2014--2015年朝阳区高三数学理科期末试题及答案

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2014北京朝阳区高三期末数学(理)试题答案

由图可知，二面角 A P B C 为锐角，所以二面角 A P B C 的余弦值为 2 ．
3
18．解：（Ⅰ）定义域 (0, ) ．
……………… 14 分
当 a 0 时， f ( x ) x ln x ， f ( x ) ln x 1 ．
令 f ( x ) 0 ，得 x 1 ． e
c
a
2c
b
1 (c)
0
，
ab
33
a3 b 3
所以 n D G ．又因为 D G 平面 P B C ，
所以 D G ∥平面 P B C ．
……………… 9 分
P
D
解法 2：
取 A B 中点 E ，连 O E ，则 O E 1 (O A O B ) . 2
由已知 O G 1（O A O B）可得 O G 2 O E ,
所以 0
lg t
1 ，1
lg t 2
2
，1
lg t 3
2 ．所以 1
lg t
2
1
，解得10 2
t
2
103
．
2
3
1
2
又因为10 2 3, 4 ，10 3 4, 5 ，所以此时 t 4 ．
（2）当 m 1 时，同理可得1 lg t 2 ， 2 lg t 2 3 ， 3 lg t 3 4 ．
8km
设M
( x1 ,
y1 ), N ( x2 ,
y2 ) ，线段 M N
中点为 Q ( x0 ,
y
0
)
，则
x1 x x1 x2
2
4k 2
4m2 4k 2
4 1
1
于是 x0

北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学(文史类)试卷

北京市朝阳区2014-2015学年度高三第一学期期末统一考试数学（文史类）试卷2015.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =A. 1B. C. 2D. 2. 已知全集U =R ，若集合{}20A x x x =-<，则U A =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x << D.{}1x x ≥ 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图侧视图俯视图4.执行如右图所示的程序框图,则输出的i 的值是A.3B.4C.5D.65.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45o 和30o ，则塔AB 的高约为（精确到0.1m1.73≈1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,28. 如图，在正方体中1111ABCD A B C D -，M 为BC 的中点，点N 在四边形11CDDC 及其内部运动．若11MN AC ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9. 双曲线22:14x C y -=的离心率是；渐近线方程是． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表如下:则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . ACD A 1B 1C 1D 1 M N .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是______.12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分13分）已知平面向量a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，x ∈R ，函数()()f x =⋅-a b c .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin α的值. 17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ；（Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18.（本小题满分13分）已知公比为q 的等比数列{}n a ()n *∈N 中，22a =，前三项的和为7.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}n b 满足12...n n b a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01n b <<的n 的最小值.19. （本小题满分13分）已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： DAPCEFB（Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.20. （本小题满分14分）已知离心率为的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015.1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61 ()==305 P A.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B 3，C ），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D ，则D 中的结果共有12个，它们是：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，C ），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，C ），（B 1，C ），（B 2，C ），（B 3，C ），故所求概率为124()==155P D ．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-.则()f x =22sin 2sin cos cos x x x x +-=sin 2cos 2x x -)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f x x π=-，又22f α⎛⎫=⎪⎝⎭，)42απ-=，1sin()42απ-=.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以cos()4απ-=. sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当cos()42απ-=时，sin α=122224⨯+⨯=；当cos()42απ-=时，sin α=1(22224⨯+-⨯=. ………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB ∆中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点，所以EF //PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以EF //平面PBC ．…………4分（Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ，所以PD CE ⊥．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点，所以CE BD ⊥．因为BDPD D =，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE BF ⊥． …………9分（Ⅲ）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知， CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 设PF x =．由2AB =得BD =CE =，所以11123263P BCF C BPF V V PF BD CE x --==⨯⨯⋅⋅=⨯=．由已知2433x =，所以2x =．因为3PD =，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a =或12q =，14a =．DAPCEF B则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N ……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n n a -=，n *∈N .(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N . 由01n b <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即即5n >.则使01n b <<的最小的n 的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()e xaf x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点，所以a 的值为e . ………5分（Ⅱ）证明：方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.)所以()e f x ≥. ………13分方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-，所以e e e ()e x xx f x x x -'=-=. 设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增.（接下来表述同解法1相应内容）所以()e f x ≥. ………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=> 由题意可知点(2,1)P 在椭圆上，所以224114b b+=．解得22b =．故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分（Ⅱ）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0．因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1).依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->, 化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-.因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k --=+．当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k----+-==+-+．由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠，且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅- 2222188288221414B A k k k k PQ x x k k --+-=⋅-=-++ 21614k k =+ 由于12k >，故 216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k <<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t =+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增.则当12t>时，()(4,)f t∈+∞，即S∈()0,4.)所以四边形APBQ面积S的取值范围是()0,4.………14分。

