运动变化观点，逐步提高学生的观察和归纳分析能力，体验数形结合和转化的数学思想方法；四.教学重点与难点：教学重点：反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用 . 教学难点：反比例函数及其图象的性质的理解和掌握，反比例函数的应用。

五. 课时安排：（总课时约 9 课时）17.1反比例函数约3课时；17.2实际问题与反比例函数约 4课时；数学活动 小结约2课时.六. 教学建议：本章教学内容主要分为三大部分： 第一部分：反比例函数的概念；第二部分：反比例函数的图象及其性质； 第三部分：反比例函数的应用 .根据这三部分教学内容，提以下几点教学建议：第一部分：反比例函数的概念：1.在引进反比例函数概念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比例函数的学习作好铺垫。

2.利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中的两个 变量的相依关系和变化规律，结合具体实例引导学生用自己的语言说明两个变量之间的关系为什么可以看成是一个函数，并讨论出函数的表达式，形成反比例函数的概念的具体形象。

3.在概念教学中要重点突出函数中蕴含的重要的数学思想—变化—对应 .例 1.现有一批物资要自甲城运往乙城，已知甲城、乙城相距800km ，运输汽车的速度为xkm，运输的时间为 y 小时，写出运输时间y(小时 )与运输速度 xkmhh关系式，并结合这个关系式，分析两个变量的相依关系 .800 .解：关系式： yx分析：（ 1）当 x 越来越大时， y 越来越小；当 x 越来越小时， y 越来越大；（ 2）当给定一个 x 的值时，相应的确定了一个y 的值。

因此 y 是 x 的函数。

函数的形式为： yk(k 0的常数）.x教学中让学生多举几个生活中的类似实例，形成反比例函数概念。

4.在抽象出反比例函数的概念之后，要引导学生体会：（1）当常数 k ≠ 0 时， xy=k 与 yk两种表达式是等价的，但前者是隐函数形式，xk( 或 y kx 1作为反比例函数，应表示成显函数的形式：y) 。

x（2）允许将实例中的自变量x 与函数 y 互换（即 xk, k o ），可根据需要进行选择 .y（3）定义中非零常数 k 及变量 x 、 y 已经不再局限于只取正值，而允许取任意非零数值。

要让学生弄清楚解析式中各字母的意义，自变量x 的取值范围。

例 2. 当 m 取什么数时，函数y (m 1) x m 2 为反比例函数式？解：函数 y ( m 1) x m 2 要为反比例函数式，则m21 ，∴ m1,∵ m 1 0 , ∴ m 1∴ m=-1此题是认识反例函数定义的等价形式y kx 1 (k0) ，由这个等价形式可得到m 2 1 且 m 1 0 ，求出 m=-1. 解决此类问题最容易忽略的就是k ≠ 0 条件，教学中要让学生注意。

通过教学使学生掌握反比例函数的解析式的形式：（1） yk（ k ≠ 0 的常数）x（2） xy k （ k ≠0 的常数）（3） ykx 1 （ k ≠0 的常数）第二部分：反比例函数的图象及其性质；函数的性质蕴涵于概念中， 对反比例函数性质的探索是对其概念内在规定性的认识，教学中应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上，通过观察、 分析函数的图象， 自主地对反比例函数的图象及其性质作出直观描述。

1.学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图象过程中，教师要引领学生从列表取点、描点连线。

师生互动议论，画出反比例函数图象。

2. 利用几何画板作出几个具体的反比例函数图象，让学生观察，并把数与形结合起来，归纳出反比例函数图象的特征。

3. 利用几何画板作出 k ＞ 0 和 k ＜ 0 时的多个反比例函数图象，数形结合，让 学生归纳概括出反比例函数的性质。

反比例函数的性质：（1）反比例函数的图象是由两支曲线组成；即：反比例函数的图象是双曲线。

（2）当 k ＞ 0 时，两支曲线分别位于第一、三象限， 在每一象限内， y 的值随 x．．．．．．值的增大而减小；当k ＜ 0 时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而增大；．．．．．．yyyy=xxxOxOOy=-x（3）反比例函数图象的两个分支无限接近 x 轴和 y 轴，但永远不会与 x 轴和 y 轴相交。

（ 4）反比例函数的图象是对称图形；反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形； ① yk(k0) 是轴对称图形，其对称轴为y x 和 yx 两条直线；x② yk(k 0) 是中心对称图形，对称中心为原点（0， 0）。

x③ yk和yk在同一坐标系中的图像关于x 轴、 y 轴成轴对称。

xxy（5）反比例函数的几何意义：在反比例函数 yk(k 0) 的图象上任取一点M ，BMxx从几何意义上看，从点M 向两轴作垂线，两垂O A线段与坐标轴所围成的矩形的面积为定值 k 。

