三河一中2011—2012学年度高三年级第一学期第二次月考

三河一中2011—2012学年度高三年级第一学期第二次月考数学试卷(理科)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数1312ii -+=+( )A ．1i +B ．55i +C ．55i --D ． 1i --2.已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a 垂直，则λ是( )A. 1B. 2C. －2D. -13.下列命题中是假命题的是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ,x x sin > B ．0x R ∃∈,2cos sin 00=+x x C ．x R ∀∈,03>x D ．0x R ∃∈,0lg 0=x4.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项之和，198119911=-S S ，11=a ，则=10S ( )A.100B.81C.121D.1205.已知)3cos()(πω+=x x f ()0>ω的图象与1-=y 的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y=)(x f 的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( )A.向左平移125π个单位B.向右平移125π个单位 C.向左平移127π个单位D.向右平移127π个单位6.若点M 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，则A B M ∆与ABC ∆的面积比为( )A.15B.25C.35D.457.若31)cos()cos(=-+βαβα，则=-βα22sin cos ( )A ．－B ．－ C. D.8.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A.23y x =-+B.y x =C.32y x =-D.21y x =-9.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离2d 之间的关系为( ) A.21d d > B.21d d = C.21d d < D.不能确定大小10.已知函数2221,0,()21,0,x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式恒成立的是( )A.12()()0f x f x ->B.12()()0f x f x -<C.12()()0f x f x +< D.12()()0f x f x +>11.定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y)是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()OB OA ON λλ-+=1，若不等式k MN ≤恒成立，则称函数f (x)在[a ，b]上“k 阶线性近似”．若函数x x y 1-=在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A.[0，+∞)B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,223 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,223 12.已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---≤⎩，关于方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦ （a 为正实数）的根的叙述有下列四个命题：①存在实数a ，使得方程恰有3个不同的实根；②存在实数a ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数a ，使得方程恰有6个不同的实根；其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上相应位置．13.已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为________.14.已知定义在上的函数()f x 满足(5)()2f x f x +=-+，且当()0,5x ∈时，()f x x =，则(2012)f 的值为 .15.已知函数()R b a bx ax x x f ∈++-=,)(23的图象如图所示，它与x 轴在原点相切，且x 轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为112，则a = ．16.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos ，则角A 的大小为 ；若1=a ，则ABC ∆的周长l 的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+，求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域.18.（本小题满分12分）已知函数()31xf x x =+，数列{}n a 满足(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记,求nS .19．（本题满分12分）已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan 2)(παα++=x x f ，数列{n a }的首项)(,111n n a f a a ==+.(1)求函数)(x f 的表达式；(2)在ABC ∆中，若α2=∠A ,3C π∠=,BC=2,求ABC ∆的面积(3)求数列}{n a 的前n 项和nS .20.（本题满分12分）已知二次函数)3()(2<++=c c bx ax x h 其中，其导函数)('x h y =的图象如图，).(ln 6)(x h x x f +=(1)求函数3)(=x x f 在处的切线斜率； (2)若(],0,6y x x =-∈函数的图像总在函数)(x f y =图象的上方，求c 的取值范围．21．（本题满分12分）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.22.（本题满分12分）已知函数2()ln f x a x b x =⋅+⋅在点(1,(1))f 处的切线方程为10.x y --=(1)求()f x 的表达式；(2) 若()f x 满足()()f x g x ≥恒成立，则称()()f x g x 是的一个“上界函数”，如果函数)(x f 为x x tx g ln )(-=（t 为实数）的一个“上界函数”，求t 的取值范围；(3)当0m >时，讨论221()()2x m F x f x xm +=+-在区间（0，2）上极值点的个数．数学试卷(理科)参考答案一、选择题：ADBAA CCDCB DD二、填空题：13.725 14. 2 15. -1 16. 60︒ (2,3]三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）解：()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+当3x π=时，()f x 取最大值 1又31()()12222f f ππ-=-<= ，所以当12x π=-时，()f x 取最小值32-,所以函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为3[,1]2-.18.（本小题满分12分）解：解析：（1）由已知得131nn n a a a +=+即1113n na a +-= ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项,公差3的等差数列.所以113(1)32n n n a =+-=-，即132n a n =-*()n N ∈ (2) ∵11111()(32)(31)33231n n a a n n n n +==--+-+。

19．（本题满分12分）解：⑴1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααα 又∵α为锐角∴42πα=∴1)42sin(=+πα 12)(+=x x f（2）由（1）得∠A=4π,而3C π∠=,根据正弦定理易求AB=6,62sin sin()4B A C +=+=,从而求得ABC ∆的面积332+（3） ∵， ∴)1(211+=++n n a a∵11=a ∴数列{}1+na 是以2为首项，2为公比的等比数列。

可得nn a 21=+，∴12-=n n a ，∴2221)21(21--=---=+n n S n n n20.（本题满分12分）解：（1）由已知，b ax x h +=2)('，其图象为直线，且过)0,4(),8,0(-两点， 82)('-=∴x x hc x x x h b a b a +-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-==∴8)(818222c x x x x f +-+=∴8ln 6)(2826)('-+=∴x x x f0)3('=∴f ，所以函数))3(,3()(f x f 在点处的切线斜率为0，)(x g ∴的最小值为)6()23(g g 和的较小者．,02ln 12496ln 623ln 649)6()23(,6ln 66426ln 636)6(,23ln 643323723ln 649)23(>+=+-=--=+--=-=⨯+--=g g g g.6ln 66)6()(min -==∴g x g又已知3<c , 6ln 66-≤∴c ．21．（本题满分12分）解：（1）设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则)3090cos(203024009002 -⋅⋅⋅-+=t t S =4006009002+-t t=300)31(9002+-t故当31=t 时，310min =S ，此时33031310==v即小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

（2）设小艇与轮船在B 处相遇，则)3090cos(30202900400222 -⋅⋅⋅-+=t t t v 故22400600900t t v +-= 300≤<v ，9004006009002≤+-∴t t即0322≤-t t ，解得32≥t 又32=t 时，30=v故30=v 时，t 取最小值，且最小值等于32此时，在OAB ∆中，有20===AB OB OA ，故可设计寒星方案如下： 航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 22.（本题满分12分）已知函数2()ln f x a x b x =⋅+⋅在点(1,(1))f 处的切线方程为10.x y --=(1)求()f x 的表达式；(2) 若()f x 满足()()f x g x ≥恒成立，则称()()f x g x 是的一个“上界函数”，如果函数)(x f 为x x tx g ln )(-=（t 为实数）的一个“上界函数”，求t 的取值范围；(3)当0m >时，讨论221()()2x m F x f x xm +=+-在区间（0，2）上极值点的个数．22.（Ⅲ）由已知221()()2x m F x f x x m +=+-，m m x x x F 11)(2+-+='xmx m x )1)((--=，又0>x ，由0)(='x F 得，m x =1，m x 12=．（1）当m m 1=时，得1=m ，0)(≥'x F ，)(x F 在（0，2）为增函数，无极值点；（2）当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<21020m m 且m m 1≠时，得221<<m 且1≠m ，)(x F 有2个极值点； （3）当⎪⎩⎪⎨⎧≥<<2120m m 或⎪⎩⎪⎨⎧<<≥2102m m 时，得210≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点； 综上，当1=m 时，函数)(x F 在（0，2）无极值点；当210≤<m 或2≥m 时，)(x F 有1个极值点；当221<<m 且1≠m 时，)(x F 有2个极值点。