高考数学 2014-2015朝阳高三二模理答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（理工类）2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ACDD中, 因为cos14CAD?，所以sin14CAD?,由正弦定理得，sin sinAC CDADC CAD=行,即2sinsin14CD ADCACCAD´仔===Ð……………………………………6分（Ⅱ）在ACDD中, 由余弦定理得，22422cos120AC AD AD=+-⨯⨯o，整理得22240AD AD+-=，解得4AD=(舍负).过点D作DE AB⊥于E,则DE为梯形ABCD的高.因为AB P CD，120ADC?o，所以60BAD?o.在直角ADED中，sin60DE AD==o即梯形ABCD的高为……………………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可得：4分（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优.依题意131()1355P M =⨯⨯=．………………………………………………8分（Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X :1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===；11451280(1)()()33243P X C ===； 22351280(2)()()33243P X C ===；33251240(3)()()33243P X C ===；44151210(4)()()33243P X C ===；5505121(5)()()33243P X C ===．随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF I 平面ABCD AB =，所以FA⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥．………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥，由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为112AD DC AB ===，则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-u u u r u u u r，设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ，因为(1,2,0)BD =-u u u r，所以sin cos ,BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅u u u r u u u r u u u r n n n .所以直线BD 和平面BCE 9分 (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，AD HC BENM(0,0,0)A ,(1,0,0)D ,(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设()01DM k k DF =<?，即DM k DF =uuu u r uuu r .(),0,DM k k =-uuu u r,则(1,0,)M k k -， 1(,1,)2MH k k =--uuu r ，(1,0,1)FD =-u u u r .若FD ^平面MNH ，则FD MH ^.即0FD MH ?uu u r uuu r. 102k k -+=,解得14k =. 则11(,1,)44MH =--uuu r,4MH =uuur .…………………………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b =，1c =．故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-． ……………………………………4分（Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m D -+-=2248(43)0k m -+>. 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14，所以12121224y y x x ⋅=--，所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=，所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =代入判别式大于零中，解得1122k -<<. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去．故直线AB 过定点(4,0)-．………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．…………4分（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()xf x x a =-在()1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a =-，(2)8g a =-.因为函数()g x 在()1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a ì=-<ïïíï=->ïî，即当38a <<时，函数()g x 在()1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x Î时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 为减函数；当0(,2)x x Î时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 为增函数，满足在()1,2上不为单调函数.当3a £时，(1)0g ³，(2)0g >，所以在()1,2上()g x 0>成立（因()g x 在()1,2上为增函数），所以在()1,2上()0f x '>成立，即()f x 在()1,2上为增函数，不合题意. 同理8a ³时，可判断()f x 在()1,2上为减函数，不合题意.综上38a <<. …………………………………………………………9分(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x ¢有两个不同的零点，即方程220x x a +-=的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=- 此时122x x +=-，12x x a =-. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-因为1a >-，所以224e4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．……………………………………………………………… 14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；与2，4，1，3，5．…… 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈L ，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55Λ==k k a k 的H 数列2015A 为{}121222222121222221212122222=e [()]=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x x x a x x a x x a x x x x a a a a a a ）++---++-+-+-++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1Λ=k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1Λ=k ）…… 8分（Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ．不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾．（ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ．不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈．于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =.由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ．把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-．所以5d =或5-. …… 13分。

