2014--2015年朝阳区高三数学理科期末试题及答案

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一

考试

数学试卷（理工类） 2015．1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项． 1．设i 为虚数单位，则复数1i

i

z +=

在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为

A ．6

B ．9

C ．12

D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3

f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6

π对称

C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3

π

个单位得到

D ．函数()f x 在区间(,)

2

ππ

-

12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是

A ． 4+

B ．8

C ． 4+

D ．

5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m α

β=，l α⊄，

l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的

A ．充分且不必要条件

B ．必要且不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ∆中，π

4

B =

，则sin sin A C ⋅的最大值是 A

B ．34 C

D

7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是 A ．

72 B ． 3 C ．5

2

D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，

7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）

A.204

B. 207

C. 208

D.209

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则s

i n (π)α-的值是 ．

10．双曲线22

:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．

11．设不等式组240,

0,0x y x y +-≤⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P

落在圆2

2

1x y +=内的概率为 ．

12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，

12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．

13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加

上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）． 14．已知函数1sin π()()ππ

x x

x

f x x -=

∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；

③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．

其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.

（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80

年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．

0.02

1 6．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动． （Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥；

（Ⅲ）若PB =

，二面角E AF B --

F 在边BC 上的位置，并说明理由.

17．（本小题满分13分）

若有穷数列1a ，2a ，3,

,m a a （m 是正整数）

满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，

则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”． （Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等

比数列．求}{n b 的所有项和S ；

（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等

差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *

≤≤∈N .

D

P

C

B

F

A

E