（ 6） k 越大，双曲线越远离原点。

利用反比例函数的这些性质可解决一些相关的问题。

例 3. 已知反比例函数y (k 3) x k 5 的图象分布在二、四象限，求反比例函数的解析式.解：由题意可知：k 5 14 ， ∴反比例函数的解析式为 y1 k3 ∴ k。

x例 4. 已知反比例函数 y( m 2)x m 2 10 的图象，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，求反比例函数的解析式 .解：由题意可知 :m 2 10 1 ∴ m=3，∴反比例函数的解析式为1m2y 。

x例 5.P 是反比例函数 yky上一点，若图中阴影部分的xP矩形面积是 5，求这个反比例函数的解析式 .解：由反比例函数的几何意义可知：k =5，O xk ∵反比例函数y的图象位于二、四象限，x∴k ＜ 0,∴k=-5.∴这个反比例函数为y5.x4例 6. 已知点 A （ -3 ， a),B(-1,b),C(3,c)都在反比例函数 y的图象上，则 a 、 b 、c 的大xD小关系为（ ）A. a b cB.c b aC.b c aD.c a b例 7. 反比例函数yk 1的图象经过点 A （ -2 ，3），请问经过点 A 的正比例函数 yk 2 x 的x图象与反比例函数yk 1的图象还有其它交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理xyA （ -2，3）xOB（ 2， -3）由.解：有，因为正、反比例函数的图象均关于 原点对称，且点 A 在它们的图象上，所以 A （ -2 ，3）关于原点的对称点B （ 2， -3 ）也在它们的图象上，所以，它们相交的另一个交点坐标为（ 2， -3 ）.第三部分：反比例函数的应用 1. 确定反比例函数解析式 .由反比例函数的解析式可知：确定反比例函数解析式只需把待定系数k 求出来 . 因此，只需一个独立条件： （1）图象经过的一个点的坐标； （ 2）适合解析式的一对对应值； （ 3）其它间接的条件等；例 8. 如图，已知一次函数 ykx b 的图象与反比例函数 ym 的图象交于xA （ -2 ， 1），B （ 1， n ）两点 .y（ 1）求这两个函数解析式；（ 2）求△ AOB 的面积 .m A解：（ 1）∵反比例函数 的图象经过点 A 、 B ，yxxO∴ 1m, m=-2,B22∴反比例函数为y；2x∴ n=-2 ，∴ B （ 1， -2 ）；1∵一次函数 y kx b 的图象经过点A 、B ，2k b1 k 1 ∴有2解之得：，k bb1∴一次函数为 y x 1 .（ 2）△ AOB 的面积为 1。

例 9. 已知 y 是 x 的反比例函数，且 x=2 时， y=-3.（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；（ 2）当 y=2 时，求 x 的值 . 解：（ 1）设反比例函数为 yk(k 0)xk 把 x=2， y=-3 代入解析式得： 3，∴k=-6,2∴ y 与 x 的函数关系式为 y6 .x（ 2）当 y=2 时， x=3.例 10.(07年北京 ) 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k 的图象与 y3 y的图象关xx于 x 轴对称，又与直线y ax 2交于点 A （ m,3） , 试确定 a 的值 .解：依题意得，反比例函数yky3 的解析式为。

xx因为 点 A （ m ， 3）在反比例函数3 的图象上，yx所以 33 m=-1 。

即点 A 的坐标为（ -1， 3）。

，解得 m因为 点 A （ -1， 3）在直线 y=ax+2 上，所以 3=-1a+2,所以 a=-1。

2. 实际问题与反比例函数 .在实际问题中，学生经历数学知识的应用，教学中要关注对问题的分析过程；利用反比例函数解决实际问题， 关键是数学建模。

一般地建立函数模型有两种思路： （ 1）通过问题提供的信息， 知道变量之间有什么函数关系， 在这种情况下， 可先设出函数的表达式，再由已知条件求出表达式中的字母系数即可。

（ 2）从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就得到函数表达式。

实际问题中的反比例函数，往往自变量的取值受到实际意义的限制，这时对应着的函数图象可能是双曲线的一支或是双曲线的一段， 教学中要重视。

这点是学生在学习中最易错的，最易忽略的。