北京市理科朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2016．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<M N = A ．{}|01x x ≤< B ．{|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～km/h ）频率120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．36第7题图8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a< D ．20a <第二部分（非选择题共110分）侧视图俯视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是，最小值是．10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足||CA CB +=，则=AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部，且有xOA yOB zOC ++=0，记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆，，．若1x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．（Ⅰ）求sin C ∠的值；（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）ADBC如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=- ．（Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列；（Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合；（Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===．所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45=+=．………………………7分（Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCACC AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =，所以AB ∥EF ． ………………………5分（Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥．在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===，则(0,0,0),(,0,0)G A a ，,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以(E a -，(,0,)22a F -．所以3()22a AF =-，(,,0)22a EF =- ．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD，所以,0)GB =是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE． ……………………13分 18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立，即1()0f x a x '=+≥，1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立，则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=．（ⅰ）令0)(='x f ，得1ex =．令()0f x '>,得1(0,)e x ∈，所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增．令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞，所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减．所以，max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-，所以2|)(|≥x f ．设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='．令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增，令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<，即2)(<x g ．所以)(|)(|x g x f > ，即>|)(|x f ln 32x x +．所以，方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以c e a ==．所以椭圆C…………………………3分（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±．不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥．若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高，当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ====== 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以AB ≤．此时, max (S )OAB ∆=.综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =；由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =．当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去；所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分（Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ．因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=．所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==．如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件；所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=，共有下面4种情况：（1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =；（2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =；（3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =；（4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =；综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分（Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==- ．假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n na a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=，则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ．当i 是偶数时，0t ≠，2111()2tm a a a =⋅=无正数解，不满足条件；当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤．11 又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---==== ，有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=．所以，1a 的最大值是12m -．即1212k a -=．…………………………………13分。

北京市朝阳区2014-2015学年高二下学期期末统一考试数学(理)试题(WORD精校版)

北京市朝阳区2014-2015学年第二学期期末考试高二数学（理科） 2015.7（考试时间100分钟满分120分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 设i 是虚数单位，在复平面内，复数2i(1i)z =+所对应的点落在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知函数()cos sin f x x x =-，()f x '为函数()f x 的导函数,那么π()6f '等于 A． B．CD3．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的位置关系是A. 相离B. 相切C. 相交但不过圆心D.相交且过圆心 4.某人射击一次击中目标的概率为0.6，此人射击3次恰有两次击中目标的概率为 A.12554B.12536 C. 12527D. 18255.观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++= 照此规律，当n *∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= A. 14n + B. 4nC. 14n - D. 24n -6．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 A ．36 B ．48 C ．52 D ．547.函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数,下列数值排序正确的是A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<8. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x '=-（()f x '为函数()f x 的导函数）在[],a b 上有且只有两个不同的零点，则称()f x 是()g x 在[],a b 上的“关联函数”．若323()432x x f x x =-+是()2g x x m =+在[]0,3上的“关联函数”，则实数m 的取值范围是A ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[]1,0-C ．(],2-∞-D ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 9.21(21)d x x -=⎰．则实数a 等于 .11.6)1(x +的展开式中含3x 项的系数为 ;该展开式的二项式系数和是 .(用数字作答)12. 若过点(0,2),(1,3)P Q 的直线的参数方程为,(12x t a t by t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，,a b 为常数)，则a = ；b = ．13. 若函数32()g x ax ax x =++在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是____． 14. 已知函数()e ln x f x a x =-的定义域是(0,)+∞，关于函数()f x 给出下列命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 存在最小值；②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；③存在(,0)a ∈-∞，使得对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()0f x >成立； ④存在(0,)a ∈+∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足12a =，211n nn a na a ++=+,n *∈N .（Ⅰ）求2a ,3a ,4a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.16. （本小题满分13分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛. （Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（III ）已知3名男生的比赛成绩分别为76,80,84，3名女生的比赛成绩分别为77,a（a *∈N ）,81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.17. （本小题满分13分）已知函数()af x x x=+，()ln g x x x =-，其中a ∈R 且0a ≠. (Ⅰ) 求曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程；（II ）当1a =时，求函数()()()h x f x g x =+的单调区间；（III ）设函数(),()(),()(),()().f x f xg x u x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩若()()u x f x =对任意[1,e]x ∈均成立，求a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知M 是由所有满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：①方程0)(=-x x f 有实数根；②设函数)(x f 的导函数)(x f '，且对)(x f 定义域内任意的x ，都有1)(>'x f . （Ⅰ）判断函数x x x f sin 2)(+=是否是集合M 中的元素，并说明理由；（Ⅱ）若函数()ln g x x ax =+是集合M 中的元素，求实数a 的取值范围.。

朝阳区2015-2016学年第一学期期末高三数学(理)试题答案

π ， 1
4
4 2
4
（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分） 15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 A，则
1 3 C3 C72 C30 C7 49 P( A) . 3 C10 60
所以选出的 3 名同学来自班级的概率为
49 ． 60
……………………………5 分
（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，则
P ( X 0)
3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ30 C7 7 ； 3 C10 24
P ( X 1)
1 C3 C72 21 ； 3 C10 40
1 C32 C7 7 ； P ( X 2) 3 C10 40
DAB 60 ， G 是 AD 中点，
所以 AD GB ．如图，建立空间直角坐标系 G xyz ．设 PA PD AD 2a ，
·2·
则 G (0, 0, 0), A( a , 0, 0) ，
B (0, 3a , 0), C ( 2 a , 3a , 0), D ( a , 0, 0), P (0, 0, 3a ) ．
…………13 分
17．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 AB ∥ CD ．又因为 AB 面 PCD ， CD 面 PCD ，所以 AB ∥面 PCD ．又因为 A, B , E , F 四点共面，且平面 ABEF 平面 PCD EF ，所以 AB ∥ EF ． ………………………5 分（Ⅱ）取 AD 中点 G ，连接 PG , GB ．因为 PA PD ，所以 PG AD ．又因为平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD AD ，所以 PG 平面 ABCD ．所以 PG GB ．在菱形 ABCD 中，因为 AB AD ，

北京市朝阳区2014届高三上学期期末考试数学理试题含答案

北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学试卷（理工类）2014.1（考试时间120 分钟满分150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1．函数f ( x)1x 的定义域为x1A．[0,)B．(1,)C．[0,1)(1,)D．[0,1)2．假如点P 2, y0在以点 F 为焦点的抛物线y24x 上，则PFA ．1B．2C．3D．43．命题p：x R, x2ax a20 ；命题q：x R ，sin x cos x 2 ，则以下命题中为真命题的是A ．p q B．p q开始C．( p) q D．( p) ( q)4．在△ABC中，A30 ，AB3，BC 1 ，i0则△ ABC 的面积等于a a0A ．3B．3i i1 24C． 3 或3D． 3 或3a 2 a1224是a<2013?5．履行以下图的程序框图，输出结果是4．若 a01,2,3，则 a0全部可能的取值为否．． 1输出 iA1,2,3BC．2D．1,2结束6．已知正方形的四个极点分别为O (0,0) ， A(1,0) ， B(1,1)，C (0,1) ，点 D , E 分别在线段 OC , AB 上运动，且 OD BE ，设 AD 与 OE 交于点 G ，则点 G 的轨迹方程是A ．y x(1x) (0x1)B．x y(1y) (0 y1)C．y x2(0 x 1)D．y 1 x2(0 x 1)7．已知平面向量 a ，b的夹角为120，且 a b 1 ，则 | a b |的最小值为A ．6B．3C．2D． 18．已知数列a n知足 a n n k n (n N ,0 k 1) 下边说法正确的选项是①当k 1时，数列 a n为递减数列；2②当1k1时，数列a n不必定有最大项；21③当 0k a为递减数列；时，数列2n④当k为正整数时，数列a n必有两项相等的最大项 .1kA. ①②B. ②④C. ③④D. ②③第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分 . 把答案填在答题卡上．9．某校为认识高一学生寒假时期的阅读状况，频次 /组距抽查并统计了100 名同学的某一周阅读时间，绘制了频次散布直方图（以下图），那么这1000.150.14名学生中阅读时间在 [4,8) 小时内的人数为0.12_____．0.050.042468 10 12小时10．在各项均为正数的等比数列a n中，若 log 2 a2 log2 a81，则 a3 a7．11．直线y kx与圆( x 2)2y 24订交于O,A两点，若OA =2 3 ，则实数k的值是 _____．12．一个三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积是；表面积是．2 633正视图俯视图x y 3, 13．实数x, y知足y 若 y k( x 2)2x0,恒成立，则实数k 的最大值是．14．全部真约数（除自己以外的正约数）的和等于它自己的正整数叫做完整数．2 33侧视图如： 6=123；28=124714 ；496=1248163162124248 ．已经证明：若2n1是质数，则2n1(2n1) 是完整数，n N .请写出一个四位完整数；又6 23 ，所以 6 的全部正约数之和可表示为(1 2)(13)；28227 ，所以 28的全部正约数之和可表示为(1222) (1 7)；按此规律，496 的全部正约数之和可表示为．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（此题满分13 分）已知函数 f (x)cos2 x sin x 1 ．（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小值；（Ⅱ）若 f ( )5的值．，求 cos 21616．（此题满分13 分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在同样测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）以下表：第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲5855769288乙6582878595（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你以为选派谁参赛更好？说明原因（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行剖析，设抽到的两个成绩中，90 分以上的个数为 X ，求随机变量X 的散布列和希望 EX ．17．（此题满分 14 分）如图，在三棱锥P- ABC 中， PA平面 ABC，AB AC.（Ⅰ）求证： AC PB ；（Ⅱ）设 O, D 分别为 AC, AP 的中点，点 G 为△ OAB 内一点，且知足 OG 1OB），（OA3P求证： DG ∥面 PBC ；（Ⅲ）若 AB = AC = 2， PA= 4，D 求二面角 A PB C 的余弦值．C OAGB18．（此题满分13 分）已知函数 f (x) (x a)ln x ， a R ．（Ⅰ）当 a 0 时，求函数 f ( x) 的极小值；（Ⅱ）若函数 f ( x) 在 (0,) 上为增函数，求 a 的取值范围．19.已知椭圆C两焦点坐标分别为F1(3,0) , F21 ( 3,0) ，且经过点P( 3, )．2（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）已知点A(0, 1) ，直线 l 与椭圆 C 交于两点 M , N ．若△ AMN 是以 A 为直角极点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．20．（此题满分 13 分）已知 a, b, c 是正数，a1lg a ， a2 lg b ， a3 lg c ．（Ⅰ）若 a,b,c 成等差数列，比较a1 a2与 a2 a3的大小；（Ⅱ）若 a1a2a2 a3a3a1，则a,b,c三个数中，哪个数最大，请说明原因；（Ⅲ）若 a t ，b t2， c t 3（ t N），且a1，a2，a3的整数部分分别是 m, m21, 2m2 1, 求全部 t 的值．北京市旭日区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末一致考试数学答案（理工类）2014.1一、号 1 2 3 4 5 6 7 8答案CCBDBAAC二、填空91 1112114号 03答542 3 18 236 32 (1 2 222324) (1 31)8128案33三、解答15．解：（Ⅰ）因f (x)cos 2 xsin x 1sin 2 xsin x(sin x 1 )2 1 ，2 4又 sin x1,1 ，所以当 sin x 1f ( x) 的最小1 6 分，函数.⋯⋯2 4（Ⅱ）由（Ⅰ）得(sin1 )2 1 5 ，24 16所以 (sin1 )2 9 ．2 16于是 sin51（舍）或 sin．44又 cos21 2sin21 2(1)27 ．4816．解：（Ⅰ）茎叶如右所示，由可知，乙的平大于甲的均匀成，且乙的方差小于甲的方差，所以参更好．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）随机量 X 的全部可能取 0,1,2 ．P( XC 41C 41 16 ，0)25C 51C 51P( X 2C 418，1)25C 51C 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分均成甲乙派乙585656 78 8 2 75295P( X11，2)25C51C51随机量 X 的散布列是：X012P 1681 252525EX01618212．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分252525517．明：（Ⅰ）因PA平面 ABC ， AC平面 ABC ，所以 PA AC ．又因 AB AC ，且 PA AB= A，所以 AC平面 PAB ．又因 PB平面 PAB ，所以 AC PB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ）解法 1: 因PA平面ABC，所以PA AB ， PA AC ．又因 AB AC ，所以成立如所示的空直角坐系 A xyz ．AC = 2a ， AB = b ， PA = 2c ，A(0,0,0) ， B(0, b,0) ， C (2 a,0,0) ，P(0,0,2 c), D (0,0, c) ， O( a,0,0) ．1又因 OG（OA OB），3a b所以 G( , ,0)．z PD于是 DG( a,b, c) ，x 33BC (2 a,b,0) ， PB(0, b, 2c) ．平面 PBC 的一个法向量n BC0,n( x0, y0 , z0 ) ，有C O AGB即n PB0．2ax0by00,by02cz00.y不如 z0 1 ，有y02c, x0c，所以 n b a因 n DG (c,2c,1)(a,b,c)c aa b33a3所以 n DG ．又因DG平面 PBC ，(c,2c,1) ．a b2c b 1 ( c) 0 ，b3所以 DG ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分P解法 2：取 AB 中点 E ， OE ， OE1(OA OB) .122D由已知 OG（OA OB ）可得 OG OE ,33点 G 在OE 上.AG 并延交 CB 于F ， PF .O因 O, E 分 AC , AB 的中点，CAG所以 OE ∥BC ,即G AF 的中点.E又因 D 段 PA 的中点，F所以 DG ∥PF .又 DG平面 PBC , PF平面 PBC ,B所以 DG ∥平面 PBC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量 n( c ,2c,1)(2, 2,1) ．a b又因 AC 面 PAB ，所以面 PAB 的一个法向量是 AC(2,0,0) ．又 cos n , ACn AC 4 2 ，n AC 3 23由可知，二面角 A PBC 角，所以二面角 A PBC 的余弦2 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分318．解：（Ⅰ）定域 (0,) ．当 a0 ， f (x) xln x ， f ( x)ln x 1 ．令 f (x)0 ，得 x1．(0, 1) ， fe当 x( x) 0 ， f ( x) 减函数；e当 x( 1, ) ， f ( x)0 ， f ( x) 增函数 .e所以函数f (x) 的极小是 f ( 1)1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分ee（Ⅱ）由已知得f ( x)ln x xa x ．因函数 f ( x) 在 (0,) 是增函数，所以f (x) 0 ， x(0, ) 恒成立．由 f( x) 0 得 ln x a0 ，即 x ln xx a x(0,) 恒成立．xxg( x) x ln x x ，要使“ x ln xxa x (0,) 恒成立”，只需 ag( x)min ．因 g ( x)ln x 2 ，令 g ( x) 0得 x12．12 ) ， g ( x)e当 x(0,0 ， g( x) 减函数；e当 x(12 ,) ， g ( x) 0 ， g ( x) 增函数 .e11所以 g (x) 在 0,上的最小是g()2 2．ee故函数 f ( x) 在 (0,) 是增函数，数 a 的取范是( ,12 ]⋯⋯13 分e19．解：（Ⅰ）准方程x 2 y 2 1( ab 0) ．依意a2b 22aPF 1PF 212 1 1 4，所以 a 2 ．44又 c3 ，所以 b 2 a 2 c 2 1 ．于是 C 的准方程x 2y 2 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分4（Ⅱ）依意，然直l 斜率存在 . 直 l 的方程 y kxm ，x 2 y 21(4k 21)x 28kmx 4m 24 0 ．由 4得y kx m因64k 2 m 2 4(4k 2 1)(4m 2 4) 0 ,得 4k 2 m 2 1 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ①x 1 x 28km4k 21M ( x 1 , y 1), N ( x 2 , y 2 ) ，段 MN 中点 Q(x 0 , y 0 ) ，4m24x 1 x 24k21于是 x 04km , y 0kx 0mm ．4k 2 14k 2 1因 AM AN ，段 MN 中点 Q ，所以 AQ MN ．（ 1）当 x0 ，即 k0且 m 0 ，y 01k1，整理得 3m 4k21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯②x0因 AM AN，AM(x1, y11), AN( x2 , y21) ，所以AM AN x1 x2( y11)( y2 1) (1 k2 )x1x2k( m 1)( x1x2 ) m22m 1(1k24m24k(m1)(8km)22m 1 0，)214k2m4k1整理得 5m22m30 ，解得 m3或 m1．当 m1，由②不合意舍去.5由①②知，m 35．， k55（ 2）当x00，（ⅰ）若 k0 ，直 l 的方程 y m ，代入方程中得x 2 1 m2.M (21m2 , m) ， N (2 1 m2 , m) ,依意，若△AMN 等腰直角三角形，AQ QN.即2 1m21m ，解得 m1或 m3. m1不合意舍去，35即此直 l 的方程y.5（ⅱ）若k0 且 m0 ，即直 l 原点.依的称性有Q (0, 0), 依意不可以有AQ MN ,即此不足△AMN 等腰直角三角形.上，直 l的方程y 35x 5 y30或5x 5 y30.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分或5a3 ) =lgalgblgac20．解：（Ⅰ）由已知得(a1a2 )( a2．a cb c b2因 a,b,c 成等差数列，所以b2，(a1a2 ) ( a2a3 ) lg4ac，(a c) 2因 a2c22ac ，所以(a c)24ac，即4ac1，(a c) 2(a1a2 )( a2a3 ) 0 ，即 a1a2a2a3，当且当a b c 等号成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）解法 1：令m a a ， n a a ， p a a ，122331依意， m n p 且 m n p0 ，所以 m0p ．故 a1a20 ，即lg a lg b ；且a1a30 ，即lg a lg c．所以 a b 且a c ．故 a, b, c 三个数中，a最大．解法 2：依意lg algblgc，即ab c ．b c a b c a因 a0, b0, c0 ，所以 ac b2， a2bc ， ab c2．于是，abc b3， a3abc ， abc c3，所以 a3b3， a3c3．因 y x3在R上增函数，所以a b 且a c ．故 a,b,c 三个数中，a最大．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅲ）依意，lg t ，lg t2，lg t3的整数部分分是m, m21, 2m21，m lg t m 1，所以 2m2lg t2m2．又 lg t 22lg t ， lg t2的整数部分是2m或 2m 1 ．当 m2 1 2m ， m 1；当 m2 1 2m 1 ， m 0,2 ．（ 1）当m0 ， lg t ，lg t2，lg t3的整数部分分是 0,1,1 ，1 ，1 lg t2lg t 31212所以 0 lg t 2 ，1 2 ．所以lg t，解得 102t 10 3．2312又因 10 23,4 ， 1034,5，所以此 t 4 ．（ 2）当m1，同理可得 1lg t 2 ，2lg t 2 3 ， 3lg t3 4 ．444所以 1lg t t10 3．又10321,22，此 t 10,11,12,...20,21 ．，解得 103（ 3）当m 2，同理可得 2 lg t3，5 lg t2 6 ， 9lg t 310 ，同足条件的 t 不存在．上所述 t4,10,11,12,...20,21 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分。

2015年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题及答案

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2015．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设i 为虚数单位，则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ．4+ B ．8 C ．4+ D．5.αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的 A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是 AB ．34 CD7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A.72 B. 3 C.52D.28.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（） A.204 B. 207 C. 208 D.209第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是；渐近线方程是．11.设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ,在区域D 内随机取一点P ,则点P 落在圆221x y +=内的概率为 .12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间． 13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R ．下列命题：①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；F 在边BC 上的位置，并说明理由.17．（本小题满分13分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分）设函数2e (),1ax f x a x =∈+R ．（Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]e x ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由． 20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<．（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2015．1一、选择题（满分40分）二、填空题（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为： 250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）….…..4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为15.所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15.依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C ===,1231448(1)()()55125P X C ===,2231412(2)()()55125P X C ===,3303141(3)()()55125P X C ===D P C B FA E 0.02因此，随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………..13分 16. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以EF //平面PAC ．……………..4分（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥．又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB 平面ABCD =AB ，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB ．由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥．由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为=PBBC B ，所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥．………..9分（Ⅲ）点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．因为PA AB =，PB =，所以PA AB ⊥．由（Ⅱ）可知，BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ，即A D P A ⊥，AD AB ⊥ .所以AD ，AB ，AP 两两垂直．分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴,建立空间直角坐标系（如图）.不妨设2AB =，BF m =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m =.设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则q m =-，r m =，得 (2,,)m m =-n ．由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,AB AD A =,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =．根据题意，11||||4AP AP ⋅==⋅n n ，解得23m =．由于2BC AB ==，所以13BF BC =.即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．……………..14分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=.则121252b b ==，112242b b ==，...，12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分（Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c == 所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+；当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯，n S =1250502+-n n .综上，22501255012502650,.n n n n n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：当35a =时，32522e (3103)()5(1)xx x f x x -+'=+．由()0f x '>得231030x x -+>，解得13x <或3x >；由()0f x '<得231030x x -+<，解得133x <<．所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞，单调减区间为1(,3)3．…………..5分（Ⅱ）因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+，又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，所以()()f x g x >，即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立．又因为2e 01axx >+，所以22(1)2(1)a x x x +-<+，所以2(1)(1)2a x x -+<．又210x +>，所以2211x a x -<+．设22()1x h x x =+，则mi n 1()a h x -< 1([,2e])ex ∈即可．又2222(1)()(1)x h x x -'=+．由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+，注意到1[,2e]e x ∈，解得11e x ≤<；由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+，注意到1[,2e]e x ∈，解得12e x <≤．所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间(]1,2e 单调递减．所以()h x 的最小值为1()e h 或(2e)h ．因为212e ()e e 1h =+，24e (2e)4e 1h =+，作差可知224e 2e 4e 1e 1<++，所以24e14e 1a -<+．所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+． ……………..13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2241a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆的标准方程为2214x y +=.………..4分（Ⅱ）直线MN 过定点(0,0)D .说明如下：由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A ．由题意可知，直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0．设直线AM 的方程为(2)y k x =-．由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=．42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立，所以22164214M k x k -⋅=+．所以228214M k x k -=+．所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++．于是，点222824(,)1414k kM k k--++．因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-，故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k =--．同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-．所以点222284(,)1414k k N k k -++．所以,当M N x x ≠时,即12k ≠±时,2214MN k k k =-.直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k --=-+-+.整理得2214k y x k =-. 显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点,M N 关于原点对称）当M N x x =,即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ．综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ． ……………..14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时，即()2320x x x m -+-=.依题意，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：（1）若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根，则2m =时，方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=，恰存在两个相等的实数根0(另一根为3）.（2）若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=，解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根32(另一根为0).所以当14m =-或2m =时，方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根.………4分（Ⅱ）证明：由123()()()()f x x x x x x x =---，可得，()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++（，则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦.由123x x x <<可得，0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根. ………8分（Ⅲ）122x x αβ+<<.说明如下：由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=，得 12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++()()22121212=044x x x x x x +--=-<.即12()2x x f +'=12123()()022x x x x αβ++--<,由αβ<，得122x xαβ+<<． ………13分。

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